SKKN Hình Học

B. Nội Dung- Giải quyết vấn đề
Bài toán 1: Cho góc xOy khác 180
0
, OZ là tia phân giác của góc xoy . Trên tia ox lấy
lấy hai điểm A, B (A nằm giữa O và B) . Trên tia Oy lấy hai điểm C và D ( C nằm giữa O
và D) Sao cho AB = CD và OA

OC, gọi M,N thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng
AC và BD .
Chứng minh : MN // OZ .
G/V : 1 . Gọi HS nhắc lại các dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song .
2 . Các hớng suy nghĩ áp dụng cụ thể ở bài toán này .
a , Hớng thứ nhất : Tạo một đờng thẳng song song với đờng thẳng MN bằng cách áp dụng
tính chất đờng trung bình của tam giác , rồi chứng minh đờng thẳng đó song song với tia
OZ.
b , Hớng thứ hai : Dùng tính chất đoạn chắn song song để kết nối hai đoạn thẳng bằng nhau
AB = CD tạo thành tam giác cân rồi từ đó tìm đoạn thẳng song song với MN. Sau đó chứng
minh đoạn thẳng đó song song với OZ. Để suy ra MN//OZ.
c, Hớng thứ 3: Kết nối 2 đoạn thẳng bằng nhau đã cho thành 2 đoạn thẳng bằng nhau trung
gian tạo thành tam giác cân. Rồi từ đó chứng minh MN// OZ sẽ dễ dàng hơn.
Giải
Cách 1 (áp dụng hớng suy nghĩ thứ nhất)

hình 1a hình 1b
Trên tia đối của tia NA lấy điểm K sao cho NK= NA
Dễ thấy NAB = NKD ( c.g.c) AB = DK mà AB = CD DCK cân tại D
D
1
= 2 KCD ( góc ngoài tam giác cân)
Do tia OZ là tia phân giác của góc XOY

XOY = 2 O
1
Dễ thấy OX// DK

XOY = O
1
( đồng vị)

O
1
= KCD

OZ//CK ( 1)
mà O
1
và KCD so le trong
Dễ thấy MN là đờng trung bình của tam giác ACK. Suy ra MN//CK (2).
Từ (1) và (2), suy ra MN//OZ (đpcm)
GV: Ta có thể tạo ra:
+ MN là đờng trung bình của tam giác BK
1
D (Hình 1b)
2
+ MN là đờng trung bình của tam giác CAK
2
(Hình 1c)
+ MN là đờng trung bình của tam giác DBK
3
(Hình 1d)

Hình 1c Hình 1d
Cách 2 .(áp dụng hớng suy nghĩ thứ hai)
Hình 2a Hình 2b
Vẽ hình bình hành ABKD , dễ thấy 3 điểm A,N,K thẳng hàng
có N là trung điiểm của AK

MN//CK
lại có M là trung điểm của AC
Tiếp tục chứng minh nh cách 1 .
Giáo viên: * Ta có thể liên hệ 2 đoạn thẳng AB = CD bằng cách dựng hình bình hành
ABDK (H
2
b)
Ta đợc tam giác CDK
1
cân tại D.
Lấy I là trung điểm của CK
1
. Dễ chứng minh đợc NMDI là hình bình hành.
Suy ra MN//DI.
Dễ c/m đợc OZ//DE

OZ // MN (đpcm)
* Hoặc có thể liên hệ 2 đoạn thẳng AB = CD
bằng cách dựng h.b.h ABK
2
C để
đợc CDK
2
cân tại C ( hình 2c)

lấy I là trung diểm của DK
2
dễ c/m đợc NMIC là hình bình hành

MN // CI
dễ c/m đợc OZ//CI
3

OZ // MN (đpcm) Hình 2c
* Hoặc có thể liên hệ 2 đoạn thẳng AB = CD bằng cách dựng h.b.h ABK
3
C để
đợc CDK
3
cân tại C ( hình 2d)
dễ c/m đợc M là trung điểm của BK
3
lại có N là trung điểm của BD

MN// K
3
D

OZ//MN (đpcm)
dễ c/m đợc OZ// K
3
D
Hình 2d Hình 2e
Cách 3: ( áp dụng hớng suy nghĩ thứ 3 )
Lấy E là trung điểm của AD

do N là trung điểm của BD

EN// = 1/2 AB
EM// = 1/2 CD

EMN cân tại E

EMN = ENM
do EN// Ox

ENM = P ( so le trong)

OPQ cân tại O
ME//Oy

EMN = OQP ( so le ngoài)


xOy = 2 P

O
2
= P

Oz //MN (đpcm)
lại có

xOy =2 O
2
Giáo viên: Từ cách giải 3 của bài toán 1 ta thấy MN tạo với Ox, Oy các góc bằng nhau

và kết hợp với nhận xét về độ dài các đoạn thẳng BP và DQ ta có bài toán mới.
Bài toán 2: Cho

ABC. Hai diểm D và E trên 2 cạnh AB và AC sao cho BD = CE. Gọi
M,N thứ tự là trung diểm của BC và DE; gọi H,K thứ tự là giao điểm của đờng thẳng
MN với các đờng thẳng AB, AC.
a, Chứng minh

AHK cân.
b, Chứng minh BH = CK.
c, Xét bài toán trên khi D và E thứ tự trên các tia BA, CA và cũng thoả mãn
BD = CE.
Giải tóm tắt:
a, Theo cách giải 3 của bài toán 1
ta có ngay AHK cân tại A.
b, Qua C kẻ đờng thẳng // MH
4
cắt đờng thẳng AB tại P
lại có M là trung điểm của BC

BH = HF (1)
dễ thấy các AHK; ACF đều cân

HF = CK (2)
Từ (1) và (2)

BH = CK.
c, Bài toán cũng đúng khi D và E ở bất kỳ trên các tia BA và CA những vẫn thoả mãn BD =
CE ( h/s tự chứng minh)
Giáo viên: Trở lại bài toán 1: Nếu thay đổi vị trí 2 điểm C,D cho nhau. Hãy nhận xét về

quan hệ của đờng thẳng MN với tia OZ là phân giác của

A . Ta có bài toán 3.
Bài toán 3: Cho góc xOy có tia Oz là tia phân giác. Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B ( A
nằm giữa O và B), trên tia Oy lấy 2 điểm C và D ( D nằm giữa O và C) sao cho
AB = CD. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD.
Chứng minh rằng: MN

Oz.
Giáo viên: tơng tự Bài toán 1 ta cũng có nhiều cách giải, nhiều cách vẽ thêm các đờng
phụ để giải bài toán này. Sau đây chỉ là một lời giải của bài toán trên.
Giải tóm tắt:
Lấy điểm K sao cho N là trung điểm của AK

MN// CK.

MN DH
dễ thấy DCK cân tại D có đờng cao DH CK

MN DH
dễ c/m đợc DH// Oz

MN Oz ( đpcm)
Giáo viên: Trở lại bài toán 2: Chúng ta hãy xét bài toán ngợc của bài toán này khi tam
giác AHK cân tại A hoặc đờng thẳng MNtạo với AB và AC các góc bằng nhau hoặc khi
có BH = CK thì hai đoạn thẳng BD và CE có bằng nhau hay không ?. Ta có bài toán
mới:
Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD có các cạnh AB và CD không song song với nhau, hai
điểm M,N thứ tự là trung điểm của AD và BC.
a, Biết MN tạo với AB và CD các góc bằng nhau. Chứng minh AB = CD.

b, Gọi H, K thứ tự là giao điểm của MN với các đờng thẳng AB và CD. Nếu có AH = DK.
Hãy chứng minh AB = CD.
Giáo viên: Bài toán ngợc này chúng ta cũng có nhiều cách giải, nhiều cách vẽ thêm các
phần phụ để chứng minh. Sau đây chỉ là một lời giải của bài toán trên.
Lời giải tóm tắt:
Lấy I là trung điểm của BD, lại có M là trung điểm của AD

MI// =
AB
2
1
(1)
5
Tơng tự ta có : NI // =
CD
2
1
(2)
Do MI// AB

IMN = H
1
( so le trong)
Do NI //CD

INM = K
1
( đồng vị)

IMN = INM

IM = IN (3)
mà H
1
= K
1
( giả thiết)
Từ (1), (2) và (3)

AB = CD ( đpcm)
b, Qua D kẻ đờng thẳng song song với MN cắt đờng AB tại E, lại có M là trung điểm của
AD nên suy ra H là trung điểm của AE.

AH = HE

HE = CK ( vì cùng = AH)
Từ đó ta dễ chứng minh đợc MN tạo với AB và CD các góc bằng nhau. Sau đó chứng minh
tơng tự nh câu a. Ta đợc AB = CD.
Giáo viên: Tơng tự nh bài toán trên các em hãy tìm bài toán đảo của bài toán 3. Ta có
bài toán mới.
Bài toán 5: Cho tứ giác ABCD có các đờng thẳng AB và CD cắt nhau tại O, hai điểm
M,N thứ tự là trung điểm của các đờng chéo AC và BD. Kẻ Ox là tia phân giác của góc
AOD. Chứng minh Ox

MN khi và chỉ khi AB = CD.
( Học sinh tự giải. )
Giáo viên: Trở lại Bài toán 2: Nếu ta cho 2 điểm D, E di động trên các cạnh AB và AC
mà vẫn thoả mãn BD = CE. Hãy nhận xét về đờng thẳng MN ? . Ta có bài toán mới: ở
dạng tìm tập hợp điểm.
Bài toán 6: Cho

ABC có AB < AC, 2 điểm D, E thứ tự di chuyển trên các cạnh AB,
AC sao cho BD = CE.
a, Hãy tìm tập hợp các trung điểm N của DE ?
b, Xét bài toán khi D, E theo thứ tự di chuyển trên các tia BA và CA ?
c, Xét bài toán khi D, E thứ tự di chuyển trên các tia đối của các ta BA, CA ?
Lời giải ( Tóm tắt):
a, Lấy M là trung điểm của BC
Tơng tự Bài toán 1 ta có:
MN// Ax phân giác của BAC
lại có M là điểm cố định.
Ax là đờng cố định
M nằm trên đờng thẳng cố định đi qua M và //Ax.
Gọi K là giao điểm đờng thẳng MN với AC.
Dễ thấy khi D, E di chuyển trên các cạnh AB, AC thì N di chuyển trên đoạn thẳng MK.
Ngợc lại, lấy tuỳ ý điểm N thuộc đoạn thẳng MK.
qua N kẻ đờng thẳng // AC.
qua M kẻ đờng thẳng //AB. Chúng cắt nhau tại I.
6
Đờng thẳng CI cắt AB tại D, đờng thẳng DN cắt AC tại E. Ta dễ c/m đợc 2 điểm D,E thoả
mãn điều kiện bài toán là BD = CE, và N là trung điểm của DE.
Vậy tập hợp các trung điểm N là đoạn thẳng MK.

* Cách khác: Ta có khi D trùng B thì E trùng C. Khi đó N trùng với trung điểm M của BC.
Trên CA lấy điểm Q sao cho CQ = AB. Ta có khi D trùng A thì E trùng Q, khi đó N là
trung điểm của AQ. Lấy P là trung điểm của AC.
Ta có: PK = AP AK =
22222
ABABACACAQAC
=

=
(1)
dễ thấy PM =
2
AB
(2)
Từ (1) và (2) PMK cân tại P. Lại dễ thấy IMN cân tại I và 3 điểm M, I, P thẳng
hàng, do đó ta suy ra 3 điểm M, N, K thẳng hàng. Suy ra điểm N nằm trên đờng thẳng MK
cố định.
Tiếp tục làm phần giới hạn và phần đảo nh trên.
b, Học sinh tự giải: Tập hợp điểm N là tia MK.
c, Học sinh tự giải : Tập hợp điểm N là tia đối của tia MK.
Bài toán 7: Cho

ABC, điểm D di động trên tia AB, điểm E di động trên tia đối của tia
CA sao cho AD = CE. Hãy tìm quỹ tích các trung điểm N của DE ?
Giải sơ lợc:
Trên tia đối của tia AC
lấy điểm F sao cho AF = AD.
lấy M là trung điểm của AC.
dễ thấy M là trung điểm của EF.
N là trung điểm của DE MN // DF.
dễ c/m đợc DF // Ax ( Ax là phân giác của góc BAC )
MN // Ax cố định
lại có M là điểm cố định đờng thẳng MN cố định
...................................................................................
Vậy : Quỹ tích của điểm N là tia MN.
Giáo viên cũng tơng tự nh các Bài toán 4, 5 ta có các bài toán sau:
Bài toán 8: Cho

ABC, trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao
cho BD = CE. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của BC và DE.
a, Chứng minh MN

Ax ( Ax là tia phân giác của

BAC )
b, Tìm quỹ tích của điểm N khi các điểm D và E thay đổi nhng vẫn thoả mãn điều kiện
trên.
Giải tóm tắt:
a, Tơng tự Bài toán 3 ta có : MN Ax
b, Theo trên ta có:
7