De HD thi vào thpt chuyên toán SPHN v1+2 2017

Bộ giáo dục đào tạo
Trờng đại học s phạm hà nội

cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
THI TUYN SINH
VO TRNG TRUNG HC PH THễNG CHUYấN NM 2017
Mụn thi: Toỏn
( Dựng cho mi thớ thi vo trng chuyờn)
Thi gian : 120 phỳt

Cõu 1( 2 im) Cho biu thc
P=

a 3 a 2b

b2
a


1 b
+ ữ a+ a+b
1
a a2


(

)

a 3 + a 2 + ab + a 2b
b
2
:
+
ữ
2
2
a b
a b vi , a, b > 0, a b, a + b a .


1.Chng minh rng P = a b.
2.Tỡm a,b bit P = 1 & a 3 b3 = 7
Cõu 2( 1 im) Gi s x, y l hai s thc phõn bit tha món
Tớnh giỏ tr biu thc P =

1
1
2
+ 2
=
x + 1 y + 1 xy + 1
2

1
1
2
+ 2
+

x + 1 y + 1 xy + 1
2

Cõu 3(2 im) Cho parabol (P): y = x2 v ng thng (d) : y = 2ax 4a (vi a l tham s
1.Tỡm ta giao im ca ( d) v (P) khi a =

1
2

2. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca a ng thng (d) ct (P) ta hai im phõn bit cú
honh x1 ; x2 tha món x1 + x2 = 3
Cõu 4 (1 im) Anh nam i xe p t A n C . Trờn quóng ng AB ban u ( B nm gia
A v C).Anh Nam i vi vn tc khụng i a( km/h) v thi gian i t A n B l 1,5 gi.
Trờn quóng ng BC cũn li anh Nam i chm dn u vi vn tc ti thi im t ( tớnh
bng gi) k t B l v = 8t + a ( km/h) .Quóng ng i c t B n thi im t ú l
S = 4t 2 + at .Tớnh quóng ng AB bit rng n C xe dng hn v quóng ng BC di
16km.
Cõu 5 (3 im) Cho ng trũn (O) bỏn kớnh R ngoi tip tam giỏc ABC cú ba gúc nhn.
Cỏc tip tuyn ca ng trũn (O) ti cỏc im B ,C ct nhau ti im P. Gi D, E tng ng
l chõn ng cỏc ng vuụng gúc k t P xung cỏc ng thng AB v AC v M l trung
im cnh BC.
1. Chng minh MEP = MDP
2. Gi s B, C c nh v A chy trờn (O) sao cho tam giỏc ABC luụn l tam giỏc cú
ba gúc nhn
Chng minh ng thng DE luụn i qua mt im c nh.
3. Khi tam giỏc ABC u . Hóy tớnh din tớch tam giỏc ADE theo R.
Cõu 6 (1 im) Cỏc s thc khụng õm x1 , x2 , x3 ,...., x9 tha món
x1 + x2 + x3 + .... + x9 = 10

x1 + 2 x2 + 3x3 + .... + 9 x9 = 18

Chng minh rng : 1.19 x1 + 2.18 x2 + 3.17 x3 + .... + 9.11x9 270

H v tờn thớ sinh:..S bỏo danh:.
Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.


Bộ giáo dục đào tạo
Trờng đại học s phạm hà nội

cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
THI TUYN SINH
VO TRNG TRUNG HC PH THễNG CHUYấN NM 2017
Mụn thi: Toỏn
( Dựng riờng cho hc sinh chuyờn Toỏn v chuyờn Tin)
Thi gian : 150 phỳt
Cõu 1. (1.5 im )
Cho cỏc s dng a,b,c,d . Chng minh rng trong 4 s
1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1
+ ;b + + ;c + + ;d + + Cú ớt nht mt s khụng nh hn 3.
b c
c d
d a
a b
Cõu 2. (1.5 im )Gii phng trỡnh :
a2 +

(x

2

+ 2 x ) + 4 ( x + 1) x 2 + ( x + 1) + ( x 2 + x ) = 2017
2

2

2

2

Cõu 3. (3.0 im )
1.Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng a,b,c,d tha món a 2 = b3 ;c3 = d 4 ; a = d + 98
1
1
2.Tỡm tt c cỏc s thc x sao cho trong 4 s x 2; x 2 + 2 2; x ; x + cú ỳng mt s
x
x
khụng phi l s nguyờn.
Cõu 4. (3im ) Cho ng trũn (O) bỏn kớnh R v mt im M nm ngoi (O) .K hai tip tuyn
MA, MB ti ng trũn (O) ( A, B l hai tip im). Trờn on thng AB ly im C (C khỏc A, C
khỏc B). Gi I; K l trung im MA, MC .ng thng KA ct ng trũn (O) ti im th hai D.
1. Chng minh KO 2 KM 2 = R 2
2.Chng minh t giỏc BCDM l t giỏc ni tip.
3.Gi E l giao im th hai ca ng thng MD vi ng trũn (O) v N l trung im
KE ng thng KE ct ng trũn (O) ti im th hai F. Chng minh rng bn im I, A,
N, F cựng nm trờn mt ng trũn.
A
Cõu 5. (1.0 im )
Xột hỡnh bờn : Ta vit cỏc s 1, 2,3,4,..9 vo

v trớ ca 9 im trong hỡnh v bờn sao cho
mi s ch xut hin ỳng mt ln v tng
ba s trờn mt cnh ca tam giỏc bng 18.
Hai cỏch vit c gi l nh nhau nu b s
vit cỏc im (A;B;C;D;E;F;G;H;K) ca
mi cỏch l trựng nhau. Hi cú bao nhiờu
cỏch vit phõn bit ? Ti sao?

F

G

H

E

K

B
D

--------------Ht------------H v tờn thớ sinh:..S bỏo danh:.
Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.

Phn hng dn

C


Vòng 1

Câu 2
1
1
2
1
1
1
1
+ 2
=
⇔ 2
−
+ 2
−
=0
2
x + 1 y + 1 xy + 1
x + 1 xy + 1 y + 1 xy + 1
xy − y 2
xy − x 2
+
= 0 ⇒ ( xy − y 2 ) ( y 2 + 1) + ( xy − x 2 ) ( x 2 + 1) = 0
2
2
( x + 1) ( xy + 1) ( y + 1) ( xy + 1)
⇔ ( x − y)
Câu 2

2

( xy − 1) = 0 ⇔ xy = 1 (vi

x ≠ y) ⇒ S = 2
a < 0
a > 4

a) Phương trình hoành độ (d) và (P) là x 2 + 2ax + 4a = 0 ∆ ' = a ( a − 4 ) > 0 ⇒ 
a < 0

b) Với 
theo Viét
a > 4
 x1 + x2 = −2a

 x1 x2 = 4a

x1 + x2 = 3 ⇔ ( x1 + x2

)

2

= 9 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 + 2 x1 x2 = 9
2

Ta co 4a 2 − 8a + 8a = 9
Với a<0 4a 2 − 8a + 8a = 9 ⇔ 4a 2 − 16a − 9 = 0 ⇒ a =

a =
2

2
Với a>4 4a − 8a + 8a = 9 ⇔ 4a = 9 ⇒ 
a =

Câu 4

−1
2

3
∉ dk
2
−3
∉ dk
2

Vì xe đến C dừng hẳn nên thời gian xe đi từ B đến C thỏa mãn −8t + a = 0 ⇒ t =
đường BC là
2

2
a a
S = −4t + at = 16 ⇒ −4  ÷ +
= 16 ⇔ a 2 = 256 ⇔ a = 16
8
8
S AB = 1,5.a = 24(km)
2

Câu 5

a
do đó quàng
8


A

O

M

B

C
E

I
D
P

a)Xét hai tứ giác nội tiếp BDPM và CEPM và tam giác MBC cân
∠MEP = ∠MBP = ∠MBP = ∠MDP

b)
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 1800 ; ∠CBP + ∠ABC + ∠PBD = 1800
⇒ ∠ACB = ∠PBD = ∠DMP (1); ∠ACB = ∠MPE (2); tu(1)(2) ⇒ ∠DMP = ∠MPE ⇒ MD / / PE
Tuong tu ME / / DB ⇒ tgMEDP la hinh binh hanh ⇒ IM = IP

Vậy DE đi qua trung điểm PM

A

O

B

D

c)

M

C

E
I

P


1
2
3R
3 R 3R 9 R
BC AM 2
AB = R 3; OA = R ⇒ AM =
;AI=
+
=
; ∆ ABC dd ∆ADE ⇒

=
=
2
2
4
4
DB
AI
3
2
3R 3
1 9 R 3R 3 27 R 3
⇒ DE =
⇒ S ADE = . .
=
2
2 4
2
16

Ta có A; O,M, P thẳng hàng S ADE = DE. AI Tính được

Câu 6

9 ( x1 + x2 + x3 + ... + x9 ) = 90

9 ( x1 + x2 + x3 + ... + x9 ) = 90
⇒ 19 x1 + 29 x2 + 39 x3 + ... + 99 x9 = 270

10 ( x1 + 2 x2 + 3 x3 + ... + 9 x9 ) = 180

Mat khac
1.19 x1 + 2.18 x2 + 3.17 x3 + ... + 9.11x9 =

(19 x1 + 29 x2 + 39 x3 + ... + 99 x9 ) + ( 7 x2 + 12 x3 + 15 x4 ... + 7 x8 ) = 270 + ( 7 x2 + 12 x3 + 15 x4 ... + 7 x8 ) ≥ 270
 x1 = 9

Dau " = " xay ra ⇔  x9 = 1
 x = x = ... = x = 0
3
8
 2

Vòng 2
Câu 1. (1.5 điểm )
Giả sử cả bốn số đều nhỏ hơn 3 thì
1 1
1 1
1 1
1 1
P = a 2 + + + b 2 + + + c2 + + + d 2 + + < 3
b c
c d
d a
a b
Mặt khác
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1

P = a 2 + + + b 2 + + + c2 + + + d 2 + + = a 2 + b2 + c 2 + d 2 + 2  + + + ÷
b c
c d
d a
a b
a b c d 
1 1 1
4
2 1
Do 4 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) ≥ ( a + b + c + d ) ; + + + ≥
⇒
a b c d a+b+c+d

( a+b+c+d)
P≥

(a+b+c+d) .
16
16
16
16
+
+
≥ 33
.
= 12
4
a+b+c+d a+b+c+d
4
a+b+c+d a+b+c+d

Trái điều giả sử suy ra có ít nhất một số không nhỏ hơn 3.
2

2

(x

Câu 2. (1.5 điểm )Giải phương trình

2

+ 2 x ) + 4 ( x + 1) − x 2 + ( x + 1) + ( x 2 + x ) = 2017
2

2

2

2

ĐKXĐ ∀x ∈ R

(x

2

+ 2 x ) + 4 ( x + 1) − x 2 + ( x + 1) + ( x 2 + x ) = 2017
2

2

2

2

⇔ x 4 + 2 x3 + 4 x 2 + 4 x 2 + 8 x + 8 − x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 4 + 2 x 3 + x 2 = 2017
⇔

(x

2

+ 2x + 2) −
2

(x

2

+ x + 1) = 2017 ⇔ x 2 + 2 x + 2 − x 2 − x − 1 = 2017 ⇔ x = 2016
2

Câu 3. (3.0 điểm )
1.Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn a 2 = b3 ;c3 = d 4 ; a = d + 98
1
1
2.Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số x − 2; x 2 + 2 2; x − ; x + có đúng một số
x
x
không phải là số nguyên.

Hướng dẫn
x
x
1.Giả sử a = p1x1 . p2x2 . p3 3 .... pn n trong đó p1; p2 ;..., pn là các số nguyên tố x1 ; x2 ;...; xn ∈ N
y
y
Tượng tự d = q1y1 .q 2y2 .q3 3 ....q nn trong đó q1; q2 ;...,q n là các số nguyên tố y1; y 2 ;...; y n ∈ N

Ta có a,d >1
2x
2x
2x
2x
2
3
3
+
Vì a = p1 . p2 . p3 .... pn = b ⇒ 2 x1 , 2 x2 , 2 x3 ,..., 2 x3 M3 ⇒ x1 , x2 , x3 ,..., x3 M3 ⇒ a = x , ( x ∈ Z )
1

2

3

n

Chứng minh tương tự d = y 3 ,( y ∈ Z + ) từ giả thiết

a = d + 98 ⇒ x 3 = y 3 + 98 ⇔ ( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 ) = 98 vi a > d ⇒ x − y > 0

( x − y)

2

= x 2 − 2 xy + y 2 < x 2 + xy + y 2 ⇒ x − y < x 2 + xy + y 2

 x = y + 1
x − y = 1
x = y +1
⇒ 2
⇔
⇔
⇒ y∉Z ⇒ x∉Z


2
2
2
2
( y + 1) + ( y + 1) y + y = 98
 x + xy + y = 98
3 y + 3 y − 97 = 0

Hoặc
 y = 3

 x = y + 2
x − y = 2

x = y + 2
 x = 5
⇔
⇔
⇔
⇒ x = 5; y = 3
 2


2
2
2
2
  y = −5 < 0
( y + 2 ) + ( y + 2 ) y + y = 49
 x + xy + y = 49
 y + 2 y − 15 = 0

  x = −3 < 0

Vậy a = 53 = 125; d = 33 = 27; b = 25; c = 81
1
x

1
1
1
nguyên ta có x − + x + = 2 x ∈ Z ⇒ x ∈ Q suy ra x − 2; x 2 + 2 2 đều
x
x

x
1
1
không là số hữu tỷ do vậy một trong hai số x − ; x + không là số nguyên khi đó
x
x
2
2
x − 2; x + 2 2 ∈ Z ⇒ x − 2 + x + 2 2 ∈ Z

2.Nếu x − ; x +

Đặt

(

x − 2 = a,(a ∈ Z ) ⇒ x 2 + 2 2 = a + 2
⇒ 2 2 ( a + 1) ∈ Z ⇒ a + 1 = 0 ⇒ a = −1

Thử lại đúng vậy x = 2 − 1
Câu 4. (3điểm )

)

2

+ 2 2 = a 2 + 2 + 2 2 ( a + 1) ∈ Z


A

E
I
D
M

H L
K

Q

N

F
P

O
C
B

a) Ta có IM = IA và KM = KC ⇒ IK là đường trung bình ∆AMC ⇒ IK / / AC .

AC = AB ( 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M) và OA = OB = R ⇒ OM là trung trực của AB ⇒
OM ⊥ AB ⇒ IK ⊥ OM . Gọi IK cắt OM tại H .Áp dụng định lý py ta go ta có cho các tam
giác vuông MHI ; KHO; MHK , OHI ta có
MI 2 = MH 2 + HI 2 ;KO 2 = KH 2 + HO 2 ; MK 2 = MH 2 + HK 2 ;O I 2 = KH 2 + HO 2 suy ra
MI 2 + KO 2 = MK 2 + IO 2 ⇒ KO 2 − KM 2 = IO 2 − MI 2 = IO 2 − IA2 = OA2 = R 2 ( vì IM = IA)
Vậy : KO 2 − KM 2 = R 2
b) Nối KO cắt đường tròn tại Q, P.Ta có KM = KC Suyra KO 2 − KM 2 = R 2 ⇔
2
2

2
KO 2 − KC 2 = R 2 ⇒ KC = KO − OP = ( KO + OP )( KO − OP ) = KQ.KP

·
¼ = DBM
·
= KAC
Ta lại có KQ.KP = KD.KA ⇒ KC 2 = KD.KA ⇒ ∆CKD ∽ ∆AKD (c.g , c ) ⇒ DCK
Vậy tứ giác MDCB nội tiếp.
·
·
·
c) Gọi L là trung điểm của KD ta có AEM
vì ∆MKD ∽ ∆AKM (c. g .c ) ⇒
= MAK
= EMK
AE//KM
Mặt khác ta có KF .KE = KD.KA ⇒ KF .KN = KL.KA ⇒ ANFL nội tiếp
·
·
·
·
Suy ra LAF
(vì KF .KE = KD.KA = KC 2 = KM 2 ) hay
= LNF
= MEK
= FMK
·
·
·

·
KAF
= KMF
⇒ tugiacMKFA nội tiếp ⇒ ·AFN = AMK
= AIN
⇒ I , A, N .F cùng thuộc một đường
tròn

Câu 5. (1.0 điểm )


A

F

G

H

E

K

B
D

C

Ta thấy có 2 số la 9 và 8 trong dãy 1,2,3,4,..,9 tổng 2 số với 1 bằng 18 ta thấy tại điểm A
( tương tự B,C) không thể điền số 1 vì nếu trái lại thì B,F phải điền cặp 8,9 ;tại C,E điền cặp

8,9
Điều này vô lí .Tương tự tại D,E,F cũng không thể điền số 1 vậy số 1 được điền tại H, G,K
Xét trường hợp số 1 được điền tại G ( tương tự tại H,K) khi đó E điền số 8 ,F điền số 9 ( hoặc
ngược lại).Giả sử tại A điền a;C điền c, D điền d, K điền k ,tại H điền k+1,
tại B điền c +1. khi đó a,d;c; c+1,k,k+1 phân biệt thuộc { 2,3, 4,5,6,7}
Khi đó
a + c = 9

d + k = 9 ⇒ d ∈ { 3;5;7} thu d = 7(thoa man)
d + 2c = 17


Vậy a=4;c=5;k=2 có 3.2=6 (cách)

Hàng năm sau khi thi song mình sưu tầm và giải lại các đề thi chuyên SP, KHTN
,Chuyên HV và một số tỉnh lưu trữ để làm tư liệu giảng dạy . Phần hướng dẫn trên vừa sưu
tầm vừa bổ sung thêm có thể chưa chính xác chưa hay mong các bạn đồng nghiệp tham
khảo và bổ sung thêm để làm tài liệu giảng dạy nhé.
GV biên tập và hướng dẫn
Nguyễn Minh Sang;Đinh Văn Hưng
THCS Lâm Thao-Phú Thọ