Bộ đề thi học sinh giỏi toán 8 có đáp án cấp trường

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN KIM BÔI
TRƯỜNG THCS SÀO BÁY

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN: TOÁN, LỚP 8

Năm học 2016 - 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)
( Đề bài có 01 trang gồm 04 câu )
ĐỀ BÀI

Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2;

b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

Câu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :

2 +x
4x2
2 −x
x 2 −3 x
A =(
− 2
−
):(

)
2 −x
x −4 2 + x
2 x 2 −x 3
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b) Tìm giá trị của x để A > 0?
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (5,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b)

Cho

a b c
x y z
x2 y2 z 2
+ + = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 .
x y z
a b c
a
b
c

Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F
lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình
chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
a. Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b. Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

c. Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.

Hết


HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN, LỚP 8
Năm học: 2016 – 2017
Nội dung đáp án
Bài 1
a
2

Điểm
2,0
1,0
0,5
0,5
2,0
1,0
0,5
0,5
5,0
3,0

2

3x – 7x + 2 = 3x – 6x – x + 2 =
= 3x(x -2) – (x - 2)
= (x - 2)(3x - 1).

b
a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x =
= ax(x - a) – (x - a) =
= (x - a)(ax - 1).
Bài 2:
a
ĐKXĐ :
2 − x ≠ 0
 2
x ≠ 0
x − 4 ≠ 0


⇔  x ≠ ±2
2 + x ≠ 0
 x 2 − 3x ≠ 0
x ≠ 3


2
3
 2 x − x ≠ 0
A=(

1,0

2 + x 4 x2
2− x
x 2 − 3x
(2 + x) 2 + 4 x 2 − (2 − x) 2 x 2 (2 − x)

− 2
−
):( 2
)
=
.
=
2 − x x − 4 2 + x 2 x − x3
(2 − x)(2 + x)
x ( x − 3)

=

1,0

4 x2 + 8x
x (2 − x )
.
=
(2 − x )(2 + x) x − 3

0,5

4 x( x + 2) x(2 − x)
4x2
=
(2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 3

0,25

Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ 3 thì A =

4x 2
.
x −3

0,25

b

1,0
Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > 0 ⇔
⇔ x−3> 0
⇔ x > 3(TMDKXD )

4x
>0
x −3

Vậy với x > 3 thì A > 0.
c
x − 7 = 4
x−7 = 4 ⇔ 
 x − 7 = −4
 x = 11(TMDKXD )
⇔
 x = 3( KTMDKXD )

Với x = 11 thì A =

121
2

2

0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
0,5
0,25
0,25


Bài 3
a

5,0
2,5
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
⇔ (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0
⇔ 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
Do : ( x − 1) 2 ≥ 0;( y − 3) 2 ≥ 0;( z + 1) 2 ≥ 0
Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).

b
Từ :
Ta có :

a b c
ayz+bxz+cxy
+ + =0 ⇔
=0
x y z
xyz
⇔ ayz + bxz + cxy = 0
x y z
x y z
+ + = 1 ⇔ ( + + )2 = 1
a b c
a b c
2
2
2
x
y
z
xy xz yz
⇔ 2 + 2 + 2 + 2( + + ) = 1
a
b
c
ab ac bc
2
2
2
x
y

z
cxy + bxz + ayz
⇔ 2 + 2 + 2 +2
=1
a
b
c
abc
x2 y 2 z 2
⇔ 2 + 2 + 2 = 1(dfcm)
a
b
c

1,0
0,5
0,5
0,25
0,25
2,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25

Bài 4

6,0

H

C

B

0,25

F
O
E

A

D

a
Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF
Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO( g − c − g )
=> BE = DF
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành.
b
·
·
Ta có: ·ABC = ·ADC ⇒ HBC
= KDC
Chứng minh : ∆CBH : ∆CDK ( g − g )
⇒

CH CK

=
⇒ CH .CD = CK .CB
CB CD

K

2,0
0,5
0,5
0,25
0,25
2,0
0,5
1,0
0,5


c,

Chứng minh : ∆AFD : ∆AKC ( g − g )
AF AK
=
⇒ AD. AK = AF . AC
AD AC
Chứng minh : ∆CFD : ∆AHC ( g − g )
CF AH
⇒
=
CD AC
CF AH

=
⇒ AB. AH = CF . AC
Mà : CD = AB ⇒
AB AC
⇒

1,75
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm). 0,25