on thi dai hoc mon toan phan tiep tuyen bai toan ve tiep tuyen cua do thi ham so

Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

Bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Bài toán 1: Viết ph-ơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số.
1.Bài toán: Cho đồ thị (C) : y = f(x) và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) (C) . Viết ph-ờng trình tiếp
tuyến của (C) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) .
2.Ph-ơng pháp:
Ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại M 0 ( x0 ; y0 ) có dạng : y y0 f ' ( x0 )(x x0 ) .
y = f(x)

y

M0

y0
O

x

x0

Ví dụ : Cho hàm số y x 3 3x 5 (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
biết :
a) Tại điểm A ( -1; 7).
b) Tại điểm có hoành độ x = 2.
c) Tại điểm có tung độ y =5.
Giải:
a) Ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) có dạng : y y0 f ' ( x0 )(x x0 )
Ta có: y' 3x 2 3 y' (1) 0 .

Do đó ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1; 7) là: y 7 0 hay y = 7.
b) Từ x 2 y 7 .
y(2) = 9. Do đó ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 là:
y 7 9( x 2) y 7 9x 18 y 9 x 11

1


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

x 0

c) Ta có: y 5 x 3 3x 5 5 x 3 3x 0 x 3
x 3


+) Ph-ơng trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (0; 5).
y(0) = -3.
Do đó ph-ơng trình tiếp tuyến là: y 5 3( x 0) hay y = -3x +5.
+) Ph-ơng trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm ( 3;5) .
y' ( 3 ) 3( 3 ) 2 3 6

Do đó ph-ơng trình tiếp tuyến là: y 5 6( x 3 ) hay y 6 x 6 3 5 .
+) T-ơng tự ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại ( 3;5) là : y 6 x 6 3 5 .
Bài tập 1: ( ĐH An Ninh A- 2000)
Cho hàm số y x 3 mx 2 m 1 (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm
cố định. Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó khi m thay đổi.
Giải:

Gọi (x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số khi đó ta có:
y 0 x03 mx 02 m 1 m

( x02 1)m x03 1 y 0 0 m
x0

x02 1 0
y 0
3

x0 1 y 0 0
x0
y 0

1
0
1
2

2

Ta có: y = 3x + 2mx
y(1) = 3 + 2m. Do đó ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại A(1; 0) là:
y 0 (2m 3)( x 1) hay y (2m 3) x (2m 3) (1)
T-ơng tự ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại B(-1 ; -2 ) là:
y (3 2m) x 1 2m . (2)
* Tìm quĩ tích giao điểm của hai tiếp tuyến khi m thay đổi:
Khử m từ ph-ơng trình (1) và ph-ơng trình (2) ta đ-ợc: y

3x 2 x 2

là quỹ tích
x

cần tìm. (Đó là một Hypebol).
Bài tập 2: ( HVBCVT A - 1998).
Cho hàm số: y

x 1
(C ) .
x 1

a) CMR: Mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đ-ờng tiệm cận một tam giác
có diện tích không đổi.
2


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

b) Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đ-ờng tiệm
cận một tam giác có chu vi bé nhất.
Giải:
a) Gọi M 0 ( x0 ;

x0 1
2
) (C ) . y ' ( x0 )
( x 0 1) 2
x0 1

Ph-ơng trình tiếp tuyến tại điểm M0 có dạng:
y

x 1
2
(d)
( x x0 ) 0
2
x0 1
( x0 1)

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (C) là: x = 1.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C) là: y =1.
Toạ độ giao điểm của hai đ-ờng tiệm cận là A(1; 1).
Toạ độ giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là nghiệm của hệ:
x 1
2

( x x0 ) 0
x 2 x0 1
y
2
x0 1
( x0 1)

y 1
y 1

Gọi C(2x0 1;1) .

T-ơng tự, toạ độ giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là: B(1;
Ta có : AB =

x0 3
).
x0 1

x0 3
4
1
x0 1
x0 1

AC = 2 x 0 1
Do tam giác ABC vuông tại A nên diện tích của tam giác ABC là:
S

1
1
4
AB. AC .
.2 x0 1 4 ( Không đổi) (Điều phải chứng minh).
2
2 x0 1

b) Ta có chu vi của tam giác ABC là:
2 p AB AC BC AB AC AB 2 AC 2 2 AB. AC 2 AC. AB
2 p (2 2 ) 8 4 4 2

Dấu = khi và chỉ khi AB = AC

x0 1 2
4
2 x0 1 ( x0 1) 2 2
.
x0 1
x0 1 2

Vậy, những điểm thuộc (C) có hoành độ thoả mãn x 1 2 thì tiếp tuyến tại đó lập
với hai đ-ờng tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Bài tập 3: (HVBCVT A- 1999)
Cho hàm số: y x 3 3x 2 2 (C).Tìm các điểm thuộc (C) mà qua đó kẻ đ-ợc một và
chỉ một tiếp tuyến đến (C).
Giải:
3


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

Gọi M 0 ( x0 ; x03 3x02 2) (C ) .
Ph-ơng trình tiếp tuyến (pttt) của (C) tại M0 có dạng:
y k ( x x0 ) x03 3x02 2 (d)
Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) tại M0 khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

3
2

3
2

x 3x 2 k ( x x0 ) x0 3x0 2

2

3x 6 x k

x1 x0
Suy ra ( x x0 )(2 x 3x xx0 x 3x0 ) 0
x 2 3 x0

2
2

2
0

Điểm M0 thoả mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi:
x1 x2 x0

3 x0
x0 1 .
2

Vậy, trên (C) tồn tại duy nhất điểm M0( 1; 0) mà qua đó kẻ đ-ợc đúng một và chỉ
một tiếp tuyến với đồ thị (C).
Bài tập 4: (HVBCVT A - 2001).
Cho hàm số: y = x3 - 3x (1).

a) CMR: khi m thay đổi đ-ờng thẳng cho bởi ph-ơng trình : y = m(x + 1) + 2 (d) luôn
cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định.
b) Tìm m để (d) cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến
với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau.
Giải:
a) Ph-ơng trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và đ-ờng thẳng (d) là:
x 3 3x m( x 1) 2
x 3 3x 2 m( x 1)
( x 1)( x 2 x 2) m( x 1)
( x 1)( x 2 x 2 m) 0
x 1 0
2
x x 2 m 0 (*)
Ta có x + 1 = 0 x = -1 y = 2. Do đó điểm cố định là A( -1; 2).

b) Đồ thị (1) cắt đ-ờng thẳng (d) tại 3 điểm phân biệt A, B, C khi và chỉ khi ph-ơng
trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1.
9

0
1 4(2 m) 0
m



4.
2
m

0

(

1
)

(

1
)

2

m

0


m 0

4


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

Gọi B(x1; y1), C(x2; y2) là hai điểm thuộc đồ thị hàm số (1).
Ta có: y = 3x2 - 3
y' ( x1 ) 3x12 3, y' ( x 2 ) 3x22 3 . Tiếp tuyến tại B và tại C vuông góc với nhau

khi và chỉ khi:
y(x1).y(x2) = -1 9( x1 x2 ) 2 9( x1 x2 ) 2 18x1 x2 10 0
x1 x2 1
Mà x x 2 m (theo định lí viet).
1 2



Do đó: 9(2 m) 2 18(2 m) 1 0 9m 2 18m 1 0 m
Kết luận: Vậy m

3 2 2
( Thoả mãn).
3

3 2 2
thì yêu cầu bài toán đ-ợc thoả mãn.
3

Bài tập 5: Cho hàm số: y

4x 2
(C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C),
x 1

trục Oy và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3.
Giải:

4*3 2 5
.

3 1
2
6
3
y'
y ' (3)
2
8
( x 1)
5
3
5
Pttt của (C) tại điểm (3; ) là: y ( x 3)
2
8
2

Ta có: x 3 y

Diện tích hình phẳng cần tính là:
3

S
0

3

3
5
6

3
3
6
( x 3) (4
) dx ( ( x 3)
)dx
8
2
x 1
8
2 x 1
0

3
3
= ( ( x 3) 3 - x 6 ln x 1 )
16
2

3

= 12 ln 2
0

99
16

(đvdt).

Bài tập 6: (ĐH Huế A - 2000).

Cho hàm số: y x

1
(C). Tìm tất cả các cặp điểm trên đồ thị của hàm số (C) mà
x 1

tiếp tuyến tại đó song song với nhau.
5


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

Giải:
Ta có : y ' 1

1
( x 1) 2

Gọi M 1 ( x1 ; y1 ), M 2 ( x2 ; y 2 ) (C ) Với x1 x2 . Theo giả thiết ta có:
y ' ( x1 ) y ' ( x2 ) 1

x1 x 2 2
1
1

1

x x (l )
( x1 1) 2
( x 2 1) 2
2
1

Vậy M1, M2 đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đ-ờng tiệm cận của đồ thị hàm
số thì tiếp tuyến tại đó song song với nhau.
Bài toán 2: Viết ph-ơng trình tiếp tuyến qua một điểm cho tr-ớc.
1.Bài toán: Cho đồ thị (C) : y = f(x) và điểm A(a; b). Viết ph-ờng trình tiếp tuyến
y
của (C) đi qua điểm A.

A(a; b)
x
O

y = f(x)
2. Ph-ơng pháp: Viết ph-ơng trình trình thẳng qua A(a; b) với hệ số góc k d-ới
dạng: y = k(x - a) + b (d).
Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
f ( x) k ( x a) b
có nghiệm.

f ' ( x) k
Giải ph-ơng trình f ( x) f ' ( x)(x a) b x x0 ; x1 ;...; xn

. tính ki = f(xi) với

i 0; n ,

thay vào (d) suy ra các tiếp tuyến.
Ví dụ: Cho hàm số: y x 3 3x (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến kẻ từ A(-1; 2) tới đồ
thị (C).
Giải:
Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua A(-1; 2) có dạng: y = k(x +1) + 2 (d).
Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
6


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

3

x 3x k ( x 1) 2 (1)
có nghiệm.
2

3x 3 k (2)

2 x 3 3x 2 1 0

Thế k từ (2) vào (1) ta đ-ợc:

x 1
.
( x 1) (2 x 1) 0
x 1

2

2

+) Với x = -1 suy ra k = 0. Pttt là: y = 2.
+) Với x =

1
9
9
1
k
x .
. Pttt là: y
2
4
4
4

Bài tập 1:
Cho hàm số y 3x 4x 3 (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) qua A(1; 3).
Giải:
Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua A(1; 3) có dạng: y = k( x -1) +3 (d).
Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
3

3x 4 x k ( x 1) 3

2

3 12x k
3x 4 x 3 (3 12 x 2 )( x 1) 3

3x 4 x 3 3x 3 12 x 3 12 x 2 3
x 0
8 x 3 12 x 2 0
x 3
2

+) x 0 k 3 . Pttt là: y = 3(x- 1) + 3 hay y = 3x.
3
3
+) x k 3 12( ) 2 24 .Pttt là: y = -24(x - 1) + 3 hay y = -24x + 27.
2
2

Kết luận: vậy có hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 3) là:
y = 3x và y = -24x + 27.
Bài tập 2: (ĐH Cần Thơ D - 1998).
Cho hàm số y x 3 3x 2 2 (C) . Viết pttt của (C) đi qua A(-1; -2).
Giải:
Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua A(-1; -2) có dạng : y = k(x + 1) - 2 (d).
Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
3
2

x 3x 2 k ( x 1) 2
có nghiệm.
2

3x 6 x k

x 1
x 3 3x 2 0 ( x 1) 2 ( x 2) 0
x 2
+) Với x = -1 k 9 . Pttt là: y = 9x + 7.

7


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

+) Với x = 2 k 0. Pttt là: y = -2.
Bài tập 3: (ĐH D-ợc A- 1999).
Cho hàm số: y

x2 x 1
x 1

(C ). CMR: Có hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 0) và

vuông góc với nhau.
Giải:
Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua A(1; 0) với hệ số góc k có dạng:
y = k(x -1) (d).
Ta có: y

x2 x 1

1
x 1
(C).
x 1
x 1

Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
1

x 1 x 1 k ( x 1) (1)
có nghiệm.
(I )
1
1
k (2)
( x 1) 2
1
k ( x 1) (3)
Từ (2) x 1
x 1
1
k
Lấy (1) (3) ta đ-ợc:
x 1
1
x 1 k
Do đó ( I )
. Hệ này có nghiệm khi và chỉ khi
1 1

k
( x 1) 2
k 0

k 1 5 (t / m)
k 0
k 0
2
1

2
2

1 k k
k k 1 0

k 1 5 (t / m)
2
2

Vì k1k2 = -1 nên hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 0) vuông góc với nhau.
Bài tập 4: Cho hàm số: y (2 x 2 ) 2 (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
biết tiếp tuyến đó đi qua A(0; 4).
Giải:
Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua A(0;4) có dạng: y kx 4 (d )
Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
8


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

x 4 4 x 2 4 kx 4
có nghiệm.
3
4 x 8 x k

Suy ra x 4 4x 2 4 4x 3 8xx 4


x 0


2
2
2
x (3x 4) 0 x
3


2
x
3

+) Với x = 0 k 0 . Pttt là : y = 4.
16 3
2
16 3
x4.

k
+) Với x
. Pttt là: y
9
9
3

+) Với x

2
3

k

16 3
16 3
x 4.
.Pttt là: y
9
9

Kết luận: Vậy có ba tiếp tuyến qua A(0; 4) đến đồ thị (C).
Bài tập 5:
Cho hàm số: y

x2
(C) và điểm A(0; a). Xác định a để từ A kẻ đ-ợc hai tiếp
x 1

tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm t-ơng ứng nằm về hai phía so với trục Ox

Giải:
Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua A(0; a) có dạng: y = kx + a (d)
Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
x 2
x 1 kx a
có nghiệm.
3


k
2
( x 1)
x2
3


x a (a 1) x 2 2(a 2) x a 2 0 (*) ( x = 1 không là nghiệm).
x 1 ( x 1) 2

Qua A kẻ đ-ợc 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C) khi và chỉ khi ph-ơng trình (*) có hai
nghiệm phân biệt
a 1 0
a 1
a 1



(**)
' 0
3(a 2) 0

a 2

Gọi x1; x2 là các tiếp điểm. Do hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành nên
y(x1).y(x2) < 0 (x1; x2 là các nghiệm của ph-ơng trình (*))


x1 2 x2 2
x x 2( x1 x2 ) 4
.
0 1 2
0
x1 1 x2 1
x1 x2 ( x1 x2 ) 1

9


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

2(a 2)

x

x

2t
1
2

a 1
Theo định lí viet ta có:
x .x a 2 t
1 2 a 1
t 1
t 4t 4
5t 4

0
0
t. 4
t 2t 1
1 t
5

a2
3
1
0 a 1 0 a 1 (thoả mãn (**)).
+) t 1
a 1
a 1
4
a2 4
9a 6
2
+) t

0
a 1 (thoả mãn (**)).
5
a 1
5
5(a 1)
3
a 1
Vậy, 2
thì yêu cầu bài toán đ-ợc thoả mãn.

a 1
3

Bài tập 6:
1
2

Cho hàm số y x 4 3x 2

3
3
(C ) . Viết pttt của (C) đi qua A(0; ).
2
2

Giải:
3
2

Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua A(0; ) có dạng: y kx

3
2

(d )

Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
3
3
1 4
2
x 3x kx
2
2 có nghiệm.
2
2 x 3 6 x k

x 0

Suy ra 3x 4 6 x 2 0 x 2
x 2

3
+) Với x = 0 k 0 . Pttt là: y .
2
3
2
3

+) Với x= - 2 k 2 2 . Pttt là: y = 2 2 x .
2
3
Kết luận: Vậy có ba tiếp tuyến kẻ từ A(0; ) đến đến thị (C).
2

+) Với x 2 k 2 2 . Pttt là: y 2 2 x .

* Lời bình: Đối với bài toán này học sinh th-ờng lầm hai khái niệm tiếp tuyến đi qua
và tiếp tuyến tại điểm từ đó dẫn đến việc xác định thiếu tiếp tuyến của đồ thị (C). Vì
vậy qua bài tập này phải cho học sinh nhận rõ hai loại tiếp tuyến này có sự khác nhau
rõ rệt.
10


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

Bài tập 7: (ĐH Ngoại th-ơng A - 2000).
Cho hàm số y x 3 6x 2 9x 1 (C). Từ một điểm bất kì trên đ-ờng thẳng x = 2 có
thể kẻ đ-ợc bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Giải
Gọi điểm B(2; b) là điểm bất kì nằm trên đ-ờng thẳng x = 2.Ph-ơng trình đ-ờng
thẳng qua B(2; b) có dạng: y = k(x - 2) +b (d).
Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
3
2

x 6 x 9 x 1 k ( x 2) b

2

3x 12x 9 k

x 3 6 x 2 9 x 1 (3x 2 12x 9)( x 2) b
b 2 x 3 12x 2 24x 17 (*)

Số tiếp tuyến cần tìm bằng số nghiệm của ph-ơng trình (*)
Xét hàm số y 2x 3 12x 2 24x 17
Tập xác định: D = R.
y' 6x 2 24x 24 6( x 2) 2 0x R . Do đó hàm số đồng biến.
Vì hàm số đã cho luôn đồng biến nên đ-ờng thẳng y = - b cắt đồ thị hàm số :
y 2x 3 12x 2 24x 17 tại duy nhất một điểm hay ph-ơng trình (*) có duy nhất một
nghiệm.
Vậy, từ một điểm nằm trên đ-ờng thẳng x = 2 kẻ đ-ợc một và chỉ một tiếp tuyến
đến đồ thị (C).
Bài tập 8: (ĐH Nông nghiệp I A- 1999).
Cho hàm số y

x
(C). Gọi I là giao điểm của hai đ-ờng tiệm cận của đồ thị hàm
x 1

số. CMR: không có tiếp tuyến nào đi qua I.
Giải:
Ta có tiệm cận đứng x = -1.
Tiệm cận ngang y = 1. Do đó toạ độ giao điểm của hai đ-ờng tiệm cận là: I(-1; 1).
Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua I(-1; 1) có dạng: y = k(x+ 1) + 1 (d).
Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
x

x 1 k ( x 1) 1
x
1
x
1


( x 1) 1

1 x x 2 (vô nghiệm).
1
2
x 1 ( x 1)
x 1 x 1


k
( x 1) 2

(điều phải chứng minh).

11


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

Bài tập 9:
x2 x 1

Cho hàm số y
(C). Tìm các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ đ-ợc 2 tiếp
x 1

tuyến đến đồ thị (C).
Giải:
Viết lại y d-ới dạng y x 2

1
(C).
x 1

Gọi B(0; b) Oy , Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua B có dạng: y = kx + b (d).
Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
1

1

x 2 x 1 kx b
x 2 x 1 kx b
(I)

1 1
x 1 1 kx k
k
2

( x 1)
x 1
2

1
b 3 k
3
bk

x 1
x 1
2
b 3 k
1
(1)
x 1
2
Do đó (I)
1 1
k (2)
( x 1) 2

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn (2)
b 3 k
0

k b 3
2

2
2
k 2(b 1)k (b 3) 4 0 (*)
1 ( b 3 k ) 2 k

2

Yêu cầu bài toán thoả mãn khi ph-ơng trình (*) có hai nghiệm khác b + 3
' 0
(b 1) 2 ((b 3) 2 4) 0
b 1




2
2
b 2
(b 3) 2(b 1)(b 3) (b 3) 4 0
4b 8 0

Vậy, Các điểm trên trục tung có tung độ bé hơn -1 và khác -2 thì từ đó kẻ đ-ợc 2
tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Bài toán 3: Viết ph-ơng trình tiếp tuyến theo hệ số cho tr-ớc.
1. Bài toán:
Cho hàm số y = f(x) (C) và số k R .
2. Ph-ơng pháp:
Giải phương trình f(x) = k. Giả sử được các nghiệm x1; x2; ...;xn..
Tính yi = f(xi). Pttt tại xi là: y k ( x xi ) yi .
3.Các dạng biểu diễn hệ số góc k:
12


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

*) Cho trực tiếp: k 5; k 1; k 3; k

3
7

...

*) Tiếp tuyến tạo với chiều d-ơng của trục Ox một góc , với



150 ;300 ;450 ;

2
; ..... Khi đó hệ số góc k = tan .
3 3

*) Tiếp tuyến song song với đ-ờng thẳng (d): y = ax + b. Khi đó hệ số góc k = a.

1
.
a
k a
tan .
*) Tiếp tuyến tạo với đ-ờng thẳng (d): y = ax + b một góc . Khi đó:
1 ka

*) Tiếp tuyến vuông góc với đ-ờng thẳng (d): y = ax + b ka 1 k

Ví dụ 1:
Cho hàm số y x 3 3x 2 (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số
góc của tiếp tuyến k = -3.
Giải:
Ta có: y' 3x 2 6x
Do hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên: 3x 2 6x 3 x 2 2x 1 0 x 1
Với x 1 y 2 . Pttt cần tìm là: y 3( x 1) 2 y 3x 1
Ví dụ 2:
Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 3 3x 2 1(C). Biết tiếp tuyến đó
song song với đ-ờng thẳng y = 9x + 2009.
Giải:
Ta có y' 3x 2 6x .
Do tiếp tuyến đó song song với đ-ờng thẳng y = 9x + 2009 nên tiếp tuyến có hệ số
góc k = 9 3x 2 6x 9 .
x 1
x 2 2x 3 0
.
x 3
+) Với x 1 y 3. Pttt của (C) tại x = - 1 là: y 9( x 1) 3 y 9x 6
+) Với x 3 y 1 . Pttt của (C) tại x = 3 là: y 9( x 3) 1 y 9x 26

Vậy, có 2 tiếp tuyến của (C) song song với đ-ờng thẳng y = 9x + 2009 là:
y = 9x + 6 và y = 9x - 26.
Bài tập 1:

13


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

Cho hàm số y x 3 3x 2 (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến
đó vuông góc với đ-ờng thẳng y

1
x.
9

Giải:
Ta có y' 3x 2 3 . Do tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đ-ờng
1
x nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 9.
9
Do đó y' k 3x 2 3 9 x 2 4 x 2.
+) Với x = 2 y 4 . Pttt tại điểm có hoành độ x = 2 là: y 9( x 2) 4 y 9x 14.
+) Với x 2 y 0 . Pttt tại điểm có hoành độ x = - 2 là: y 9( x 2) 0 y 9x 18 .
1
Vậy, có hai tiếp tuyến củả (C) vuông góc với đ-ờng thẳng y x là:
9

thẳng y

y =9x - 14 và y = 9x + 18.
Bài tập 2:
Viết pttt của đồ thị hàm số y

x2 x 1
(C), biết tiếp tuyến đó song song với đ-ờng

x 1

thẳng y = - x.
Giải:
Ta có y x 2

1
1
y' 1
.
x 1
( x 1) 2

1

x 1

1
1
1
2
Mà y = -1 nên 1
1
2 ( x 1) 2
2
2
1
2
( x 1)
( x 1)

x 1 2

1
33 2
1
y
Với x 1
. Pttt của (C) tại x 1
là: y x 2 2 4.
2
2
2
1
T-ơng tự pttt của (C) tại x 1
là: y x 2 2 4.
2

Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn bài ra.
Bài tập 3: (ĐH Đà Lạt D - 2000).
Cho hàm số y

2x 1
(C). Viết pttt của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với
x 1

đ-ờng thẳng y = - x.
Giải:
14

Gia s Thnh c

Ta có y '

www.daythem.com.vn

3
. Do hệ số góc của tiếp tuyến bằng k = -1 nên:
( x 1) 2

x 1 3
3


1


( x 1) 2
x 1 3

+) Với x 1 3 y

2(1 3 ) 1

2 3
1 3 1
Pttt của (C) tại điểm có hoành độ x 1 3 là: y x 3 2 3 .

T-ơng tự pttt của (C) tại điểm có hoành độ x 1 3 là: y x 3 2 3 .

Bài tập 4:
Cho hàm số y x 3 3x 2 9x 3 (C). Chứng minh rằng trong số các tiếp tuyến của
(C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
Giải:
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm bất kì của đồ thị (C) là:
k = y' 3x 2 6x 9
y' ' 6x 6 y' ' 0 6x 6 0 x 1

Xét dấu y tìm được điểm uốn U(-1; 14).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là: k1 = -12.
Bảng biến thiên của hàm số y' 3x 2 6x 9

x
y



-1
0





+


y
-12
Từ bảng biến thiên suy ra k 12 . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = -1 (hoành độ

điểm uốn) (Điều phải chứng minh)
Bài tập 5: (HVKT quân sự A-1997)
Cho hàm số: y

mx 2 (m 1) x m 2 m
(C ) . Tìm điểm x0 để với mọi m 0 , tiếp
xm

tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm x0 song song với một đ-ờng thẳng cố định. Tìm
hệ số góc của đ-ờng thẳng đó.
15


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

Giải:
mx 02 2m 2 x0 2m
mx 2 2m 2 x 2m
y ' ( x0 )
Ta có: y '
.
( x m) 2
( x 0 m) 2

Yêu cầu bài toán là tìm x0 để y(x0) = k ( hằng số) m 0
mx 02 2m 2 x0 2m

k m

( x 0 m) 2

(2 x0 2 k )m 2 (2kx0 x02 )m kx02 0 m 0
2 x0 2 k 0 (1)

2kx0 x02 0 (2)
2
kx0 0 (3)
k 0

Ta có : (3)
x0 0
+) Với x0 = 0 suy ra k = -2 (thoả mãn).
x0 1
(vô nghiệm)
x0 0

+) Với k = 0

Vậy, x0 = 0 và k = -2 thì thì tiếp tuyến của (C) tại x0 song song với một đ-ờng thẳng
cố định.

Bài tập tổng hợp
Bài tập 1:
Cho hàm số y x 1
Bài tập 2:
Cho hàm số: y

2
(C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại A(0; 3).

2x 1

2x 1
(1) . Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đ-ờng
x 1

thẳng y = 3x.
Bài tập 3:
Viết pttt của đồ thị hàm số: y x 3 3x 2 2 tại điểm có hoành độ x = 3.
Bài tập 4:
Cho hàm số y x 3 3x 2 4 (C). Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với
đ-ờng thẳng x 9 y 10 0 .
Bài tập 5:
Cho hàm số y x 3 3x 2 4 (C). Viết pttt của (C) tại điểm A(1; -2).
Bài tập 6: (Dự bị khối B-2002)
1
3

1
2

4
(C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp
3
tuyến đó song song với đ-ờng thẳng y 4x 2.

Cho hàm số y x 3 x 2 2 x

16

Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

Bài tập 7: (ĐH Khối B- 2006).
x2 x 1
Cho hàm số y
(C). Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm
x2

cận xiên của đồ thị (C).
Bài tập 8: (ĐH khối B 2008).
Cho hàm số y 4x 3 6x 1 (C). viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua M(-1; -9).
Bài tập 9: (ĐH khối D - 2007).
2x
(C). Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại
x 1
1
M cắt hai trục toạ độ Ox và Oy tại A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng .
4

Cho hàm số y

B i tập 10: (Đề thi tốt nghiệp THPT Năm 2008).
Cho hàm số y x 4 2x 2 (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành
độ x = -2.
Bài tập 11:
Cho hàm số y ax3 bx 2 cx d (C). CMR: trong số các tiếp tuyến của (C) thì tiếp
tuyến tại điểm uốn khi a > 0 ( a < 0) có hệ số góc nhỏ nhất (lớn nhất).

Bài tập 12: (ĐH kiến trúc Hà Nội A - 1998).
Cho hàm số y

2x 2 x 1
(C). Tìm các điểm trên trục tung sao cho từ đó kẻ đ-ợc 2
x 1

tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

C. Kết luận của sáng kiến:
Khi áp dụng sáng kiến này vào dạy thử nghiệm ở các lớp 12A 3; 12A6; 12A9 trong
năm học 2007 - 2008, cũng nh- áp dụng ở các lớp 11A1; 12A2... năm học 2008 - 2009
của tr-ờng THPT Cẩm Thuỷ 3 kết quả đạt đ-ợc nh- sau:
I. Về phía giáo viên:
- Đã dễ dàng hơn trong việc h-ớng dẫn học sinh tiếp cận các dạng toán về tiếp tuyến
của đồ thị hàm số.
- Xét ở một góc độ nào đó, đây là tài liệu tham khảo có hệ thống cho giáo viên giảng
dạy bộ môn toán.
- H-ớng dẫn học sinh làm rõ đ-ợc cách giải toán, tránh nhầm lẫn giữa các khái niệm.
II. Về phía học sinh:
- Tiếp cận đ-ợc các khái niệm về tiếp tuyến của đồ thị hàm số một cách dễ dàng.
17


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

- Với hệ thống đầy đủ các dạng về tiếp tuyến của đồ thị hàm số đ-ợc sắp xếp theo thứ
tự từ dễ đến khó làm cho học sinh hứng thú trong học tập. Đặc biệt là giúp cho học

sinh nâng cao khả năng tự học, tự nghiên cứu. Kết quả khảo sát cho thấy khoảng 70%
học sinh sau khi tiếp cận đầy đủ tài liệu này đều làm thành công bài toán về tiếp tuyến
của đồ thị hàm số, qua đó nâng cao điểm toán của học sinh trong các kì thi tốt nghiệp
hoặc thi Đại học, Cao đẳng góp phần nâng cao tỷ lệ trúng tuyển của nhà tr-ờng trong
những năm qua.
Mặc dù có nhiều cố gắng nh-ng do thời gian có hạn, kinh nghiệm nghiên cứu và
ứng dụng sáng kiến còn hạn chế, không liên tục và mang tính đại trà nên đề tài không
tránh khỏi những thiếu sót và mang tính chủ quan. Tác giả đề tài mong nhận đ-ợc ý
kiến đóng góp của quý thầy cô để sáng kiến đ-ợc hoàn thiện hơn./.

Tài liệu tham khảo
1. Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán của Trần Ph-ơng (NXB
Hà Nội).
2. Tuyển tập các đề thi Đại học, Cao đẳng môn toán.
3. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 (NXB Giáo Dục - 2007).
4. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12 (NXB Giáo Dục - 2007).
5. Đề thi tốt nghiệp THPT các năm gần đây và tham khảo tài liệu trên mạng.

18