Chương 7 đ thẳng cắt các mặt ppsx

7-1

Chương 7- Đường thẳng cắt các mặt ∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

7.1- KHÁI QUÁT
1) Định nghĩa

 Giao điểm của đường thẳng d và mặt hình Φ là điểm vừa thuộc d, vừa thuộc mặt hình Φ .
2) Nội dung bài toán
 Tìm hai hình chiếu của giao điểm.
 Xét thấy, khuất bao gồm:
 Xét thấy, khuất giao điểm trên mỗi hình chiếu.
 Xét thấy, khuất các đoạn thẳng thuộc d nằm trong các đường bao ngoài trên mỗi hình chiếu của
Φ.
7.2- CÁCH TÌM GIAO ĐIỂM
Qua d dựng mp P.
Tìm giao tuyến (G) của P và mặt hình Φ .
Giao điểm cần tìm: M= d× (G).






7-2

Chương 7- Đường thẳng cắt các mặt ∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

 Mặt phẳng P được gọi là mp phụ trợ, giao tuyến (G) gọi là giao tuyến phụ. Chọn vị trí của P sao cho
(G) được xác định chính xác nhất (là đoạn thẳng, đa giác, đường tròn bằng, đường tròn mặt…). Muốn
vậy:



P (d) là mp chiếu nếu Φ là đa diện, mặt cầu, mặt xuyến.



Nếu Φ là mặt nón thì P (d) qua đỉnh nón.



Nếu Φ là mặt trụ thì P (d) song song với đường sinh trụ.
 

 

 

 

 


7-3

Chương 7- Đường thẳng cắt các mặt ∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt tứ diện ABCD
  (mặt BCD nằm trong mp bằng). 

 Giải:
 Mp phụ trợ chứa d là mp chiếu đứng Q ⇒ .
 
 
 
 Từ hình chiếu đứng ⇒ Q cắt các cạnh AB, AC, AD, tại các điểm: 1, 2, 3. Giao tuyến phụ (G) là tam giác 123.
 
 
d
cắt
(G
)
(là
∆1
2
3
)
tại
các
điểm
M
,
N
⇒
M
,
N
.
 2
2

2 2 2
2 2
1 1
 


 

Xét thấy khuất như hình (M2, N2 thấy, M1 thấy, N1khuất).
 

 

 
 

 
 
 

 

 
 
 
 

 

7-4

Chương 7- Đường thẳng cắt các mặt ∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗
 

Ví dụ 2: Hình nón tròn xoay có trục là đường thẳng chiếu bằng, E là trung điểm của đường sinh SA và điểm M nằm trong
mp chứa đáy. Tìm giao điểm của đường thẳng ME với mặt nón.








 

Giải
E là một giao điểm cần tìm.

 

Mp phụ trợ là P(SA×ME).
Giao tuyến phụ (G) là 2 đường sinh SA, SB với B= MA×đường tròn đáy.

 
 

 

Giao điểm thứ hai là F=ME × SB.
Xét thấy khuất: E, F đều thấy trên mỗi hình chiếu.

 

 

 

 

 

 


7-5

Chương 7- Đường thẳng cắt các mặt ∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Ví dụ 3: Cho điểm E và mặt trụ tròn xoay chiếu bằng (T). Đường thẳng d qua E và luôn cắt (T) tại và
 

A, B.

a)
b)

 

Cho đồ thức của d, hãy xác định A, B.
 

Chứng minh rằng khi d thay đổi thì trung điểm I của đoạn thẳng AB luôn thuộc một mặt trụ
(L) cố định, xác định đồ thức của (L).

x

 

 
 


7-6

Chương 7- Đường thẳng cắt các mặt ∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

 

Giải:

a)

 
 

Vì A, B thuộc mặt trụ chiếu bằng ( ) ⇒ hình chiếu bằng: và ∈.

 

 

Biết trước hình chiếu bằng của A, B: , = ×.

)
)

 

Từ đó suy ra và ∈ .
Xét thấy, khuất: thấy, khuất .

x

 
 

 

 

 


7-7

Chương 7- Đường thẳng cắt các mặt ∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

b) là trung điểm .

 

 

Vì = ⇒ tam giác vuông tại .
 

Gọi a = k.cách từ E đến trục của , là trung điểm ⇒ =a, = .
 

Do đó nếu ∆ là đường thẳng chiếu bằng thì khi d thay đổi I luôn cách ∆ khoảng không đổi và bằng.
x

Vậy I thuộc mặt trụ tròn xoay cố định có trục là ∆ , bán kính = a.

 
 
 

 
 
 

 

 


7-8

Chương 7- Đường thẳng cắt các mặt ∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗
 

Ví dụ 4: Vẽ giao của đường thẳng d và mặt hình nón tròn xoay.



Giải

 Mp phụ trợ P(d) qua đỉnh S của nón nên cắt mặt nón theo giao tuyến phụ (G) là hai đường sinh SE, SF. Các bước như
 

sau:




A là giao điểm của d với đáy nón.

 

 

Lấy điểm B trên d, SB cắt đáy nón tại C ⇒ G(d×SC).

 

 





AC cắt đường tròn đáy nón tại E, F.

 

M= d× SE, N= d × SF.
Xét thấy, khuất như hình vẽ.