ĐỀ thi THỬ vào thpt chuyên toán HÀ NỘI AMSTERDAM

Thầy Hồng Trí Quang

Chuyên Hà Nội

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II 2016 – 2017
HN AMS Ngày 21/3/2017 – thời gian 120 phút. (sưu tầm và biên soạn)
Câu 1.(2,5 điểm)
Cho hai biểu thức A 

7 x 2
và B 
2 x 1

x 3
x  3 36
với x  0, x  9


x 3
x 3 x 9

1. Rút gọn biểu thức B và tìm tất cả các giá trị của x để A  B .
2. Tìm các giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên dương.
Câu 2.(1,5 điểm)
Giả bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình.
Một mảnh vườn hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính
chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó.
Câu 3. (2 điểm)
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol  p  : y   x 2 và đường thẳng d : y  2 x  m 2  1 , m là tham
số.
1. Khi m   3 , chứng tỏ rằng đường thẳng d cắt  P  tại hai điểm phân biệt A,B. Từ đó , tính diện

tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ).
2. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d cắt  P  tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách từ M đến Oy
gấp 2 lần khoảng cách từ N đến Oy.
Câu 4.(3,5 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Đường cao AD, BE cắt nhau tại H, kéo dài
BE cắt đưòng tròn (O;R) tại F.
1. Chứng minh rằng tứ giác CDHE nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Chứng minh rằng tam giác AHF là một tam giác cân.
3. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đưòng tròn ngoại tiếp tam
giác CDE.
4. Cho B, C cố định và BC  R 3 . Xác định vị trí của A trên đường tròn (O; R) để DH.DA lớn nhất.
Câu 5. (0,5 điểm)
Cho hai số dương x,y thoả mãn điều kiện 2 xy  4  x  y.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  xy 

1
1
 2.
2
x
y

__________ *** __________

1


Thầy Hồng Trí Quang

Chuyên Hà Nội

ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1.(2,5 điểm)
Cho hai biểu thức A 

7 x 2
và B 
2 x 1

x 3
x  3 36
với x  0, x  9


x 3
x 3 x 9

1. Rút gọn biểu thức B và tìm tất cả các giá trị của x để A  B .
2. Tìm các giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên dương.
Lời giải


1. B 

 
2

x 3 



2

x  3  36

x 9

Để A  B 

7 x 2

2 x1







12 x  36 12 x  3


x 9
x 9



12
 7 x 2
x 3







12
x 3



x  3  12 2 x  1

 x 2
 7 x  21 x  2 x  6  24 x  12  7 x  5 x  18  0  
x4
 x   9 l 

7
Vậy để A  B thì x  4
2.









7
11 7
2 x 1 
2 x 1
7 x 2 2
7
2 2
A


2
2 x 1
2 x 1
2 x 1
A

7
7
mà A nhận giá trị nguyên dương  0  A  ; A nguyên  A  1; A  2; A  3
2
2
A 1 x 

3
9
x
5
25

A2 x 

4
16
x
3
9

2


Thầy Hồng Trí Quang

Chuyên Hà Nội
A  3  x  5  x  25

Vậy để A nhận giá trị là số nguyên dương thì x 

9
16
; x  ; x  25
25
9

Câu 2.(1,5 điểm)
Giả bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình.
Một mảnh vườn hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính
chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó.
Lời giải
Gọi chiều dài , chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là a, b  m   a, b  0 
2

2

a 2  b2  132
ab  60
 a  b   2ab  13
Ta có 


a  b  7

a  b  7
a  b  7

a  b  7
a  b  7
a  12


  b  5

b  b  7   60
b  5
 b  12  l 


Vậy chiều dài hình chữ nhật bằng 12 và chiều rộng hình chữ nhật bằng 5.
Câu 3. (2 điểm)
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol  p  : y   x 2 và đường thẳng d : y  2 x  m 2  1 , m là tham
số.
1. Khi m   3 , chứng tỏ rằng đường thẳng d cắt  P  tại hai điểm phân biệt A,B. Từ đó , tính diện

tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ).
2. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d cắt  P  tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách từ M đến Oy
gấp 2 lần khoảng cách từ N đến Oy.
Lời giải
1. Khi m   3  d : y  2 x  2
Phương trình hoành độ giao điểm d và  P  là nghiệm của phương trình:

3


Thầy Hồng Trí Quang

Chuyên Hà Nội

 x  1  3
2 x  2   x2   x2  2x  2  0  
 x  1  3
Vậy d cắt  P  tại hai điểm phân biệt A(1  3; 4  2 3) và B(1  3; 4  2 3)
SOAB  S MNBA  SONB  SOMA

Ta có :
S MNBA 





1
1
MN .  AM  BN  

1  3 . 4  2 3  5  3 3
2
2





1
1
SOMA  OM .MA 
1  3 . 4  2 3  5  3 3
2
2

 SOAB  12  10  22

2. Gọi xM , xN lần lượt là hoành độ của điểm M và N.

Khi đó: xM , xN là nghiệm của phương trình:  x 2  2 x  m 2  1  x 2  2 x  m 2  1  0
 '  1  1  m2   m2  0m

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt  m  0
 xM   1  m
 x  1  m
Ta có:  '  m 2   M
hoặc 
 x N  1  m
 xN  1  m

Để khoảng cách từ M đến Oy gấp 2 lần khoảng cách từ N đến Oy  xM  2 xN

4


Chuyên Hà Nội

Thầy Hồng Trí Quang

TH1. xM  2 xN  m  1  2 m  1

m  1
 m  1  2  m  1


1 t / m
1

m

2
m

1

 m  

3

Th2. Hs tự giải

1
Kết luận m  1; m   …
3

Câu 4.(3,5 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Đường cao AD, BE cắt nhau tại H, kéo dài
BE cắt đưòng tròn (O;R) tại F.
1. Chứng minh rằng tứ giác CDHE nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Chứng minh rằng tam giác AHF là một tam giác cân.
3. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đưòng tròn ngoại tiếp tam
giác CDE.
4. Cho B, C cố định và BC  R 3 . Xác định vị trí của A trên đường tròn (O; R) để DH.DA lớn nhất.

Lời giải
1.Ta có HE  EC ; HD  DC

5


Thầy Hồng Trí Quang

Chuyên Hà Nội
 H , E , C , D nội tiếp đường tròn đường kính HC.

2.Xét ADC và BEC có C chung ; ADC  BEC  90

 ADC đồng dạng với BEC
 DAC  EBC  CAF (cùng chắn cung FC)



 HAE  EAF

 AHF cân tại A.

 Mà AE  HF

3. Ta có tâm đường tròn ngoại tiếp H, E, C, D là I
Chứng minh A,E,D,B nội tiếp đường tròn đường kính AB tâm M  MBE  MEB  ABE  ADE
AEM ~ ADE ( góc –góc) 

AE AH

 AHC ~ AED (cạnh-góc-cạnh)
AD AC

 ADE  ACH  ABE  ACH  MEB

Mà ACH  EHC  90 ; EHC  HEI  ACH  HEI  90

 MEB  HEI  90  ME  EI .
4. Chứng minh tương tự câu “ 2”  BHK cân tại B  HD  DK ( K  AD  (O ) ).

 AD.DH  AD.DK
Tứ giác ABKC nội tiếp, D  BC  AK  AD.DK  BD.DC
Để  AD.DH max   BD.DC max
Mà BD  DC  3R
Nên  BD.DC max  BD  DC 

BC R 3


2
2

 D là trung điểm BC
 A nằm chính giữa cung BC .
Câu 5. (0,5 điểm)
Cho hai số dương x,y thoả mãn điều kiện 2 xy  4  x  y.

6


Thầy Hồng Trí Quang

Chuyên Hà Nội
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  xy 

1
1
 2.
2
x
y

Lời giải

2 xy  4  x  y  2 xy
 xy  xy  2  0 
Ta có P  xy 



xy  2





xy  1  0  xy  2  xy  4

1
1
2 xy 2 7 xy
 2  xy 

 
2
x
y
xy 8 xy
8

2

2 7
9
 .4 
8 8
2

x  9

Dấu "  "  
 x  y  2.
 x. y  4

7