de kiem tra hoc ky 2 nam hoc 2015 2016 mon toan 11

TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG
TỔ TOÁN

KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN: TOÁN 11
Thời gian: 90 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1 (2.0 điểm): Tìm các giới hạn sau:
a)

lim (−2 x 3 + 3 x 2 − 1)

x →−∞

b) lim−
x →−1

2x −1
x +1

Câu 2 (1.5 điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = x 4 + cos x + 2
b) y = (2 − x 2 )sin 2 x
Câu 3 (1.0 điểm): Cho hàm số y = 2 x − x 2 với 0 < x < 2 . Chứng minh: y 3 . y "+ 1 = 0 .
Câu 4 (2.0 điểm): Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Chứng minh: Mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt phẳng ( SBD) .
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD . Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD).
2x
Câu 5 (2.0 điểm): Cho hàm số y =
có đồ thị (C).

x−2
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến này cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm
A, B và tam giác OAB thỏa AB = 2OA .
c)
Câu 6: (1.5 điểm): Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật, AB = a,
AD = a 3 . Hình chiếu A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD, góc giữa AA’ và mặt
phẳng (ABCD) bằng 600.
a) Tính tan của góc giữa hai phẳng (ABCD) và (AA’D’D).
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm BB’ và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và A’D.
=======================HẾT============================


SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐAK LAK
TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG
TỔ: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu
1 a

•
•

Đáp án
3 1
lim (−2 x 3 + 3 x 2 − 1) = lim x 3 (−2 + − 3 ) = +∞
x →−∞
x →−∞
x x

3
3
x = −∞ và lim (−2 + − 13 ) = −2 < 0
Vì: xlim
→−∞
x →−∞
x x
2x −1
lim−
= +∞
x →−1 x + 1
 lim− ( x + 1) = 0
(2
x
−
1)
=
−
3
<
0
Vì: xlim
và
 x→−1
→−1−
 x + 1 < 0 ⇔ x < −1
TXĐ: D = ¡
Ta có: y ' = ( x 4 + cosx + 2) ' = 4 x 3 − s inx

•

•

TXĐ: D = ¡
Ta có y ' = (2 − x 2 ) '.sin 2 x + (2 − x 2 ).(sin 2 x) ' = −2 x sin 2 x + 2(2 − x 2 )cos2 x

•
•

b

•
•

2

a
b
3

•

Ta có:
1− x
y'=
,
2x − x2
,

 1− x 
y" = 

÷=
2
2
x
−
x



a

Điểm
0.5
0.25x2
0.5
0.25x2
0.25
0.25x2
0.25
0.25x2

0.5
− 2x − x2 −

1− x

2x − x2
2 x − x2

⇒ y 3 . y "+ 1 = (2 x − x 2 ) 2 x − x 2 .

4

HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN:TOÁN – LỚP11


(1 − x)

−(2 x − x 2 ) − (1 − x) 2

=

−1
(2 x − x 2 ) 2 x − x 2

(2 x − x ) 2 x − x
2

2

=

−1
(2 x − x ) 2 x − x
2

+1 = 0

0.25
2

0.25

Gọi O = AC ∩ BD , ta có:
SO ⊥ ( ABCD) {do S.ABCD là hình chóp đều}
⇒ SO ⊥ BD 
(1)
 ⇒ BD ⊥ ( SAC )
và BD ⊥ AC 
mà BD ⊂ ( SBD) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( SBD)

0.25
0.25x2
0.25
Hình vẽ 0.25 điểm

b

Gọi I là trung điểm CD và H là hình chiếu của O trên SI, ta có:

CD ⊥ SI 

•
 ⇒ CD ⊥ ( SOI ) ⇒ CD ⊥ OH  ⇒ OH ⊥ ( SCD )
CD ⊥ SO 

mà OH ⊥ SI

d

(
O
,
(
SCD
))
=
OH
Do đó

•

Mà:

0.25


1
1
1
1
3
6
a 6
=
+
+
=
= 2 ⇒ OH =
2

2
2
2
2
OH
SO OC
OD
a
6
a 2

÷
 2 
•
5

a
•
•

b

6

a

a 6
Vậy : d (O, ( SCD)) = OH =
6

−4
⇒ y '(1) = −4
( x − 2) 2
Với x0 = 1 ⇒ y0 = −2
Ta có: y ' =

Nên phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 0 (1; −2) là: y + 2 = y '(1) ( x − 1)
⇔ y = −4 x + 2
• Giả sử tiếp tuyến của (C) cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B và tam giác
OAB thỏa mãn AB = 2OA.
OA
2
• Xét tam giác OAB, ta có: sin B =
=
⇒ ∆OAB vuông cân tại O
AB
2
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là:
 −4
 ( x − 2) 2 = 1 (vn)
x = 0
−4
= ±1 ⇔ 
⇔ ( x − 2) 2 = 4 ⇔ 
2
( x − 2)
 −4
x = 4
 ( x − 2) 2 = −1


• Với x = 4 ⇒ y = 4 , ta có phương trình tiếp tuyến là: y = −( x − 4) + 4 = − x + 8
• Với x = 0 ⇒ y = 0 (loại).
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = − x + 8
• Gọi O = AC ∩ BD và K là hình chiếu của O trên
AD, Ta có:
AD ⊥ OK 
 ⇒ AD ⊥ ( A ' OK ) ⇒ AD ⊥ SK
AD ⊥ A ' O 
• Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và mặt
phẳng (AA’D’D)
⇒ ϕ = (·OK , A ' K ) = ·A ' KO
• Xét tam giác A’OK vuông tại O ta có:
A 'O
tan K =
OK
• Mặt khác ta lại có:
a
+ ∆AOD cân tại O ⇒ OK =
2
1
0
+ ∆A ' OA vuông tại O ⇒ A ' O = AO.t anA = AC.tan 60 = a 3
2
a 3
=2 3
Vậy:
.
a
2
• Gọi I = A ' B ∩ AB ' , ta có:

1
+ IM song song và bằng AB
2
1
+ DN song song và bằng AB
2
tan ϕ = tan K =

b

0.25

0.25

0.25
0.25
0.25
0.25

0.25
0.25

0.25
0.25

0.25

0.25

0.25

⇒ MN / / DI


 ⇒ MN / /( A ' BD)
mà DI ⊂ ( A ' BD) 
d ( MN , A ' D) = d ( MN , ( A ' BD)) = d ( N , ( A ' BD)) =

nên
•

1
d (C , ( A ' BD))
2

0.25

Gọi H là hình chiếu của C trên BD, ta có:
CH ⊥ DB 
 ⇒ CH ⊥ ( A ' BD)
CH ⊥ A ' O 
⇒ d (C , ( A ' BD)) = CH
Mà :

Vậy:

1
1
1

1
1
4
a 3
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ CH =
2
2
2
CH
BC
CD
3a
a
3a
2

d ( MN , A ' D) =

a 3
4

0.25
0.25

Chú ý:
 Nếu học sinh giải cách khác phù hơp với chương trình thì giáo viên căn cứ vào bài làm của học sinh
mà cho điểm cho từng câu đúng với biểu điểm ở trên.
 Đáp án này có 3 trang.