de kiem tra hoc ky 2 nam hoc 2015 2016 mon toan 12

TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2015 - 2016

TỔ TOÁN

MÔN TOÁN – LỚP 12
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Đề chính thức
Câu 1 (2.0 điểm). Cho hàm số y =

x+3
x −1

(1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) .
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục tung, trục hoành.
Câu 2 (2.5 điểm). Tính các tích phân sau:
2

x
4

a) I = ∫ (10 − sin π x)dx
−2

π
2

b) I = 2 x.cos xdx
∫

1

dx
1 + x2
0

c) I = ∫

0

Câu 3 (2.5 điểm)
a) Tìm mô đun của số phức z = 9 − 15i + (2 + 3i) 2
b) Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) z + (4 − 7i ) = 8 − 4i .Tìm phần thực và phần ảo của số phức z
c) Giải các phương trình z 4 − 9z2 + 18z − 9 = 0
Câu 4:(1.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(–1; 0; 2), mặt phẳng
(P): 2x – y – z +3 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Tìm tọa
độ tiếp điểm của (S) và (P).
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3). Viết phương trình
mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và cắt Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho M là trọng tâm tam
giác ABC
Câu 6: (1,0 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng
d1 :

x−2 y −3 z +4
x +1 y − 4 z + 4
=
=

=
=
và d 2 :
.
2
3
−5
3
−2
−1

Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 và d 2
----------------------HẾT----------------------

Họ và tên: …………………………………………….Số báo danh:……………………


Học sinh không được sử dụng tài liệu, Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN – LỚP 12 - HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2015 - 2016

(Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang)
CÂU
1
2điể
m

ĐÁP ÁN

•

x+3
x −1
TXĐ: D = R \ { 1}

•

Chiều biến thiên: y ' =

a/ (1.5 điểm)

ĐIỂM

y=

0.25
−4

( x − 1) 2

<0 ; ∀x ≠ 1

Suy ra hàm số luôn nghịch biến trên ( −∞,1) và ( 1, +∞ )
• Hàm số không có cực trị.
0.25
• Giới hạn và tiệm cận:
x+3
x+3
= +∞ và lim y = lim−
= −∞ Suy ra x=1 là TCĐ.
+ lim y = lim+

x →1 x − 1
x →1 x − 1
x →1+
x →1−
+ lim y = 1
Suy ra y=1 là TCN.
x→ ± ∞

* Bảng biến thiên:
x -∞
y'

1

y 1

+∞

+∞
-

0.25
1

-∞

• Đồ thị:
Điểm đặc biệt: Giao điểm của đồ thị với Oy :(0 ;-3)
Giao điểm của đồ thị với Ox :(-3 ;0)
Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận I(1 ; 1) làm tâm đối xứng

y
4

2

x

-3
-5

-3

5

-2

-3
-4

-6

0.25


b).(1.0 điểm) Hoành độ giao điểm của ( C)và trục hoành là nghiệm PT:
x +3
= 0 ⇔ x + 3 = 0 ⇔ x = −3
x −1

0.25

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục tung, trục hoành có diện tích là
0

S=

x+3
dx =
x −1

∫

−3

0

∫ (1 +

−3

0
4
)dx = ( x + 4 ln x − 1) −3
x −1

= 3 − 4 ln 4 = 4 ln 4 − 3 (đvdt)

Câu 2

2

x

a) I = ∫ (10 4 − sin π x )dx = (
−2

x
4
1
18 10
10 4 + cos π x) |2−2 =
ln10
π
5ln10

π
2

0.25x2
0.25
0,25x3
0.25

b) I = 2 x.cos xdx
∫
0

Đặt:

u = 2 x ⇒ du = 2dx

0.25

dv = cos x.dx ⇒ v = sin x
π
2

π

π

⇒ I = 2 x.sin x 02 − 2 ∫ sin xdx = π + 2 cos x 02 = π − 2
0

0.25

1

c)

dx
1 + x2
0

I =∫

π π
Đặt x = tan t , t ∈ (− ; ) ⇒ dx = (1 + tan 2 t )dt

0,25

Đổi cận:
Khi x = 0 ⇒ t = 0
π
Khi x = 1 ⇒ t =

0,25

2 2

4

π
4

0,25x2

a)Ta có z = 9 − 15i + (2 + 3i) 2 = 9 − 15i + 4 + 9i 2 + 12i = 4 − 3i

0.25 x2

0

Câu 3

π
4

Suy ra I = 1 + tan 2 t dt = dt = π
∫

∫
2

1 + tan t

0

4

Mô đun của z là z = 42 + (−3) 2 = 25 = 5
b) Ta có

(1 + i ) z + (4 − 7i) = 8 − 4i ⇔ (1 + i) z = 4 + 3i

4 + 3i (4 + 3i)(1 − i) 4 − 4i + 3i − 3i
7 1
=
=
= − i
1+ i
(1 + i )(1 − i )
2
2 2
7
1
Vậy phần thực a = , phần ảo b = −
2
2
4
2

c) z − 9z + 18z − 9 = 0 (1)
(1) ⇔ z 4 − 9( z 2 − 2z + 1) = 0
⇔ z 4 − 9( z − 1) 2 = 0

0.25
0.25

2

⇔z=

⇔

( z 2 − 3z+3)(z2 + 3 z − 3) = 0

0,25
0.25
0,25
0,25


0,25x2


3±i 3
z=

 z − 3z + 3 = 0
2
⇔ 2

⇔

−3 ± 21
 z + 3z − 3 = 0
z =

2
2

a) * Mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính
Câu 4
(2 điểm)

R = d(I, (P)) =

2(−1) − 2 + 3
4 +1+1

=

1
6

⇒ Phương trình mặt cầu (S) là : ( x + 1) 2 + y 2 + ( z − 2) 2 =

1
6

* Đường thẳng (∆) qua I(-1;0;2) và vuông góc (P) nhận VTPT của (P)
 x = −1 + 2t

r

, (t ∈ R)
n = (2; −1; −1) làm VTCP có PTTS:  y = −t
 z = 2−t

H
=
(
∆
)
∩
(
P
)
-Gọi
.H là tiếp điểm có tọa độ là nghiệm của hệ:
1

 t=6

2 x − y − z + 3 = 0
x = − 2
 x = −1 + 2t

2 1 11

3
⇔
⇒ H (− ; − ; )


y = −t
3 6 6

y = − 1


6
z = 2−t

11
z=
6


Câu 5

Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
uuuu
r uuu
r uuur uuur
Khi đó M là trọng tâm tam giác ABC nên 3OM = OA + OB + OC
Ta suy ra: a = 3; b = 6; c = 9
x y z
3 6 9
r
x−2 y −3 z +4
=
=
Ta có d1 :

đi qua A(2;3;-4), có VTCP là a = (2;3; −5) và
2
3
−5
x +1 y − 4 z + 4
d2 :
=
=
: đi qua B(−1; 4; −4) , có VTCP b = (3; −2; −1)
3
−2
−1
r r
uuur
 a, b  = ( −13; −13; −13) và AB = (−3;1;0)
 
r r uuur
 a, b  . AB = −13(−3) − 13.1 − 13.0 = 26
 

Vậy (Q) : + + = 1
Câu 6

Suy ra d1,d2 chéo nhau.
• Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 và song song với d2. Ta có (P) đi qua
r

r r

A(2;3;-4) và có vectơ pháp tuyến n =  a, b  = (−13; −13; −13)

Suy ra (P): x + y + z − 1 = 0
−1 + 4 − 4 − 1

2
1+1+1
3
Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm và cho điểm từng phần tương ứng.

Vậy d (d1 , d 2 ) = d ( B, ( P)) =

=

---------HẾT--------

0.25
0.25

0.25

0.25

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25
0,25

0,25