Bộ đề thi học sinh giỏi toán 8 có đáp án cấp huyện

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN

HUYỆN CỦ CHI

Ngày 04 tháng 04 năm 2016
Môn thi: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ BÀI
Câu 1 (2 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x 2 − x − 6
b) x 3 − x 2 − 14 x + 24
3 x 3 − 14 x 2 + 3 x + 36
3 x 3 − 19 x 2 + 33 x − 9
a) Tìm giá trị của x để biểu thức A xác định.
b) Tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị bằng 0.
c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên.

Câu 2 (3 điểm): Cho biểu thức A =

Câu 3 (5 điểm): Giải phương trình:
a) ( x 2 + x) 2 + 4( x 2 + x) = 12
x +1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6
+
+

=
+
+
b)
2008 2007 2006 2005 2004 2003
c) 6 x 4 − 5 x 3 − 38 x 2 − 5 x + 6 = 0 (phương trình có hệ số đối xứng bậc 4)
Câu 4 (4 điểm):
a) Tìm GTNN: x 2 + 5y 2 + 2 xy − 4 x − 8 y + 2015
3( x + 1)
b) Tìm GTLN:
3
x + x2 + x +1
Câu 5 (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
a) Tính tổng

HA' HB' HC'
+
+
AA' BB' CC'

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc
AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động
trên đoạn thẳng AB.
___*HẾT*___


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN

HUYỆN CỦ CHI

Ngày 04 tháng 04 năm 2016
Môn thi: TOÁN

Câu 1 (2 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x 2 − x − 6 (1 điểm)
= x 2 + 2 x − 3x − 6
= x( x + 2) − 3( x + 2)
= ( x − 3)( x + 2)
b)
=
=
=
=
=

x 3 − x 2 − 14 x + 24 (1 điểm)
x 3 − 2 x 2 + x 2 − 2 x − 12 x + 24
x 2 ( x − 2) + x ( x − 2) − 12 x ( x − 2)
( x − 2)( x 2 + x − 12)
( x − 2)( x 2 + 4 x − 3x − 12)
( x − 2)( x + 4)( x − 3)

3 x 3 − 14 x 2 + 3 x + 36
3 x 3 − 19 x 2 + 33 x − 9
a) ĐKXĐ: 3 x 3 − 19 x 2 + 33x − 9 ≠ 0 (1 điểm)
1
 x ≠ và x ≠ 3

3
3
2
3 x − 14 x + 3 x + 36
b)
(1 điểm)
3 x 3 − 19 x 2 + 33 x − 9
( x − 3) 2 (3 x + 4)
=
(3 x − 1)( x − 3) 2
3x + 4
=
3x − 1

Câu 2 (3 điểm): Cho biểu thức A =

A = 0  3x + 4 = 0
−4
 x=
( thỏa mãn ĐKXĐ)
3
−4
Vậy với x =
thì A = 0.
3
3x + 4 3x − 1 + 5
5
=
=1+
(1 điểm)

3x − 1
3x − 1
3x − 1
5
∈ Z  3x – 1 ∈ Ư(5)
Vì x ∈ Z  A ∈ Z 
3 x −1
mà Ư(5) = {-5;-1;1;5}

c) A =

3x – 1
x

-5
-4/3 (loại)

Vậy tại x ∈ {0;2} thì A ∈ Z.

-1

1

5

0 (nhận)

2/3 (loại)

2 (nhận)

Câu 3 (5 điểm): Giải phương trình:
a) ( x 2 + x) 2 + 4( x 2 + x) = 12 (1 điểm)
Giải phương trình ta được tập nghiệm S = {-2;1}
x +1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6
+
+
=
+
+
(2 điểm)
2008 2007 2006 2005 2004 2003
x +1
x+2
x+3
x+4
x+5
x+6
+1+
+1+
+1 =
+1+
+1+
+1

2008
2007
2006
2005

2004
2003
x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009
+
+
=
+
+

2008
2007
2006
2005
2004
2003
x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009
+
+
−
−
−
=0

2008
2007
2006
2005
2004
2003
1

1
1
1
1
1
+
+
−
−
−
)=0
 ( x + 2009)(
2008 2007 2006 2005 2004 2003
1
1
1
1
1
1
+
+
−
−
−
≠ 0)
 x + 2009 = 0 vì (
2008 2007 2006 2005 2004 2003
 x = -2009
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2009}

b)

c) 6 x 4 − 5 x 3 − 38 x 2 − 5 x + 6 = 0 (2 điểm)
 Chia cả 2 vế cho x 2 , ta được:
5 6
6 x 2 − 5 x − 38 − + 2 = 0
x x
1
1
2
 6( x + 2 ) − 5( x + ) − 38 = 0 (*)
x
x
1
1
 Đặt x + = y => x 2 + 2 = y 2
x
x
Thay vào phương trình (*) rồi giải phương trình, ta được
−1 1
Tập nghiệm của phương trình là: {-2;
;0; }
2
3
Câu 4 (4 điểm):
a) Tìm GTNN: P= x 2 + 5y 2 + 2 xy − 4 x − 8 y + 2015
3( x + 1)
b) Tìm GTLN: Q= 3
x + x2 + x +1
2

2
a) P = x + 5y + 2 xy − 4 x − 8 y + 2015 (2 điểm)
P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015
P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010
P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 ≥ 2010
3
1
=> Giá trị nhỏ nhất của P = 2010 khi x = ; y =
2
2
3( x + 1)
b) Q = 3
(2 điểm)
x + x2 + x +1
3( x + 1)
3( x + 1)
3
= x 2 ( x + 1) + ( x + 1) = ( x 2 + 1)( x + 1) = 2
x +1
2
Q đạt GTLN  x + 1 đạt GTNN
Mà x 2 + 1 ≥ 1
=> x 2 + 1 đạt GTNN là 1 khi x = 0. => GTLN của C là 3 khi x = 0.


Câu 5 (6 điểm):

a)

S HBC

S ABC

Vẽ hình đúng (0,5điểm)

1
.HA'.BC
HA'
2
=
=
; (0,5điểm)
1
AA'
.AA'.BC
2

Tương tự:

S HAB HC' S HAC HB'
=
=
;
S ABC CC' S ABC BB'

(0,5điểm)

HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC
+
+
=

+
+
=1
AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC

(0,5điểm)

b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:

BI AB AN AI CM IC
=
;
=
;
=
IC AC NB BI MA AI
BI AN CM AB AI IC AB IC
.
.
=
. . =
. =1
IC NB MA AC BI AI AC BI
⇒ BI .AN.CM = BN.IC.AM

(0,5điểm )

(0,5điểm )

c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx

(0,5điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,5điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD
(0,5điểm)
- ∆ BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2
⇒ AB2 + AD2 ≤ (BC+CD)2
(0,5điểm)
AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2
4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2
Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2
4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2
(0,5điểm)
2
2
2
-Chứng minh được : 4(AA’ + BB’ + CC’ ) ≤ (AB+BC+AC)2

(AB + BC + CA ) 2
≥4
⇔
AA'2 + BB'2 + CC'2

(0,5điểm)

(Đẳng thức xảy ra ⇔
BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔
AB = AC =BC
⇔
∆ ABC đều)