Chung minh dang thuc ttrong hinh hoc

Chứng minh đẳng thức tích trong hình hocï
Híng dÉn häc sinh chøng minh ®¼ng thøc tÝch
trong h×nh häc.
Trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS cã nhiỊu d¹ng to¸n, nhng mét d¹ng to¸n mµ
khã vµ thêng gỈp trong gi¶i to¸n lµ chøng minh ®¼ng thøc. ViƯc chøng minh mét
®¼ng thøc A = B hay ®¼ng thøc a.d = b.c trong sè häc kh«ng khã vµ cã thĨ ¸p dơng
mét sè ph¬ng ph¸p nh sau:
+ Chøng minh VT - VP = 0
+ BiÕn ®ỉi VT vỊ kÕt qu¶ b»ng VP hc ngỵc l¹i.
+ BiÕn ®ỉi ®ång thêi VT, VP vỊ cã cïng mét kÕt qu¶ chung.
Nãi chung viƯc chøng minh mét ®¼ng thøc sè th× kh«ng khã ®èi víi häc sinh,
nhng viƯc chøng minh mét ®¼ng thøc tÝch trong h×nh häc THCS th× vÉn cßn lµ mét
c©u hái. LiƯu cã thĨ sư dơng c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh ®¼ng thøc trong sè häc vµo
®Ĩ chøng minh mét ®¼ng thøc tÝch trong h×nh häc hay kh«ng , nÕu ®ỵc th× cÇn ¸p
dơng nh thÕ nµo?
Qua thêi gian gi¶ng d¹y to¸n THCS vµ kiÕn thøc vèn cã b¶n th©n, häc hái kinh
nghiƯm cđa nh÷ng ngêi thÇy ®i tríc t«i rót ra mét kinh nghiƯm ®Ĩ gi¶i c¸c bµi to¸n
d¹ng chøng minh ®¼ng thøc tÝch trong h×nh häc.
Nh ta ®· biÕt ®¼ng thøc a.d = c.b cã thĨ viÕt díi d¹ng c¸c tØ lƯ thøc nh sau
a c a d b c b d
= ; = ; = ; =
d b c b d a c a
mµ trong h×nh häc th× khi nãi ®Õn c¸c tØ lƯ thøc th× ta liªn
tëng ®Õn ngay c¸c kiÕn thøc: §o¹n th¼ng tØ lƯ; Tam gi¸c ®ång d¹ng; §Þnh lý ®êng
ph©n gi¸c trong tam gi¸c; §Þnh lý TalÐt.
VËy ®Ĩ lµm ®ỵc c¸c bµi to¸n nh trªn ®· ®Ỉt ra th× gi¸o viªn ph¶i n¾m c¸c kiÕn
thøc trªn mét c¸ch ch¾c ch¾n, vµ ph¶i trun ®¹t cho häc sinh hiĨu mét c¸ch têng
minh c¸c kiÕn thøc: §o¹n th¼ng tØ lƯ; Tam gi¸c ®ång d¹ng; §Þnh lý ®êng ph©n gi¸c
trong tam gi¸c; §Þnh lý TalÐt.
Sau ®©y t«i xin minh ho¹ b»ng c¸ch híng dÉn häc sinh gi¶i mét sè bµi to¸n
d¹ng trªn trong ch¬ng tr×nh To¸n H×nh häc 8, 9.

VÝ dơ 1: (Bµi 39 SGK T8_2 tr 79). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD). Gäi O giao
®iĨm cđa hai ®êng chÐo AC vµ BD.
Chøng minh OA.OD = OB.OC
H§ GV H§ HS
- Yªu cÇu häc sinh vÏ h×nh
- GV vÏ h×nh b¶ng
- HS vÏ h×nh
Hoàng Thái Anh – THCS Mỹ Thủy
Chứng minh đẳng thức tích trong hình hocï
O
D
A
B
C
! §Ĩ chøng minh ®¼ng thøc tÝch ta sư dơng
c¸c kh¸i niƯm: ®o¹n th¼ng tØ lƯ, ®Þnh lý ta
lÐt, tam gi¸c ®ång d¹ng
! §Ĩ chøng minh
OA.OD = OB.OC
ta cÇn
chøng minh g×?
OA.OD = OB.OC
OA OC
OB OD
=
c
c
! §Ĩ cã tØ lƯ thøc th× ta cÇn cã hai tam gi¸c
®ång d¹ng
! GV híng dÉn c¸ch lÊy hai tam gi¸c ®ång

d¹ng tõ tØ lƯ thøc
OA OC
=
OB OD
nh sau:
- NÕu lÊy trªn tư ta ph¶i cã
ΔOAC ΔOBD∞
- NÕu lÊy trong mét tØ sè ta ph¶i cã
ΔOAB ΔOCD∞
! Cho HS ph¸t hiƯn c¸c u tè ®· b»ng nhau
cđa hai tam gi¸c vµ yªu cÇu häc sinh chän
mét trong hai cỈp tam gi¸c trªn.
! GV yªu cÇu häc sinh chøng minh hai tam
gi¸c ®ång d¹ng
! Tõ ®ã yªu cÇu häc sinh rót ra tØ lƯ thøc vµ
suy ra ®iỊu cÇn chøng minh.
- HS nªu ®ỵc chøng minh
OA OC
OB OD
=

- HS ph¸t hiƯn c¸c u tè b»ng nhau
vµ chän mét trong hai cỈp.
- HS chØ chän ®ỵc
ΔOAB ΔOCD∞
- HS chøng minh
ΔOAB ΔOCD∞
∠AOB = ∠COD(®èi ®Ønh)
∠ABO = ∠CDO(so le trong)
ΔOAB ΔOCD⇒ ∞

VÝ dơ 2. (Bµi 48 SBT T8_2 tr 75). Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH.
Chøng minh AH
2
= BH.CH
H§ GV H§HS
- Yªu cÇu häc sinh vÏ h×nh
- GV vÏ h×nh b¶ng
! Híng dÉn häc sinh ph©n tÝch chøng minh
B
A
C
H
- Häc sinh rót ra tØ sè
AH CH
=
BH AH
Hoàng Thái Anh – THCS Mỹ Thủy
Chứng minh đẳng thức tích trong hình hocï
2
AH = BH.CH
AH.AH = BH.CH
AH CH
=
BH AH
?
c
c
c
! GV híng dÉn häc sinh c¸ch lÊy hai tam
gi¸c ®ång d¹ng tõ tØ lƯ thøc

AH CH
=
BH AH
nh
sau:
- NÕu lÊy trªn tư ta ph¶i cã
AHC BHA∆ ∞ ∆

- NÕu lÊy trong mét tØ sè ta ph¶i cã
AHB CHA∆ ∞ ∆
! Yªu cÇu häc sinh chøng minh
- Häc sinh chøng minh
VÝ dơ 3. Tam gi¸c ABC, ph©n gi¸c AD. Qua B kỴ tia Bx sao cho
CBx = BAD∠ ∠
.
Tia Bx c¾t tia AD ë E.
Chøng minh BE
2
= DE.AE
H§ GV H§HS
x
E
D
B
A
C
2
BE = DE.AE
BE.BE = AE.DE
BE DE

=
AE BE
ΔABE ΔBDE∞
c
c
c
! H·y chøng minh
ABE BDE∆ ∞ ∆
+ BE.BE = AE.DE
+
BE DE
=
AE BE
+
ABE BDE∆ ∞ ∆
XÐt
,ABE BDE∆ ∆
cã
∠ = ∠BAE DBE
(gt)
∠E
chung
Hoàng Thái Anh – THCS Mỹ Thủy
Chứng minh đẳng thức tích trong hình hocï
VÝ dơ 4. Cho tam gi¸c ABC, ph©n gi¸c AD. Gäi E,F lÇn lỵt lµ h×nh chiÕu cđa B vµ C
lªn AD
Chøng minh AE.DF = AF.DE
H§ GV H§HS
F
E

D
C
B
A
! ViÕt ®¼ng thøc AE.DF = AF.DE díi d¹ng tØ lƯ thøc
? Mn cã tØ lƯ thøc
AE DE
=
AF DF
th× ph¶i cã hai tam
gi¸c nµo ®ång d¹ng
? Em cã nhËn xÐt nh thÕ nµo vỊ hai cỈp tam gi¸c trªn
! VËy kh«ng thĨ chøng minh ®ỵc tØ lƯ thøc trªn dùa
vµo hai cỈp tam gi¸c trªn .
! Híng dÉn häc sinh chøng minh.
+ AD ph©n gi¸c cho ta tØ sè nµo?
+ §Ĩ chøng minh ®ỵc
AE DE
=
AF DF
ta cÇn chøng minh
AB AE
=
AC AF
vµ
BD ED
BC DF
=
! Yªu cÇu häc sinh chøng minh hai tØ lƯ thøc trªn.
+

AE DE
=
AF DF
+
AEF DEF∆ ∞ ∆
Hc
AED AFD∆ ∞ ∆
+ Kh«ng t¹o thµnh tam gi¸c
(Ba ®iĨm th¼ng hµng)
- Häc sinh tr¶ lêi:
AB BD
=
AC DC
- Häc sinh chøng minh hai tØ
lƯ thøc trªn.
* Qua c¸c vÝ dơ trªn ta cã thĨ rót ra nhËn xÐt cho häc sinh nh sau:
- §Ĩ chøng minh ®¼ng thøc a.b = c.d hc a
2
= bc ta ¸p dơng kh¸i niƯm hai tam gi¸c
®ång d¹ng, ®êng ph©n gi¸c trong tam gi¸c.
- NÕu ®¼ng thøc d¹ng a.b = c.d th× ta cã thĨ lËp ®ỵc 2 cỈp tam gi¸c ®ång d¹ng; ®¼ng
thøc a2 = b.c th× chØ cã mét cỈp tam gi¸c ®ång d¹ng.
*¸p dơng ph¬ng ph¸p trªn ta cã thĨ chøng minh t¬ng tù c¸c bµi sau.
(C¸c b¹n tù gi¶i ®Ĩ t×m ra ®ỵc ph¬ng ph¸p hay h¬n vµ trao ®ỉi lÉn nhau trong qu¸
tr×nh gi¶ng d¹y.)
VÝ dơ 5. (Bµi 54 SBT T8_2 tr 76). Cho tø gi¸c ABCD cã hai ®êng chÐo AC vµ BD
c¾t nhau t¹i O,
.ABD ACD
∠ = ∠
Gäi E lµ giao ®iĨm cđa hai ®êng th¼ng AD vµ BC.

Chøng minh EA.ED = EB.EC
Hoàng Thái Anh – THCS Mỹ Thủy
Chứng minh đẳng thức tích trong hình hocï
VÝ dơ 6 (Bµi 55 SBT T8_2 tr 77). Tam gi¸c ABC cã ba ®êng cao AD, BE, CF ®ång
quy t¹i H. Chøng minh AH.DH = BH.EH = CH.FH
VÝ dơ 7. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, F trªn c¹nh BC. Tia AF c¾t BD vµ DC lÇn lỵt ë
E vµ G. Chøng minh AE
2
= EF.EG
VÝ dơ 8. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH, ph©n gi¸c BD. Gäi I giao ®iĨm
cđa AH, BD.
Chøng minh AB.BI = BD.HB
VÝ dơ 9. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH Gäi M,N lÇn lỵt h×nh chiÕu cđa
H trªn AB, AC.
Chøng minh AM.AB = AN.AC
VÝ dơ 10. Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, E trung ®iĨm AB . tia DE c¾t AC t¹i F c¾t CB t¹i
G. Chøng minh FD
2
= FE.FG
VÝ dơ 11. Cho h×nh thoi ABCD c¹nh a, gãc A = 60
0
. Mét ®êng th¼ng bÊt kú ®i qua C
c¾t tia ®èi cđa tia BA, DA t¬ng øng ë M,N.
Chøng minh BM.DN = a
2
.
* C¸c bµi to¸n d¹ng nµy còng cã trong ch¬ng tr×nh H×nh häc 9.
VÝ dơ 12.. Tõ mét ®iĨm A ë bªn ngoµi ®êng trßn (O) ta vÏ tiÕp tun AB vµ c¸t tun
ACD . VÏ d©y BM vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cđa gãc BAC, d©y nµy c¾t CD t¹i E.
Chøng minh MD

2
= ME.MB
VÝ dơ 13. Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i A vµ B . Trªn ®êng th¼ng AB
lÊy mét ®iĨm M (M kh«ng thc ®o¹n AB) VÏ tiÕp tun MT cđa ®êng trßn (O) cµ
c¸t tun MCD cđa ®êng trßn (O’).
Chøng minh MT
2
= MC.MD
vÝ dơ 14. Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i A vµ B . VÏ d©y cung BC cđa ®-
êng trßn (O) tiÕp xóc víi (O’). VÏ d©y cung BD cđa ®êng trßn (O’) tiÕp xóc víi (O).
Chøng minh AB
2
= AC.AD
VÝ dơ 15. (Bµi 41 SGK To¸n 9 _ 1 tr 128 c). Cho ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh BC ,
d©y cung AD vu«ng gãc víi BC t¹i H. Gäi E,F theo thø tù lµ ch©n c¸c ®êng vu«ng
gãc kỴ tõ H ®Õn AB, AC. Gäi (I), (K) theo thø tù lµ c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c
HBE, HCF.
Chøng minh ®¼ng thøc AE.AB = AF.AC
VÝ dơ 16 (Bµi 43 SGK To¸n 9 _ 1 tr 128 b. Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc
ngoµi t¹i A, BC lµ tiÕp tun chung ngoµi, B ∈ (O), C ∈ (O’) . TiÕp tun trong t¹i A
c¾t BC t¹i M. Gäi E giao ®iĨm cđa OM vµ AB, F lµ giao ®iĨm cđa O’M vµ AC.
Chøng minh ®¼ng thøc ME.MO = MF.MO’.
Hoàng Thái Anh – THCS Mỹ Thủy