De thi chon HSG cap tinh 12 ha nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1: (4 điểm)

3 x  2m
với m là tham số. Chứng minh rằng m  0 , đồ thị hàm số luôn
mx  1
cắt đường thẳng d : y  3x  3m tại 2 điểm phân biệt A, B . Xác định m để đường thẳng d cắt
các trục Ox, Oy lần lượt tại C , D sao cho diện tích OAB bằng 2 lần diện tích OCD .
1. Cho hàm số y 

2. Cho hàm số y 

x2
có đồ thị (C). Chứng minh rằng các điểm trong mặt phẳng tọa độ mà
x 1

qua đó kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đều nằm trên đường tròn tâm I (1;2),
bán kính R = 2.
Câu 2: (4 điểm)
1. Giải phương trình sau trên tập số thực: 15 x.5x  5x 1  27 x  23
2. Giải bất phương trình sau trên tập số thực:

log 2

2x  1
 2 x2  6 x  2
x  2x  1
2

Câu 3: (6 điểm)

a
, SA  a 3 (a  0) . Biết góc SAB  300 và
2
0
góc SAC  30 . Tính thể tích khối tứ diện theo a .
1. Cho tứ diện SABC có AB  AC  a, BC 

2. Chứng minh rằng nếu một tứ diện có độ dài một cạnh lớn hơn 1, độ dài các cạnh còn lại đều
không lớn hơn 1 thì thể tích của khối tứ diện đó không lớn hơn

1
.
8

Câu 4: (4 điểm)
Tính các tích phân:

3

1. I 

 x

2

x2
x2  4

2. J 

dx

2



 cosx  1
ln

0

Câu 5: (2 điểm)
Cho ba số thực dương a , b, c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

1
2 a 2  b2  c 2  1



1
(a  1)(b  1)(c  1)

…………Hết…………

sinx 1

sin x  1

dx