Tổng hợp các đề đáp án Toán thi vào THPT.

ĐỀ SỐ 1.
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT
Thời gian làm bài 120 phút ( không kể giao đề )
Bài 1 ( 2 điểm)
Cho biểu thức
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
A
x x x x
− + +
= − −
− + − −
.
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
b) Rút gọn biểu thức A.
Bài 2 ( 1,5 điểm)
Giả sử x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình : x
2
+ 2kx + 4 = 0 .
Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức :
2 2
1 2
2 1
3
x x
x x

   
+ ≥
 ÷  ÷
   
.
Bài 3 ( 1 điểm)
Cho x
3
+ y
3
+ 3(x
2
+y
2
) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
1 1
M
x y
= +
.
Bài 4 ( 2 điểm)
Cho phương trình :
2 2
2
2 2 2 2
x x
x x
+ −
+ =

+ + − −
.
a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa .
b) Giải phương trình .
Bài 5 ( 3 điểm)
Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và
AB BD⊥
. Hai đường chéo
AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E
sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng
DC lấy điểm F sao cho DF = GB
a) Chứng minh
FDG∆
đồng dạng với
ECG∆
.
b) Chứng minh
EGF F
⊥
.
HẾT
ĐÁP ÁN
Bài 1 ( 2 điểm)
Cho biểu thức
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
A
x x x x
− + +

= − −
− + − −
.
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
b) Rút gọn biểu thức A .
- 1 -
Điều kiện :
0; 4; 9x x x≥ ≠ ≠

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 9 3 2 1
5 6 2 3
2 9 3 2 1
=
2 3
3 2
2 9 3 3 2 1 2
=
3 2
2 9 9 2 4 2
=
3 2
1 2
2 1

=
3
3 2 3 2
x x x
A
x x x x
x x x
x x
x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x
x x
x x x
x
x x x x
− + +
= − −
− + − −
− + +
− +
− −
− −
− − + − + + −
− −
− − + + + − −
− −
+ −
− − +

= =
−
− − − −
Bài 2 ( 1,5 điểm)
Giả sử x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình : x
2
+ 2kx + 4 = 0 .
Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức :
2 2
1 2
2 1
3
x x
x x
   
+ ≥
 ÷  ÷
   
.
Phương trình : x
2
+ 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
, 2 2

4 0 4(*)k k⇔ ∆ = − > ⇔ >
.
Khi đó ta có :
1 2
1 2
2
4
x x k
x x
+ = −


=

Vậy :
( )
( )
2
2 2 2
2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 1 1 2 1 2
2
2
2
2
2
2

2
2
2
3 3 3
2 3
4 8
3 2 3
4
2 3
2 3
(**)
2 3
x x x x
x x x x
x x x x x x
k
k
k
k
k
k
 
+ −
     
+
+ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
 
 ÷  ÷  ÷
 
     

 

− ≤ −
 
−
⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔

 ÷
− ≥
 



≤ −
⇔

≥ +


Kết hợp (*) và (**) ta có :
2
2
4
2
k
k
k
≤ −

≥ ⇔


≥

Vậy để phương trình : x
2
+ 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa :
2 2
1 2
2 1
3
x x
x x
   
+ ≥
 ÷  ÷
   
thì :
2x
< −
hoặc
2x
>
.
Bài 3 ( 1,5 điểm)
Cho x
3

+ y
3
+ 3(x
2
+y
2
) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
1 1
M
x y
= +
.
- 2 -
Ta có : x
3
+ y
3
+ 3(x
2
+y
2
) +4(x + y) + 4 = 0
⇔
x
3
+ 3x
2
+ 3x +1 + y
3

+ 3y
2
+ 3y + 1 + x + y + 2 = 0
⇔
(x + 1)
3
+ (y + 1)
3
+ (x + y + 2) = 0
⇔
(x + y + 2)[(x + 1)
2
– (x + 1)(y + 1) + (y + 1)
2
+ 1] = 0 (*)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
2
V x 1 – x 1 y 1 y 1 1
1 3
= 1 1 1 1 0
2 4
ì
x y y
+ + + + + +
 
+ − + + + + >
 

 
Nên (*)
⇔
x + y + 2 = 0
⇔
x + y = - 2
1 1 2
Ta c :
x y
ó M
x y xy xy
+ −
= + = =
vì
( )
2
1 2
4 4 4 1 2x y xy xy
xy xy
−
+ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ −
.
Vậy MaxM = -2
⇔
x = y = -1 .
Bài 4 ( 2 điểm)
Cho phương trình :
2 2
2
2 2 2 2

x x
x x
+ −
+ =
+ + − −
.
a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa .
b) Giải phương trình .
a) điều kiện :
0 4x< ≤
2 2
b) 2
2 2 2 2
2 2
2 (1)
2 4 2 2 4 2
x x
x x
x x
x x
+ −
+ =
+ + − −
+ −
⇔ + =
+ + − −
Đặt
4 2 x+
= a ;
4 2 x−

= b ( a ; b
≥
0) .
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
8
Ta c :
2
2 2
8

2 8 4 2
8
4 2 4 0
8
(I)
2 4 0
a b
ó
a b
a b
a b

a b ab a b a b ab
a b
a b ab ab
a b
a b ab

+ =


+ =

+ −


+ =


+ − − = + − −



+ =

⇔

− + − + =



+ =


⇔

− − + =


Vì ab + 4 > 0 nên :
- 3 -
( )
( )
2
2
2
2 8
2
2
2
2
2

1 3
2
2
2 2 0
1 3 (loai v a 0)
3 1 4 2 3 1
3
3 1
4 2 3 1
ab

a b ab
I
a b
a b
b
b
a
b
a
a
a
a
a a
a
a ì
a x
x
b
x

=

− + =

⇔ ⇔
 
− =
− =






=


=

=
  
⇔ ⇔ ⇔
  

= +
  
− =
− − =





= − <





= + + = +
 

⇔ ⇔ ⇔ =
 
= −


− = −



Bài 5 ( 3 điểm)
Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và
AB BD⊥
. Hai đường chéo
AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E
sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng
DC lấy điểm F sao cho DF = GB
c) Chứng minh
FDG∆
đồng dạng với
ECG∆
.
d) Chứng minh
EGF F
⊥
.
ABCD : AB // CD ; CD > AB ;
AB BD⊥
.
AB BD⊥
; AG = CE ; BG =

DF .
Chứng minh :
a)
FDG
∆
~
ECG
∆
.
b)
EGF F
⊥
Chứng minh :
a) Ta có AB // CD
BG GD
AG GC
⇒ =
, mà AG = CE ; BG = DF
DF GD
CE GC
⇒ =
Xét
FDG∆
và
ECG∆
có :
·
·
0
; 90

DF GD
GDF GCE
CE GC
= = =

FDG⇒ ∆
~
ECG∆
( c-
g-c)
b) Ta có
FDG∆
~
ECG∆

·
·
GFD GEC⇒ =

⇒
GFCE nội tiếp
⇒

·
·
GCE GFE=
cùng
chắn
»
GE

mà
·
·
0 0
90 90GCE GFE GF FE= ⇒ = ⇒ ⊥
- 4 -
\\
//
X
X
F
E
D
C
G
B
A
S 2.
THI TUYN VO THPT
Nm hc: 2007 - 2008
MễN: TON
Thi gian lm bi 120 phỳt ( khụng k giao )
Bài 1: ( 1 điểm )
Chứng minh đẳng thức:
3 2 6 150 1 4
3 3
27 3 6


ì =

ữ
ữ


Bài 2: ( 2 điểm)
Rút gọn các biểu thức:
a)
( )
2 2
3
4 9 6 1
3 1
A x x x
x
= +

với
1
0
3
x< <
.
b)
4 7 4 7
4 7 4 7
B
+
= +
+
Bài 3: ( 2 điểm)

Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà
Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp
nhau tại một ga cách Hà Nội 300 km. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đ-
ờng sắt Huế - Hà Nội dài 645 km.
Bài 4: ( 3,5 điểm )
Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đờng tròn đờng kính AD, tâm O.
Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của E xuống
AD và I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc;
b) E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH;
c) Năm điểm B, C, I, O, H ở trên một đờng tròn.
Bài 5: ( 1,5 điểm )
Để làm một cái phểu hình nón không nắp bằng bìa cứng bán kính đáy
12r cm=
,
chiều cao
16h cm=
, ngời ta cắt từ một tấm bìa ra hình khai triển của mặt xung quanh
của hình nón, sau đó cuộn lại. Trong hai tấm bìa hình chữ nhật: Tấm bìa A có chiều
dài 44cm, chiều rộng 25cm; tấm bìa B có chiều dài 42cm, chiều rộng 28cm, có thể
sử dụng tấm bìa nào để làm ra cái phểu hình nón nói trên mà không phải chắp nối ?
Giải thích.
- 5 -
P N
Bi 1.
( ) ( )
( )
2 3 3 6 3 1
3 2 6 6
3

27 3 3 3 3
3 3 1


= = =


( 1 )
150 5 6
3 3
=
( 2 )
T ( 1 ) v ( 2 ) ta cú:
3 2 6 150 1 6 5 6 1 4 6 1 4
3 3 3 3 3
27 3 6 6 6


ì = ì = ì =
ữ ữ
ữ ữ


Bi 2.
a)
A =
( )
( )
2
2 2

6 3 1
3
4 9 6 1
3 1 3 1
x x
x x x
x x

+ =

( )
6 3 16 3 1
6
3 1 3 1
x xx x
x
x x

= = =

(vì
1
0
3
x< <
nên
0x
>
và
3 1 0x

<
)
b)
( ) ( )
2 2
4 7 4 7 4 7 4 7
4 7 4 7
9 9 3
4 7 4 7
B
+ + +
+
= + = + =
+
4 7 4 7 8
3 3 3
B
+
= + =
(vì
16 7 4 7> >
).
B i 3.
Gọi x (km/h) là vận tốc của xe lửa thứ nhất đi từ Huế đến Hà Nội. k: x > 0.
Vận tốc của xe lửa thứ hai đi từ Hà Nội là: x + 5 (km/h).
Theo giả thiết, ta có phơng trình:
300 5 345
5 3x x
+ =
+

( ) ( )
2
900 5 5 1035 5 22 1035 0x x x x x x + + = + =
Giải phơng trình ta đợc:
1
23x =
(loại vì x > 0) và
2
45 0x = >
.
Vậy vận tốc xe lửa thứ nhất là: 45 km/h và vận tốc xe lửa thứ hai là: 50 km/h
S: v
1
= 45 km/h
v
2
= 50 km/h
B i 4.
a) Tứ giác ABEH có:
à
0
90B =
(góc nội tiếp trong nửa đờng tròn);
à
0
90H =
(giả thiết)
Nên: ABEH nội tiếp đợc.
- 6 -
Tơng tự, tứ giác DCEH có

à
à
0
90C H= =
, nên nội tiếp đợc.
b) Trong tứ giác nội tiếp ABEH, ta có:
ã ã
EBH EAH=
(cùng chắn cung
ẳ
EH
)
Trong (O) ta có:
ã
ã ã
EAH CAD CBD= =
(cùng chắn cung
ằ
CD
).
Suy ra:
ã
ã
EBH EBC=
, nên BE là tia phân giác của góc
ã
HBC
.
+ Tơng tự, ta có:
ã

ã
ã
ECH BDA BCE= =
, nên CE là tia phân giác của góc
ã
BCH
.
+ Vậy: E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH.
Suy ra EH là tia phân giác của góc
ã
BHC
c) Ta có I là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác vuông ECD, nên
ã
ã
2BIC EDC=
(góc
nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung
ằ
EC
). Mà
ã ã
EDC EHC=
, suy ra
ã
ã
BIC BHC=
.
+ Trong (O),
ã ã ã
2BOC BDC BHC= =

(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung
ằ
BC
).
+ Suy ra: H, O, I ở trên cung chứa góc
ã
BHC
dựng trên đoạn BC, hay 5 điểm B, C, H,
O, I cùng nằm trên một đờng tròn.
B i 5.
+ Đờng sinh của hình nón có chiều dài:
2 2
20( )l r h cm= + =
.
+ Hình khai triển của mặt xung quanh của hình
nón là hình quạt của hình tròn bán kính
l
, số đo
của cung của hình quạt là:
0 0
360 360 12
216
20
r
n
l
ì
= = =
ã ã
0

72 cos
OI
AOI AOI
OA
= =

0
20cos72 6,2( )OI cm =
.
+ Do đó, để cắt đợc hình quạt nói trên thì phải cần tấm bìa hình chữ nhật có kích thớc
tối thiểu: dài 40cm, rộng (20 + 6,2) = 26,2cm. Vậy phải dùng tấm bìa B mới cắt đợc
hình khai triển của mặt xung quanh của hình nón mà không bị chắp vá.
S 3.
S GD & T THI TUYN VO THPT
Nm hc: 2006 - 2007
MễN: TON
Thi gian lm bi 120 phỳt ( khụng k giao )
Bi 1: ( 2 im )
Cho biu thc P=
a) Rỳt gn biu thc P
b) Tỡm x P <
- 7 -
Bài 2: ( 2 điểm )
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi từ B trở về A người đó tăng
vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút.
Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.
Bài 3: ( 2 điểm )
Cho phương trình ( * )
a) Giải phương trình khi b= -3 và c=2
b) Tìm b,c để phương trình ( * ) có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1.

Bài 4: ( 3 điểm )
Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không
trùng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng
này cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H)
a) Chứng minh góc ABE bằng góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác
EAH.
b) Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt
AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp.
c) Xác định vị trí điểm H để AB= R .
Bài 5: ( 1 điểm)
Cho đường thẳng y = (m-1)x+2
Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất.
ĐÁP ÁN
Bài 1:
P=
a) Kết quả rút gọn với điều kiện xác định của biểu thức P là
b) Yêu cầu . Đối chiếu với
điều kiện xác định của P có kết quả cần tìm là
Bài 2:
Gọi vận tốc khi đi là x (đơn vị tính km/h, điều kiện là x >0)
Vận tốc khi về là x + 4 ( km/h )
Thời gian khi đi là 24/x
Thời gian khi về là: 24/x+4
- 8 -
Theo bài ra ta có phương trình .
Giải ra ta có nghiệm x = 12 ( km/h )
Vận tốc khi đi từ A đến B là 12 km/h
Bài 3:
1. Khi b=-3, c= 2 phương trình x
2

-3x+2=0 có nghiệm là x=1, x=2
2. Điều kiện cần tìm là
Bài 4:
1. vì cùng chắn cung AE. Do đó tam giác ABH và EHA đồng dạng.
2. nên hay . Vậy tứ giác AHEK là nội tiếp
đường tròn đường kính AE.
3. M là trung điểm EB thì OM vuông góc BE, OM=AH. Ta có
đều cạnh R. Vậy AH= OM=
Bài 5:
Đường thẳng y = (m-1)x+2 mx= y+x-2đi qua điểm cố định A(0;2). Do đố
OA=2. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là OA=2, xảy ra khi
d vuông góc với OA hay hệ số góc đường thẳng d là 0 tức là m-1.
- 9 -
ĐỀ SỐ 4.
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT
Năm học: 2005 - 2006
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút ( không kể giao đề )
Câu 1: ( 1, 5 điểm )
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x
2
– 2 x + 4 = 0
b) x
4
– 29x
2
+ 100 = 0
c)
Câu 2: ( 1, 5 điểm )

Thu gọn các biểu thức sau:
a)
b)
Câu 3: ( 1 điểm )
Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675 m
2
và có chu vi bằng 120 m.
Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
Câu 4: ( 2 điểm )
Cho phương trình x
2
– 2mx + m
2
– m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số.
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
.
c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x
1
x
2
- x
1
- x
2
đạt giá trị nhỏ
nhất.

Câu 5: ( 4 điểm )
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt
AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.
a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC.
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC.
Tính tỉ số khi tứ giác BHOC nội tiếp.
d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tính HC.
- 10 -
ĐÁP ÁN
Câu 1:
a) Ta có Δ’ = 1 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x
1
= 5 – 1 và x
2
= 5 + 1.
b) Đặt t = x
2
≥ 0, ta được phương trình trở thành t
2
– 29t + 100 = 0 t = 25 hay t
=2.
* t = 25 x
2
= 25 x = ± 5.
* t = 4 x
2
= 4 x = ± 2.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là ± 2; ±5.
c)

Câu 2:
a)
b)
Câu 3:
Gọi chiều dài là x (m) và chiều rộng là y (m) (x > y > 0).
Theo đề bài ta có:
Ta có: (*) x
2
– 60x + 675 = 0 x = 45 hay x = 15.
Khi x = 45 thì y = 15 (nhận)
Khi x = 15 thì y = 45 (loại)
Vậy chiều dài là 45(m) và chiều rộng là 15 (m)
Câu 4:
Cho phương trình x
2
– 2mx + m
2
– m + 1 = 0 (1)
a) Khi m = 1 thì (1) trở thành:
x
2
– 2x + 1 = 0 (x – 1)
2
= 0 x = 1.
b) (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
Δ’ = m – 1 > 0 m > 1.
Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt x

1
, x
2
m > 1.
c) Khi m > 1 ta có:
S = x
1
+ x
2
= 2m và P = x
1
x
2
= m
2
– m + 1
Do đó: A = P – S = m
2
– m + 1 – 2m = m
2
– 3m + 1 = − ≥ – .
Dấu “=” xảy ra m= (thỏa điều kiện m > 1)
Vậy khi m = thì A đạt giá trị nhỏ nhất và GTNN của A là – .
Câu 5:
- 11 -
a) * Ta có E, F lần lượt là giao điểm của AB, AC với đường tròn đường kính BC.
Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
* Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
BF, CE là hai đường cao của ΔABC.
H là trực tâm của Δ ABC.

AH vuông góc với BC.
b) Xét Δ AEC và Δ AFB có:
chung và
Δ AEC đồng dạng với Δ AFB
c) Khi BHOC nội tiếp ta có:
mà và (do AEHF nội
tiếp)
Ta có: K là trung điểm của BC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
OK vuông góc với BC mà tam giác OBC cân tại O (OB = OC )
Vậy mà BC = 2KC nên
d) d) Xét Δ EHB và Δ FHC có:
(đối đỉnh)
Δ EHB đồng dạng với Δ FHC
HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12
- 12 -
HC(CE – HC) = 12 HC
2
– 8.HC + 12 = 0 HC = 2 hoặc HC = 6.
* Khi HC = 2 thì HE = 6 (không thỏa HC > HE)
* Khi HC = 6 thì HE = 2 (thỏa HC > HE)
Vậy HC = 6 (cm).
ĐỀ SỐ 5.
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT
Năm học: 2004 - 2005
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút ( không kể giao đề )
Bài 1 : (2 điểm)
a) Tính :
b) Giải hệ phương trình :
Bài 2 : (2 điểm)

Cho biểu thức :
a) Rút gọn A.
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
Bài 3 : (2 điểm)
Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km ; cùng lúc đó,
cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nô
quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của
ca nô.
Bài 4 : (3 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung
điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA ; trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối
S với C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H.
a) Chứng minh  BMD =  BAC, từ đó => tứ giác AMHK nội tiếp.
b) Chứng minh : HK // CD.
c) Chứng minh : OK.OS = R
2
.
Bài 5 : (1 điểm)
- 13 -
Cho hai s a v b khỏc 0 tha món : 1/a + 1/b = 1/2
Chng minh phng trỡnh n x sau luụn cú nghim :
(x
2
+ ax + b)(x
2
+ bx + a) = 0.
P N
B i 1.
B i 2.
Bài 3:

Do ca nô xuất phát từ A cùng với bè nứa nên thời gian của ca nô bằng thời gian bè
nứa:
8
2
4
=
(h)
Gọi vận tốc của ca nô là x (km/h) (x>4)
Theo bài ta có:
24 24 8 24 16
2 2
4 4 4 4x x x x

+ = + =
+ +
2
0
2 40 0
20
x
x x
x
=

=

=

Vởy vận tốc thực của ca nô là 20 km/h
Bài 4:

a) Ta có
ằ
ằ
BC BD=
(GT)


ã
ã
BMD BAC=
(2 góc
nội tiếp chắn 2 cung băng nhau)
* Do
ã
ã
BMD BAC=


A, M nhìn HK dời 1 góc
bằng nhau

MHKA nội tiếp.
b) Do BC = BD (do
ằ
ằ
BC BD=
), OC = OD (bán
kính)

OB là đờng trung trực của CD

CD

AB (1)
Xet MHKA: là tứ giác nội tiếp,
ã
0
90AMH =

(góc nt chắn nửa đờng tròn)

ã
0 0 0
180 90 90HKA = =
(đl)

HK

AB (2)
Từ 1,2

HK // CD
H
K
M
A
B
O
C
D

S
Bài 5:
2
2 2
2
0 (*)
( )( ) 0
0 (**)
x ax b
x ax b x bx a
x bx a

+ + =
+ + + + =

+ + =



(*)


4b
2
=
, Để PT có nghiệm
2 2
1 1
4 0 4
2

a b a b
a
b

(3)
- 14 -
(**)
→

2
4b a∆ = −
§Ó PT cã nghiÖm th×
2
1 1
4 0
2
b a
b
a
− ≥ ⇔ ≥
(4)
Céng 3 víi 4 ta cã:
1 1 1 1
2 2
a b
a b
+ ≥ +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 4 4 4 4 8 4
2 2

a b a b
a b
 
⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤
 ÷
 
(lu«n lu«n ®óng víi mäi a,b
ĐỀ SỐ 6.
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT
Năm học: 2004 - 2005
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút ( không kể giao đề )
Câu 1 : ( 2 điểm )
a) Cho phương trình
4 2 2
( 4 ) 7 1 0x m m x m
− + + − =
. Định m để phương trình có 4
nghiệm phân biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10.
b) Giải phương trình:
2 2
4 2
3
5 3 ( 1)
1
x x
x x
+ = +
+ +
Câu 2 : ( 2 điểm )

a) Cho góc nhọn α. Rút gọn không còn dấu căn biểu thức :
2 2
cos 2 1 sin 1P
α α
= − − +
b) Chứng minh:
( ) ( )
4 15 5 3 4 15 2
+ − − =
Câu 3 : ( 2 điểm )
Với ba số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức :
( )
2
1
3
a b c ab bc ca a b c
+ + + ≥ + + + + +
Khi nào đẳng thức xảy ra ?
Câu 4 : ( 4 điểm )
Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Đường
thẳng OA cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng O’A cắt (O),
(O’) lần lượt tại điểm thứ hai E, F.
a) Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I.
b) Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn.
- 15 -
c) Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (P ∈ (O), Q ∈ (O’)). Chứng
minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.
ĐÁP ÁN
Câu 1 : ( 2 điểm )
a)

Đặt X = x
2
(X ≥ 0)
Phương trình trở thành
4 2 2
( 4 ) 7 1 0X m m X m
− + + − =
(1)
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt dương
+

0
0
0
S
P
∆ >


⇔ >


>

2 2
2
( 4 ) 4(7 1) 0
4 0
7 1 0
m m m

m m
m

+ − − >

⇔ + >


− >

(I)+
Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương X
1
, X
2
.
⇒ phương trình đã cho có 4 nghiệm x
1, 2
=
1
X
±
; x
3, 4
=
2
X±
2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2
2( ) 2( 4 )x x x x X X m m

⇒ + + + = + = +
+
Vậy ta có
2 2
1
2( 4 ) 10 4 5 0
5
m
m m m m
m
=

+ = ⇒ + − = ⇒

= −

+
Với m = 1, (I) được thỏa mãn +
Với m = –5, (I) không thỏa mãn.
+
Vậy m = 1.
b)
Đặt
4 2
1t x x
= + +
(t ≥ 1)
Được phương trình
3
5 3( 1)t

t
+ = −
+
3t
2
– 8t – 3 = 0
⇒ t = 3 ;
1
3
t = −
(loại) +
Vậy
4 2
1 3x x
+ + =
⇒ x = ± 1. +
Câu 2 : ( 2 điểm )
a)
2 2 2 2
cos 2 1 sin 1 cos 2 cos 1P
α α α α
= − − + = − +
- 16 -
2
cos 2cos 1P
α α
= − +
(vì cosα > 0) +
2
(cos 1)P

α
= −
+
1 cosP
α
= −
(vì cosα < 1) +
b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
4 15 5 3 4 15 5 3 4 15 4 15+ − − = − + −
+
=
( )
5 3 4 15
− +
=
( ) ( )
2
5 3 4 15− +
+
=
( ) ( )
8 2 15 4 15− +
+
=
2
+
Câu 3 : ( 2 điểm )
( )

2
0 2a b a b ab
− ≥ ⇒ + ≥
+
Tương tự,
2a c ac
+ ≥
2b c bc
+ ≥
1 2a a
+ ≥
+
1 2b b
+ ≥
1 2c c
+ ≥
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ở trên ta được điều phải chứng minh.
+
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1
+
- 17 -
Câu 4 : ( 4 điểm)
+
a)
Ta có : ABC = 1v
ABF = 1v
⇒ B, C, F thẳng hàng. +
AB, CE và DF là 3 đường cao của tam giác ACF nên chúng đồng quy. ++
b)
ECA = EBA (cùng chắn cung AE của (O) +

Mà ECA = AFD (cùng phụ với hai góc đối đỉnh) +
⇒ EBA = AFD hay EBI = EFI +
⇒ Tứ giác BEIF nội tiếp. +
c)
Gọi H là giao điểm của AB và PQ
Chứng minh được các tam giác AHP và PHB đồng dạng +
⇒
HP HA
HB HP
=
⇒ HP
2
= HA.HB +
Tương tự, HQ
2
= HA.HB +
⇒ HP = HQ ⇒ H là trung điểm PQ. +


- 18 -
O
O’
B
A
C
D
E
F
I
P

Q
H
S 7.
S GD & T THI TUYN VO THPT
Nm hc: 2004 - 2005
MễN: TON
Thi gian lm bi 120 phỳt ( khụng k giao )
I.Trắc nghiệm:( 1 điểm)
Hãy ghi lại một chữ cái đứng trớc khẳng định đúng nhất.
Câu 1: Kết quả của phép tính
( )
8 18 2 98 72 : 2 +
là :
A . 4
B .
5 2 6+
C . 16 D . 44
Câu 2 : Giá trị nào của m thì phơng trình mx
2
+2 x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt
:
A.
0m
B.
1
4
m <
C.
0m

và
1
4
m <
D.
0m
và
1m <
Câu 3 :Cho
ABCV
nội tiếp đờng tròn (O) có
à
à
0 0
60 ; 45B C= =
. Sđ
ằ
BC
là:
A . 75
0
B . 105
0
C . 135
0
D . 150
0
Câu 4 : Một hình nón có bán kính đờng tròn đáy là 3cm, chiều cao là 4cm thì diện
tích xung quanh hình nón là:
A 9

(cm
2
) B. 12

(cm
2
) C . 15

(cm
2
) D. 18

(cm
2
)
II. Tự Luận: ( 9 điểm)
Câu 1 : Cho biểu thức A=
1 2
1 1
x x x x
x x
+ +
+
+
a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Với giá trị nào của x thì A<1.
Câu 2 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể thì đầy bể sau 2 giờ 24 phút. Nếu chảy
riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ.

Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu thì đầy bể?
Câu 3 : Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm
C (AB>BC). Vẽ đờng tròn tâm (O
'
) đờng kính BC.Gọi I là trung điểm
- 19 -
của AC. Vẽ dây MN vuông góc với AC tại I, MC cắt đờng tròn tâm O
'
tại
D.
a) Tứ giác AMCN là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh tứ giác NIDC nội tiếp?
c) Xác định vị trí tơng đối của ID và đờng tròn tâm (O) với đờng tròn
tâm (O
'
).
P N
Câu Nội dung Điểm
1 C 0.25
2 D 0.25
3 D 0.25
4 C 0.25
T LUN
1
a) A có nghĩa

0
1 0
x
x

0
1
x
x





0.5
b) A=
( ) ( )
2
1 1
1 1
x x x
x x
+
+
+
0.5
=

1x x +
0.25
=2
1x
0.25
c) A<1

2
1x
<1
0.25

2 2x <
0.25

1x <


x<1 0.25
Kết hợp điều kiện câu a)

Vậy với
0 1x
<
thì A<1 0.25
2
2giờ 24 phút=
12
5
giờ

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ) ( Đk
x>0)
0.25
Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: x+2 (giờ)
Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy đợc :
1
x
(bể)
0.5
Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy đợc :
1
2x +
(bể)
- 20 -
Trong 1 giờ cả hai vòi chảy đợc :
1
x
+
1
2x +
(bể)
Theo bài ra ta có phơng trình:
1
x
+
1
2x +
=
1
12

5
0.25
Giaỉ phơng trình ta đợc x
1
=4; x
2
=-
6
5
(loại)
0.75
Vậy: Thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là:4 giờ
Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: 4+2 =6(giờ)
0.25
3 Vẽ hình và ghi gt, kl đúng
I
D
N
M
O'
O
A
C
B
0.5
a) Đờng kính AB MN (gt)

I là trung điểm của MN (Đờng kính
và dây cung)
0.5

IA=IC (gt)

Tứ giác AMCN có đơng chéo AC và MN cắt nhau
tại trung điểm của mỗi đờng và vuông góc với nhau nên là hình
thoi.
0.5
b)
ã
0
90ANB =
(góc nội tiếp chắn 1/2 đờng tròn tâm (O) )

BN

AN.
AN// MC (cạnh đối hình thoi AMCN).

BN

MC (1)
ã
0
90BDC =
(góc nội tiếp chắn 1/2 đờng tròn tâm (O
'
) )
BD MC (2)
Từ (1) và (2)

N,B,D thẳng hàng do đó

ã
0
90NDC =
(3).
ã
0
90NIC =
(vì AC

MN) (4)
0.5
Từ (3) và (4)

N,I,D,C cùng nằm trên đờng tròn đờng kính NC

Tứ giác NIDC nội tiếp 0.5
c) O

BA. O
'

BC mà BA vafBC là hai tia đối nhau

B nằm giữa
O và O
'
do đó ta có OO
'
=OB + O
'

B

đờng tròn (O) và đờng tròn
(O
'
) tiếp xúc ngoài tại B
0.5
V
MDN vuông tại D nên trung tuyến DI =
1
2
MN =MI

V
MDI cân
- 21 -

ã
ã
IMD IDM=
.
Tơng tự ta có
ã
ã
' 'O DC O CD=
mà
ã
ã
0
' 90IMD O CD+ =

(vì
ã
0
90MIC =
)
0.25

ã
ã
0
' 90IDM O DC+ =
mà
ã
0
180MDC =

ã
0
' 90IDO =
do đó ID

DO

ID là tiếp tuyến của đờng tròn (O
'
). 0.25
Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
S 8.
S GD & T THI TUYN VO THPT
Nm hc: 2004 - 2005

MễN: TON
Thi gian lm bi 120 phỳt ( khụng k giao )
Câu1 : Cho biểu thức
A=
2
)1(
:
1
1
1
1
2
2233











+
+

+


x
xx
x
x
x
x
x
x
Với x
2
;1
.a, Ruý gọn biểu thức A
.b , Tính giá trị của biểu thức khi cho x=
226
+
c. Tìm giá trị của x để A=3
Câu2.a, Giải hệ phơng trình:




=+
=+

1232
4)(3)(
2
yx
yxyx
b. Giải bất phơng trình:

3
1524
2
23
++

xx
xxx
<0
Câu3. Cho phơng trình (2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Câu 4. Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC .Điểm A thuộc nửa đờng tròn đó D-
ng hình vuông ABCD thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi Flà giao
điểm của Aevà nửa đờng tròn (O) . Gọi Klà giao điểm của CFvà ED
a. chứng minh rằng 4 điểm E,B,F,K. nằm trên một đờng tròn
b. Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì sao. ?
P N
- 22 -
O
K
F

E
D
C
B
A
Câu 1: a. Rút gọn A=
x
x 2
2

b.Thay x=
226
+
vào A ta đợc A=
226
224
+
+
c.A=3<=> x
2
-3x-2=0=> x=
2
173

Câu 2 : a)Đặt x-y=a ta đợc pt: a
2
+3a=4 => a=-1;a=-4
Từ đó ta có

=+
=+
1232
4)(3)(
2
yx
yxyx
<=>
*



=+
=
1232
1
yx
yx
(1)
*



=+
=
1232
4
yx
yx

(2)
Giải hệ (1) ta đợc x=3, y=2
Giải hệ (2) ta đợc x=0, y=4
Vậy hệ phơng trình có nghiệm là x=3, y=2 hoặc x=0; y=4
b) Ta có x
3
-4x
2
-2x-15=(x-5)(x
2
+x+3)
mà x
2
+x+3=(x+1/2)
2
+11/4>0 với mọi x
Vậy bất phơng trình tơng đơng với x-5>0 =>x>5
Câu 3: Phơng trình: ( 2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1
Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có
,

= m
2
-2m+1= (m-1)
2
0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)

với m 1/2 pt còn có nghiệm x=
12
1

+
m
mm
=
12
1

m

pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1<
12
1

m
<0





<
>+

012
01
12

1
m
m
=>





<
>

012
0
12
2
m
m
m
=>m<0
Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0
Câu 4:
- 23 -
a. Ta có

KEB= 90
0

mặt khác

BFC= 90
0
( góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn)
do CF kéo dài cắt ED tại D
=>

BFK= 90
0
=> E,F thuộc đờng tròn đờng kính BK
hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đờng tròn đờng kính BK.
b.

BCF=

BAF
Mà

BAF=

BAE=45
0
=>

BCF= 45
0
Ta có

BKF=

BEF

Mà

BEF=

BEA=45
0
(EA là đờng chéo của hình vuông ABED)=>

BKF=45
0
Vì

BKC=

BCK= 45
0
=> tam giác BCK vuông cân tại B

S 9.
S GD & T THI TUYN VO THPT
Nm hc: 2006 - 2007
MễN: TON
Thi gian lm bi 120 phỳt ( khụng k giao )
Bài 1: Cho biểu thức: P =
( )

+








+
+



1
122
:
11
x
xx
xx
xx
xx
xx
a,Rút gọn P
b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên.

Bài 2: Cho phơng trình: x
2
-( 2m + 1)x + m
2
+ m - 6= 0 (*)
a.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm âm.
b.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn
3
2
3
1
xx

=50
Bài 3: Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt x
1
, x
2
Chứng
minh:
a,Phơng trình ct
2
+ bt + a =0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt t
1

và t
2
.
b,Chứng minh: x
1
+ x
2
+ t
1
+ t
2


4
Bài 4: Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . H là trực tâm
của tam giác. D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.
a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành.
b, Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đờng thẳng AB
và AC . Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng.
- 24 -
c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất.
Bài 5: Cho hai số dơng x; y thoả mãn: x + y

1
Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =
xyyx
5011
22
+
+

P N
Bài 1: (2 điểm). ĐK: x
1;0

x

a, Rút gọn: P =
( )
( )
( )
1
12
:
1
12
2




x
x
xx
xx
z
<=> P =
1
1
)1(
1

2

+
=


x
x
x
x
b. P =
1
2
1
1
1

+=

+
xx
x
Để P nguyên thì
)(121
9321
0011
4211
Loaixx
xxx
xxx

xxx
==
===
===
===

Vậy với x=
{ }
9;4;0
thì P có giá trị nguyên.
Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì:
( )
( )







<+=+
>+=
++=
012
06
06412
21
2
21
2

2
mxx
mmxx
mmm

3
2
1
0)3)(2(
025
<







<
>+
>=

m
m
mm

b. Giải phơng trình:
( )
50)3(2
3

3
=+
mm










=
+
=

=+=++
2
51
2
51
0150)733(5
2
1
22
m
m
mmmm

- 25 -