gia trị lượng giác của một cung

1


SỞ GD – ĐT TÂY NINH
TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN TRỖI

BÀI 2:GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA
MỘT CUNG(tiết 2)

3


Nhắc lại khái niệm giá trị
0
0
lượng giác của góc 0 ≤ α ≤ 180
y

?

1
M

y0
α

-1

x0

0

1
0

x

Với mỗi góc α (0 ≤ α ≤ 180 )
ta xác định một điểm M trên nửa đường
¼
tròn đơn vị sao cho góc x 0 M = α
Và giả sử M(x0;y0).Khi đó sinα = y0 ;cosα = x0
Từ đó: tan α = y0 ; cot α = x0
0

x0

y0

4


y

I-GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA CUNG α
1/ ĐỊNH NGHĨA:

B
K

M

α
A'

H

0

A

x

y

B
giáK
c

B'

Trên đường tròn lượng
cho cung AM có sđ
AM = α
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên 0x và 0y.
M

α

Tung độ của điểm M gọi là sin của α,kí hiệu là sinα
A'

H
0
A x
Hoành độ của điểm M gọi là cos của α, kí hiệu là cosα
vậy:

sin α = OK

cos α = OH
B'

cos α
sin α
;sin α ≠ 0
tan α =
;cos α ≠ 0 cot α =
sin α
cos α
5


Các giá trị sinα, cosα, tanα, cotα gọi là
các giá trị lượng giác của cung α
Trong lượng giác, ngườiø ta còn gọi
trục 0x là trục côsin và trục 0y là trục
sin

Ví dụ:

Chú Tính sin(8100); cos(-2400) ;

ý: Các ĐN trên cũng áp dụng cho các góc
lượng giác

25π
Nếu 0 ≤ α ≤ 180 thì các giá trị lượng giác
sin(
)
của góc đó đã nêu4
trong SGK hình học 10
0

0

?
6


HƯỚNG DẪN:
sin(8100) = sin(900 + 2.3600) = sin(900) = 1
cos(-2400) = cos(1200 - 3600) = cos(1200) =
-1/2
2
 25π 
π

π 
sin 
÷ = sin  + 3.2π ÷ = sin  ÷ =
2
 4 

4

4

sin(α + k 2π ) = sin α , cos(α +k2π ) = cos α
2/.Các hệ quả của định nghóa:

?

7


1) sinα và cosα xác định với mọi α thuộc R.

sin(α + k 2π ) = sin α , ∀k ∈ ¢
cos(α + k 2π ) = cos α , ∀k ∈ ¢
2)

-1 ≤ cot
tanα,sinα ≤ 1α xác định khi naøo ?
-1 ≤ cosα ≤ 1

3) -1 ≤ m ≤ 1(m thuộc R) đều tồn tại
α và β sao cho sinα = m vaø cosβ = m

8


4)tanα xác định khi
II

cotα xác định khi

πy
α ≠ + kπ ( k ∈ ¢ )
B 2

I
α ≠ kπ (k ∈¢ )
H
0

A'

III

A

K

M

x

IV

B'

?Hãy xác định dấu của OH , OK

khi điểm M nằm trên các cung của

góc phần tư thứ I,II,III,IV
9


Từ đó ta có bảng xác định dấu các gtlg(sgk)
PHẦNTƯ

I

II

III

IV

+

-

-

+

sinα

+

+

-

-

tanα

+

-

+

-

cotα

+

-

+

-

GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC
cosα

10


3/.Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:

α

0

sinα

0

cosα

1

tanα

0

π
6

π
4

1
2

1
2

3
2

2
2
1

1
2

1

1
3

3
2
1

3

cotα

P

3

π
3

3

π
2
1
0

P
0
11


II.Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA
TANG VÀ CÔTANG:
Từ định nghóa của sinα và cosα,Mhãy
Từ nói ý nghóa n t’At với đường tròn ng ???
A vẽ tiếp tuyế hình học của chú
A'
B
y

lượng giác, xác định trên tiếp tuyến này u u
ur
một trục có gốc tại A, và vectơ đơn vị làOB
M
A'

K

α

A

x

0

π
B'
α sđ
(α ≠ + kπ )
có số đo AM A= α
2

H

t

B

t

H

Cho cung AM

y

T

K

x

0

t'

Gọi T là giao điểm của OM T i t’At.
vớ
AT OA AT OA
∆AOT℘∆HOM ⇒
=
⇒
=
(1)
HM OH HM OH
B'

Vì

HM = sin α ; OH = cos α và OA = 1
t'

nên từ
(1)

sin α
⇒ AT =
= tan α
cos α

12


1)ý nghóa hình học của tanα:
uu
ur
tanα được biểu diễn bởi độ dài đại số của AT
vectơ trên trục t’At.

tan α = AT
 Trục t’At gọi là trục tang

13


2)Ýù nghóa hình học của cotα:
y

Gọi S là giao điểm của 0M s'
với trục s’Bs
Tương tự: ta có ý nghóa của
hình học của cotα
cotα đươc biểu diễnu u i độ
bở
u
r
dài đại số của vectơ BS trên
trục s’Bs.

cot α = BS

B

S

s

M
α
A'

0

x

A

B'

α ≠ kπ

Trục s’Bs gọi là trục côtang
14


Từ ý nghóa hình học của tanα và
cotα

tan(α + kπ ) = tan α
cot(α + kπ ) = cot α , ∀k ∈ ¢

15


III.QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ
LƯNG GIÁC:
1/.Các hằng đẳng thức
lượng giác cơ bản:

sin 2 α + cos 2 α = 1

1
π
1 + tan α =
, α ≠ + kπ , k ∈ ¢
2
cos α
2
1
2
1 + cot α =
, α ≠ kπ ,k ∈ ¢
2
sin α
π
tan α .cot α = 1, α ≠ k
2
2

16

2/.các ví dụ áp dụng:
VD1: Cho sin α =

4
π
với < α < π
5
2

Tính cosα.

cos 2 α + sin 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1 − sin 2 α =
Giaûi:
16
9
3
= 1−
=
⇒ cos α = −
25
25
5

π
(do < α < π nên điểm cuối của cung α thuộc
2
cung phần tư thứ II )

17

VD2: CMR biểu thức sau là một hằng số
không phụ thuộc vào α
tan α cot 2 α − 1 (Giả sử các đkxđ đều thoả
A=
.
2
mãn)
1 − tan α cot α


3)Giá trị lương giác của các
Giải:
cung có liên quan đặc biệt:

y

tan đố cot α − và tan
a/.=Cung α i .nhau: α 1 = -α α .cot α − tan α
A
1 − tan 2 α cot α
cot α − tan 2 α .cot α
cos(−α )
cot α − tan α = cos α
0
=
=1, (do tanα .cotα =1A')
cot α − tan α = − sin α
sin(−α )

Các điểm cuối của hai cung
AM=α tan(AM’=-α− tan α
và −α ) = có quan hệ với
nhau thế naøo) = − tan α
cot(−α ?
2

B

M

2

α
-α

B'

H

A

x

M'

18


b/.cung bù nhau: α và

α +π

sin(π − α ) = sin α
cos(π − α ) = − cos α
tan(π − α ) = − tan α
cot(π − α ) = − cot α
c/.cung hơn kém π : α và

sin(α + π ) = − sin α
cos(α + π ) = − cos α

tan(α + π ) = tan α
cot(α + π ) = − cot α

y

B
K

M'

π-α

M

α
A

0

A'

x

B'

α +π

y

B
M
H'
A'

π+α

α
H A

0

x

M'
B'

19

d/.Cung phụ nhau: α và

π
sin( − α ) = cos α
2
π
cos( − α ) = sin α
2
π
tan( − α ) = cot α

2
π
cot( − α ) = tan α
2

π
−α
2
y

B
K

M'
M

K'
A'

d

α
0

H'

H A

x

B'

20


Củng cố và luyện tập:
31π
−11π
sin( −1380 ), tan(
), cos(
)
6
4
Hướng dẫn:
Tính :

0

sin(−13800 ) = − sin(13800 ) = − sin(3000 + 3.3600 )
= − sin(3000 ) = − sin(−600 + 3600 ) = sin 600 =

3
2

31π
3π
3π
π
) = tan( + 7π ) = tan( ) = tan(π − ) =
4
4
4
4
π
= − tan = −1
4
11π
11π
3π
tan(

cos(−

) = cos(

) = cos(

+ 2π ) =

4
4
4
3π
π
π
2
= cos( ) = cos(π − ) = − cos( ) =
4
4
4
2

21


Củng cố và luyện tập
Công thức lượng giác cơ bản?
Giá trị lượng giác của các cung có
liên quan đặc biệt?
Bài tập về nhà:các bài tập sau bài học
trang 148 sgk

22


23

y

Tam giác MHO vuông tại H.

B
K

M

Suy ra M02 = HM2 + 0H2
= 0K2 + 0H2

α
A'

0

H

A

x

vaäy: 1 = sin2α + cos2α

sin α cos α + sin α
1
1 + tan α = 1 +
=
=

2
2
2
cos α
cos α
cos α
2

2

2

2

24