Tài liệu ôn thi lớp 12 trắc nghiệm toán (16)

BÀI 4: TIỆM CẬN
I. LÝ THUYẾT
 lim+ y = +∞
 x → x0
 lim+ y = −∞
 x → x0
1. Tiệm cận đứng: Hàm y = f(x) thỏa 1 trong các ĐK: 
⇒ x = x0 được gọi là TCĐ
lim− y = +∞
 x → x0
 lim y = −∞
 x → x0−
y = y0
 xlim
→+∞

2. Tiệm cận ngang: Hàm y = f(x) thỏa 1 trong các ĐK:
⇒ y = y0 được gọi là TCN
y = y0
 xlim
→−∞
[ f ( x) − (ax + b)] = 0
 xlim
→+∞

3. Tiệm cận xiên: Hàm y = f(x) thỏa 1 trong các ĐK:
⇒ y = ax + b được gọi là
[ f ( x) − (ax + b)] = 0
 xlim
→−∞
TCX

f ( x)
[ f ( x) − ax ] hoặc ( a = lim f ( x ) ; b = lim [ f ( x) − ax ] )
*Cách xác định: a = lim
; b = xlim
→+∞
x →−∞
x →+∞
x →−∞
x
x
(Khi a = 0 ta có tiệm cận ngang)
bac 1
*Chú ý: + Hàm đa thức bậc 3, bậc 4 không có tiệm cận; hàm hữu tỷ
chỉ có TCĐ và TCN; hàm
bac 1
bac 2
chỉ có thể có TCĐ và TCX; …
bac1
* Nhắc lại 1 số giới hạn (lớp 11):
(an .x n + an −1 x n −1 + ... + a0 ) = ±∞ (Dấu tùy thuộc vào dấu của an và n chẵn hay lẻ)
+ Hàm đa thức: xlim
→±∞
P ( x)
= 0 (nếu bậc của tử < bậc của mẫu)
Q( x)
P ( x)
= ±∞ (nếu bậc tử > bậc mẫu)
• xlim
 x → +∞
→±∞ Q ( x )

 x → −∞

an x n + an −1 x n −1 + ...a0 an
P ( x)
= lim
= ( nếu bậc tử = bậc mẫu)(Kết quả giới
• lim
n −1
x →±∞ Q ( x )
x →±∞ b x n + b
+ ...b0 bn
n
n −1 x
hạn là tỉ số của hệ số đi với bậc cao nhất)
P ( x) P( x0 )
P ( x)
=
Q( x0 ) ≠ 0) (thay x0 vào tỉ số
• xlim
(Nếu
là xong)
±
→ x0 Q ( x )
Q( x0 )
Q( x)
+
 x → x0
P ( x)

−

lim
= ±∞ (Nếu thay x0 vào mà tử P(x0) ≠ 0, mẫu Q(x0) = 0)
•
±
 x → x0
x → x0 Q ( x )
( x − x0 ) A( x)
P ( x)
A( x)
= lim±
= lim±
• xlim
(Nếu thay x0 vào mà tử P(x0) = 0,
→ x0± Q ( x )
x → x0 ( x − x ) B ( x )
x → x0 B ( x )
0
mẫu Q(x0) = 0)
+ Hàm vô tỷ (chứa căn): tùy theo tình huống mà áp dụng: nhân lượng liên hợp, đặt biến chứa bậc cao nhất ra
ngoài căn thức, áp dụng tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn (chi tiết SGK 11)
II. VÍ DỤ MẪU
2x −1
VD1: Tìm TCN và TCĐ của đồ thị hàm số y =
x+2
+ Hàm phân thức:

• xlim
→±∞

VD2 : Tìm phương trình tiệm cận của y =

2x2 − 7 x + 3
x 2 − 8 x + 15


x3 + 2
x2 − 2 x

VD3 : Tìm phương trình tiệm cận của y =
VD4 : Tìm các đường tiệm cận của y =
Giải
- TXĐ : D = R \ ( − 1 ; 1)

x2 −1

y = lim + x 2 − 1 = 0 ⇒ x = − 1 không là TCĐ
- Xét : x →lim
+
( −1)
x →( −1)
lim+ y = lim+ x 2 − 1 = 0

x →1

lim y = lim

x →+∞

⇒ x = 1 không là TCĐ

x →1

x →+∞

x 2 − 1 = lim x 1 −
x →+∞

1
1
= lim x 1 − 2 = +∞ ⇒ không có TCN
2
x
→+∞
x
x

Giả sử hàm số có TCX : y = ax + b
1
x 2 = lim 1 − 1 = 1
x →+∞
x
x2
−1
−1
lim [ f ( x) − x] = lim ( x 2 − 1 − x) = lim
= lim
=0
x →+∞
x →+∞
b = x →+∞

x 2 − 1 + x x →+∞ x( 1 − 1 + 1)
x2
Suy ra: y = x là TCX của đồ thị hàm số cho
III. BÀI TẬP TỰ GIẢI
1) Tìm phương trình tiệm cận của các hàm sau:
2x −1
−x −1
− x 2 + 3x − 2
2 x 2 − 3x + 1
a) y =
b) y =
c) y =
d)
y
=
x−2
1− x
2x2 − x −1
x−2
x
−
2
x
+
2
x
e) y = 2 x + x 2 − 1 f) y =
g) y = 2
h) y = 3
3x + 2

x −1
x +1
2
x + x +1
i) y =
j) y = x 2 + x + 1
2
−5 x − 2 x + 3
f ( x)
x2 −1
a = lim
= lim
= lim
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x
x

x 1−


TRẮC NGHIỆM TIÊM CẬN
Câu 1:Hàm số nào sau đây nhận đường thẳng x = −2 làm đường tiệm cận:
1
1
1
A. y = x + 1 +
B. y =
C. y =

1+ x
4 + 2x
x −1
4− x
Câu 2:Đồ thị hàm số y =
có các đường tiệm cận là:
x−3
A. y = 1 và x = -3
B. y = 4 và x = 3
C. y = 3 và x = 4

2x −1
có tiệm cận đứng là:
2 − 7x
2
2
1
A. x =
B. x = − C. x =
7
7
2
2x − 5
Câu 4:Đồ thị hàm số y =
có tiệm cận ngang là:
1 + 6x
1
1
A. x =
B. x = −

3
3

D. y =

5x
x−2

D. y = - 1 và x = 3

Câu 3:Đồ thị hàm số y =

Câu 5:Tiệm cận ngang của hàm số y =
a) y = 2

b) y = –2

Câu 6:Cho hàm số y =
A. y = 2

1− 2x
là:
x+2

D. y = −

1
3

2

7

C. y = − D. y =

c) y = –1

1
3

d) y = –1/2

2x − 3
. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số có phương trình
x−3

B. x = 2
C. y = 3
3
Câu 7:Cho hàm số y =
. Chọn phát biểu đúng:
2− x

D. x =3

A. Đồ thị hàm số có duy nhất 1 tiệm cận đứng
B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang
C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 ; tiệm cận ngang y =
Câu 8:Cho hàm số ( C): y =

3
2

1
. Phát biểu nào sau đây là đúng?
x +1

A. Hàm số có 1 cực tiểu.
B. Hàm số luôn đồng biến trên miền xác định của nó.
C. Hàm số có 1 cực đại.
D. Hàm số có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang
x −3
Câu 9:Đường tiệm cận ngang của hàm số y =
là
2x + 1
1
1
1
A. x =
B x=−
C. y = −
2
2
2

D. y =

3x + 10
là:
x+ 2

C. (−2;3)

1
2

Câu 10:Giao điểm của hai đường tiệm cận của hàm số y =

B. (3;2)
D. (−3;2)
f (x) = 3 và lim f (x) = −3 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
Câu 11:Cho hàm số y = f (x) có lim
x →+∞
x →−∞
A. (2;3)

A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 3 và y = −3 .
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 3 và x = −3


−2 x + 1
. Khẳng định nào sau đây đúng ?
x2 + 1
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −1 .
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = −2
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0
D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận
Câu 13:Trong các hàm số sau, hàm số nào có tiệm cận đứng x = −3

Câu 12:Cho hàm số y =

A.

y=

−3x + 3
x−5

B.

y=

2x −1
3+ x

C.

−3 x 2 + 2 x
y=
x2 + 3

Câu 14:Đường tiệm cận đứng của đồ thị (C ) : y =
A. m = 2

B. m = 0

D.

y=

−3 x + 3
x+2

mx − 1
đi qua điểm A(−1; 0) khi nào ?
2x + m
C. m = −1
D. m = 1

Câu 15:Trong các hàm số sau thì hàm số nào có tiệm cận đứng là x = ±1 :
x2 − x − 2
1
−2 x + 1
x2
y
=
a)
b)
c) y =
d) y = 2
y
=
2
2 ( x − 1)
x −1
x −1
x +1
3x − 1
Câu 16:Với giá trị m nào thì tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

đi qua điểm M (1;3)
2x − m
a) m = 1
b). m = 2
c) m = 3
d) m = −2
mx + 1
Câu 17:Với giá trị m nào thì tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
đi qua điểm A(1;– 2)
x−m
a) –2
b) –1
c) 1
d) 2
Câu 18:Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y =
A. 6
Câu 19:Cho hàm số y =
phương trình lần lượt là:
1
A. x = 2, y =
2

2mx + 1
nhận đường thẳng x = 6 làm tiệm cận đứng
x−m

B. 2
C. – 6
D. 3
x +1

. Các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho có
x −2
B. x = 4, y = −

1
2

C. x = 4, y = 1

D. x = 4, y = 1

−2
. Số tiệm cận của đồ thị hàm số là:
( x + 3) x
B.2
C.3
D.Nhiều hơn 3

Câu 20:Cho hàm số y =
A.1
Câu2 1:Hàm số y =
A. x = 2

2x3 + x2 + 1
x3

có tiệm cận đứng là:

B. y = 2

C. y = 0

D. x = 0

x 2 − 3x + 2
.
x2 −1
A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = -1 ; x = 1 và một đường tiệm cận
ngang là đường thẳng y = 1
B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = -1 và x = 1
C. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và một đường tiệm cận ngang là
đường thẳng y = 1
D. . Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng y = -1 ; y = 1 và một đường tiệm cận
ngang là đường thẳng x = 1
Câu2 1 Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =


Câu22:Gọi (H) là đồ thị của hàm số y =
tiệm cận nhỏ nhất sẽ là điểm nào?
A. M (−2;1)
B. M (2;1)

2x + 3
. Điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( H ) có tổng các khoảng cách đến hai
x +1

C. M (2; −1)

Câu 23:Gọi (H) là đồ thị của hàm số y =
đến hai tiệm của (H) là số nào?

A. 19
B. 18
C. 17

4 − 3x
. Điểm M ( −4; y0 ) ∈ ( H ) có tích số các khoảng cách từ M
x+5

D. 16

Câu 24:Tìm tất cả các gia trị m sao cho đồ thị hàm số y =
a/ m ≠ 2

D. M (1; 2)

b/ ∀m

(m + 2) x + 1
x2 − x + 2

c/ m ≠ 0

có hai đường tiệm cận.
d/ kết quả khác
2x + 1
x − 4x + m

y=

Câu 25:

2

Tìm m để đồ thị hàm số sau có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang
A. m= 4

B. m = 2

C.m = -2

D. m = -4

3mx + m
. Với giá trị nào của tham số m thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận
x −1
ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 6.
1
A. m ≠ ±2
B. m = ±
C. m = ±1
D. m = ±2
2

Câu 26:Cho hàm số y =

x +1
là
x −1
A. x = −1
B. x = 1

C. x = 0
x +1
Câu 28: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
là
x −1
A. y = −1
B. y = 1
C. y = 0
Câu 27: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

D. x = 2

D. y = 2

3x + 1
.Khẳng định nào sau đây đúng?
2 x −1
3
3
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y =
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là y =
2
2
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x= 1
3x + 1
Câu 30: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số : y = 2
là :
x −4
A. 2

B. 1
C. 4
D. 3

Câu 29 Cho hàm số y =

2x − 1
. Hàm số có tiệm ngang và tiệm cận đứng là :
3 − 2x
2
2
2
3
3
A. y = ; x = 1 B. y = −1; x =
C. y = −1; x =
D. y = ; x =
3
3
3
2
2
x−2
Câu 32: Cho hàm số y = 2
. Số tìm cận của đồ thị hàm số là:
x −9
Câu 31: Cho hàm số y =

A. 1

B. 2

C. 3

Câu 33: Số đường tiệm cân của đồ thi hàm số y =
A. 1

B. 2

x 2 − 3x + 2
là:
x2 − 2 x + 3
C. 3

D. 4

D. 4


2 x 2 − 3x + 2
.Khẳng định nào sau đây đúng?
x2 − 2x − 3
1
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y =
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là x = 2
2
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x= -1;x=3

Câu 34 Cho hàm số y =

2 x 2 − 3x + 2
.Khẳng định nào sau đây đúng?
x2 − 2x + 3
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là x = 2
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là y = 2
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x= 1;x=3
2
Câu 36: Số đường tiệm cân của đồ thi hàm số y =
là:
5− x
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 35 Cho hàm số y =

Câu 37: Cho hàm số y =

2 x + 2m − 1
.
x+m

Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm M( 3; 1)
A. m = 3
B. m = −3
C. m = 1

D. m = 2

3
mx
− 2x
Câu 38: Cho hàm số y =
x +1
Với giá trị nào của m thì x = −1 tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
A. m ≠ 2
B. m ≠ −2
C. m = 2
D. m ≠ ±2
2x + m
Câu 39: Cho hàm số y =
. Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang của đồ
mx − 1
thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8.A. m = 2
B.
1
1
C. m =
D. m ≠ ±2
m=±
2
2
x+2
Câu 40: Cho hàm số y = 2
. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
x − 2x + m
A. m > 1
B. m < 1

C. m = 1
D. m ≤ 1

Câu 41: Cho hàm số y =

E ( −1; 2)
A. m = 2

mx − 1
Với giá trị nào của m thì tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm
2x + m

B. m = −2

C. m = −1

D. m =

2