Quản trị DN Tài chính kinh doanh Bai 2 hoi qui HAI bien

Chương 2:
HỒI QUI HAI BIẾN


HỒI QUI HAI BIẾN
1. Ước lượng các hệ số hồi qui bằng phưong pháp bình
phương bé nhất thông thường (OLS)
2. Phương sai và sai số chuẩn của các ước lượng
3. Hệ số xác định và hệ số tương quan
4. Khoảng tin cậy của các hệ số hồi qui & phương sai
5. Kiểm định giả thiết
6. Ứng dụng


Lưu ý về ký hiệu
Yi : giá trị quan sát thực tế mẫu,
Yˆi : giá trị tính toán (lý thuyết) – Mẫu
Xk, i: k- thứ tự biến trong mô hình; i – thứ tự quan sát

xi = Xi − X ;

yi = Yi − Y ; yˆi = Yˆi − Y

Yˆi = βˆ1 + βˆ2 . Xi ; Yi = βˆ1 + βˆ2 . Xi + Uˆi

uˆi = yi − yˆi = Yi − Yˆi = Uˆi = ei
Yi = βˆ1 + βˆ2 . Xi + uˆi


Dự đoán dấu β2
hồi qui :

dựa vào bản chất kinh tế của quan hệ

β2 > 0.
VD: Quan hệ chi tiêu với thu nhập
Lãi suất cho vay với mức cầu vay vốn
β2 < 0
Cách giải thích ý nghĩa β1
Nếu β2 < 0
* Khi X = 0

biến X và biến Y nghịch biến
Y = β1 = Y max

Nếu β2 > 0
biến X và biến Y đồng biến: X tăng thì Y
tăng ; X giảm thì Y giảm
* Khi X = 0

Y = β1 = Y min


Ước lượng tham số hồi qui bằng phương
pháp bình phương bé nhất
Y
Yi

Yˆi

..

.
. . SRF
.
.
.
.
.
.
e = uˆ
.
.
..
.
i

0

i

Xi

X


Ước lượng tham số hồi qui bằng phương
pháp bình phương bé nhất
Yi = βˆ1 + βˆ2 X i + uˆi

a/ Nguyên tắc - Ước lượng hệ số của hàm

sao cho

2
2
ˆ
ˆ
u
=
(
Y
−
Y
)
∑ i ∑ i i → min

b. Công thức
n

n

ˆ − βˆ X ) 2 = f ( βˆ , βˆ ) → min
ˆ
(
Y
−
Y
)
=
(
Y

−
β
∑ i i ∑ i 1 2 i
1
2
i =1

2

i =1

 f '( βˆ1 ) = 0
⇔ 
 f '( βˆ2 ) = 0

⇔ βˆ1 = Y − βˆ2 X

n

βˆ2 =

∑ X Y − nXY
i =1
n

i i

∑ X i − n( X )
i =1

n

2

=

∑ X Y − nXY
i =1

i i
n

2
x
∑ i
i =1


Y

Y
•
•
•
•
•
• • •
•
•
• • •

••

`` Tốt ’’

•

•

•
• •

•

• •
•
• •

•

X

`` Không Tốt ’’

X


Hệ số xác định R2
a. TSS (Total Sum of Squares) = Tổng bình phương độ lệch của Y
n

TSS = ∑ y =
2
i

i =1

n

n

2
2
(
Y
−
Y
)
=
Y
−
n
(
Y
)
∑ i
∑ i
2

i =1

i =1

b. ESS (Explained Sum of Squares) = Tổng bình phương độ lệch của Y được giải
thích bởi SRF

ESS =

n

∑

2
i

yˆ =

i =1

n

∑ (Yˆi − Y ) = βˆ2
i1=

2

2

n

n

ˆ ( X 2 − nX 2 )
x
=
β
∑
∑ i
2
i1=

2
i

2

i1=

c. RSS (Residual Sum of Squares) = Tổng bình phương độ lệch giữa giá trị quan
sát thực tế và giá trị tính toán = tổng bình phương độ lệch Y không được giải
thích bởi SRF
RSS do yếu tố ngẫu nhiên gây ra
n

n

ESS RSS
2
ˆ
⇒
TSS

=
ESS
+
RSS
→
1
=
+
RSS = ∑ e = ∑ (Yi − Yi )
TSS TSS
i =1
i =1
2
i

d. R2 : Hệ số xác định (Coefficient of Determination) – Đo mức độ phù hợp của
hàm HQ

R2 =

ESS
RSS
=1−
TSS
TSS


Ý nghĩa hình học của TSS,
RSS & ESS

Tính chất TSS & R2
a. Tính chất của TSS
* Với 01 mẫu cho trước thì TSS cố định, nhưng ESS, RSS
thay đổi tùy theo dạng hàm ta chọn
* Khi ESS càng lớn so với RSS
Hàm SRF phù hợp tốt
với số liệu quan sát
Đặc biệt nếu tất cả Yi nằm trên SRF
ESS = TSS
(RSS = 0) và ngược lại
Yˆi ≡ Yi , ∀ i
* ESS càng nhỏ hơn RSS
liệu quan sát

Hàm SRF kém phù hợp số


Tính chất TSS & R2
b.

R2

• 0 ≤ R2 ≤ 1
RSS = 0 ; TSS=ESS
* Nếu R2 = 1
đường hồi qui phù hợp hoàn hảo, tất cả sai lệch của Yi đều
được giải thích bởi SRF

Yˆi ≡ Y , ∀ i

* Nếu R2 = 0
ESS=0; TSS = RSS
SRF không thích hợp, tất cả sai lệch của Yi không được giải
thích bởi hàm SRF


Phương sai & sai số chuẩn của các ước lượng
đánh giá biến động
các HSHQ
2
1. v a r ( βˆ 2 ) = σˆ
s e ( βˆ 2 ) = v a r ( βˆ 2 )
n

∑

xi2

i=1
n

2.
v a r ( βˆ1 ) =

∑

X

i =1

n

2
i

n ∑ xi2

σˆ 2

s e ( βˆ1 ) =

v a r ( βˆ1 )

i =1

Với:

σ 2 = var(Ui )

se : sai soá chuaån ( standard error )

Nếu phương sai nhiễu tổng thể σ2 chưa biết, thay nó bằng ước
lượng không
n chệch của nó:
2
e
∑ i

RSS
s = σˆ =

; σˆ = σˆ 2 ; e = Yi − Yˆi ; ei = Uˆ i
=
n−2
n−2
2

2

i =1


Khoảng tin cậy của β1, β2,
Chọn mẫu khác nhau, β1, β2 sẽ như thế nào?
Giới hạn biến động của Y khi biến X thay đổi 1 đv?

K .T .C . β = ( βˆ − tα / 2 ; ( n − 2 ) . se ( βˆ ) ;

βˆ + tα / 2 ; ( n − 2 ) . se ( βˆ ) )
tα / 2 ;( n − 2 ) tra bản g phân phối t hoặc dùn g hàm TINV trong Excel


Khoảng tin cậy của phương sai của
nhiễu
( n − 2 ) σˆ

2

2

χ α /2 ; ( n − 2 )

H ay :

<σ

2

<

RSS
2

χ α /2 ; (n − 2 )

( n − 2 ) σˆ

χ 12− α / 2
<σ

2

<

tr a b a ûn g p h a ân p h o ái χ

2

2

; (n−2)

RSS

χ

2
1 − α /2 ; (n − 2 )

b a äc tö ï d o ( n − 2 )


Ví dụ 1 : từ một mẫu 8 quan sát sau đây, hãy thiết lập
X: giá vé xe bus (ngàn đồng/vé)
hàm hồi qui
Y: Tổng lượng người thường xuyên đi
xe bus (triệu người)

n

Xi

Yi

XiYi

Xi2

1

1

8

8

1

2

2

6

12

4

3

3

6

18

9

4

4

5

20

16

5

4

4

16

16

6

5

4

20

25

7

6

4

24

36

Yˆi = 8 − 0, 75Xi → SRF

8

7

3

21

49

Yi = 8 − 0, 75Xi +ui → PRF

Tổng

32

40

139

156

32
40
X = = 4 ; Y = =5
8
8
139−8*4*5
βˆ2 =
= − 0, 75
2
156 −8*4
βˆ = 5− (− 0, 75)*4 = 8
1


Nhận xét

Y = 8 - 0,75X
75X

mà X: giá vé xe bus

X≥0

Y=8

Y ≤ 8 hay Ymax = 8

X tăng 1 đơn vị

Y giảm 0,75 đơn vị

X & Y nghịch biến
Ymax = 8 (Khi X = 0)


Ý nghĩa kinh tế của các hệ số hồi quy

ˆ
β
(1). 1 = 8 = Ymax
Khi giá vé xe bus giảm đến tối đa, tổng lượng
người thường xuyên đi xe bus bình quân đạt
đến mức tối đa là triệu người
(2). βˆ = − 0 , 75 < 0 X và Y nghịch biến
2

Giá vé tăng (giảm) 1 ngàn đồng/vé, tổng
lượng người thường xuyên đi xe bus bình quân
giảm (tăng) 0,75 triệu người


Phương sai của nhiễu
& sai số chuẩn các hệ số hồi quy
R SS
2 , 25
σˆ =
=
= 0 , 375
n−2
6

2
ˆ
σ
→ var( βˆ 2 ) =
= 0 , 375 / 28 = 0 , 0134
2
∑ xi
2

→ se ( βˆ 2 ) =
→ var( βˆ1 ) =

∑
n .∑ x

X i2
2
i

var( βˆ 2 ) = 0 , 1158

∑
.σˆ 2 = var( βˆ 2 ).

X i2
n

= 0 , 0134 * 156 / 8 = 0 , 2613
→ se ( βˆ1 ) =

var( βˆ1 ) = 0 , 51 11


Khoảng tin cậy các HSHQ
* Kết quả hồi qui mẫu cho:

βˆ1 = 8 ; βˆ2 = − 0, 75
se ( βˆ1 ) = 0 , 5111 ; se ( βˆ2 ) = 0, 1158

* 1 − α = 95% → α = 5% ; α / 2 = 0, 025
6
tra baûn g t − student → tαn −/22 = t0,025
= 2, 447

* Suy ra:
*K.T .C β1 = 8 ± 2, 447 * 0, 511039 = (6, 749488 ; 9, 250512)
*K.T .C β2 = − 0, 75 ± 2, 447 * 0,115728 = (−1, 03319 ; −0, 46681)


Ý nghĩa khoảng tin cậy các hệ số hồi qui:
(1). KTC β1= (6,75 ; 9,25)
Tổng lượng người
thường xuyên đi xe bus bình quân tối đa từ 6,75 đến
9,25 triệu người
(2). KTC β2 = (-1,03 ; -0,4668).
Khi giá vé tăng 1
ngàn đồng/vé, tổng lượng người thường xuyên đi xe
bus bình quân sẽ giảm ít nhất là 0,4668 triệu người
đến cao nhất là 1,03 triệu người.

Khoảng tin cậy của phương sai
Biết:

1 − α = 0, 95 ; α = 0, 05 ; α / 2 = 0 , 025
1 − α / 2 = 0 , 975 → tra bang χ 2

χ 02, 025 ( 6 ) = 14 , 4497 ; χ 02, 975 ( 6 ) = 1, 2373
Suy ra:

 ( n − 2 )σˆ 2 ( n − 2 )σˆ 2 
K .T .C 95 % (σ ) =  2
; 2

 χ α / 2 ;( n − 2 ) χ 1−α / 2 ; ( n − 2 ) 
Lower
Upper
2

 RSS
RSS 
Hay : K .T .C 95 % (σ ) =  2
; 2

χ
χ
 α / 2 ; ( n − 2 ) 1−α / 2 ;( n − 2 ) 
RSS
Do : σˆ 2 =
⇒ σˆ 2 ( n − 2 ) = RSS

(n − 2)
2

 6 .( 0 , 375) 6 .( 0 , 375) 
;
= 
= ( 0, 1 55716 ; 1, 818414 )

 14 , 4494 1, 2373 


Thiết lập bảng tính trung gian:

Xi

Yi

Xi2

Yi2

X =

XiYi

Y =
1

8

1

64

8

2

6

4

36

12

3

6

9

36

18

4

5

16

25

20

4

4

16

16

16

5

4

25

16

20

6

4

36

16

24

7

3

49

9

21

ΣX = 32 ΣY = 40 ΣX2 = 156 ΣY2 = 218 ΣXY= 139

n

∑X
i =1
n

∑Y
i =1

i

i

/ n = 32 / 8 = 4

/ n = 40 / 8 = 5

2
2
2
x
=
(
X
)
−
n
.
X
∑ i ∑

= 28

∑
= ( ∑ Y ) − n .Y

TSS =

y i2

2

2

= 18

ESS = βˆ22 ∑ xi2
= ( − 0, 75) 2 .28 = 15, 75
RSS = TSS − ESS = 2, 25

R

2

ESS
=
= 0,875
TSS


Hệ số tương quan (r – coefficient of correlation)
a. r đo mức độ chặt chẽ
trong quan hệ tuyến tính
giữa X &Y
n

r=

∑(X
i =1

n

∑(X
i =1

b. Tính chất
Dấu của r phụ thuộc dấu
cov(X/Y)

−1 ≤ r ≤1

r có tính đối xứng:
rxy = ryx

i − X )(Yi − Y )
n

− X ) 2 . ∑ (Yi − Y ) 2

i

i =1

n

Hay r =

∑x y
i

i =1

n

i

n

∑ x .∑ y
i =1

2
i

i =1

⇒ r = ±
2
i

R2

X & Y độc lập
r = 0;
nhưng r = 0
không có
nghĩa là 2 biến này độc
lập


Kiểm định hệ số hồi qui

a/ Khái niệm
Kiểm định (test) giả thiết
xem xét kết quả từ số
liệu khảo sát thực tế có phù hợp với giả thiết nêu ra?
(“phù hợp” nghĩa là kết quả đó “đủ” sát với giá trị được giả
thiết để không bác bỏ giả thiết phát biểu)

Giả thuyết không H0 (Null hypothesis): Giả thiết phát
biểu (không chứng minh)= giả thiết cần kiểm định;
Giả thiết đối H1 (Alternative hypothesis) là giả thiết đối
lập với H0
* Cơ sở: dựa trên luật phân phối xác suất của đại lượng
ngẫu nhiên, xây dựng quy tắc để bác bỏ (khi chứng
minh được H1) hay không bác bỏ H0.


Với β0 là giá trị cho trước (giá trị kiểm định)
β1 , β2 : các hệ số hồi quy của hàm hồi quy tổng thể

Kiểm định 2 phía (đuôi)
1. Kiểm định tung độ gốc

 H 0 : β1 = β 0
H : β ≠ β
0
 1 1

Trường hợp β0 = 0 : Kiểm định giả thiết H0 là hàm có đường
biểu diễn qua gốc tọa độ

2. Kiểm định hệ số góc

H 0 : β2 = β0
H : β ≠ β
0
 1 2

Trường hợp β0 = 0: Kiểm định giả thiết H0 là biến giải thich X
không có tác động lên biến phụ thuộc Y