chuyen de toan tich phan hay lop12 toan tich phan 12

Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ
HÀM SỐ HỢP: u  u( x)

HÀM SỐ CƠ BẢN
1.  0dx  C

1.  0du  C

14.  cos(ax  b)dx  1 sin(ax  b)  C
a

2.  1.dx  x  C

2.  1.du  u  C

15.  sin(ax  b)dx   1 cos(ax  b)  C
a

3.  u.du  1 u 2  C
2

16.  1 dx  1 ln ax  b  C
ax  b
a

x 1
4.  x .dx 

 C (  1)
 1
1
5.  dx  ln x  C , x  0
x

u 1
4.  u .du 
 C (  1)
 1
1
5.  du  ln u  C (u  0)
u

17.  eaxb dx  1 eaxb  C
a

6.  sin xdx   cos x  C

6.  sin udu   cos u  C

19.  sin kxdx   1 cos kx  C
k

7.  cos xdx  sin x  C

7.  cos udu  sin u  C

20.  cos kxdx  1 sin kx  C
k

8.  e x dx  e x  C

8.  eu du  eu  C

21.  ekx dx  1 ekx  C
k

9.  e x dx  e  x  C

9.  eu du  eu  C

22.  1 dx  1 ln kx  C
kx
k
23.

3.

1

 x.dx  2 x

2

C



1

dx    C
x
1
11.  2 dx  tan x  C
cos x
1
12.  2 dx   cot x  C
sin x
ax
C
13.  a x dx 
ln a

10.

1

x

2



10.  12 du   1  C (u  0)
u
u

 1

18.  (ax  b) dx  1 (ax  b)

a  1

11.  12 du  tan u  C
cos u
12.  1 2 du   cot u  C
s im u
u

13.  au du  a  C
ln a

b

I. Công thức tích phân: I   f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a)
b

a

II. Tích phân đổi biến:
1) Đặt: u  u( x)  ax  b
2) Đặt:
u  u ( x )  ax  b
 u 2  ax  b
 2udu  adx

Thích phân

Trang 1

C

Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

3) Đặt:
u  u( x )  n ax  b

 un  ax  b
 nun1du  adx

4) Đặt:
u  u( x ) 

f ( x)

 u2  f ( x)
 2udu  f ' ( x)dx

5) Đặt:
u

n

f ( x)

 u  f ( x)
n

 nu n 1du  f ' ( x )dx

6) I   sin n x.cos xdx

Đặt:

u  sin x  du  cos xdx

7) I   cosn x.sin xdx

Đặt : u  cos x  du   sin xdx
8) kk
b

b

III. Công thức tích phân từng phần: I   udv  (uv) a   vdu
b

a

IV. Các dạng hay gặp trong tích phân từng phần:
b

a) I   f ( x).sin xdx
a

Đặt:

du  f ' ( x)dx

u  f ( x)


dv

sin
xdx

v   cos x
b

b) I   f ( x).cos xdx
a

du  f ' ( x)dx
u  f ( x)

Đặt: 
dv  cos xdx v  sin x
b

x
c) I   f ( x).e dx
a

Thích phân

Trang 2

a

Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

du  f ' ( x)dx
u  f ( x)

Đặt: 
x
x
dv  e dx v  e
b

d)

I   f ( x).a x dx
a

du  f ' ( x)dx
u  f ( x)


Đặt: 
ax
x
dv  a dx v 
ln a


b



e) I  f ( x).ln x dx
a

1

du

dx

u

ln
x


x
Đặt: dv  f ( x)dx  


v  f ( x)dx



CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN
…………………..
1





I   x(1  cos x)dx

(Đề TN THPT: 2009)

2

111) I   sin 3 xdx

0

2

0


1

I   (2 x  xe x )dx

2

112) I   esin x .sin 2 xdx

0

2



4

(đổi biến đặt: u  sin2 x )
3



1

I   x (1  x ) dx ( đổi biến u  1  x )
2

3 4

3

etan x
dx
cos2 x
0
( đổi biến u  tan x )
2
x
114) I  
dx (đổi biến)
1


x

1
1
4

113) I  

1

4

1

I   (1  e x ) xdx (từng phần)
0



5



4

2

I   sin x cos xdx

115) I =

0

 (cos

3

x  1) cos 2 xdx

0

ĐHKA-2009
2

6

I 
1

2x
x2  1

1

116) I  

dx đổi biến u  x 2  1 ;

0

Trang 3

8 

5 4

x
dx (đổi biến)
2x  1

Đặt: u  2 x  1
Thích phân

KQ:


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

KQ:( 2( 5  2)


e

7

ln 2 x
1

dx ( đặt: u  ln x  du  dx )
x
x
1

I 

3

1
dx
cos x
0

117) I  

1
3

KQ:


8

2

118) I   ( x  3). 3 ( x 2  6 x  8dx

2

I   cos2 x.sin xdx

0

0

Đặt: u  3 x 2  6 x  8

1
Đặt: u  cos x  du   sin xdx KQ:
3


9

1

119) I   x3 .( x 4  1)5 dx (đổi biến)

2

I   (2sin x  3) cos xdx

0

0

Đặt: u  sin x  du  cos xdx

Đặt: u  x4  1

KQ: 4



10

3

x7
dx (đổi biến)
4
8
1

2
x

x
2

120) I  

2

sin 2 x
dx (đặt: u  4  cos2 x )
2
4  cos x
0

4
KQ: ln
3

I 

1

11

7

I   (2 x  1)e dx (từng phần) KQ: e+1

121. I  

x

0

2

1
dx (đổi biến)
x  2 1

Đặt: u  x  2
12







2

2

2

0

0

0

e

I   ( x  sin 2 x ) cos xdx   x cos xdx   sin 2 x cos xdx
KQ:


2



122. I   x ln xdx
1

2
3


1

13

I   (e  2)dx
x

4

KQ: e+1

123. I   (tan x  cot x)2 dx

0

0



14

e

ln x
dx
2

1 ( x  1)

124. I  

4

I   x cos xdx (từng phần) KQ:
0



15

2

I
0

sin 2x  sin x
1  3 cos x

KQ:

dx HD:

34
27

e

sin 2 x  sin x  (2cos x  1)sin x đặt: u  1  3cos x


16

sin 2x cos x
I
dx (HD: sin 2 x  2sin x cos x )
1  cos x
0
2

Thích phân

Trang 4

KQ: 2ln2 1


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn



17



2

KQ: e 



I   e sin x  cos x cos xdx


4

1

0

7

18

I3

x2

0

x 1

dx đổi biến u  3 x  1

KQ:



19

141
10

KQ: ln 2 

3

I   sin 2 x tan xdx

3
8

0
1
2



20

KQ: ln 2  e  1

I    tan x  esin x .cos x  dx
4

0

KQ:

2 3 1
e 
9
9

KQ:

6 3 8
5

e

21

I   x 2 ln xdx
1

1

22

I   x 3 . x 2  3dx (đổi biến u  x 2  3 )
0

23

I

x3

3

3

x 1  x  3

1
1

24

KQ: 6ln3  8

dx (đổi biến u  x  1 )

I   x 5 1  x 2 dx (đổi biến u  1  x 2 )

KQ:

0

3



25

3.e 2  5
KQ:
34

2

I   e 3x sin 5xdx
0

26

I

8
105

3



x 3  1.x 5 dx (đổi biến u  x 3  1 )

KQ:

848
105

KQ:

1

ln 2
2

KQ:

3
18

0



27

1  2 sin 2 x
2
I
dx (HD: 1  2sin x  cos2 x )
0 1  sin 2x

28

I

4

dx
1 x  2x  4
0

2

2
HD: x  2 x  4   x  1  3 , đặt x  1  3 tan t
2

e

29

ln x
dx
2
x
1

KQ: 1 

I

HD: tích phân từng phần

30

7
3

I3
0

x 1
3x  1

KQ:

dx (đổi biến u  3 3x  1 )

3  ln x
1 x  12 dx - ĐHKB-2009
3

31

I=

Thích phân

KQ:

Trang 5

2
e

46
15
1
27
(3  ln )
4

16


Gia sư Thành Được




32

www.daythem.com.vn

2

I 
0

x sin 2 xdx
J 
sin 2 x cos 2 x
0
3

sin xdx
sin 2 x  2 cos x.cos 2

x
2

I   x ln xdx

1

2

34

I

4



J

e2  1
KQ:
4

e

33

KQ: I  ln 2

KQ:

x sin x dx

2
2

4

0

x 3  2x 2  4x  9
dx
2
x

4
0

KQ: 6 

xdx
đổi biến u  x  1
3
0 x  1

KQ:

1
8

KQ:


6

2

35

I

36

I

37

I

1

e

x
1

dx
1  ln 2 x



38

KQ: 2

4 sin 3 x
I
dx
1  cos x
0
2



39

sin 2x

2

I

cos2 x  4sin 2 x

0

KQ:

dx

6

dx
(đổi biến u  4 x  1 )
2 2x  1  4x  1

40

I

41

I    x  2  e2x dx (từng phần)

2
3

KQ: ln

5  3e2
2

KQ:


1
4

KQ:

5
 ln 4
4

0


2

I   ( x  1)sin 2 xdx (từng phần)

3 1

2 12

KQ:

1

42


8

0
2

43

I    x  2  ln x dx (từng phần)
1

44

I

ln5

dx
x
x
ln3 ex  2ex  3 (đổi biến u  e  du  e dx )

10

45

I
5

46

I

e


1

dx
x  2 x 1

(đổi biến u 

3

2

KQ: 2ln2  1

x 1 )

3  2 ln x
dx
x 1  2 ln x

KQ:

(đổi biến u  1  2ln x  u2  1  2ln x )

Thích phân

KQ: ln

Trang 6

10
11
2
3
3


3



3
4


Gia sư Thành Được
1

47



KQ: ln 2 

I   x ln 1  x2 dx (từng phần)
0

2

48



www.daythem.com.vn

I

ln 1  x 
x2

1

KQ: 3ln 2 

dx (từng phần)

1

49

KQ:

1

51

x
dx (đổi biến u  1  x 2 )
2
1 x
0

I 

2

KQ: ln 2

sin x  cos x
I

dx
1  sin 2x

4
3

52





I   x ln x2  5 dx
0

KQ:

1
14 ln14  5ln 5  9
2

KQ:

1
32



53

cos 2x

2

I
0

 sin x  cos x  3

3

dx



54

4

KQ:

I    x  1 cos x dx
0



55

cos2x
I

dx đặt: u  1  2sin 2 x
1  2sin 2x
0

56

I

4

ln2


0

e2x
ex  2

3
ln 3
2

2 2 1
3
1
ln 2
KQ:
2

I   x x2  1dx (đổi biến u  x 2  1 )

0

50

1
2

KQ:

 2
8

1

1
ln 3
4

KQ: 2 3 

dx đổi biến u  e x  2

8
3

57


58

4

I
0

x
dx
cos2 x

KQ:

9

59

60

1

e
 x3  1 
I  
 ln x dx
x 
1

I   x2 2  x3 dx đặt : u  2  x 2  u 2  2  x 2
0



62

 ln

2
2

468
7

KQ:

2e3 11

9 18

KQ:

2
3 3 2 2
9



12  
  1
2 4 2 

KQ: 

2

I   2x  1 cos2 xdx
0

Thích phân

4

KQ: 

I   x. 3 1  x dx đặt : u  3 1  x  x  1  u3

1

61



Trang 7




Gia sư Thành Được



1

63

I  x e

2x

www.daythem.com.vn



 x  1 dx
3

KQ:

0

1

64





KQ: ln 2 

I   x ln 1  x2 dx
0

32
 10 ln 3
3

KQ:

5
4


2

KQ:

1 5
ln
2 3

2

KQ: 24ln3 14

x x 1
dx Đặt: u  x  1  u2  x  1
x5
1

I


66

2

68





I   x  cos3 x sin x dx
0

67

cos x
I
dx đặt: u  5  2sin x
5

2sin
x
0
J    2x  7 ln  x  1 dx
0

69
70

4

KQ: 18ln2  7ln3


6

KQ: 

4x  3
dx
2
x  3x  2
3

I

sin 3x  sin3 3x
I
dx
1  cos3x
0

72

73

3 3
3 3  22 2
8


4

I    cos4 x  sin 4 x  dx

KQ:

1
2

0

4

cos2x
I
dx
1

2sin
2x
0

KQ:

1
ln 3
4

KQ:

2
3

ln x 3 2  ln 2 x
dx đặt : u  3 2  ln 2 x
x
1

I

Đặt u  1  2sin 2 x



74

1 1
 ln 2
6 3

KQ:

e

71

2

I   sin x sin 2xdx



0

1

75

I
0

76

x

 x  3

KQ : ln

dx Đặt: u  x  1
2


2

KQ:

I   x 2 cos xdx

1

e

77

1
2

KQ:

2

65

e2 1

4 14

dx
2
1 x 1  ln x

I



Thích phân

KQ:


Trang 8

2
4


4

4 1

3 4

2




Gia sư Thành Được
78

www.daythem.com.vn


2

KQ: ln 2

sin x  cos x

I
dx
1  sin 2x

4


79

2

KQ:

I   sin 2x 1  sin x  dx đặt: u  1  sin x
2

3

2

15
4

0

e

KQ: 4  2 e

ln x

dx
x
0

80

I

81

I

1

0

1
dx Đặt :
x  2x  2

KQ:

2

x  1  tan u  dx  (1  tan2 u)du
4

82
83
84

85

I
0

I

2x  1
1  2x  1

7


0

I

x2
3

x1

e

  x ln x 

dx đặt : u  2 x  1  u2  2 x  1

dx

2

đặt: u 

3

x  1  u3  x  1

dx

KQ: 2  ln2

KQ:

231
10

KQ:

1
5e3  2
27

KQ:

3 2 1
 
384 32 4

1


4

  x sin x 

2

dx


4





1

3

86

KQ: 6

3 2
3 2
 x x  1dx đặt: u  x  1

1

0

87





2x
 x e  x  1 dx

1

2

ln x
dx
x3
1

88



89

I 

3

0

90

1

du  dx
u  ln x



x

đặt : 
1
dv  x 3 dx v   1

2 x2

x
dx
x 1

3 2 31
e 
4
60

KQ:

3  2 ln 2
16


2

(CĐ: 2012) đặt u  x  1
125.

8
ĐS:
3
1
2x 1
I 
dx (CĐ: 2010)
x 1
0

I=  sin

4

x dx

0

2

126. I=

2
2
 x 4  x dx

1

2x 1
3
 2
Phân tích:
x 1
x 1

Thích phân

KQ:

Trang 9


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

1

91

I   (e2 x  x)e x dx

2

(CĐ: 2009)

127. I=

0

1
1

e

92

2
2
 x 4  x dx

3
I   (2 x  ) ln xdx
x
1

(D: 2010)

128.

e2x
I =  x
dx
e

1
0



93

x sin x  ( x  1) cos x
I 
dx
x sin x  cos x
0
4

94

2

I 
0

4x 1
dx
2x 1  2

(A: 2011)

0
2

0



1  x sin x
dx
2
cos
x
0
Từng phần


6

3

I 

cos x
dx
2
0 6  5sin x  sin x

(B: 2011)

131. I = 



96

2

4

I   x(1  sin 2 x)dx

98

99

Từng phần
1
x3
I  4
dx
x  3x 2  2
0

1

1  ln( x  1)
dx
x2

1
Từng phần

4

(B : 2012)

7

(A, A1 : 2012)

134.

135. I = 

1

4

ln e

I



101

136.

1

3
e

I 
1

x 2  3x  2
I =
dx
x

3
0
1

(e x  1)2 e x dx (Đề TN THPT: 2012)

0

ĐS:

x4 1
.
dx
x2 x2

6

(Đề TN GDTX: 2012)

ĐS:
100

dx

x 9x
3
dx
I =
x

9

x
0
2

1

2

I   ( x  2)2 xdx

1



133. I =

3

I 

3
2
 x  2x  x  2 dx

132. I =

(D: 2012)

0

97

4  x 2 dx

130. I = 

(D: 2011)

Đổi biến u  2 x  1
95

x
dx
2x  2x

129. I = 

4

Lấy tử chia mẫu

4  5ln x
dx (Đề TN THPT: 2011)
x

1

137. I =  x

1  x 8 dx

0

Đổi biến: u  4  5ln x
ĐS:
Thích phân

15

Đặt : u  x 8  1

Trang 10

ĐS:

1
(1  2)

30


Gia sư Thành Được
102

www.daythem.com.vn
1

1

x
dx
2
4

x
0

I   x 2 ( x  1) 2 dx (Đề TN THPT: 2010)

138. I = 

0

1
30

ĐS:
103

ĐS:



1
2

I   (2 x  3) cos xdx (Đề TN GDTX: 2011)

139.

0

104

1

0

1

x  x3
dx
I =
4
x
1
2 3

I   (3x 2  2 x  1)dx

141.

1

I   (5 x  2)3 dx (Đề TN GDTX: 2009)

142. I =

0

107

x 5 (1  x 3 )6 dx

140. I = 

0

106

x4
I= 2
dx
x

1
0

1

I   3x  1dx (Đề TN THPT: 2008)
0

105

1 4
ln
2 3

2

ln 3

ex

0

(e  1) e  1



x

3

I   (6 x  4 x  1)dx
2

143. I =

1

e
1

x

x

dx

1
dx
1

ĐHKD-2009 KQ: ln(e2+e+1) – 2
108

1

x 2  e x  2 x 2e x
0 1  2e x dx
1

I   (4 x  1)e x dx

144: I =

0

ĐHKA-2010 KQ:
109



e

2

145: I =

I   (1  x ) cos xdx (THPT: 2013)

1
3

146:
(GDTX: 2013)

0

112

1

I   x 2  x 2 dx

(B: 2013)

0

Đổi biến: u  2  x 2
113
114

( x  1)2
I  2
dx
x 1
0

(D: 2013)

 x2  1 
I    2  ln xdx
x 
1

(A, A1: 2013)

1

2

Thích phân

2

ĐHKB-2010 KQ:   ln

1

I   ( x 3  2 x  1)dx

ln xdx

 x(2  ln x)
1

0

110

1 1  1  2e 
 ln 

3 2  3 

Trang 11

3
2


Gia sư Thành Được
115

2

I 
1

116

2x  1
dx
x ( x  1)

www.daythem.com.vn

(CD: 2011)

5

1
dx
1 1  2x 1

I 

Thích phân

(CD: 2013)

Trang 12