E.T.C Toán 10 Hàm số Đại cương về Hàm số

TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

Dạng 1.

Tìm tập xác định của hàm số (TXĐ).

Dạng 2.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số. Lập bảng biến thiên.

Dạng 3.

Hàm số chẵn – Hàm số lẻ.

Dạng 1.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số. Lập bảng biến thiên. Vẽ đồ thị.

Dạng 2.

Ứng dụng khảo sát hàm số
Vào bài toán biện luận số nghiệm của phương trình.
Vào bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất
(GTNN).
Vào bài toán tìm điều kiện của tham số trong bất phương trình.

Dạng 3.

Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số bậc nhất.

Dạng 1.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số. Lập bảng biến thiên.. Vẽ đồ thị.

Dạng 2.

Biến đổi đồ thị dựa vào tính chẵn lẻ của hàm số.
Ứng dụng của đồ thị hàm số ddeer biện luận về số nghiệm của
phương trình.

Dạng 3.

Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN).
Tìm điều kiện của tham số trong các bất phương trình.

Dạng 4.

Tìm điểm cố định của họ Parabol.

Dạng 5.

Sự tương giao giữa Parabol với đường thẳng.

Tổ chức Giáo dục E.T.C gửi miễn phí tới các em 1 phần nhỏ trong tập tài liệu này.
Bản đầy đủ của cả chuyên đề này và các chuyên đề khác, xem và tải (có phí) tại địa
chỉ website:
/>Trong quá trình sử dụng tài liệu, nếu có khó khăn hay có những lỗi sai xin hãy
phản hồi tới E.T.C theo hotline, website và facebook.
Tài liệu này chúng tôi xây dựng dựa trên bài tập Toán theo chương trình học của học sinh
trường THPT Chuyên Ngoại ngữ. Có chỉnh sửa, bổ sung kiến thức – chuyên đề, thêm đáp
án để phù hợp với mọi đối tượng học sinh và các đồng nghiệp tham khảo.

1
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Nếu mỗi giá trị của đại lượng x thuộc tập hợp số D xác định được một và
chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập hợp số thực ! thì ta có một hàm
số. Ký hiệu: y = f (x) . Trong đó x là biến số; y là hàm số của x ; D là tập
xác định của hàm số.
Đồ thị của hàm số y = f (x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm

(

)

M x; f (x) trên mặt phẳng tọa độ với mọi x ∈ D .

( )

Hàm số y = f (x) gọi là đồng biến trên khoảng a;b nếu:

( )

∀x1 , x2 ∈ a;b , x1 < x2 , f (x1 ) < f (x2 )

( )

hoặc ∀x1 , x2 ∈ a;b , x1 ≠ x2 ,

f (x1 )− f (x2 )
x1 − x2

>0

( )

Hàm số y = f (x) gọi là nghịch biến trên khoảng a;b nếu:

( )

∀x1 , x2 ∈ a;b , x1 < x2 , f (x1 ) > f (x2 )

( )

hoặc ∀x1 , x2 ∈ a;b , x1 ≠ x2 ,

f (x1 )− f (x2 )
x1 − x2

<0

Hàm số y = f (x) với tập xác định D ( D là tập đối xứng qua O ) gọi là hàm số
chẵn nếu:

∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D và f (−x) = f (x)

Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Hàm số y = f (x) với tập xác định D ( D là tập đối xứng qua O ) gọi là hàm số

lẻ nếu:

∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D và f (−x) = − f (x)

Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
BÀI TẬP
Dạng 1.

Tìm tập xác định của hàm số (TXĐ)

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y =

x −1
x 2 −1

b) y =

2x + 1
2x 2 − x −1

2
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

c) y =

e) y =

3x + 4

(x − 2)
x

d) y = x 2 + 2x − 3 +

x+4

x2 − 4

f) y = x + 3− 2 x + 2

+ 2x −1

1− x

1

Hướng dẫn giải.
a) y =

x −1
x 2 −1

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi x 2 −1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1 .

{ }

(

) (

) (

)

TXĐ: D = !\ ±1 hoặc D = −∞;−1 ∪ −1;1 ∪ 1;+∞ .
b) y =

2x + 1
2x 2 − x −1

⎪⎧⎪
1
⎧⎪2x + 1 ≥ 0
⎪⎪x ≥−
⎪
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi ⎨
⇔⎨
2
⎪⎪2x 2 − x −1 ≠ 0 ⎪⎪
⎩
⎪⎪⎩ 2x + 1 x −1 ≠ 0
⎧⎪
⎪⎪x ≥− 1
⎧⎪
2
⎪⎪

⎪⎪x >− 1
⎪
⇔ ⎨x ≠ − 1 ⇔ ⎨
2.
⎪⎪
⎪⎪
2
⎪⎪x ≠ 1
⎪⎪⎩x ≠ 1
⎪⎪
⎪⎩
⎛ 1
⎞⎟
TXĐ: D = ⎜⎜⎜− ;+∞⎟⎟\ 1 .
⎟⎟⎠
⎜⎝ 2

(

)(

)

)(

)

{}

c) y =

3x + 4

(x − 2)

x+4

⎧
⎪
⎪x ≠ 2
x−2 ≠ 0 ⎧
⎪
⇔⎪
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi ⎨
⎨
⎪
⎪
x
+
4
>
0
⎪
⎪
⎩
⎩x >−4

(

){}

TXĐ: D = −4;+∞ \ 2 .
d) y = x 2 + 2x − 3 +

1
x2 − 4

(

⎧ x −1 x + 3 ≥ 0
⎧ 2
⎪
x + 2x − 3 ≥ 0 ⎪
⎪
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi ⎪
⇔
⎨ 2
⎨
⎪
⎪
x
−
4
≠
0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩

⎩x ≠ ±2
3
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

⎧⎪⎡ x + 3 ≤ 0 ⎧⎪⎡ x ≤−3
⎪⎪⎢
⎪⎪⎢
⎪
⎢
⇔ ⎨⎢⎣ x −1 ≥ 0 ⇔ ⎪⎨⎢⎢⎣ x ≥ 1
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪x ≠ ±2
⎪⎪x ≠ ±2
⎩
⎩
TXĐ: D = −∞;−3 ∪ 1;+∞ \ 2 .

(

x

e) y =

1− x

) (

){}

+ 2x −1

⎪⎧⎪ x
⎪⎧⎪0 ≤ x < 1
≥0
1
⎪
⎪
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi ⎨ 1− x
⇔⎨
⇒ ≤ x <1
1
⎪⎪
⎪x ≥
2
⎪⎪⎩2x −1 ≥ 0 ⎪⎪⎪⎩
2
⎡ 1 ⎞⎟
TXĐ: D = ⎢⎢ ;1⎟⎟ .
⎟
⎢⎣ 2 ⎟⎠
f) y = x + 3− 2 x + 2

⎪⎧x + 3− 2 x + 2 ≥ 0
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi ⎪
⎨
⎪⎪x + 2 ≥ 0

⎪⎩
⎧
2
⎪
⎪
⎪
x
+
2
−1
≥0
⇔⎪
⇒ x ≥−2
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩x ≥−2
TXĐ: D = ⎡⎢−2;+∞ .
⎣
Bài 2. Tìm điều kiện của m để hàm số:

(

)

)

a) y = x −m + 2 −

x

)

xác định với mọi x ∈ ⎡⎢ 0;1 .
⎣
−x + 2m−1

b) y = 2x − 3m + 4 +

x −m
x + m−1

(

)

xác định với mọi x ∈ 0;+∞ .

)

c) y = x −m + 2x −m−1 xác định với mọi x ∈ ⎡⎢ 5;+∞ .
⎣
x + 2m
d) y =
xác định với mọi x ∈ 3;7 ⎤⎥ .
⎦
x −m + 1

(

e) y =

1

+ −x + 2m + 6 xác định với mọi x ∈ ⎡⎢1; 4⎤⎥ .
⎣ ⎦
x −m

Hướng dẫn giải.
a) y = x −m + 2 −

x

)

xác định với mọi x ∈ ⎡⎢ 0;1 .
⎣
−x + 2m−1

4
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

⎧
⎧
⎪x −m + 2 ≥ 0

⎪
x ≥ m− 2
⎪
⇔
Hàm số đã cho xác định khi ⎪
⎨
⎨
⎪
⎪x < 2m−1
⎪
⎩−x + 2m−1 > 0 ⎪
⎩
⇒ m− 2 ≤ x ≤ 2m−1 (với m ≥−1 )
TXĐ: D = ⎡⎢m− 2;2m−1
⎣
Để hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ ⎡⎢ 0;1 thì ⎡⎢ 0;1 ⊂ ⎡⎢m− 2;2m−1
⎣
⎣
⎣
⎧m− 2 ≤ 0
⎧m ≤ 2
⎪
⎪
⇒⎪
⇔⎪
⇒ 2≥m≥1.
⎨
⎨
⎪
⎪

2m−1
≥
1
m
≥
1
⎪
⎪
⎩
⎩
Vậy 2 ≥ m ≥ 1 .

)

)

b) y = 2x − 3m + 4 +

x −m
x + m−1

)

)

(

)

xác định với mọi x ∈ 0;+∞ .

⎪⎧
⎪⎧⎪2x − 3m + 4 ≥ 0 ⎪⎪x ≥ 3m− 4
Hàm số đã cho xác định khi ⎨
⇔⎨
2
⎪⎪x + m−1 ≠ 0
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎩x ≠ 1−m
⎡ 3m− 4
⎞⎟
3m− 4
6
;+∞⎟⎟ ⇒ 1−m <
⇔ m> .
• Trường hợp 1: 1−m ∉ ⎢⎢
⎟⎟⎠
2
5
⎢⎣ 2
⎡ 3m− 4
⎞⎟
;+∞⎟⎟ .
TXĐ: D = ⎢⎢
⎟⎟⎠
⎢⎣ 2

(

Để

hàm

số

)

đã

cho

xác

định

với

mọi

(

)

x ∈ 0;+∞

thì

⎡ 3m− 4
⎞⎟

4
⎢
0;+∞ ⊂ ⎢
;+∞⎟⎟ ⇒ 0 > 3m− 4 ⇔ m < kết hợp điều kiện ta được
⎟
⎟⎠
3
⎢⎣ 2
6
4
5
3
⎡ 3m− 4
⎞⎟
3m− 4
6
;+∞⎟⎟ ⇒ 1−m ≥
⇔ m≤ .
• Trường hợp 2: 1−m ∈ ⎢⎢
⎟⎠⎟
2
5
⎢⎣ 2

(

)

(

)

⎡ 3m− 4
⎞⎟
⎡ 3m− 4
⎞⎟
;+∞⎟⎟\ 1−m = ⎢⎢
;1−m⎟⎟ ∪ 1−m;+∞ .
TXĐ: D = ⎢⎢
⎟⎟⎠
⎟⎟⎠
⎢⎣ 2
⎢⎣ 2

{

}

(

(

)

)

(

)

Để hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ 0;+∞ thì 0;+∞ ⊂

⎡ 3m− 4
⎞⎟
⎢
⎟⎟\ 1−m ⇒ 0;+∞ ⊂ 1−m;+∞ ⇒ 1−m ≤ 0 ⇔ m ≥ 1 kết
;+∞
⎢ 2
⎟⎟⎠
⎢⎣
6
hợp điều kiện ta được 1 ≤ m ≤ .
5

{

} (

) (

)

5
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

Kết hợp các trường hợp ta nhận giá trị 1 ≤ m <

Vậy 1 ≤ m <

4
3

4
3

.

.

)

c) y = x −m + 2x −m−1 xác định với mọi x ∈ ⎡⎢ 5;+∞ .
⎣
⎧x ≥ m
⎪
⎧x −m ≥ 0
⎪
⎪
⎪
Hàm số đã cho xác định khi ⎪
⇔⎨
⎨
m+1
⎪
x≥
⎪2x −m−1 ≥ 0 ⎪
⎪

⎩
⎪
2
⎪
⎩
• Trường hợp 1: m >

)

TXĐ: D = ⎡⎢m;+∞
⎣

m+1
2

⇔ m>1.

)

)

)

Hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ ⎡⎢ 5;+∞ thì ⎡⎢ 5;+∞ ⊂ ⎡⎢m;+∞
⎣
⎣
⎣
⇒ m ≤ 5 kết hợp với điều kiện ta có 1 < m ≤ 5 .
• Trường hợp 2: m ≤

m+1

2
⎡m+1
⎞⎟
;+∞⎟⎟
TXĐ: D = ⎢⎢
⎟⎟⎠
⎢⎣ 2

⇔ m≤1.

⎡m+1
⎞⎟
;+∞⎟⎟
Hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ ⎡⎢ 5;+∞ thì ⎡⎢ 5;+∞ ⊂ ⎢⎢
⎟⎟⎠
⎣
⎣
⎢⎣ 2
m+1
⇒
≤ 5 ⇔ m ≤ 9 kết hợp với điều kiện ta có m ≤ 1 .
2

)

)

Kết hợp các trường hợp ta nhận giá trị m ≤ 5 .

Vậy m ≤ 5 .

x + 2m

(

xác định với mọi x ∈ 3;7 ⎤⎥ .
⎦
x −m + 1
Hàm số đã cho xác định khi x −m + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ m−1 .

d) y =

{

} (

) (

)

TXĐ: D = !\ m−1 = −∞;m−1 ∪ m−1;+∞ .

(

(

{

}

Để hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ 3;7 ⎤⎥ thì 3;7 ⎤⎥ ⊂ !\ m−1
⎦
⎦
⎡ 3;7 ⎤ ⊂ −∞;m−1
⎡7 < m−1 ⎡m > 8
⎢
⎥⎦
⇒⎢
⇒ ⎢⎢
⇔ ⎢⎢
.
⎤
⎢ 3;7 ⊂ m−1;+∞
m−1
≤
3
m
≤
4
⎢⎣
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
Vậy m ≤ 4 hoặc m > 8 .

(
(

(

(

)
)

6
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

e) y =

1

+ −x + 2m + 6 xác định với mọi x ∈ ⎡⎢1; 4⎤⎥ .
⎣ ⎦
x −m

⎧x −m > 0
⎧x > m
⎪
⎪
⇔⎪
⇒ m < x ≤ 2m + 6
Hàm số đã cho xác định khi ⎪
⎨
⎨
⎪
⎪

−x
+
2m
+
6
≥
0
x
≤
2m
+
6
⎪
⎪
⎩
⎩
(với m >−6 )
TXĐ: D = m;2m + 6⎤⎥ .
⎦
Để hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ ⎡⎢1; 4⎤⎥ thì ⎡⎢1; 4⎤⎥ ⊂ m;2m + 6⎤⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎦
⎧
⎧
⎪m < 1
⎪
m<1
⎪
⇒⎪

⇔
⇒ −1 ≤ m < 1 kết hợp điều kiện ta nhận giá trị đã
⎨
⎨
⎪
⎪
2m
+
6
≥
4
m
≥−1
⎪
⎪
⎩
⎩
tìm được.
Vậy −1 ≤ m < 1 .

(

(

Dạng 2.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số.

Bài 1. Khảo sát rồi lập bảng biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã cho:

(

) (
)
y = −x 2 + 2x + 5 trên mỗi khoảng (−∞;1) và (1;+∞) .

a) y = x 2 + 4x + 1 trên mỗi khoảng −∞;−2 và −2;+∞ .
b)

c) y =

x

(

) (

)

trên mỗi khoảng −∞;−1 và −1;+∞ .
x+1
2x + 3
d) y =
trên mỗi khoảng −∞;2 và 2;+∞ .
−x + 2

(

) (

)

Hướng dẫn giải.

(

)

(

)

a) y = x 2 + 4x + 1 trên mỗi khoảng −∞;−2 và −2;+∞ .
Ta có:

y1 − y2
x1 − x2
=

=

x12 + 4x1 + 1− x22 − 4x2 −1
x1 − x2

x − x ) + ( 4x − 4x )
(
=
2
1

2
2

1

2

x1 − x2

(x1 − x2 )(x1 + x2 ) + 4(x1 − x2 ) = (x1 − x2 )(x1 + x2 + 4) = x
x1 − x2

x1 − x2

1

+ x2 + 4 .

⎪⎧x <−2
• Với x1 , x2 ∈ −∞;−2 ta có ⎪
⇒ x1 + x2 <−4 ⇔ x1 + x2 + 4 < 0
⎨ 1
⎪⎪x <−2
⎪⎩ 2

(

)

7

www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

khi đó

y1 − y2
x1 − x2

(

)

< 0 suy ra hàm số nghịch biến trên −∞;−2 .

⎪⎧⎪x >−2
• Với x1 , x2 ∈ −2;+∞ ta có ⎨ 1
⇒ x1 + x2 >−4 ⇔ x1 + x2 + 4 > 0
⎪⎪x >−2
⎪⎩ 2
y − y2
< 0 suy ra hàm số đồng biến trên −2;+∞ .
khi đó 1
x1 − x2

(

)

(

)

Bảng biến thiên:

(

) (

)

b) y = −x 2 + 2x + 5 trên mỗi khoảng −∞;1 và 1;+∞ .
Ta có:

y1 − y2
x1 − x2

=

−x12 + 2x1 + 5 + x22 − 2x2 − 5
x1 − x2

x − x ) + (2x − 2x )
(
=
2
2

2

1

1

2

x1 − x2

x2 − x1 )( x2 + x1 ) − 2( x2 − x1 ) ( x2 − x1 )( x1 + x2 − 2)
(
=
=
=x
x1 − x2

1

x1 − x2

+ x2 − 2 .

⎧
⎪
⎪x < 1
• Với x1 , x2 ∈ −∞;1 ta có ⎨ 1
⇒ x1 + x2 < 2 ⇔ x1 + x2 − 2 < 0 khi đó
⎪
x
<
1

⎪
⎪
⎩ 2
y1 − y2
< 0 suy ra hàm số nghịch biến trên −∞;1 .
x1 − x2

(

)

(

)

⎧
⎪
⎪x > 1
• Với x1 , x2 ∈ 1;+∞ ta có ⎨ 1
⇒ x1 + x2 > 2 ⇔ x1 + x2 − 4 > 0 khi đó
⎪
x
>
1
⎪
⎪
⎩ 2
y1 − y2
< 0 suy ra hàm số đồng biến trên 1;+∞ .
x1 − x2

(

)

(

)

Bảng biến thiên:

8
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

c) y =

x

(

y1 − y2
x1 − x2

) (

)

trên mỗi khoảng −∞;−1 và −1;+∞ .

x+1
Ta có:

x1

x1 + 1

=

−

x1x2 + x1 − x1x2 − x2

x2

x2 + 1

x1 − x2

(x1 + 1)(x2 + 1)

=

x1 − x2

=

(

1

)(

)

x1 + 1 x2 + 1

.

⎧⎪x <−1 ⎧⎪x + 1 < 0
⎪
⎪
• Với x1 , x2 ∈ −∞;−1 ta có ⎨ 1
⇔⎨ 1
⇒ x1 + 1 x2 + 1 > 0
⎪⎪x <−1 ⎪⎪x + 1 < 0
⎪⎩ 2
⎪⎩ 2
y − y2
< 0 suy ra hàm số đồng biến trên −∞;−1 .
khi đó 1
x1 − x2

(

)

(

(

)(

)

)

⎪⎧⎪x >−1 ⎪⎧⎪x + 1 > 0
• Với x1 , x2 ∈ −1;+∞ ta có ⎨ 1
⇔⎨ 1
⇒ x1 + 1 x2 + 1 > 0
⎪⎪x >−1 ⎪⎪x + 1 > 0
⎪⎩ 2
⎪⎩ 2
y − y2
< 0 suy ra hàm số đồng biến trên −1;+∞ .
khi đó 1
x1 − x2

(

)

(

(

)(

)

)

Bảng biến thiên:

d) y =

2x + 3

−x + 2
Ta có:
y1 − y2
x1 − x2

=

(

(

2x1 + 3

=

−x1 + 2

7

)(

) (

)

trên mỗi khoảng −∞;2 và 2;+∞ .

−

−x2 + 2

x1 − x2

)

x1 − 2 x2 − 2

−2x1x2 − 3x2 + 4x1 + 6 + 2x1x2 + 3x1 − 4x2 − 6

2x2 + 3

=

(x1 − 2)(x2 − 2)
x1 − x2

.

⎧⎪x < 2 ⎧⎪x − 2 < 0

⎪
⎪
• Với x1 , x2 ∈ −∞;2 ta có ⎨ 1
⇔⎨ 1
⇒ x1 − 2 x2 − 2 > 0
⎪⎪x < 2 ⎪⎪x − 2 < 0
⎪⎩ 2
⎪⎩ 2

(

)

(

)(

)

9
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

khi đó

y1 − y2
x1 − x2

(

)

< 0 suy ra hàm số đồng biến trên −∞;2 .

⎪⎧⎪x > 2 ⎪⎧⎪x − 2 > 0
• Với x1 , x2 ∈ 2;+∞ ta có ⎨ 1
⇔⎨ 1
⇒ x1 − 2 x2 − 2 > 0 khi
⎪⎪x > 2 ⎪⎪x − 2 > 0
⎪⎩ 2
⎪⎩ 2
y − y2
< 0 suy ra hàm số đồng biến trên 2;+∞ .
đó 1
x1 − x2

(

)

(

(

)(

)

)

Bảng biến thiên:

Bài 2. Chứng minh rằng:
a) Hàm số y =

2x + 1
x+1

(

)

đồng biến trên khoảng −1;+∞ .

b) Hàm số y = −x 3 + x 2 − x + 5 nghịch biến trên ! .
Hướng dẫn giải.
a) Hàm số y =

2x + 1

Ta có:

y1 − y2
x1 − x2

x+1

2x1 + 1

=

x1 + 1

−

(

)

đồng biến trên khoảng −1;+∞ .

2x1x2 + x2 + 2x1 + 1− 2x1x2 − x1 − 2x2 −1

2x2 + 1
x2 + 1

x1 − x2

(x1 + 1)(x2 + 1)

=

x1 − x2

x1 − x2

=

(x1 + 1)(x2 + 1) =

x1 − x2

1

(x1 + 1)(x2 + 1)

.

⎧⎪x >−1 ⎧⎪x + 1 > 0
⎪
⎪
Với x1 , x2 ∈ −1;+∞ ⇒ ⎨ 1
⇔⎨ 1
⇒ x1 + 1 x2 + 1 > 0 khi đó
⎪⎪x >−1 ⎪⎪x + 1 > 0
⎪⎩ 2
⎪⎩ 2
y1 − y2
> 0 suy ra hàm số đồng biến trên khoảng −1;+∞ .
x1 − x2

(

)

(

(

)(

)

)

10
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

b) Hàm số y = −x 3 + x 2 − x + 5 nghịch biến trên ! .
Ta có:

y1 − y2
x1 − x2

=

=

=

2.

=

(

−x13 + x12 − x1 + 5 + x23 − x22 + x2 − 5

x1 − x2

) (

)(

− x13 − x23 + x12 − x22 − x1 − x2

)(

(

x1 − x2

)

) (

)(

) (

− x1 − x2 x12 + x1x2 + x22 + x1 − x2 x1 + x2 − x1 − x2

)

x1 − x2

(x1 − x2 )(−x12 − x1x2 − x22 + x1 + x2 −1)
x1 − x2

y1 − y2
x1 − x2

= −x12 − x1x2 − x22 + x1 + x2 −1

= −2x12 − 2x1x2 − 2x22 + 2x1 + 2x2 − 2

(

) (

) (

)

= − x12 + 2x1x2 + x22 − x12 − 2x1 + 1 − x22 − 2x2 + 1
2

(

2

) (

) (

2

)

= − x1 + x2 − x1 −1 − x2 −1 < 0 với mọi x ∈ ! suy ra
mọi x ∈ ! do đó hàm số nghịch biến trên ! .
Dạng 3.

y1 − y2
x1 − x2

< 0 với

Hàm số chẵn. Hàm số lẻ.

Bài 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) y = 3x 4 + 3x 2 − 2

b) y = 2x 3 − 5x

c) y = x 5 . x

d) y = 1+ x + 1− x

e) y = 5x + 7 + 5x −7

⎧ 3
⎪
x + 1 khi x ≤−1
⎪
⎪
⎪
khi −1 < x < 1

f) y = ⎨0
⎪
⎪
⎪
x 3 −1 khi x ≥ 1
⎪
⎪
⎩

g) y =

(

x − 3 x2 + 7

(

)

)

x 2 − 6x + 9. x 4 + 1

11
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

Hướng dẫn giải.

a) y = 3x 4 + 3x 2 − 2
TXĐ: D = !
x ∈ D ⇒ −x ∈ D ;

y

(−x)

4

( )

2

( )

= 3 −x + 3 −x − 2 = 3x 4 + 3x 2 − 2 = y

( x)

Suy ra hàm số đã cho là hàm số chẵn.
b) y = 2x 3 − 5x
TXĐ: D = !
x ∈ D ⇒ −x ∈ D ;

y

(−x)

3

( )

(

( )

)

= 2 −x − 5 −x = −2x 3 + 5x = − 2x 3 − 5x = −y

( x)

Suy ra hàm số đã cho là hàm số lẻ.
c) y = x 5 . x
TXĐ: D = !
x ∈ D ⇒ −x ∈ D ;

y

(−x)

(

5

( )

)

= −x . −x = −x 5 . x = − x 5 . x = −y

( x)

Suy ra hàm số đã cho là hàm số lẻ.
d) y = 1+ x + 1− x
TXĐ: D = −1 ≤ x ≤ 1
x ∈ D ⇒ −x ∈ D ;

y

(−x)

( )

( )

= 1+ −x + 1− −x = 1− x + 1+ x = y

( x)

Suy ra hàm số đã cho là hàm số chẵn.
e) y = 5x + 7 + 5x −7
TXĐ: D = !
x ∈ D ⇒ −x ∈ D ;

y

(−x)

( )

( )

= 5 −x + 7 + 5 −x −7 = −5x + 7 + −5x −7 = 5x −7 + 5x + 7 = y

( x)

Suy ra hàm số đã cho là hàm số chẵn.

12
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

⎧⎪ 3
⎪⎪x + 1 khi x ≤−1
⎪
khi −1 < x < 1
f) y = ⎨0
⎪⎪
⎪⎪x 3 −1 khi x ≥ 1
⎪⎩
TXĐ: D = !

(

)

Trường hợp 1: x ∈ −∞;−1⎤⎥ ⊂ D ⇒ −x ∈ ⎡⎢1;+∞ ⊂ D
⎦
⎣

y

(−x)

(

3

( )

)

= −x −1 = −x 3 −1 = − x 3 + 1 = −y

( x)

(

) (

)

Suy ra hàm số đã cho là hàm số lẻ trên khoảng −∞;−1 ∪ 1;+∞

(

)

(

)

Trường hợp 2: x ∈ −1;1 ⊂ D ⇒ −x ∈ −1;1 ⊂ D

y

(−x)

= 0 = ±y

( x)

Suy ra hàm số đã cho vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ trên khoảng

(−1;1) .

g) y =

(

( )
x − 6x + 9.( x + 1)
(x − 3) .(x + 1) x − 3 .(x + 1)
x − 3 x2 + 7

2

)

4

=

(

x − 3 x2 + 7
2

4

)

=

x − 3 x2 + 7
4

{} ( ) ( )
Ta thấy D = !\{3} = (−∞;3) ∪ (3;+∞) không là tập hợp số đối xứng qua O
TXĐ: D = !\ 3 = −∞;3 ∪ 3;+∞

do đó hàm số đã cho không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.
Tổ chức Giáo dục E.T.C gửi miễn phí tới các em 1 phần nhỏ trong tập tài liệu này.
Bản đầy đủ của cả chuyên đề này và các chuyên đề khác, xem và tải (có phí) tại địa
chỉ website:
/>Trong quá trình sử dụng tài liệu, nếu có khó khăn hay có những lỗi sai xin hãy

phản hồi tới E.T.C theo hotline, website và facebook.
Tài liệu này chúng tôi xây dựng dựa trên bài tập Toán theo chương trình học của học sinh
trường THPT Chuyên Ngoại ngữ. Có chỉnh sửa, bổ sung kiến thức – chuyên đề, thêm đáp
án để phù hợp với mọi đối tượng học sinh và các đồng nghiệp tham khảo.
13
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn