chuyen de bat dang thuc ltdh bat dang thuc

Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

A. Kiến thức cần nắm về bất đẳng thức:
1. Định nghĩa bất đẳng thức:
Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b; a  b; a  b) là bất đẳng thức và
gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.
2. Tính chất bất đẳng thức:
1) a > b ; b >c  a > c
2) a >b  a + c > b + c
3) a > b ; c > 0  ac > bc
a > b ; c < 0  ac < bc
5) a > b ; c > d  a + c > b + d
a>b;c6) a > b  0  ac > bd
7) a > b > 0 ; 0 < c < d 

a
b
>
d
c

8) a > b > 0  an > bn
a > b  an > bn (n lẻ)
a  b  an > bn ( n chẵn )

9) Nếu m > n > 0 thì a >1  am > an
a =1  am = an
0

10) a > b , ab > 0





am = an

1
1
<
a
b

3. Các hằng bất đẳng thức:
1) a2  0 với  a R. Dấu bằng xẩy ra khi a = 0
2) a  0 với  a R. Dấu bằng xẩy ra khi a = 0
3) a  a với  a R. Dấu bằng xẩy ra khi a  0
4) a  b  a +

b

với  a, b  R. Dấu bằng xẩy ra khi ab  0

5) a  b  a - b với  a, b  R. Dấu bằng xẩy ra khi ab>0 và
a  b

B. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
1

Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

1. Phương pháp sử dụng định nghĩa:
1.1. Phương pháp giải: Muốn chứng minh A > B hãy xét hiện A - B. Nếu hiện
A - B dương thì khẳng định được A > B là bất đẳng thức cần chứng minh.
1.2. Ví dụ áp dụng:
a 3 +b3  a+b 
Ví dụ1: Cho a > 0, b > 0. chứng minh rằng:


2
 2 

3

Giải:
a 3 +b3  a+b 
Xét hiệu: B =
-

2  2 

3

Bỏ ngoặc, phân tích B thành nhân tử ta được: B =
>0



a + b > 0 mà (a - b)2  0

Theo định nghĩa



a 3 +b3
2





3
(a + b) (a - b)2 Vì a > 0 , b
8

B 0

 a+b 


 2 

3

Dấu bằng xẩy ra  a = b
Ví dụ 2:  x, y, z chứng minh rằng :

a) x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx
b) x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz
c) x 2 + y 2 + z 2 +3  2 (x + y + z)
Giải:
a) Ta xét hiệu
x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz - zx
1
2

= .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx)
=





1
( x  y) 2  ( x z ) 2  ( y  z ) 2  0 đúng với mọi x;y;z  R
2

Vì (x-y)2  0 với x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)2  0 với x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)2  0 với  z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx
Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
2


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

b)Ta xét hiệu
x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz )
= x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz
=( x – y + z) 2  0 đúng với mọi x;y;z  R
Vậy x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z  R
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu
x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z )
= x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1
= (x-1) 2 + (y-1) 2 +(z-1) 2  0
Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
1.3. Bài tập tương tự:
Bài 1: Chứng minh: x2 + y2 + z2



2xy + 2yz - 2x

Bài 2: Cho a, b, c > 0 chứng minh:
a2
b2
c2
+
+
b 2 +c 2
c 2 +a 2
a 2 +b 2

b
a
c
+
+
c+a
b+c
a+b



2. Phương pháp sử dụng tính chất:
2.1. Phương pháp giải: Sử dụng một hay nhiều tính chất đã nêu ở 2.2 để biến
đổi. Từ đó khẳng định bất đẳng thức cần chứng minh.
2.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho x



0, y



0, z



0. Chứng minh rằng:

(x + y) (y + z) (z + x)



8xyz

Giải:
Ta có:

(x-y)2



x2 - 2xy +y2  0


x2 + 2xy +y2



(x+y)2



4xy (1)

(y+z)2



4yz (2)

(x+z)2



4xz (3)

Tương tự ta có:
Nhân từng vế của (1), (2), (3)



4xy (Tính chất 2)

2

 [(x+y)(y+z)(x+z)] 



(x+y)(y+z)(x+z)

3

(8xyz )2 (Tính chất 6)

 8xyz

(Tính chất 8)

Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

VÝ dô 2:
5
2
2
2
1 1 1
1
Cho a,b,c> 0 tháa m·n a  b  c  . Chøng minh
  
3
a b c abc

Gi¶i:
Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)  0
 ac+bc-ab 

1
( a2+b2+c2)
2

 ac+bc-ab 

1 1 1
1
5

  
 1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta cã
a b c
abc
6

2.3. Bài tập tương tự:
Bài 1: Chứng minh rằng:

a2
b2
c2
c
b
a
+
+
+
+

2
2
2
b
c
a
b
a
c

Bài 2: Cho x + y = 2. Chứng minh : x2 + y2  2
3. Phương pháp biến đổi tương đương: ( phương pháp phân tích)
3.1. Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến
đổi nó tương đương với một bất đẳng thức khác mà ta đã biết là đúng từ đó
suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.
3.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho 2 số x, y thoả mãn: x+ y = 1
Chứng minh: x3 + y3 +xy 

1
2

(1)

Giải:
(1)  x3 + y3 +xy -

1
2

0

2

2

2

1
2

 (x+ y) (x - xy+ y ) +xy 2

 x - xy+ y + xy2

1
2

2

 x +y -

1
2

0

 0 (vì x+ y = 1)

0

 2x + 2x - 1  0
2

2

 2x + 2(1 -x) - 1  0 ( vì y = 1 -x)
2

2

4


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

2  0

1
2

 4 (x-

(2)

Bất đẳng thức (2) luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương  (1)
đúng.
Dấu bằng xảy ra tại x= y =

1
.
2

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a10  b10 a 2  b 2   a 8  b8 a 4  b 4 
Giải:

a

10



 



 b10 a 2  b 2  a 8  b 8 a 4  b 4



12
10 2
2 10
12
12
8 4
4 8
12
 a a b a b b  a a b a b b



 a b a b
8

2 2

2

2

2

2

6

2

  a b b
2

6

 a b (a -b )(a -b )  0

8

2



 a2  0
2 2

2

2 2

4

2 2

4

 a b (a -b ) (a + a b +b )  0

Bất đẳng thức cuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh
3.3. Bài tập tương tự
Bài 1: Cho x > 0, y > 0. Chứng minh rằng:

x
y
 x y
y
x

x 6 y6
Bài 2: Chứng minh x + y  2 + 2 với x  0, y  0 .
y x
4

4

4. Phương pháp tổng hợp:
4.1. Phương pháp giải: Từ một bất đẳng thức đã biết là đúng, dùng các phép
biến đổi tương đương biến đổi bất đẳng thức đó về bất đẳng thức cần chứng
minh.

Phương pháp giải này làm cho học sinh thấy khó ở chỗ là không biết
nên bắt đầu từ bất đẳng thức nào nhưng nếu biết phương pháp giải này
ngược với phương pháp phân tích thì cũng rất dễ tìm ra bất đẳng thức xuất
phát.
4.2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:
a 2 +b2 + c2 +d 2 

 a+c  +  b+d 
2

2

5


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

Giải:
Ta có: (ad - bd)2  0
 a2d2 - 2adbc + b2c2  0
 a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2  a2c2 + b2d2
 a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2  a2c2 + 2acbd + b2d2
 a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2)  (ac + bd)2



 a +b  c +d   ac + bd ( vì ac + bd > 0)

2

2

2

 a2 + b 2 + 2
 (

2

 a +b  c +d 
2

2

2

2

+ c2 + d2  2ac + 2bd + a2 + b2 + c2 +d2

 a +b  c +d  )2  (a + c)2 + (b + d)2
2

2

2

2

 a 2 +b2 + c2 +d 2 

Dấu “=” xảy ra 

 a+c  +  b+d 
2

2

(đpcm)

a c
=
b d

Chú ý: Với a, b, c, d > 0 thì các phép biến đổi trong cách giải trên là tương
đương.
4.3. Bài tập tương tự: Chứng minh các bất đẳng thức
Bài 1: a2 + b2 + c2  ab + bc + ca với mọi a, b
3

a 3 +b3  a+b 

Bài 2:
 với a > 0 , b > 0.
2
 2 

5. Phương pháp phản chứng:

5.1. Phương pháp giải: Nếu bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A 
B ( hoặc A < B) thì ta giả sử A < B (hoặc A  B). Từ điều mà ta vừa giả sử
cùng với giả thiết của bài toán ta suy ra một điều mâu thuẫn với giả thiết với
các kiến thức đã học. Cuối cùng ta khẳng định kết luận của bài toán A  B
( hoặc A < B) là đúng.
Phương pháp giải như trên gọi là phương pháp phản chứng.
5.2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
Nếu a + b + c > 0; abc >0 , ab + bc + ac > 0 thì a > 0, b > 0, c > 0.
6


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

Giải:
Giả sử a  0
Nếu a = 0 thì abc = 0 trái với giả thiết abc > 0
Nếu a < 0 : do a + b + c > 0 nên b + c > 0
do abc > 0 nên bc < 0
 a(b + c) + bc < 0

Hay ab + ac + bc < 0 trái với giả thiết ab + ac + bc > 0
Vậy a > 0. Tương tự ta chứng minh được b > 0, c > 0
Ví dụ 2:
Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac  2.(b+d) .Chứng minh rằng có
ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

a 2  4b

,

c 2  4d

Giải :
2
Giả sử 2 bất đẳng thức : a  4b , c 2  4d đều đúng khi đó cộng các

vế ta được a 2  c 2  4(b  d )

(1)

Theo giả thiết ta có 4(b+d)  2ac (2)
2
Từ (1) và (2)  a 2  c 2  2ac hay a  c   0

(vô lý)

2
Vậy trong 2 bất đẳng thức a 2  4b và c  4d có ít nhất một các bất đẳng

thức sai
5.3. Bài tập tương tự:
Bài 1: Chứng minh rằng: 4(a3+b3) - (a+b)3  0 với  a, b > 0 .
Bài 2: Cho x3 + y3 = 2. Chứng minh x+ y  2.
6. Phương pháp quy nạp toán học:
6.1. Phương pháp giải: Nếu bất đẳng thức phải chứng minh phụ thuộc vào
đối số tự nhiên n thì ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học. Ta cần
thực hiện 3 bước sau:

+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = 1 (hoặc đúng với n = n0 là giá trị
tự nhiên bé nhất của n theo yêu cầu của đề bài)
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k > 1 hoặc k > n0) rồi chứng minh bất
đẳng thức đúng với n = k + 1.

7


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

+ Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi n  N.
6.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 thì:
(n+1)(n+2)(n+3)….2n > 2n (1)
Giải:
Với n = 2 thì (1) trở thành: (2+1)(2+2) > 22  12 > 4  (1) đúng.
Giả sử (1) đúng với n = k (k  N, k  2) tức là
(k+1)(k+2)(k+3)….2k > 2k. Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1 tức là
phải chứng minh (k+2)(k+3)(k+4)…2(k+1) > 2k+1
Hay (k+2)(k+3)(k+4)…(2k+2) > 2k+1
Thật vậy: Theo giả thiết quy nạp ta có: (k+1)(k+2)(k+3)…2k > 2k
 (k +1)(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1) > 2 (Do k  N, k  2  2k+1  5)
k

 2(k +1)(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1) > 2.2
 (k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2) > 2

k

k+1

Vậy bất đẳng thức (1) đúng với mọi số tự nhiên n >1 nghĩa là:
(n+1)(n+2)(n+3)…2n > 2n
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng
1 1
1
1
 2  ....  2  2 
2
1 2
n
n

n  N ; n  1

Giải :
1
4

Với n =2 ta có 1   2 

1
2

(đúng)

Vậy BĐT (1) đúng với n =2

Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh
BĐT (1) đúng với n = k+1
Thật vậy khi n =k+1 thì
(1) 

1 1
1
1
1
 2  ....  2 
 2
2
2
1 2
k
(k  1)
k 1

Theo giả thiết quy nạp

8

(1)


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn



1 1
1
1
1
1
1
 2  ....  2 
 2 
 2
2
2
2
1 2
k
(k  1)
k k  1
k 1



1
1
1
1
1
 .... 




2
2
2
1
(k  1)
k  1 k  1
k



k 11 1
2
2
  k (k  2)  (k  1) 2  k +2k2
k
(k  1)

bất đẳng thức (1)được chứng minh
6.3. Bài tập tương tự
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  3 thì: n2 > n + 5
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:
1
1
1
+
+...+
>1
n+1 n+2
3n+1

7. Phương pháp xét các khoảng giá trị của biến:
7.1. Phương pháp giải: Có những bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng
thức A(x) > 0 mà không cho thêm giả thiết nào nữa ta có thể suy nghĩ theo
cách giải sau: Nếu biểu thức A(x) viết được về dạng tổng các hạng tử nx(x-a)
thì ta xét các khoảng giá trị của biến x chẳng hạn như x  a và x < a để sử
dụng định nghĩa bất đẳng thức x  a  x-a  0 hay x < a  x -a < 0.
Trong trường hợp bất đẳng thức cần chứng minh chưa có dạng A(x) > 0 hay
A(x) < 0 trước hết ta chuyển vế để đưa về dạng đó.
7.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ: Chứng minh 12x4 + 8x3 +11x2 +7x+10 >0
Giải:
Xét B = 12x4 + 8x3 +11x2 +7x+10 (1)
Hoặc B = 10(x4 + x3 +x2 +x+1) + 2x4 +x2 -2x3 -3x (2)
+ Nếu x  0 thì từ (1)  B > 0 ( vì x4 + x3 +x2 +x+1 > 0 tương tự ví dụ 1 và 2x4
+x2 > 0; -2x3 -3x > 0 ( do x < 0)
Vậy B > 0.
7.3. Bài tập tương tự
Bài 1: Chứng minh x6 - x5 + x4- x3+x2 - x +

9

3
>0
4


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

Bài 2: Chứng minh x8 +x4 +1 > x7 + x
8. Phương pháp làm trội: ( hoặc làm giảm)
8.1. Phương pháp giải: Để chứng minh A < B ta làm trội A thành C (A < C)
rồi chứng minh C  B (biểu thức C đóng vai trò trung gian để so sánh A và
B). Tương tự đối với phương pháp làm giảm.
L-u ý:
Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính
được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
(*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn :
S = u1  u2  ....  un
Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k về hiệu của hai số hạng liên tiếp
nhau:
uk  ak  ak 1

Khi đó :
S = a1  a2   a2  a3   ....  an  an1   a1  an1
(*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn
P = u1u2 ....un
Biến đổi các số hạng u k về thương của hai số hạng liên tiếp nhau:
uk =

ak
ak 1

Khi đó P =

a
a1 a2
a

. ..... n  1
a2 a3
an 1 an 1

8.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1 :
Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng
1
1
1
1
3


 .... 

2 n 1 n  2
nn 4

Giải:
Ta có

1
1
1


n  k n  n 2n

với k = 1,2,3,…,n-1

Do đó:
1
1
1
1
1
n 1

 ... 

 ... 


n 1 n  2
2n 2n
2n 2n 2

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2 ta có:

10


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

1 1
1
A = 1+ + +...+ n < n

2 3
2 -1

Giải:
1
1 
1 1  1 1 1 1  1 1
 1
A=1+  +  +  2 + + +  +  3 + +...+  +...+  n-1 +...+ n 
15 
2 -1 
 2 3  2 5 6 7   2 9
2

ở mỗi nhóm trong A ta làm trội bằng cách thay các phân số bởi phân số lớn nhất
trong nhóm, ta được:
1
1
1
1
A< 1  .2  2 .4  3 .8  ...  n1 .2n1 = 1+1+...+1= n
2
2
2
2
n

Vậy A < n
8.3. Bài tập tương tự
Bài tập: Chứng minh:

1
1
1
1
+
+
+...+
< 2 Với n nguyên dương.
n+1 n+2 n+3
3n+1

9. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức kinh điển: ( Bất đẳng Côsi
và bất đẳng thức Bunhiacốpxki)
9.1. Phương pháp giải: Để chứng minh một bất đẳng thức nào đó ngoài các
cách đã giới thiệu ta có thể sử dụng các bất đẳng thức kinh điển. Trong
phạm vi chương trình THCS , tôi xin giới thiệu và hướng dẫn học sinh vận
dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy) , bất đẳng thức Bunhiacốpxki và Bất đẳng
thức Trê- bư-sép để chứng minh các bất đẳng thức khác.
a. Bất đẳng thức Côsi: Cho a1, a2,…,an là các số không âm. Khi đó ta có:
a1 +a 2 +…+a n n
 a1 a 2…a n
n

Dấu bằng xảy ra khi a1= a2 = …= an
b. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho hai dãy số a1, a2,…,an và b1, b2,…,bn. khi
đó ta có:
(a1b1+ a2b2 + …+ anbn)2  (a12 +a22 + …+ an2)(b12 +b22 + …+bn2)
Dấu bằng xẩy ra khi

a1 a 2
a
= =...= n với quy ước nếu mẫu của tỉ số nào bằng 0
b1 b 2
bn

thì tử của tỉ số đó cũng bằng 0.
c. Bất đẳng thức Trê- bư-sép:
11


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

abc
A  B  C



aA  bB  cC a  b  c A  B  C

.
3
3
3

abc
A  B  C



aA  bB  cC a  b  c A  B  C

.
3
3
3

Nếu 
Nếu 

abc
Dấu bằng xảy ra khi 
A  B  C
9.2. Ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số không âm và a+b+c=1. Chứng minh rằng:

a+b + b+c + c+a  6
Giải:
a, b, c  0  a+b  0; b+c  0; c+a  0


a+b ,

c+a xác định.

b+c ,

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski với 2 bộ số:
a1=1, a2=2, a3=3, b1= a+b , b2=
ta có: (1.

a+b +1.

b+c +1.

 ( a+b+ b+c+ c+a )  3.2
2

b+c , b3 =

c+a

c+a )2  (1+1+1)(a+b+b+c+c+a)
(vì a+b+c=1)

 ( a+b+ b+c+ c+a  6

Ví dụ 2: Cho a, b, c, d >0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :

a 2  b 2  c 2  d 2  ab  c   bc  d   d c  a   10

Giải:
Ta có a 2  b 2  2ab
c 2  d 2  2cd

Do abcd =1 nên cd =

1
1 1
(dùng x   )
ab
x 2

2
2
2
Ta có a  b  c  2(ab  cd )  2(ab 

1
)  4 (1)
ab

Mặt khác: ab  c   bc  d   d c  a 
=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
1  
1  
1

   ac     bc    2  2  2
=  ab 
ab  
ac  
bc 


2
2

2
2
Vậy a  b  c  d  ab  c   bc  d   d c  a   10
Ví dụ 3: Cho a > b > c > 0 và a 2  b 2  c 2  1 chứng minh rằng

12


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

a3
b3
c3
1



bc a c a b 2
Giải:

a2  b2  c2

Do a,b,c đối xứng , giả sử a  b  c   a  b  c

b  c a  c a  b

áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
a

b
c
a2  b2  c2  a
b
c  1 3 1
2
2
a .
b .
c .

.


= . =
bc
ac
ab
3
bc a c a b 3 2 2
2

a3
b3
c3
1



Vậy

bc ac ab 2

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =

1
3

* Lưu ý: + Việc chứng minh các bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức
Bunhiacôpxki ở đây không đề cập mà chỉ hướng dẫn các em chứng minh bất
đẳng thức bằng cách sử dụng một hoặc nhiều bất đẳng thức đã biết khác.
+ Khi sử dụng bất đẳng thức Côsi thì cần chú ý các số áp dụng phải
có điều kiện  0 còn bất đẳng thức Bunhiacôpxki thì không cần điều kiện các
số  0 nhưng phải áp dụng cho 2 bộ số.
+ Ngoài 2 bất đẳng thức hay sử dụng cho học sinh THCS đã nêu ở
trên thì các em có thể sử dụng một số bất đẳng thức đã biết để chứng minh
một bất đẳng thức khác.
9.3. Bài tập tương tự:
Bài tập: cho a, b, c > 0. Chứng minh:
a
b
c
+
+
>2
b+c
a+c
a+b

10. Phương pháp tam thức bậc hai: ( dành cho học sinh giỏi cuối lớp 8
và lớp 9)

10.1. Phương pháp giải: Dùng định lí về dấu của tam thức bậc hai để chứng
minh bất đẳng thức.
Định lý về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0)
Δ = b2 - 4ac

13


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

- Nếu Δ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a với mọi giá trị của x (nghĩa là a.f(x)
> 0)
- Nếu Δ =0 thì f(x) luôn cùng dấu với a với mọi giá trị của x, trừ khi x =
thì f(x) = 0 (nghĩa là a.f(x) > 0 với  x 

-b
2a

-b
-b
, a.f(x) = 0 khi x = )
2a
2a

- Nếu Δ > 0 thì f(x) cùng dấu với a khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm (x 1,
x2) và khác dấu với a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm.
10.2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki đã nêu trong phần (9)

Giải:
Xét tam thức bậc hai:
f(x) = (b1x - a1)2 + (b2x - a2)2+….+(bnx - an)2
Ta thấy f(x)  0 với mọi x. Ta viết f(x) dưới dạng sau:
f(x) =( b 12 +b22 +…+b2n ) x2 - 2(a1b1+a2b2+…+anbn)x +  a12 +a 22 +…+a 2n 
Do f(x)  0 với mọi x nên từ (1) suy ra:
Δ' =  a1b1 +a 2b2 +…+a n bn  -  a12 +a 22 +…+a n2  b12 +b22 +…+bn2   0
2



  a1b1 +a 2 b2 +…+a n bn   a1 +a 2 +…+a n
2

2

2

2

 b +b +…+b 
2
1

2
2

Dấu = xảy ra  Δ' = 0
 phương trình f(x) = 0 có nghiệm kép


a1 a 2
a
= =…= n
b1 b 2
bn

Ví dụ 2:
Chứng minh rằng





f x, y   x 2 y 4  2 x 2  2 . y 2  4 xy  x 2  4 xy 3

Giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với





x 2 y 4  2 x 2  2 . y 2  4 xy  x 2  4 xy 3  0
 ( y 2  1) 2 .x 2  4 y1  y  x  4 y 2  0
2

14

2

n


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

Ta có   4 y 2 1  y 2   4 y 2 y 2  1  16 y 2  0
2

2

Vì a = y 2  1  0 vậy f x, y   0 (điều phải chứng minh)
2

* Nhận xét: khi sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứng minh bất
đẳng thức như ví dụ của (10) đã nêu ở trên thì học sinh cần biết định lí về dấu
của tam thức bậc hai nhưng kiến thức đó chưa được chính thức giới thiệu ở
bậc THCS nên hơi khó đối với các em. Do đó tôi chỉ giới thiệu ví dụ trên để
HS tham khảo.
11. Dùng bất đẳng thức để tìm cưc trị

Lưu ý
- Nếu f(x)  A thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là A
- Nếu f(x)  B thì f(x) có giá trị lớn nhất là B
Ví dụ 1 :
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|
Giải :
Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x|  |x-1+4-x| = 3

Và x  2  x  3  x  2  3  x  x  2  3  x  1
Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|  1+3 = 4
Ta có từ (1)  Dấu bằng xảy ra khi 1  x  4
(2)  Dấu bằng xảy ra khi 2  x  3
Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2  x  3
Ví dụ 2 :
Tìm giá trị lớn nhất của
S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1
Giải :
Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có
x+ y + z  3 3 xyz
 3 xyz 

1
1
 xyz 
3
27

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có

 x  y  . y  z . z  x   3 3  x  y . y  z . x  z 
 2  3 3  x  y  . y  z . z  x 
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=
Vậy S 

1
3

8 1

8
. 
27 27 729

Vậy S có giá trị lớn nhất là

8
1
khi x=y=z=
729
3

15

(1)
(2)


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

12. Phương pháp đồ thị và hình học:
11.1. Phương pháp giải: Vận dụng các kiến thức hình học để chứng minh
các bài toán về bất đẳng thức đại số.
Ví dụ: Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh rằng:
a 2 +b2 + c2 +d 2 

 a+c  +  b+d 
2

2

Giải:
Trên trục hoành Ox đặt liên tiếp hai đoạn OA = a, AB = c, còn trên trục Oy đặt
liên tiếp OC = b, CD = d. Xét hình chữ nhật COAE và DOBF. Theo định lý
Pitago ta có:

OE =

a 2 +b2

EF =

c2 +d 2

OF =

 a+c  +  b+d 

y
2

2

D

Mà OE + EF  OF

F

d

Dấu bằng xảy ra   OAE

 EFG

C
b

a c
 =
b d

O

G

E
a

A

x
c

B

Ví dụ 3: Cho x, y là 2 số thoả mãn:
2x+y-2  0


2x-y-2  0
-x+2y- 4  0


Chứng minh: x2 + y2 
Giải:

y
C

A 2

4
5

H
-4

O
-2

16

1B

x


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

Gọi I(x;y) là điểm trên
mặt phẳng Oxy trong đó x, y thoả mãn
đề bài. Tập hợp các điểm I(x,y) là miền
mặt phẳng giới hạn bởi tam giác ABC.

Như vậy muốn chứng minh x2 + y2 

4
5

4
ta cần chứng minh : OI2  . Xét tam giác OAB, O =900, OH  AB
5


5
1
1
1
4
=  OH2 = ; Lại có OI  OH
=
+
2
2
2
5

OH OA OB 4

Vậy OI2 

4
4
. Hay x2 + y2 
5
5

11.3. Bài tập tương tự
Bài 1: Chứng minh rằng với x, y, z, t > 0 thì

 x +z  y +z  +  x +t  y +t    x+y  z+t 
2

2

2

2

2

2

2

2

Bài 2: Chứng minh rằng với  x  R :

x 2 -6x+34- x 2 -6x+10  4

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
1. Mục đích thực nghiệm:
+ Kiểm tra, đánh giá hiệu quả của đề tài nghiên cứu.
+ Xác định được những nhược điểm của đề tài từ đó đưa ra những biện pháp
điều chỉnh khắc phục để đề tài hoàn thiện hơn.
+ Giúp học sinh học tốt về bất đẳng thức nói riêng và học tốt môn toán nói
chung.
+ Qua việc theo dõi qua trình triển khai, đánh giá hiệu quả của đề tài này các
đồng nghiệp có thể trao đổi, góp ý xây dựng cho đề tài cũng như tham khảo đề
tài góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốt nội dung bất đẳng thức trong công
tác giảng dạy.
2. Nội dung thực nghiệm:
17


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

Sau đây tôi xin trình bày ba bài giáo án đại số 8 mà trong đó tôi đã áp
dụng một số biện pháp của đề tài này trong học kỳ I năm học 2011 - 2012.
Ngày soạn: 15/12/2011
Ngày giảng: 19/12/2011

TIẾT 34:

BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ
GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC

A. Mục tiêu:

* Kiến thức: HS có khái niệm về biểu thức hữu tỉ, biết rằng mỗi phân
thức và mỗi đa thức đều là những biểu thức hữu tỉ. HS biết cách biểu diễn một
biểu thức hữu tỉ dưới dạng một dãy các phép toán trên những phân thức và hiểu
rằng biến đổi một biểu thức hữu tỉ là thực hiện các phép toán trong biểu thức để
biến nó thành một phân thức đại số.
* Kĩ năng: HS có kĩ năng thực hiện thành thạo các phép toán trên các
phân thức đại số. HS biết cách tìm điều kiện của biến để giá trị của phân thức
được xác định.
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận cho HS.
B. Chuẩn bị của GV và HS:

* GV: Bảng phụ.
* HS: Học và làm bài đầy đủ ở nhà. Ôn tập các phép toán cộng, trừ, nhân,
chia, rút gọn phân thức.
C. Tiến trình dạy học:

I: Tổ chức : SS: 8A
II: Kiểm tra
- Phát biểu quy tắc chia phân thức. Viết công thức tổng quát.
- Chữa bài 37 b SBT.
- GV nhận xét cho điểm.
- GV nhấn mạnh:
+ Khi biến chia thành nhân phải nghịch đảo phân thức chia.
III: Bài mới
18

Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

Hoạt động của giáo viên
- Cho các biểu thức sau:
0; 

2
;
5

2

5x 

7 ; 2x -

(6x + 1) (x - 2) ;

Hoạt động của học sinh
1. Biểu thức hữu tỉ

1
;
3

3

1
; 4x +
3x  1
x3

Các biểu thức:
2
;
5

0; 

2

7 ; 2x -

5x 

1
;
3

2

;
2x
2
x 1
3
2

x 1

(6x + 1) (x - 2) ;

3
là các phân thức.
3x  1

Biểu thức: 4x +

1
là phép cộng hai
x3

2

phân thức.

2x
2
x

1
Biểu thức:
là dãy tính gồm phép
3
biểu thức nào là phân thức ? Biểu
x2  1

Hãy cho biết các biểu thức trên,

thức nào biểu thị phép toán gì trên
các phân thức?

cộng và phép chia thực hiện trên các phân
thức.

- Giới thiệu: Mỗi biểu thức là một
phân thức hoặc biểu thị một dãy các
phép toán: cộng, trừ, nhân, chia trên
những phân thức là những biểu thức
hữu tỉ.
- Yêu cầu HS lấy 2 VD về biểu
thức hữu tỉ.
- Ví dụ 1: Biến đổi biểu thức
1
1
x thành một phân thức.
A=
1
x
x

HS lấy 2 VD về biểu thức hữu tỉ
2. Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành
một phân thức
1
1
A = 1   :  x  


- GV hướng dẫn HS:
1
1
A = 1   :  x  
x 
x


=

x 

x  1 x2  1
:
x
x

19

x


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

- Gọi một HS lên bảng làm tiếp.

=

- Yêu cầu HS làm ?1.

x 1
x
1
.

x ( x  1)( x  1) x  1

- Nhắc nhở HS: Hãy viết phép chia
theo hàng ngang.

2  
2x 
?1.B = 1 
 : 12  2



x 1 

x  1

x  1  2 x2  1  2x
=
:
x 1
x2  1

=

x  1 x2  1
x1  1
.

x  1 ( x  1) 2 x 2  1

IV: Củng cố - luyện tập
Bài số 46 SGK/57: Biến đổi mỗi

Bài số 46 SGK/57

biểu thức sau thành một phân thức

1
a, x 
1
1
x

đại số
1
x
a,
1
1
x
1

2

x 1
b,
x2  2
1 2
x 1
1

Y/c 2 hs lên bảng thực hiện

1

1  1  x  1 x 1
 (1  ) : 1   
:

x  x
x
x
x 1 x
x 1

.

x x 1 x 1

2
x 1
b,
x2  2
1 2

x 1
1

= (1 

Y/c học sinh nhận xét, Gv nhận xét
và chốt vấn đề

2
x2  2
) : (1  2 )
x 1
x 1

x  1  2 x2 1  x2  2 x  1 x2  1

:

.
x 1
x2 1
x 1 1
( x  1) 2

 ( x  1)2
1

V:Hướng dẫn về nhà
- Cần nhớ: Thế nào là biểu thức hữu tỉ, biến đổi biểu thức hữu tỉ thực chất là
thực hiện các phép toán về phân thức

- Làm bài 50 , 51, 53, 54, 55 SGK
- Ôn lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, ước của số nguyên.

20


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn
***************************

Ngày soạn: 16/12/2011
Ngày giảng: 20/12/2011

TIẾT 35 :

BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ
GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC

A. Mục tiêu:

* Kiến thức: HS có khái niệm về biểu thức hữu tỉ, biết rằng mỗi phân
thức và mỗi đa thức đều là những biểu thức hữu tỉ. HS biết cách biểu diễn một
biểu thức hữu tỉ dưới dạng một dãy các phép toán trên những phân thức và hiểu
rằng biến đổi một biểu thức hữu tỉ là thực hiện các phép toán trong biểu thức để
biến nó thành một phân thức đại số.
* Kĩ năng: HS có kĩ năng thực hiện thành thạo các phép toán trên các
phân thức đại số. HS biết cách tìm điều kiện của biến để giá trị của phân thức
được xác định.
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận cho HS.

B. Chuẩn bị của GV và HS:

- GV: Bảng phụ.
- HS: Học và làm bài đầy đủ ở nhà. Ôn tập các phép toán cộng, trừ, nhân, chia,
rút gọn phân thức, tìm điều kiện để một tích khác 0.
C. Tiến trình dạy học:

I: Tổ chức :SS:Lớp 8A:
II: Kiểm tra
III: Bài mới
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

2
. Tính giá trị của phân 3. Giá trị của phân thức
x
2 2
- HS: Tại x = 2 thì   1
thức tại x = 2 ; x = 0.
x 2

- Cho phân thức

Tại x = 0 thì

21

2 2
 phép chia

x 0


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn
không thực hiện được nên giá trị
của phân thức không xác định.
- Một HS đọc to SGK đoạn: "giá trị
của phân thức" SGK.

- Vậy điều kiện để giá trị của phân thức - Điểu kiện xác định của phân thức
được xác định là gì ?

là điều kiện của biến để mẫu thức

- Yêu cầu HS đọc SGK.

khác 0.

- Khi nào phải tìm điều kiện xác định của
phân thức ?

VD2: SGK.

- Điều kiện xác định của phân thức là gì?
- GV đưa VD 2 SGK lên bảng phụ. Hỏi:
+ Phân thức

3x  9

được xác định khi
x( x  3)

nào ?

?2.
a) Phân thức

- Yêu cầu HS làm ?2.

x 1
được xác định
x2  x


x2 + x  0  x (x + 1)  0  x  0
và
x  - 1.
b)

x 1
x 1
1

=
2
x x
x( x  1) x

+ x = 1 000 000 thoả mãn điều kiện

xác định khi đó giá trị của phân
thức
bằng:

1
x



1
1000000000

+ x = -1 không thoả mãn điều kiện
xác định, vậy với x = -1 giá trị của
phân thức không xác định.
IV: Luyện tập - củng cố

22


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

Bài tập 47 SGK.

Bài tập 47 SGK.
a) Giá trị

5x

được xác định
2x  4

 2x+4  0  2x  -4  x  -2.
b) Giá trị

x 1
xác định
x2  1

 x2 - 1  0  x2   1.
Bài tập 48 SGK.
Hai HS lên bảng làm phần a, b ; hai HS

Bài tập 48 SGK.
a) Giá trị phân thức

khác làm phần c, d.

x2  4x  4
x2

xác định  x + 2  0  x  - 2.
x2  4x  4
( x  2) 2
b)
=
 x2
x2
x2

c) x + 2 = 1
 x = -1 (TMĐK).
Y/c học sinh nhận xét, gv nhận xét và

Với x = -1 thì giá trị phân thức bằng
1.

sửa sai

d) x + 2 = 0
 x = - 2 (Không TMĐK).
Vậy không có giá trị nào của x để
phân thức bằng 0.
V:Hướng dẫn về nhà
- Cần nhớ: Khi làm tính trên các phân thức không cần tìm điều kiện của biến,
mà cần hiểu rằng: Các phân thức luôn xác định. Nhưng khi là những bài toán
liên quan đến giá trị phân thức, thì trước hết phải tìm ĐK của biến để giá trị
phân thức xác định; đối chiếu giá trị của biến để bài cho hoặc tìm được; xem giá
trị đó có thoả mãn hay không, nếu thoả mãn thì nhận được, nếu không thoả mãn
thì loại.
- Làm bài 50 , 51, 53, 54, 55 SGK
- Ôn lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, ước của số nguyên.
***************************
23


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

Ngày soạn: 17/12/2011
Ngày giảng: 23/12/2011

Tiết 36: LUYÊN TẬP
A. Mục tiêu:
* Kiến thức: Củng cố cách thực hiện các phép toán trên các phân thức đại
số. Phân biệt được khi nào cần tìm điều kiện của biến, khi nào không cần tìm
1 1
điều kiện của biến. Nắm được tính chất: a > b  < với  a, b >0.
a b

*Kĩ năng: Rèn luyện cho HS kĩ năng thực hiện các phép toán trên các
phân thức đại số. HS có kĩ năng tìm điều kiện của biến. Vận dụng được tính chất
bất đẳng thức trên vào việc chứng minh một số bất đẳng thức cũng như tìm giá
trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một phân thức.
*Thái độ : Rèn tính cẩn thận cho HS.
B. Chuẩn bị của GV và HS:
* GV : Bảng phụ.
* HS : Học và làm bài đầy đủ ở nhà. Ôn tập PTĐT thành nhân tử, ước của
số nguyên.
C. Tiến trình dạy học:
I: Tổ chức
Lớp 8A:
II: Kiểm tra
Yêu cầu 1 HS lên bảng kiểm tra:
- HS1: Chữa bài tập 50a SGK
3x 2 
 x
 


 1 : 1 

2 
 x 1   1 x 

=

x  x  1 1  x 2  3x 2
:
x 1
1  x2

=

2x  1 1  4x2
:
x  1 1  x2

24


Gia sư Thành Được
=

www.daythem.com.vn

2 x  1 (1  x)(1  x)
1 x
.


x  1 (1  2 x)(1  2 x) 1  2 x

- Bài này không cần tìm ĐK của biến vì không liên quan đến giá trị của phân
thức.
- HS2: Chữa bài 54 SGK.

3x  2
2x2  6x

ĐK: 2x2 - 6x  0
 2x (x-3)  0
 x  0 và x  3.
b)

5
ĐK: x2 - 3  0
x 3
2

 (x- 3 ) (x + 3 )  0
 x  3 và x  - 3
III: Bài mới
Hoạt động củaGiáo viên
Bài 52 SGK.

Hoạt động của học sinh
Bài 52SGK.

- Giáo viên yêu cầu học sinh thực Học sinh thực hiện theo yêu cầu của Giáo

hiện

viên

- Tại sao trong đề bài lại có điều


x2  a2 
 a 
.
x  a 


kiện: x  0; x   a .
- Yêu cầu 1 HS lên bảng kiểm tra.

4a 
 2a



 x xa

ax  a 2  x 2  a 2 2ax  2a 2  4ax
.
=
xa
x( x  a )
ax  x 2  2a 2  2ax
=

.
xa
x( x  a )

=

x(a  x)  2a(a  x) (a  x).2a


 2a
xa
x( x  a)
ax

là số chẵn do a nguyên.
Giáo viên yêu cầu học sinh nhận
xét, kết luận chốt lại vấn đề cơ bản.
Bài 46 tr 25 SBT.

Bài 46 tr 25 SBT.

- Yêu cầu HS trả lời trước lớp.

25