báo cáo bài tập lớn môn toán rời rạc tập hợp, quan hệ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
MÔN TOÁN RỜI RẠC

Đề tài 1
Nhóm 26


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC

MỤC LỤC

NHÓM 26

Page 2


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC

GIẢI BÀI TẬP – LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
Vấn đề 1:
Đồ thị hình 1 có phải đồ thị Euler? Hãy chỉ ra 1 chu trình Euler hoặc
chứng minh tại sao nó không phải.

Hình 1: Bạn có thể vẽ đồ thị trong 1 nét không?
Trả lời:
Đồ thị trên là đồ thị Euler.
Cơ sở: Là đồ thị liên thông.
Đồ thị không có đỉnh bậc lẻ.
Chu trình Euler: A B C F J H E B F E D G H D A

Vấn đề 2:
Một lá là một đỉnh với duy nhất một đỉnh lân cận. Mọi cây G với nhiều
hơn 1 đỉnh có ít nhất 2 lá.
Thật vậy: Cho G là một đồ thị liên thông không chu trình tùy ý với nhiều
hơn 1 đỉnh.
Vì G là đồ thị liên thông và có nhiều hơn 1 đỉnh, mọi đỉnh có bậc lớn hơn
1.
NHÓM 26

Page 3


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC
Lấy vo, v1,….,vn là đường đi dài nhất trong G. Vì đường đi dài nhất, nó
phải đi qua đỉnh lân cận của v n. Nếu vn kề với vi với mọi i < n-1, khi đó v i, vi+1,
…., vn, vi là 1 chu trình của G. Vì G là đồ thị không chu trình nên không thể có
chu trình nào trong G.
Vì vậy, vn chỉ kề với duy nhất vn-1, vì thế vn là 1 lá. Chứng minh tương tự
v0 cũng là lá. => đpcm
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)

Các vấn đề khác bạn nên chứng minh:
Mọi đồ thị liên thông có ít nhất |V| - 1 cạnh.
Mọi đồ thị không chu trình có nhiều nhất |V| - 1 cạnh.
Bất kỳ đồ thị liên thông nào có |V| - 1 cạnh là 1 cây.
Bất kỳ đồ thị không chu trình bào có |V| - 1 cạnh là 1 cây.
Mọi đồ thị liên thông tối thiểu là 1 cây.
Mọi đồ thị không chu trình tối đa là 1 cây.
Một đồ thị là một cây khi và chỉ khi có duy nhất một đường đi từ đỉnh này
sang đỉnh khác.
Mọi cây có chứa đỉnh bậc N thì có tối thiểu N lá.
Trong 1 cây bất kỳ, đa số các đỉnh có bậc lớn nhất là 2.

Chứng minh:
a, Mọi đồ thị liên thông có ít nhất |V| - 1 cạnh.
Trường hợp cơ sở: |V| = 0 và |V| = 1, |E| >= 0 >= |V| - 1.
Với đồ thị lớn hơn: Giả sử , ta chứng minh G không phải đồ thị liên
thông.
Ta có
=> Có ít nhất 1 đỉnh v với
=> G không liên thông => loại.
, xét đồ thị G1 thu được bằng cách loại v và cạnh nối của v.
|E1| = |E|-1 < |V1| - 1 = |V| - 2
Tiếp tục loại 1 đỉnh và 1 cạnh ra khỏi đồ thị, cuối cùng ta đưa về trường
hợp |V| = 1, khi đó gia thiết ban đầu |E| < |V| - 1 sai.
=> G1 không liên thông => G không liên thông => |E| >= |V| - 1. Đpcm
b, Mọi đồ thị không chu trình có nhiều nhất |V| - 1 cạnh.
Trường hợp cơ sở: |V| = 1 khi đó |E| = 0 | => |E| <= |V| - 1 đúng.

NHÓM 26

Page 4


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC
Ta sẽ bổ sung vào trường hợp cơ sở để số cạnh đạt tối đa. Ta chia ra làm 3
trường hợp:
- Thêm vào đồ thị đỉnh, 1 cạnh nối của đỉnh đó với đồ thị: ta thu được đồ
thị mạch hở và liên thông. Khi đó |E| = |V| - 1
- Thêm vào đồ thị số cạnh ít hơn số đỉnh: đây không phải là cách thêm để
đồ thị đạt số cạnh tối đa. => loại
- Thêm vào số đỉnh lớn hơn số cạnh: với đồ thị được xây theo kiểu bổ sung
1 nút, 1 cạnh, khi đó sẽ xuất hiện chu trình trong đồ thị => loại
Như vậy bằng cách bổ sung 1 đỉnh, 1 cạnh nối của đỉnh đó với đồ thị đã có ta
sẽ thu được đồ thị không chu trình có số cạnh lớn nhất |E| = |V| - 1.
=> |E| <= |V| - 1 với đồ thị không chu trình bất kỳ. Đpcm
c, Bất kỳ đồ thị liên thông nào có |V| - 1 cạnh là 1 cây.
Với |V| = 0, |V| = 1 => Đồ thị G liên thông không có chu trình.
Với đồ thị G lớn hơn.
=>
Nếu khi đó đồ thị không liên thông, điều này trái với giả thiết.
Nếu , ta loại v và cạnh của v ra khỏi đồ thị G thu được đồ thị G1 có:
|V| - 1 đỉnh và |E| - 1 = |V| - 2 cạnh.
Bằng cách qui nạp => G1 là mạch hở.
Nếu thêm v vào G1 thì không thể tạo thêm 1 chu trình vì bất kì chu trình
nào đi vào v sẽ không có cạnh để đi tiếp => G không có chu trình.
=> G là cây
d, Bất kỳ đồ thị không chu trình bào có |V| - 1 cạnh là 1 cây.
Như chứng minh ở phần b, đồ thị không chu trình có |V| - 1 cạnh được xây
dựng bằng cách thêm liên tục 1 cạnh và 1 nút mới vào 1 đồ thị cơ sở 1 nút cho
đến khi số đỉnh bằng |V|. Bằng cách làm vậy ta sẽ thu được một đồ thị liên

thông, không chu trình, có số cạnh bằng |V| - 1. Như vậy đây sẽ là 1 cây.
e, Mọi đồ thị liên thông tối thiểu là 1 cây.
Giả sử G là một đồ thị liên thông, có một chu trình. Giả sử u, v là đỉnh
liền kề trên chu trình, và có chu trình là u, x 1, … , xk, v, u. Ta xóa bất kỳ 1
cạnh trên chu trình đó ví dụ cạnh (u, v) ta vẫn có con đường đi từ u đến v là
u, x1, …, xk, v do đó đồ thị G vẫn còn liên thông, không bị ngắt kết nối, G
NHÓM 26

Page 5


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC
không phải là đồ thị liên thông tối thiểu. => đồ thị liên thông tối thiểu là đồ
thị liên thông không có chu trình. Mà theo định nghĩa cây là một đồ thị liên
thông không có chu trình.
Vậy một đồ thị liên thông tối thiểu là cây.
f, Mọi đồ thị không chu trình tối đa là 1 cây.
Đồ thị không chu trình tối đa là đồ thị không chu trình mà khi thêm 1 cạnh
vào đồ thị sẽ tạo ra chu trình.
Giả sử G là đồ thị không chu trình tối đa. Ta thêm 1 cạnh nối 2 đỉnh bất kì u,
v của đồ thị và đồ thị sẽ có 1 chu trình đi qua u, v => trước đó phải tồn tại đường
đi từ u đến v. Từ đó ta thấy luôn có đường đi giữa các đỉnh trong đồ thị G, tức là
G là 1 đồ thị liên thông không có chu trình. Và vì thế G là 1 cây.
g, Một đồ thị là một cây khi và chỉ khi có duy nhất một đường đi từ đỉnh này
sang đỉnh khác.
- Chứng minh một đồ thị là 1 cây thì có duy nhất một đường đi từ đỉnh này
sang đỉnh khác:
Một đồ thị là một cây thì đồ thị đó sẽ liên thông và không có chu trình. Đồ thị
liên thông đảm bảo luôn có 1 đường đi từ đỉnh này sang đỉnh khác. Đồ thị
không chu trình sẽ đảm bảo có nhiều nhất một con đường đi giữa 2 đỉnh bất

kỳ vì nếu có nhiều hơn 1 con đường giữa 2 đỉnh thì sẽ có 1 chu trình đi qua 2
điểm đó.
Vì vậy đồ thị là 1 cây sẽ có duy nhất một con đường từ đỉnh này đến đỉnh
khác.
- Chứng minh đồ thị có duy nhất một đường từ đỉnh này đến đỉnh khác là
một cây
Có 1 con đường từ đỉnh này đến đỉnh khác => luôn tồn tại đường đi giữa 2
đỉnh bất kỳ và do đó đồ thị là liên thông.
Nếu giữa 2 đỉnh bất kỳ chỉ có 1 con đường, giả sử là 2 đỉnh u, v. Khi đi từ u
đến v sẽ không còn con đường nào khác để đi từ v về u. Và khi đó đồ thị sẽ
không có chu trình. Một đồ thị liên thông không có chu trình thì sẽ là một
cây.
h, Mọi cây có chứa đỉnh bậc N thì có tối thiểu N lá.
Xét tại đỉnh v với deg(v) = N => v có N đỉnh lân cận u1, …, uN.
Xét đường đi dài nhất đi qua v và u 1 giả sử đó là yn…, v, u1, x1, …, xn. Vì
đây là đường đi dài nhất nên nó sẽ đi qua tất cả các đỉnh lân cận của x n. Nếu xn
NHÓM 26

Page 6


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC
có đỉnh lân cận là yn, v, u1, xi thì sẽ tồn tại 1 chu trình, điều này là không thể với
1 cây. => xn chỉ có đỉnh lân cận duy nhất là x n-1 => xn là 1 lá => nhánh u1 có ít
nhất 1 lá.
Tương tự ta sẽ có cây con đỉnh v sẽ có ít nhất N lá.
=> Mọi cây chứa đỉnh bậc N sẽ có ít nhất N lá.

Vấn đề 3:
Gọi T là một đơn đồ thị vô hướng liên thông kết nối trật tự n . Chứng

minh T là một cây nếu kích thước của T là n -1 .
Biết trật tự của một cây là số nút mà nó có và kích thước của cây là số
cạnh mà nó có.
=>Gọi T là một đơn đồ thị vô hướng liên thông có n nút. Chứng minh T là
một cây nếu nó có n-1 cạnh.
Chứng minh:
Điều kiện cần: Nếu T là một cây có n nút thì nó là 1 đơn đồ thị vô hướng
liên thông có n – 1 cạnh.
Gọi P(n) là mệnh đề một cây có n nút thì có n-1 cạnh và T k là cây có k
cạnh. Ta thấy với n = 1 thì cây T có 1 nút và không có cạnh nào P(1) đúng. Giả
sử mệnh đề P đúng với n = k. Ta cần chứng minh P đúng với n = k+1.
Thật vậy: Ta xét việc thêm 1 nút v vào cây T k. Để đảm bảo T vẫn là 1 cây
sau khi thêm nút v thì v phải là 1 nút lá bậc của v là 1 hay chỉ có 1 cạnh nối nút
v vào cây Tk ta được cây Tk+1 mới có thêm 1 cạnh và 1 nút so với T k.Mà cây Tk
có k nút và k-1 cạnh cây Tk+1 có k+1 nút và k cạnh P(k+1) đúng.
Giả thiết quy nạp đúng.
Thử lại: Cho Tk+1 là cây bất kì với k+1 nút. Hủy bỏ bất kì một cạnh e của
T.Vì Tk+1 không có chu trình, nên e phải là cầu nối. Vì vậy loại e khỏi T k+1 sẽ tạo
ra 2 cây con T1 và T2 có k1 và k2 nút. Theo giả thiết quy nạp thì 2 cây T 1 và T2 có
k1-1 và k2-1 cạnh. Đưa cạnh e lại một lần nữa ta được cây T k+1 có (k1 - 1) + (k2 1) + 1 = k cạnh. Giả thiết quy nạp đúng.
Điều kiện đủ: Nếu T là một đơn đồ thị vô hướng liên thông có n nút với
n-1 cạnh thì T là 1 cây.
Giả sử T không phải là 1 cây. Khi đó nó có chứa ít nhất một chu trình. Vì
đò thị T tồn tại chu trình nên tồn tại ít nhất 1 cạnh không phải là cầu nối. Loại bỏ
cạnh này khỏi đồ thị ta được đò thị T’ có n nút và n-2 cạnh.
NHÓM 26

Page 7

BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC
Ta thử xây dựng 1 đơn đồ thị liên thông với n nút và n-2 cạnh xem có thể xảy ra
không. Đầu tiên chọn 2 đỉnh bất kì trong n đỉnh gọi là u 1 và u2, ta sử dụng một
cạnh để kết nối chúng, gọi là cạnh e1.
Tiếp theo chọn bất kì đỉnh khác đánh số là u3 và sử dụng 1 cạnh để kết nối
nó với 1 trong 2 đỉnh u1 hoặc u2, gán nhãn là e2. Tiếp tục chọn bất kì một đỉnh
khác đánh số là u4, và sử dung 1 cạnh e3 để kết nối nó với 1 trong ba đỉnh còn
lại.Tiếp tục bước này cho đến khi chọn 1 đỉnh gắn nhãn nó là u n-1 , và sử dụng
cạnh en-2 để kết nối nó một trong các đỉnh u 1, u2, ….., un-2. en-2 đã là phần tử cuối
cùng trong tập cạnh, trong khi vẫn chưa kết nối hết số đỉnh. Vì vậy không thể
tạo một đơn đồ thị vô hướng liên thông từ n đỉnh và n-2 cạnh.
 T phải là 1 cây.
Kết luân: từ điều kiện cần và đủđpcm.

Vấn đề 4:
Đối với một đồ thị liên thông, nếu có 2k đỉnh bậc lẻ, thì đồ thị đó có thể
vẽ trong k nét.
Chứng minh:
Với G là 1 đồ thị liên thông, nếu có đúng 2 đỉnh bậc lẻ là u và v thì có thể
vẽ bằng 1 nét.
Thật vậy, ta gọi G’ là đồ thị thu được từ G bằng cách thêm vào cạnh (u, v).
Khi đó mọi đỉnh của G’ đều có bậc chẵn hay G’ là 1 đồ thị Euler. Bỏ cạnh (u, v)
ra khỏi chu trình Euler trong G’ ta có được đường đi Euler từ u đến v trong G
hay G có thể vẽ bằng 1 nét. Đối với 1 đồ thị liên thông, nếu có 2k đỉnh bậc
lẻ( k>1), ta nối 2(k-1) đỉnh bậc lẻ bằng k-1 nét thì bài toán đưa về đồ thị có đúng
2 đỉnh bậc lẻ thì có thể vẽ bằng 1 nét mà ta đã chứng minh bên trên.
Vậy đối với một đồ thị liên thông, nếu có 2k đỉnh bậc lẻ, thì đồ thị đó có
thể vẽ trong k nét.

Vấn đề 5:

Chứng minh một đồ thị là một cây khi và chỉ khi nó là liên thông tối thiểu,
tức là loại bỏ bất kỳ cạnh sẽ ngắt kết nối của đồ thị.
Chứng minh:
Chiều thuận: Một đồ thị là một cây thì nó là liên thông tối thiểu.
NHÓM 26

Page 8


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC
Theo định nghĩa, cây là một đồ thị mà trong đó hai đỉnh bất kì đều được
nối với nhau bằng đúng một đường đi. Nếu chúng ta loại bỏ cạnh (u, v), thì u và
v sẽ ngắt kết nối do (u, v) là con đường duy nhất. Như vậy một cây là đồ thị liên
thông tối thiểu.
Chiều đảo: Một đồ thị liên thông tối thiểu thì nó là cây.
Giả sử G là một đồ thị liên thông, có một chu trình. Giả sử u, v là đỉnh
liền kề trên chu trình, và có chu trình là u,x1,x2,…,xk,v,u. Ta xóa bất kỳ 1 cạnh
trên chu trình của đồ thị G ví dụ cạnh (u, v) ta vẫn có con đường đi từ u đến v là
u,x1,x2,…,xk,v do đó đồ thị G vẫn còn liên thông, không bị ngắt kết nối, G không
phải là đồ thị liên thông tối thiểu. Ngược lại đồ thị liên thông tối thiểu là đồ thị
liên thông không có chu trình. Mà theo định nghĩa cây là một đồ thị liên thông
không có chu trình. Vậy một đồ thị liên thông tối thiểu là cây.
Kết luận: Một đồ thị là một cây khi và chỉ khi nó là liên thông tối thiểu.

Vấn đề 6:
Ông bà Smith tổ chức buổi tiệc tại nhà cùng với n cặp vợ chồng. Mọi
người bắt tay nhau và ông Smith quan sát thấy:
- Không có cặp vợ chồng nào bắt tay nhau.
- Không có ai tự bắt tay với mình.
- Không có ai bắt tay nhiều hơn 1 lần với 1 người khác.

- Số cái bắt tay của mỗi người (bao gồm n cặp đôi và bà Smith) là khác
nhau.
1. Với n=3, n=4 tính số cái bắt tay của ông bà Smith.
2. Tính số cái bắt tay của ông bà Smith trong trường hợp tổng quát.

Chứng minh:
1. Với n=3 . ta sẽ có 3 cặp vợ chồng đến tham dự nên sẽ có 6 người . khi đó
do không có ai bắt tay nhiều hơn 1 lần với 1 người khác nên ta sẽ có ông bà
smith mỗi người có 3 lần bắt tay
Với n=4 . tương tự ta sẽ được số lần bắt tay của ông bà smith là 4 lần
NHÓM 26

Page 9


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC
2. Với trường hợp tổng quát . Để thuận tiện, ta kí hiệu Pi là vị khách (hoặc bà
Smith) với i cái bắt tay. P2n là số cái bắt tay với mỗi người trừ vợ/chồng của
mình do đó P0 là vợ hoặc chồng mình. Bây giờ chúng ta thấy rằng cặp đôi
không thể ông bà Smith: thấy rằng ông Smith không thể có 0 cái bắt tay, hoặc
P2n có thể có nhiều hơn một cái bắt tay. Bây giờ không tính ông bà Smith thì số
lượng cái bắt tay của những người khác ít nhất giảm đi 1. Số cái bắt tay của ông
bà Smith và n-1 cặp vợ chồng là 0,1,2... 2n-2. Bằng giả thiết quy nạp, ông bà
Smith sẽ có n-1 cái bắt tay với n-1 cặp vợ chồng. Cộng từng cái bắt tay 1 của họ
đã có với P2n , ông bà Smith đã có n cái bắt tay. Do đó với n bất kì >1, ông bà
Smith có tất cả n cái bắt tay.

Vấn đề 7:
Xác định cặp đồ thị đẳng cấu.

Hình 2

Hình 3
NHÓM 26

Page 10


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC
Trả lời:
2 đồ thị hình 2 là đẳng cấu.
|

V1| = |V2| = 6
|E1| = |E2| = 9

Điều kiện cần để 2 đồ thị đẳng cấu

Số đỉnh bậc chẵn bằng nhau
Chuyển tên đỉnh theo cách: A(2), B(3), C(4), D(1), E(5), F(6)
2 đồ thị hình 3 là đẳng cấu.
|V1| = |V2| = 5
|E1| = |E2| = 5

Điều kiện cần để 2 đồ thị đẳng cấu

Số đỉnh bậc chẵn bằng nhau
Chuyển tên đỉnh theo cách: A(A), B(C), C(E), D(B), E(D)

Vấn đề 8:

Các trình tự bên dưới có phải trình tự bậc của đồ thị đơn giản? Với mỗi
trường hợp, hãy làm theo các yêu cầu:
Tạo một đồ thị từ tình tự bậc, hoặc chỉ ra trình tự không phải là trình tự
bậc của bất kì đồ thị đơn giản nào.
1.
2.
3.
4.

(3, 3, 3, 1)
(4, 4, 4, 2, 2)
(4, 3, 2, 2, 1)
(3, 3, 3, 3, 3, 3)

Trả lời:
1. (3, 3, 3, 1) đây không phải là trình tự bậc của đồ thị. Mỗi đỉnh bậc 3 có
thể có tối đa 2 cạnh nối từ 2 đỉnh bậc 3 khác, nhưng 1 đỉnh bậc 1 còn lại
chỉ có thể có 1 cạnh. Như vậy không đủ số cạnh để tạo ra được 3 đỉnh bậc
3.
2. (4, 4, 4, 2, 2) đây không phải là trình tự bậc của đồ thị. Mỗi đỉnh bậc 4 có
thể có tối đa 2 cạnh nối từ 2 đỉnh bậc 4 khác. Như vậy cần thêm 6 cạnh
nữa để có 3 đỉnh bậc 4 trong khi 2 đỉnh bậc 2 chỉ cung cấp tối đa 4 cạnh.
Như vậy không thể có đồ thị với số bậc như trên.
3. (4, 3, 2, 2, 1) là trình tự bậc của đồ thị như hình dưới
NHÓM 26

Page 11


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC

4. (3, 3, 3, 3, 3, 3) là trình tự bậc của đồ thị như hình dưới

NHÓM 26

Page 12


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC

DỊCH TÀI LIỆU– TẬP HỢP, QUAN HỆ

Chương 1
Tập hợp, quan hệ
1.1.

Định nghĩa

1.1.1. Tập hợp và giá trị
Khái niệm tập hợp là một trong những khái niệm cơ bản của toán học.
Chúng tôi sẽ không cố gắng để định nghĩa chính xác một tập hợp. Tuy
nhiên, chúng ta có thể mô tả tập hợp: một bộ xác định các đối tượng nào
đó. Các đối tượng cấu thành tập hợp có thể là bất kì đối tượng nào và
được gọi là phần tử của tập hợp. Các phần tử trong một tập hợp không cần
phải có bất kỳ điểm chung (trừ các thuộc đặc trưng để chúng là phần tử
tập hợp). Như vậy, nếu không có hạn chế về số lượng các phần tử được
cho phép trong một tập hợp; có thể có vô hạn, hữu hạn hoặc thậm chí
không có phần tử nào trong tập hợp. Tuy nhiên, một hạn chế cần chú ý:
cho trước một tập hợp và một đối tượng, chúng ta sẽ có thể quyết định (về
nguyên tắc - nó có thể khó khăn trong thực tế) có hay không các đối tượng

thuộc một tập hợp. Một khái niệm chung như thế có rất nhiều ví dụ quen
thuộc và cũng có rất nhiều những ví dụ trừu tượng.

Ví dụ 1.
1. Một tập hợp có thể chứa các phần tử: Niuton, Tháp Hà Nội và số .
Đây là một tập hợp hữu hạn.
2. Tập hợp các số nguyên dương chẵn là tập hợp vô hạn.
3. Xem xét “tập hợp” 10 bài hát hay nhất mọi thời đại. Điều đó chưa
được thừa nhận cho đến khi ta đưa ra được định nghĩa “hay nhất”.
Tốt nhất đối với bạn, hay với tôi? Nếu không câu nệ chúng ta có thể
xác định một bài hát có thuộc tập hợp không.
Ký hiệu
Chúng ta thường dùng chữ hoa để đặt tên cho tập hợp và dùng chữ thường
để biểu thị phần tử. (Đôi khi điều này không đúng, ví dụ như khi phần tử
là các tập hợp.) Ký tự để chỉ “một phần tử thuộc”.
nghĩa là (phần tử) a thuộc (tập hợp) A
nghĩa là hoặc a không thuộc A
NHÓM 26

Page 13


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC
1.1.2. Đặc điểm của tập hợp
Tập hợp có thể được định nghĩa bằng nhiều cách khác nhau. Trước tiên
chúng ta xem xét 2 cách: liệt kê và vị từ đặc trưng.
Liệt kê: Đơn giản nhất là liệt kê các giá trị trong dấu {}. 2 ví dụ đầu có thể
viết:

Ở trường hợp tập B không liệt kê hết các phần tử. Chúng ta liệt kê vừa đủ

các phần tử để tạo ra qui luật và dùng dấu “…” để biểu thị vẫn còn nhiều
phần tử khác. Một ví dụ khác:
Cho một số nguyên dương xác định n, Nn2,…, n} là tập hợp n số nguyên
dương đầu tiên. “…” biểu thị rằng có rất nhiều các phần tử khác nhưng
chúng ta không viết. Mặc dù trong trường hợp này chỉ có hữu hạn các
phần tử như vậy.
, là tập hợp rỗng, nó không chứa phần tử nào. Tập rỗng được ký hiệu là .
Vị từ đặc trưng. Liệt kê các phần tử của tập hợp là không thực tế ngoại trừ
các tập hợp nhỏ hoặc tập hợp giống như B, Nn. Ta thay thế bằng cách định
nghĩa các phần tử bằng tính chất hoặc điều kiện. Nếu P(x) là điều kiện của
biến đơn x, ta có thể chỉ ra giá trị của tập hợp là a với a thỏa mãn điều
kiện P(a). Một tập hợp có thể được định nghĩa như vậy.
(Điều này có nghĩa: tập hợp tất cả các giá trị x thỏa mãn P(x).)

Ví dụ 2
1. Tập hợp B có thể định nghĩa bằng cách là số chẵn, nguyên dương},
hoặc , khi m >0 và m nguyên} hoặc và m nguyên}. Chú ý, mặc dù các
điều kiện khác nhau nhưng các phần tử là như nhau.
2. Tập hợp Nn cũng có thể định nghĩa Nn là số nguyên và .
3. Tập hợp {3, 5} có thể định nghĩa bằng cách . Ta nói {3, 5} là tập
nghiệm của phương trình .
4. Đồ thị rỗng có thể định nghĩa bằng bất kỳ điều kiện nào không có giá
trị thỏa mãn. Ví du: là một con thỏ màu xanh có đôi tai màu tím}.
5. là một chính trị gia trung thực} không phải là tập hợp cho đến khi
định nghĩa chính xác “trung thực”.

NHÓM 26

Page 14

BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC
Định nghĩa. Nếu A là một tập hợp hữu hạn, số phần tử của A, kí hiệu |A|,
là số lượng phần tử chứa trong A. Nếu A có vô hạn số phần tử, ta nói số
phần tử là vô hạn và viết |A| = . Ký hiệu khác cho số phần tử của tập A là
N(A), #A.

Ví dụ 3
1.
2. .
3. If thì |X| = n+1.
4. |{2, 4, 6, 8, …}| = .

Mặc dù số phần tử dường như là một khái niệm đơn giản, nhưng xác định
số phần tử của một tập hợp có thể khó khăn trong thực tế. Trường hợp đặc
biệt khi một vài hoặc toàn bộ phần tử của một tập hợp chính là tập hợp. Ví
dụ cho X = {{1, 2}}. X chứa duy nhất một phần tử là tập hợp {1, 2}, vì
vậy |X| = 1. Đây là ví dụ rõ ràng để thấy sự khác biệt giữa tập hợp {1, 2}
(có 2 phần tử) và X, đồ thị chứa 1 phần tử {1, 2} duy nhất. Tương tự, tập
hợp và là khác nhau. Tập hợp phía trước không có phần tử trong khi cái
sau có 1 phần tử - tên là . Vì vậy .

Ví dụ 4
1. Cho . Chú ý rằng A có 2 phần tử, số 1 và tập hợp {1, 2}. Vì vậy |A|
=2.
2. Tương tự, , , .

1.1.3. Nghịch lý Russell
Nghịch lý, được đặt tên theo nhà logic học Bertrand Russell (1872-1970),
chỉ ra “tập hợp của các tập hợp” là khái niệm có vấn đề. Nếu coi nó là một

tập hợp, nó có thể là một ví dụ cho tập hợp chứa chính nó. Như vậy, một
vài “tập hợp” có thể chứa chính nó như một phần tử và số khác thì không.
Cho S là một “tập hợp” chứa “các tập hợp không chứa chính nó như là
phần tử”.
Câu hỏi: Liệu S có là phần tử của chính nó?
• Nếu “có”, thì S không là môt phần tử của chính nó theo đúng định
nghĩa.
NHÓM 26

Page 15


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC
• Nếu “không”, thì S là một phần tử của S (theo định nghĩa)
Một giải pháp là tập hợp của mọi tập hợp không là một tập hợp.
1.2.

Các phép toán tập hợp

1.2.1. So sánh các tập hợp
Hai tập hợp là bằng nhau nếu chúng chứa các phần tử như nhau, tức là A
= B nếu la mệnh đề đúng và ngược lại. Thứ tự các phần tử được liệt kê là
không quan trọng. Ta cũng có thể không quan tâm đến sự lặp đi lặp lại của
phần tử trong danh sách. Như vậy các tập hợp dưới đây là bằng nhau:
.
Chúng ta nên lưu ý rằng ở đây chỉ có một tập rỗng, hoặc, nói một cách
khác, tất cả các tập rỗng là bằng nhau. Điều này là bởi vì bất kỳ hai tập
rỗng nào đều cùng không chứa cái gì.
Vì vậy nếu P(x) và Q(x) là 2 mệnh đề mà nó đúng với cùng đối tượng x
thì các đồ thị được chúng định nghĩa là bằng nhau.

.
Cho ví dụ: , vì 2 mệnh đề và đúng với cùng giá trị x = -1 và x = 5.
Tập hợp con
Tập hợp B là tập hợp con của A, kí hiệu hoặc , nếu mọi phần tử của B là
phần tử của A: .
Tập hợp B là tập hơp con thực sự của A nếu B là tập con của A và A chứa
ít nhất một phần tử không thuộc B. Kí hiệu thường được dùng khi B là
con thực sự của A, nhưng thỉnh thoảng nó được dùng với nghĩa một tập
con tùy ý. Như vậy khi và chỉ khi và . Lưu ý với mọi tập hợp A.

Ví dụ 5
1. Tương tự ta có thể sử dụng kí hiệu để biểu diễn quan hệ 3 tập hợp
trên.
2. . Thì trong khi không là con của X. Tuy vậy là một phần tử của X,
vì vậy .

Để chứng minh 2 tập hợp bằng nhau, , ta chứng minh đầy đủ mỗi tập hợp
là con của tập hợp còn lại, và .

NHÓM 26

Page 16


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC
Từ một khái niệm rộng lớn, tập hợp thường được hạn chế phạm vi để các
tập hợp liên quan ở trong bối cảnh cụ thể. Đó là điều thuận lợi để xác định
tập tổng quát có tập con là các tập ta đang nghiên cứu hoặc học tập.
là tập hợp các số tự nhiên.
là tập các số nguyên.

là tập sô hữu tỉ
R = tập hợp các số thực;
Số thực coi như tương ứng với điểm trên trục số hoặc được viết dưới dạng
thập phân.
là tập số phức.
Ta có quan hệ:
Cũng thường xuyên được xử dụng là Z+, Q+ và R+. Chú ý N không bằng
Z+ vì 0 không thuộc Z+.

1.2.2. Sơ đồ Venn
Sơ đồ Venn là dạng biểu diễn trực quan quan hệ của các tập hợp. Một tập
hợp được biểu diễn như một vùng trong mặt phẳng, các phần tử được đặt
bên trong. Nếu một phần tử thuộc nhiều hơn một sơ đồ sẽ có 2 sơ đồ phải
chồng lên nhau và vùng đó gọi là vùng cắt nhau.
Ví dụ, nếu thì vùng mặt phẳng của B có thể ở trong vùng A. Hình 1.

Hình 1

Ví dụ 7
Tập hợp có thể biểu diễn bằng sơ đồ Venn như hình 2.

NHÓM 26

Page 17


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC

Hình 2

1.2.3. Các phép toán tập hợp
Cho 2 tập hợp A, B ta có thể tạo ra tập hợp mới bằng cách.
Giao
Giao của A và B là tập hợp chứa mọi phần tử thuộc cả A và B. Kí hiệu .
Như vậy
.
Tập hợp A giao B có thể hình dung dễ nhất qua sơ đồ Venn

Kí hiệu
Được sử dụng cho sự giao nhau của họ các đồ thị A, chỉ mục là tập hợp I.
2 tập hợp A, B không thể giao khi .
Tập các tập hợp không giao nhau khi
.
Một tập các tập hợp đôi một không giao nhau nếu mỗi cặp tập hợp đều
không giao nhau.
Hợp
Hợp của A và B là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc cả A và B. Kí
hiệu .
NHÓM 26

Page 18


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC

Hợp của A và B được hình dung dễ dàng qua sơ đồ Venn

Có sự liên kết rõ ràng giữa sự giao nhau của các đồ thị và hội các mệnh
đề, giữa hợp của đồ thị và sự chia rẽ các mệnh đề. Nếu A, B được định
nghĩa bởi P(x), Q(x) thì

Và
Rõ ràng ta có thể mở rộng định nghĩa của hợp nhiều tập hợp. Cho A1,
A2,..., An là các tập hợp. Hợp củ chúng là:

Phần bù
Cho tập hợp A, phần bù của A là tập hợp chứa các phần tử không thuộc A.
Phần bù của A kí hiệu là . Có sự liên kết giữa phần bù và phủ định mệnh
đề.
Phần bù được thể hiện bằng sơ đồ Venn

NHÓM 26

Page 19


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC

Hiệu
Có liên quan với phần bù là hiệu của 2 tập hợp A và B, kí hiệu A – B hoặc
A\B. Tập hợp này chứa các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.
Chú ý là khác với A-B được biểu diễn như hình dưới

A-B
Hiệu đối xứng
Hiệu đối xứng của A và B ký hiệu là , được định nghĩa bởi

Được biểu diễn bằng sơ đồ Venn

NHÓM 26

Page 20


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC

Ví dụ 8
Cho Thì
AB = {3},
A\B = {1,2}

1.2.4. Phân hoạch và phủ
Giả sử = {Ei}, là họ các tập con của tập M, E1 M.Họ được gọi là phủ
của tập M nếu như mỗi phần tử của M đều là phần tử của ít nhất một tập
nào đó trong số các tập i.
M1.
Nếu là phủ rời nhau cỉa tập M, thì nó được gọi là một phân hoạch của M.
là phân hoạch của M MI ,.

Ví dụ 9:
M = {1,2,3,4} khi đó:
- Họ E1 = {{1,2},{1,3},{2,4}} là một phủ của M.
- Họ E2 = {{1,2},{3,4}} là một phân hoạch của M.
- Họ E3 = {{1,2},{3}} là một họ rời nhau nhưng không là phủ và cũng
không là phân hoạch của M.

NHÓM 26

Page 21

BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC

1.3. Đại số tập hợp
1.3.1. Dàn Bun (power set)
Tập tất cả các tập con của M gọi là dàn bun của M.
Kí hiệu: P(M) = {A|AM}.
Định lý : Nếu M là tập hữu hạn có n phần tử thì số tập con là 2n
Chứng minh: Sử dụng quy nạp.

Ví dụ 10:
1. P() = {}
P(a) = {a,}
P(a,b) = {}
P(a,b,c) = {}
2. Cho A = {1,2,3} và B{1,2}. Kiểm tra các mệnh đề sau:
i.
BP(A)
ii.
BA
iii. AP(A)
iv.
AP(A)
v.
BP(A)
vi.
{{1},B} P(A)
vii. P(A)
viii. P(A)
Giải:
i.

ii.
iii.
iv.

Đúng: B là tập con của A nên BP(A)
Sai : B không phải là một phần tử của A
Đúng: A là một phần tử của P(A)
Sai: vì các phần tử của A là 1 số còn các phần tử của P(A) là
1 tập hợp
v.
Sai: giải thích giống ý 4
vi.
Đúng: vì P(A) chứa {1} và B
vii. Đúng: vì là con của A nên P(A)
viii. Đúng : Vì luôn là tập con của P(A)

NHÓM 26

Page 22


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC

1.3.2. Tính chất của các phép toán trong tập hợp
Giả sử U là tập vũ trụ. Khi đó với mọi tập con A, B, C của U ta có các đẳng
thức sau đây:
1. Đồng nhất

2. Giao hoán
3. Kết hợp

4. Phân phối
5. Luật De Morgan
6. Bù

Ví dụ 11:
1. Chứng minh:
Bước 1: ta chứng minh :
Với mọi ta suy ra được
o Nếu thì suy ra
o Nếu thì suy ra
Suy ra
Bước 2: Chứng minh tương tự.
2. Chứng minh
Ta có
= {x|(x)}
=
NHÓM 26

Page 23


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC
=}
= {x|x}
= {x|x}
3.Chứng minh (A)-B = A – B.Ta sử dụng bảng giá trị chân lý
A
0
0
1

1

B
0
1
0
1
Dựa vào bảng ta thấy

(A)-B
0
0
1
0

0
1
1
1

A–B
0
0
1
0

(A)-B = A – B đpcm

1.4. Biểu diễn tập hợp trên máy tính
Có nhiều phương pháp biểu diễn khác nhau.Chúng ta có 3 phương pháp

cơ bản là

1.4.1. Vecto đặc trưng
Giả sử tập vũ trụ U = {u1,u2,u3,……,un},trong đó n không quá lớn. Khí đó
mỗi tập con M có thể biểu diễn bởi 1 vector
b1 = 1ui ,i = 1,2,…,n
vector b xây dựng theo qui tắc trên gọi là 1 vector đặc trưng của tập M.
Mỗi tập con của M tương ứng duy nhất một vector đặc trưng b,và ngược
lại,mỗi vector nhị phân n-chiều b tương ứng với duy nhất một tập con của
U.

Ví dụ 12:
Cho U = {1,2,3,…..,11}.Xét các tập con S,Q
S = {2,3,5,7,11}01101010001
Q = {1,2,4,11}11010000001
Trong cách biểu diễn này các phép toán tập hợp được thực hiện nhờ phép toán
logic OR,AND,NOT với từng bit.

NHÓM 26

Page 24


BÀI TẬP LỚN TOÁN RỜI RẠC
Ví dụ 13:
1.
2.

S

3.

S = 01101010001

1.4.2. Liệt kê các tập con
Trong rất nhiều thuật toán duyệt đòi hỏi phải lần lượt xét tất cả các tập
con của một tập cho trước U = {u1,u2,…..,un}.
Nếu biểu diễn các tập con của U bởi các vector đặc trưng, bài toán đặt ra
dẫn về liệt kê tất cả các vector nhị phân n chiều . Do mỗi vector nhị phân
n chiều b có thể coi là biểu diễn nhị phân của một số nguyên không âm n1, nên bài toán đặt ra qui về việc liệt kê biểu diễn nhị phân của tất cả các
số nguyên không âm từ 0 đến 2n -1.
Từ đó ta có thuật toán sau:
Bước k = 0,1,2,….,2n-1: Đưa ra biểu diễn nhị phân của k.
Dễ thấy là nếu ta đã có b1,b2,…….,bn lên 1:

Binary_Increment{
i=n;
while(n>=1)and(b1=1){
b[i]=0;
i=i-1;
}
bi=1;
}
NHÓM 26

Page 25