ĐỀ thi hsg cẤp quẬn huyỆn cÓ ĐÁp Án chi tiẾt

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN owfv
HUYỆN LỤC NAM
LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2011-2012
TRƯỜNG THCS TAM DỊ 2
-----------*&*---------MÔN THI:TOÁN
Thời gian:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 2/8/2012
(Dề thi gồm 1trang có 5 câu)
Câu 1:(2,5đ)
a) Chứng minh rằng với mọi số
x 5 y − xy 5
ngyên x,y ta có: chia hết cho 30
b) Giải phương trình :
x 2 + y 2 + z 2 = y( x + z )
Câu 2:(2,5đ)
a) Cho a+b=1.Tìm GTNN của biểu thức
A=
a (a 2 + 2b) + b(b 2 − a )
a+b+c
b) Cho tam giác có nửa chu vi
p=
2
với a,b,c là độ dài ba cạnh .
1
1
1
CMR:
 1 1 1
+
+

≥ 2 + + 
Câu 3:(1,5đ)
p −a p−b p −c
a b c
Một người đi xe đạp
một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ A glần lượt lúc 8 giờ , 9 giờ và
10 giờ với vận tốc theo thứ tự là 10km/h ;30km/h;50km/h.
Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy.?
Câu 4.(2đ)
cho tam giác ABC, I là giao điểm ba đường phân giác .Đường thẳng đi qua I vuông
góc với CI cắt AC và BC theo thứ tự tại M và N.Chứng minh rằng :
∆∆ABC
ABI

a) và đồng dạng.
2
b)
AM  AI 
=

Câu 5(1,5đ) :
BN  BI 
∆AIK
12
Cho hình bình hành ABCD
BE cm
= BC
3
.Điểm E thuộc canh BC sao cho , F là
trung điểm cạnh CD .Các tia AE và AF lần lượt cắt đường chéo BD tại I và K.Tính diện

tích , biết diện tích hình bình hành ABCD là 48.
------------HẾT------------Chú ý : Giám thị không giải thích gì thêm
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN owfv
HUYỆN LỤC NAM
LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2011-2012


TRƯỜNG THCS TAM DỊ 2
-----------*&*---------HƯỚNG DẪN GIẢI:
Câu 1:

a) Ta có:
x 5 y − xy 5 = x 5 y − xy − xy 5 + xy = xy ( x − 1)( x + 1) − xy ( y − 1)( y + 1)

x y−
5

=> chia hết cho 6 (1)
Ta lại có:
2 5
x y − xy = x 5 y − xy − xy 5 + xy = xy ( x − 1)( xx+51y)(−xxy
+ 1) − xy ( y − 1)( y + 1)( y 2 + 1)
5

5

[

]

[

]

= xy( x − 1)( x + 1) ( x 2 − 4) + 5 − xy ( y − 1)( y + 1) ( y 2 − 4) + 5
= xy( x − 1)( x + 1)( x − 2)( x + 2) − 5 xy ( x − 1)( x + 1) − xy ( y − 1)( y + 1)( y − 2)( y + 2) − 5 xy( y − 1)( y + 1)


=> chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2):ta được
chia hết cho 5 và 6 mà
(5,6)=1
Nên chia hết cho 30
b)

x 5 y − xy 5
x 5 y − xy 5

x 2 + y 2 + z 2 = y( x + z )

=> Dấu "=" xảy
ra khi x=y=z=0
= >2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 2 xy − 2 yz = 0
Vậy x=y=z=0
2
2
2
2

<= >x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz = 0

<= >( x − y ) + ( y − z ) + x + z = 0


Câu 2:

a)
Ta có: a+b=1 => b=1-a

(1)

a (a + 2b) + b(b − a ) = a + 2ab + b 3 − ab = a 3 + b 3 + ab
2

2

3

A = (2)
Thay (1) vào (2) ta được:

a 3 + (1 − a ) 3 + a (1 − a ) = 2a≥2 0−,52a + 1 =

(

)

2

2a − 0,5 + 0,5

A=
1
=> MinA=0,5 khi a=b=
Vậy giá trị nhỏ nhất của A=0,5 12 khi a=b=
1 1 2 4 b) áp dụng bất đẳng thức
+ ≥
x y x + y phụ ta được:
1
1
4
4
+)
+
≥
=
1
1
4
4
p −a p −b p −a + p −b a
+
≥
= +)
1
1
4
4
p − a p − c p − a + p − c b +)

+
≥
=
Cộng vế với p − b p − c p − b + p − c c
vế của các bất đẳng thức trên:
 1
1
1   1 1 1  =>
 ≥ 4 + + 
2
+
+
1
1
1
 1 1 1
p
−
a
p
−
b
p
−
c

  a b c  =>
+
+
≥ 2 + + 

p −a p −b p −c
a b c
(ĐPCM)
1
1
1
 1 1 1  Vậy
+
+
≥2 + +
p−a

Câu 3:

p −b

p−c


a

b


c

Gọi thời gian để ô tô cách đều xe máy và xe đạp là: t (h)
Quãng đường xe đạp đi được trong khoảng (t+2) (h)là:10(t+2)km
Quãng đường ô tô đi được trong khoảng t (h) là: 50t km
Quãng đường xe máy đi được trong khoảng 30(t+1) km

Vì đi trong thời gian t (h) thì vị trí của ô tô cách đều xe đạp và xe
máy nên ; ta có pt
50t-10(t+2)=30(t+1)-50t
<=> 60t
=50
5
=> t
= (h)
6
Vậy đến 10h 30 phút thì ...


Câu 4:

a) ta có;




(tính chất góc ngoài của
Cˆ
∠AMI = 900 +
tam giác) (3)
2


Mà

(1)

∠ABC = 180o − Aˆ − Cˆ
1
Aˆ Cˆ
= > Aˆ = 90O − −
2
2 2


∆AIBcó : ∠AIB = 180O −

Aˆ Bˆ
−
2 2

(2)


Thay (1) vào (2) ta được:


(4)

∠AIB = 90O +

Cˆ
2


∠AMI = ∠AIB Từ (3) và (4) :

Xét và có:

∆∆AIM
ABI


∠AMI = ∠AIB 
 = >∆AIM ~ ∆ABI
∠BAI = ∠IAC 

(TH2)


b) và có:

∆∆MIC
ABI


¼
MIC
ABI =
¼
¼
AMI
IMC
AIB
=
¼

2

AM
AIAM

AB
AI. AMAM
BI
AI 2  AB
AI 2
⇔2 = AB=. AM2
= = 2 ⇒=2=AI
BN
BI
∆

BI
∆=IBN
AB
.ABI
BN
AB
AB.BN ∠
AI
BN
BI
BN
BI
∆
AIM

AMI
ABI
~=
∠
AIB


INB =