Chương 4 bien doi hinh chieu ppsx

4-1

CHƯƠNG 4-BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

KHÁI QUÁT

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

 

1. Biến đổi hình chiếu là gì?



Là làm cho đối tượng hình học trở thành có vị trí đặc biệt trong hệ thống mphc.

2. Tại sao phải biến đổi hình chiếu?



Để xác định vị trí tương đối giữa các đối tượng hình học, vị trí của một đối tượng hình học đối với
hệ thống mphc, hình dạng của một hình phẳng… dễ dàng hơn.

Vị trí tương đối giữa các đối tượng hình học được xác định bởi các thông số hình học như: Độ dài,
khoảng cách, góc …

Ví dụ: Xác định khoảng cách từ điểm A đến mp P và góc ϕ giữa P với P1 trong hai vị trí sau của P


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

4-2 CHƯƠNG 4-BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

 

 

A1

A1

 

1P
 

1P


 

Chưa xác

 

ϕ

định ngay
 

2P

 

2P

ϕ
 

A2

được &

A2
Hình- a

Hình- b

Để xác định hoặc ϕ , có thể biến đổi để hình-a trở thành hình-b (P trở thành mp chiếu).


4-3

CHƯƠNG 4-BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

3. Các phương pháp biến đổi hình chiếu

 

 Để đối tượng Φ từ vị trí bất kỳ, trở thành có vị trí đặc biệt trong hệ thống mphc sẽ có 2
cách. Đó là:




Giữ nguyên vị trí Φ, đổi hệ thống mphc ( phép thay mphc).
Giữ nguyên hệ thống mphc, DI CHUYỂN Φ về vị trí mới có vị trí đặc biệt ( phép quay
quanh trục).

 Giải bài toán trên hình . Sau đó biến đổi ngược, đưa kết quả về hình Φ ban đầu (nếu
cần).


4-4

CHƯƠNG 4-BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

 
P1
 

A1

 

A
 

 

 
 

P2

A2


b) Đồ thức

 

4-5

P1
 

A1

Xoay P2 quanh như xoay quanh .

 

 Kết quả:




A , A2 cùng thuộc một đường dóng vuông góc với .

A
 

Agọi là hình chiếu đứng mới của A. Cặp A A2 gọi là đồ thức của  A trong hệ mới P P2. 
 

A2

P2

 

A1
P1

A
 

 

 
 
 

P2
P2
A2

4-6 CHƯƠNG 4- BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

: Tiến hành trực tiếp trên đồ thức

 

A1




Chọn trục chiếu mới (có vị trí như thế nào còn tùy từng bài toán cụ thể).



Xác định hình chiếu đứng mới Acủa A theo tính chất độ cao không đổi
P2
A A1.

Từ A2 lấy hướng chiếu ⊥ làm hướng chiếu đứng mới. P
1

 

 

 

A2
 

 

P2

A
 


4-7 CHƯƠNG 4-BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU



∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Nhận xét!

Một đối tượng hình học sẽ là tập hợp của các điểm. Do đó khi thay mphc đứng thì:




Hình chiếu bằng của đối tượng không đổi vị trí.
Hình chiếu đứng của đối tượng thay đổi và thỏa mãn:

 Độ cao mọi điểm thuộc đối tượng trong hệ mphc mới sẽ bằng độ cao tương ứng của các
điểm đó trong hệ mphc cũ.

4-8

CHƯƠNG 4-BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

B1
  AB là đường mặt. Từ đó xác định độ dài AB
Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB. Chọn mphc đứng mới để
và góc
=).

A1

Giải:




P1

 

AB là đường mặt trong hệ thống mới P P2 ⇒ trụcP// A2B2 .
2
Xác định hình chiếu đứng mới A B của A, B theo quy tắc độ cao không đổi.

B2

 

A2
P2
 

 

A
 

B


4-9

CHƯƠNG 4-BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

B1

 Vì AB là đường mặt trong hệ thống mới P  P2 nên:




A1

AB = AB.

Góc = .

P1

 

P2

B2

Ví dụ 2: Cho mp P (A, B, C). Chọn mphc đứng mới sao cho trong hệ thống mphc mới, P trở
 

A2

thành mp chiếu đứng.
P2
 

 
 

A
 

B


4-10

CHƯƠNG 4 - BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

 Giải:

B1

 

 mp P (A,B,C) là mp chiếu đứng trong hệ mới P

A1

P2 ⇔ ⊥ 2P .
C1

 Từ đó có thể tìm 2P.

 Nếu là một đường bằng của P thì 2 // 2P

P1

⇒ trục chiếu mới ⊥ 2P ⇔ ⊥ 2.
A2

P2

C2

Các bước trên đồ thức:

B2

 


4-11

CHƯƠNG 4 - BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

B1




Định trục chiếu mới ⊥ A2D2.



Xác định các hình chiếu đứng mới A B Ccủa A, B, C.



A B CA2 , B2, C2 là đồ thức của mp P (A,B,C) trong hệ mới P P2 .

Định đường bằng AD của P

(D ∈ BC).

∗ Cũng bài này nhưng P cho bởi vết.

 
A1

D1
C1
P1
P2

A2

C2
D2

 

C

B2
 

A
P2
 

 
 

B

 


4-12

CHƯƠNG 4-BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Giải: ⊥ 2P . Cần xác định vết đứng mới .

 

 × 2P = ∈ .
A1
hệ mới P P2 là Athì A . Ở đây, chọn
 Mặt khác, nếu điểm A∈P có đồ thức trong hệ P1, P2 là A1, A2 và trong
P
 

A ∈ 1P.

 Trình tự:
 Định trục ⊥ 2P tại .

1

P1
 

 

2P

+ Xác định A

+ Trong hệ P P2 mp P (, 2P ).

A2

P2

+ Lấy A1∈ 1P, từ A1 ⇒ A2 ∈ .

+ Xác định (, A).

 

 
 

P2

 

A
 

4-13

CHƯƠNG 4 - BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

2. Thay mặt phẳng hình chiếu bằng

 

Mô hình và đồ thức của phương pháp Thay mphc bằng, tương tự như thay mphc đứng. Ta có
kết luận sau





Với một đối tượng hình học, khi thay P2 thì:
Hình chiếu đứng của đối tượng không đổi vị trí.
Hình chiếu bằng thay đổi và thỏa mãn: Độ xa của mọi điểm thuộc đối tượng trong hệ thống
mới P1 , Pbằng độ xa tương ứng của các điểm đó trong hệ thống cũ P1 , P2.

Ví dụ 3: Cho ∆ ABC nằm trong mp chiếu đứng, xác định chân đường cao H kẻ từ đỉnh A.


4-14

CHƯƠNG 4 - BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Giải:

 Đổi P2 bởi P sao cho trong hệ mới P1, P

 
∆ ABC nằm trong mp bằng ⇒ bảo toàn hình dạng trên hình

chiếu bằng, từ đó ⇒ hình chiếu bằng mới H Sau đó biến đổi ngược, ta tìm được H2.

 

Các bước trên đồ thức:



C1

Định trục chiếu mới //A1B1C1.
A1

 

B1
C2

B2

A2


4-15





CHƯƠNG 4 - BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Tìm h.c bằng mới A B Ctheo tính chất độ xa  không đổi.

 

A
 

∆ ABC = ∆ A Vẽ đường cao AH1 , Hlà đồ thức của H trong hệ P1, P

C
 

Biến đổi ngược, ta tìm được H1 , H2.
 

B

 

H
C1
H1

A1
 

B1
C2

H2

B2

A2


4-16

CHƯƠNG 4 - BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

3. Đổi liên tiếp hai mặt phẳng hình chiếu

 

a) Thế nào là đổi liên tiếp hai mặt phẳng hình chiếu.

Là đổi một mphc. Sau đó đổi nốt mphc còn lại.
b) Tại sao phải đổi liên tiếp

Xét đối tượng Φ . Nếu đổi một mphc mà việc xác định các thông số liên quan tới Φ chưa thuận lợi, thì
đổi nốt mphc còn lại để Φ có vị trí đặc biệt trong hệ thống mới P P Qua đó xác định các thông số thuận
lợi hơn.
Ví dụ 4: Xác định khoảng cách từ điểm E đến đường thẳng AB.


4-17

CHƯƠNG 4 - BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

Giải:

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

A1

 

Bước 1: Đổi P1 bởi P để trong hệ PP2 AB là đường mặt ⇒ //A2B2.

E1
Bước 2: Đổi tiếp P2 bởi P để trong hệ mới PP AB là đường thẳng chiếu bằng ⇒ ⊥ A
 

 Các bước trên đồ thức:



B1

E2

B2

Định trục // A2B2. Xác định các hình chiếu đứng mới: AEcủa A, B, E trong hệ PP2 .
A2

 

E

 

 

A

 

B


4-18




CHƯƠNG 4 - BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

  AB của A, B,
A1E trong hệ PP
Định trục ⊥ A Xác định các hình chiếu bằng mới:
E1

Trong hệ PPAB là đường thẳng chiếu bằng ⇒ d[E,AB]
=A
 

B1

E2

B2

A2

 
 

E
 

 

A

 

E

 

B

 

A

 

B


4-19

CHƯƠNG 4 - BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

4.2- PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐƯỜNG THẲNG

 

Mô hình

∆

Khi quay điểm A quanh đường thẳng ∆ một góc ϕ có hướng về vị trí mới thì:





A thuộc đường tròn tâm O, bán kính OA nằm trong mặt phẳng π(A) ⊥ ∆ tại O.
= ϕ.

A

∆ gọi là trục quay, OA = O là bán kính quay.

 Quay một đối tượng quanh ∆ một góc ϕ là quay mọi điểm thuộc đối tượng đó quanh ∆ góc ϕ.



ϕ

Những điểm ∈ ∆ sẽ đứng yên khi quay.

 

π

∗ Vị trí tương đối của mọi

điểm thuộc đối tượng

không

đổi.

O


4-20

CHƯƠNG 4 - BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Sau đây ta xét từng vị trí cu
ủa trục quay.

 

 

1
A1

1)Trục là đường thẳng chiếu bằng

 

A

a) Quay điểm A
Vì π(A) ⊥ ⇒ π là mp bằng. Do đó bảo toàn hình dạng và góc quay trên hình chiếu bằng. Mặt khác A, ∈mp bằng π cho
nên trên đồ thức:

 A A2 cùng ∈ đường tròn tâm 2 bán kính A22 và = ϕ.
 A1 // .

 

 

A2

ϕ

2

 

A


4-21

CHƯƠNG 4 - BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

b) Quay đường thẳng và mặt phẳng

 

 Là quay 2 điểm A, B (đối với đường thẳng) thuộc đường thẳng đó và 3 điểm không thẳng hàng A, B, C
(đối với mp) thuộc mp đó.

 Trên hình chiếu bằng:




Với đoạn thẳng AB thì A A2B2.
Với mp (ABC) thì ∆ A ∆ A2B2C2.

 Trên hình chiếu đứng:
A1 AB1 C1 C song song với trục chiếu .

: Khi quay đường thẳng, mặt phẳng quanh thì góc giữa đường thẳng, mp đó với P2 không đổi.


4-22

CHƯƠNG 4 - BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Ví dụ 1: Quay đoạn thẳng AB quanh một góc ϕ .





 

 

1

Gọi OE là bán kính quay (E ∈ AB) ⇒ O2E2 ⊥ A2B2 .
Vẽ cung tròn E2 Etâm 2 bán kính 2E2 sao cho = ϕ .

 

B1

B

A1

 

A

AE và: E E2A2 , E E2B2 (Lưu ý: A A2B2 ).
 



Từ A B⇒ A B
 

B

 

O2≡

2
ϕ

A2

 

E
E2

 

A
B2


4-23

CHƯƠNG 4 - BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

 Nếu trục qua A thì A đứng yên, vậy chỉ cần quay điểm
B quanh .

 



B1

 

Ví dụ 2: Quay đoạn thẳng AB quanh qua A về vị trí mới song
1 song với P1, để tìm độ dài AB.

 

B

Giải:

 Vì A∈ ⇒ A đứng yên khi quay.
 Điểm B về vị trí mới ; A// P1 ⇒ A2// .
 AB=A1

A1
 

 

2≡

A2

 

ϕ

B

B2


4-24

CHƯƠNG 4 - BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Ví dụ 3: Quay mp P (A,B,C) quanh về vị trí vuông góc với P1 .

 

1

 

 

Giải: Dựng đường bằng AD của P (D ∈ BC), quay AD về vị trí ⊥ P1 ⇒ P ⊥ P1 B
.
Trên đồ thức:
Quay A2D2 quanh 2 về vị trí A .
 





B1

A

Dựng ∆ A ∆ A2B2C2.

Từ A A
( thẳng hàng).

D1

 

C

A1

C1

 

A2
C2

 

 

C

D2

 

B
 

2
 

A

B2


4-25

CHƯƠNG 4 - BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

d. Các chú ý:

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

 

 Khi quay quanh đường thẳng chiếu thì hầu hết kết quả các bài toán không phụ thuộc
vào vị trí của trục quay.

 Phép quay quanh l mà không chỉ rõ vị trí của l thì được gọi là phép dời hình song song
với P2.
Ví dụ 4: Cho đường bằng AB. Tìm điểm C ∈ sao cho P (ABC) nghiêng với P2 góc ϕ cho
trước.