HÌNH KHÔNG GIAN THỂ TÍCH CHO học SINH mất gốc

Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
HÌNH KHÔNG GIAN THỂ TÍCH
TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO FULL
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt
HÌNH KHÔNG GIAN THỂ TÍCH
ÔN TẬP 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 – 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho ABC vuông ở A . Ta có:
2
2
2
a) Định lý Pitago : BC  AB  AC

2

A

2

b) BA  BH .BC ; CA  CH .CB

c

1
1
1


2
2
AH
AB

AC 2
e) BC  2 AM
b
c
b
c
f) sin B  , cos B  , tan B  , cot B 
a
a
c
b

N

c) AB. AC  BC. AH

B

H

M a

C

H

.V

d)

b

b  c.tan B  c.cot C

b
b

sin B cos C

24

g) b  a.sin B  a.cos C , c  a.sin C  a.cos B, a 

S

H

O

C

2. Hệ thức lượng trong tam giác thường
 Định lý hàm số côsin: a 2  b 2  c 2  2bc.cos A
a
b
c
 Định lý hàm số sin:


 2R

sin A sin B sin C
3. Các công thức tính diện tích
a) Công thức tính diện tích tam giác

1
1
abc
a.ha  a.b sin C 
 pr 
2
2
4R

Đặc biệt:

ABC vuông ở A : S 

p  p  a p  b p  c với p 

a b c
2

1
AB. AC
2

ABC đều cạnh ABC : S 

a2 3
4

b) Diện tích hình vuông: S  cạnh x cạnh
c) Diện tích hình chữ nhật: S  dài x rộng
1
d) Diện tích hình thoi: S  (chéo dài x chéo ngắn)
2
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

1


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
1
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
2
f) Diện tích hình bình hành: S  đáy x chiều cao
g) Diện tích hình tròn: S   R 2

e) Diện tích hình thang: S 

ÔN TẬP 2: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A. QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa
Đường thẳng và mặt phẳng gọi là a  P a  P  
song song với nhau nếu chúng
không có điểm nào chung.

a

2.Các định lý:
Định lý 1: Nếu đường thẳng a

a   

b  a   a   

b   

không nằm trên mặt phẳng   và
song song với một đường thẳng

 

thì a song

song với   .
Định lý 2: Nếu đường thẳng a

24



 a   P


b a
a  (Q)



P  Q  b

C

song song với mặt phẳng P thì
mọi mặt phẳng Q chứa a mà

 P

thì cắt theo giao tuyến

O

cắt

a
b

α

H

nào đó nằm trên

.V



N

(P)

song song với a .
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau cùng song song với một
đường thẳng thì giao tuyến của
chúng cũng song song với đường
thẳng đó.

H

P  Q  b


b a
P  a


Q  a

Q
a
b

P

Q
b

P
a

§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là song
song với nhau nếu chúng không có
điểm nào chung.

P  Q P  Q  

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

P
Q

2


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
2. Các định lý:
chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau
và cùng song song với mặt phẳng

Q

thì

P và Q

song song

với nhau.
Định lý 2: Nếu một đường thẳng
nằm một trong hai mặt phẳng song
song thì song song với mặt phẳng
kia.
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng P

Q song song thì mọi mặt
phẳng R đã cắt P thì phải cắt
Q và các giao tuyến của chúng

và



a b  I
  P  Q

a  Q , b  Q
a, b  P

P

a
b I

Q

P  Q  a  Q
 
a  P 

a
P
Q

P  Q 

R  P  a   a  b
R  Q  b

R

N

P

b

Q

H

song song.

a

P

.V

Định lý 1: Nếu mặt phẳng

H

O

C

24

B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
1. Định nghĩa:
Một đường thẳng được gọi là a  P  a  c, c   P
vuông góc với một mặt phẳng nếu
nó vuông góc với mọi đường thẳng
nằm trên mặt phẳng đó.
2. Các định lý:
Định lý 1: Nếu đường thẳng d
vuông góc với hai đường thẳng cắt
nhau a và b cùng nằm trong mặt
phẳng

 P

thì đường thẳng d

góc với mặt phẳng P và đường
thẳng b nằm trong

c

d  a , d  b

a , b  P   d  P

a  b   

d

P

vuông góc với mặt phẳng P .
Định lý 3: (Ba đường vuông góc)
Cho đường thẳng a không vuông

P

a

a

b

a  P , b  P
b  ab  a '

P . Khi đó,

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

3


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
điều kiện cần và đủ để b vuông góc
với a là b vuông góc với hình
chiếu a ' của a trên P .
§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0.
2. Các định lý:
Định lý 1: Nếu một mặt phẳng a  P

  Q  P
chứa một đường thẳng vuông góc
a  Q
với một mặt phẳng khác thì hai mặt

Q
a

phẳng đó vuông góc với nhau.

và Q vuông góc với nhau thì bất

cứ đường thẳng a nào nằm trong

P  Q 

P  Q  d   a  Q
a   P , a  d 


.V

Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng P

N

P

a

C

O

H

Định lý 4: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau và cùng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba thì giao tuyến của
chúng vuông góc với mặt phẳng
thứ ba.

Q

d

24

H

P , vuông góc với giao tuyến của
P và Q đều vuông góc với
mặt phẳng Q .
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng P P  Q

A

P
và Q vuông góc với nhau và A
    a  P


là một điểm trong P thì đường A  a

a

Q
  
thẳng a đi qua điểm A và vuông
góc với Q sẽ nằm trong P

P

P
a
A

Q

P  Q  a 

P  R   a  R
Q  R 

P

a

Q

R

§3.KHOẢNG CÁCH

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

4


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng, đến 1

mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc
đến mặt phẳng P ) là khoảng cách giữa hai điểm M

O

O

và H , trong đó H là hình chiếu của điểm M trên



H

a

đường thẳng a ( hoặc trên mặt phẳng P )

P

H



d O; a  OH ; d O;  P  OH
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng P

O

a

song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó
của a đến mặt phẳng P .



d a; P  OH

P; Q  OH

4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
đó.

C

a

O

d a; b  AB

H

O

P

H

Q

24

d

H

.V

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này
đến mặt phẳng kia.

N



H

P

b

A

B

§4.GÓC

1. Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a ' và b ' cùng đi qua một
điểm và lần lượt cùng phương với a và b .

a

b

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

a'

b'

5


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với

a

mặt phẳng P
là góc giữa a và hình chiếu a ' của nó trên mặt phẳng

 P .
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng P thì ta

a'

P

nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P
là 90 .
3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai
mặt phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt
phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa
trong mặt phẳng

 P

Q

b

Q

P

S

.V

H 

a

N

P

giác

b

a

và S ' là diện tích

H

hình chiếu H ' của H  trên mặt phẳng P ' thì:

24

S '  S cos 

A

trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng P và P ' .

C



C

B

O

ÔN TẬP 3: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
A. CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN:

H

1. Thể tích khối lăng trụ:

V  S .h

Trong đó:

S : Diện tích đa giác đáy.
h : Đường cao của hình lăng trụ.

a) Thể tích khối hộp chữ nhật:

A'

D'

V  a.b.c

với a , b, c là ba kích thước

C'

B'

A

B

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

D

C

6


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
b) Thể tích khối lập phương:
V  a3
với a là độ dài cạnh

A'

D'

C'

B'

A

D

C

B

2. Thể tích khối chóp:

N

S

H

3. Tỉ số thể tích tứ diện:
Hai khối chóp S . ABC và S .MNP có chung đỉnh S
và các góc ở đỉnh S . Khi đó:
VS .MNP SM SN SP

.
.
VS . ABC
SA SB SC

.V

Trong đó:

1
V  S .h
3
S : Diện tích đa giác đáy.
h : Đường cao của hình chóp.

N

C

C

B
A'



O



P

A

24

4. Thể tích khối chóp cụt:

h
V
B  B ' BB '
3
Trong đó:
B , B ' : Diện tích hai đáy.

M

B'
C'

A

B

Chú ý:

H

h : Chiều cao.

C

1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d  a 2 ,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d  a 3 ,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước a , b, c là d  a 2  b 2  c 2 ,
a 3
2
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều,

hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h 

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

7


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
PHÂN DẠNG BÀI TẬP
A. LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
1. Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1. Cho ( H ) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích của ( H ) bằng:
A.

a3
.
2

B.

a3 3
.
2

C.

a3 3
.
4

D.

a3 2
.
3

Hướng dẫn giải:
a3 3
V  S SBC . AA ' 
4

C'

A'

B'

C

N

A

.V

B

a3 3
a3 3
.
B. VABC . ABC 
.
12
8
Hướng dẫn giải:

a2 3
a3 3
, h  AA '  a  V  S ABC .h 
4
4

a3 3
.
4

C

A

D. VABC . ABC 

a3
.
6

B

C

H

O

S ABC 

C. VABC . ABC 

24

A. VABC . ABC 

H

Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có AA  a , tam giác ABC đều cạnh a . Tính theo a thể tích của
khối lăng trụ ABC. ABC .

B'

A'

C'

Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông, BA  BC  a , AA  a 2 . Tính theo
a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .
2.a 3

A. VABC . ABC  
.
B. VABC . ABC  
3
Hướng dẫn giải:

2.a 3
.
2

C. VABC . ABC  

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

2.a 3
.
4

D. VABC . ABC

a3

.
3

8


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />

V

1
a3 2
AB.BC. AA ' 
2
2

C'

B'

A'

C

B

A

Ví dụ 4. Lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC  2a, AB  a . Mặt bên

BB’C’C  là hình vuông. Khi đó thể tıć h lăng trụ là:
a3 3
.
3

C. 2a3 3 .

B. a 3 2 .

B'

C

B

C

C'

A'

H
24

1
a2 3
AB. AC 
2
2

 VABC . A’ B’C ’  BB .S ABC  a3 3

.V

Hướng dẫn giải:
Ta có: BB ' C ' C là hình vuông

h  BB  2a


AC  BC 2  AB 2  a 3 


 S ABC 

D. a 3 3 .

N

A.

A

B. a3 2 .

H

A. a3 .

O

Ví dụ 5. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC. A ' B ' C ' là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC  a 2
và biết A ' B  3a . Tính thể tích khối lăng trụ.
Hướng dẫn giải:
ABC vuông cân tại A nên AB  AC  a
ABC. A ' B ' C ' là lăng trụ đứng
 AA '  AB
 AA ' 

D. 2a 3 .

C. a3 3 .
A'

C'

B'

A ' B 2  AB 2  2 a 2

 V  B.h  S ABC . AA '  a 3 2
C

A
B

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

9


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
Ví dụ 6. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC. A ' B ' C ' là tam giác đều cạnh a  4 và biết diện tích tam giác
A ' BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
A.

8 2
.

3

B.

8
.
3

C. 8 2 .

Hướng dẫn giải:
Gọi I là trung điểm BC .Ta có:
ABC đều nên

D. 8 .

A'

AB 3
 2 3; AI  BC  A ' I  BC
2
2S
1
S A ' BC  BC. A ' I  A ' I  A ' BC  4
2
BC
AA '   ABC   AA '  AI

C'

AI 

A

A ' I 2  AI 2  2

C

.V

 VABC . A ' B 'C '  S ABC . AA '  8 3

N

AA ' 

B'

I

H

B

A. 9a3 .

B. 9 .
Hướng dẫn giải:

24

Ví dụ 7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a . Tính thể tích
khối lăng trụ này.
C. 3a3 .

O

C

ABCD. A ' B ' C ' D ' là lăng trụ đứng nên BD  BD '2  DD '2  3a
3a
ABCD là hình vuông  AB 
2

D. 3 .
A'
B'

C'

2

H

9a
Suy ra B  S ABCD 
4
 V  B.h  S ABCD . AA '  9a 3

D'

A

B

D
C

Ví dụ 8. Cho hình hộp đứng ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác AAC vuông cân và
AC  a . Tính theo a thể tích của khối hộp ABCD. ABCD .
a3 2
a3 2
. B. VABCD . ABC D 
.
24
48
Hướng dẫn giải:

A. VABCD . ABC D 

C. VABCD . ABC D 

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

a3 2
.
16

D. VABCD . ABC D 

a3 2
.
8

10


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
A ' C  a  AC  AA ' 

a
a
 AB 
2
2

A

a3 2
 V  S ABCD . AA ' 
8

D

C

B

D'

A'

B'

C'

Ví dụ 9. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60 . Đường chéo lớn của đáy
bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Tính thể tích hình hộp .
a3 3
B.
.
2
Hướng dẫn giải:

a3 6
C.
.
6

Theo đề bài BD '  AC  a 3

a2 3
2

A'

D'

.V

Ta có tam giác ABD đều nên BD  a và S ABCD  2 S ABD 

a3 3
D.
.
6

N

a3 6
A.
.
2

B'

6

H

a

3

2

24

DD '  BD '2  BD 2  a 2  V  S ABCD .DD ' 

C'

A

D

B

C

C

O

Ví dụ 10. Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44cm , người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh
12cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này.
D. 4800cm3 .

H

A. 1200cm3 .
B. 1600cm3 .
C. 2400cm3 .
Hướng dẫn giải:
Theo đề bài, ta có: AA '  BB '  CC '  DD '  12cm
A'
nên ABCD là hình vuông.
AB  44 cm  24 cm  20 cm; h  12 cm
B'

 V  S ABCD .h  4800cm3

D'

C'

A

B

D
C

2. Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

11


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA  BC  a , AB hợp
với mặt đáy một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .
a3 3
.
B. VABC . ABC   a 3 3 .
2
Hướng dẫn giải:

C. VABC . ABC   a 3 .

A. VABC . ABC 

AA '   ABC   AA ',  ABC    A ' B, AB  
ABA '  60



D. VABC . ABC   5a 3 2 .

C'

A'



a3 3
1
 AA '  AB. tan 60  a 3  V  . AB.BC. AA ' 
2
2

B'

C

A

.V

N

B

Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C , góc giữa BC  và  ABBA bằng
60 , AB  AA  a . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .

H

15.a 3
18.a 3
. B. VABC . ABC  
.
4
4
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của A ' B ' .
 C ' M   ABB ' AC 

C. VABC . ABC 

24

A. VABC . ABC  

15a 3
.
4

C

18a 3
.
4

C'

A'

 BC ',  ABB ' A '  BC ', BM   
MBC '  60

D. VABC . ABC 

M
B'

O

a 15
2
2
a 15
a 3 15

 V  S A ' B 'C ' . AA ' 
4
4

 MC '  BB '2  MB '2 . tan 60 

H

 S A ' B 'C '

C

A

B

Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AC  a ,
ACB  60 , góc giữa
BC và mặt phẳng  AAC C  bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .
A. VABC . ABC   a 3 6 .

B. VABC . ABC   a 3 3 .

C. VABC . ABC   2 2 a 3 .

D. VABC . ABC   a 3 5 .

Hướng dẫn giải:

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

12

Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
AC  a  AB  a 3, BC  2a

C'

B'

AB   AA ' C ' C 

 BC ',  AA ' C ' C   BC ', AC '  
AC ' B  30



A'



 AC '  3a  CC '  AC '2  AC 2  2a 2
V 

1
AB. AC.CC '  a 3 6
2

C

B

A

C. VABCD . ABC D 

H



C

a3 6
3

D'

A'

B'

C'

O

 V  S ABCD .DD ' 

D

C

B

24

a 6
 DD '  BD.tan 30 
3

D. Kết quả khác.

A

 BD ';  ABCD  BD ', BD  
DBD '  30



a3 6
.
3

.V

a3 3
a3 2
. B. VABCD . ABC D 
.
3
2
Hướng dẫn giải:

DD '   ABCD

A. VABCD . ABC D 

N

Ví dụ 4. Cho lăng trụ đứng ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD của
lăng trụ hợp với đáy  ABCD  một góc 30. Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD. ABCD .

H

Ví dụ 5. Cho hình hộp đứng ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và 
BAD  60o . Biết AB hợp
với đáy  ABCD  một góc 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD. ABCD .
a3
.
B. VABCD . ABC D  a 3 5 .
2
Hướng dẫn giải:

A. VABCD . ABC D 

C. VABCD. ABCD  a 3 .

BB '   ABCD

A

 AB ',  ABCD   AB ', AB  
BAB '  30



D. VABCD . ABC D 



a 3
 BB '  AB.tan 30 
3
 V  S ABCD .BB '  2 S ABD .BB ' 

D'

A'

B'

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

D

C

B

a3
2

a3 3
.
2

C'

13


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
Ví dụ 6. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa AC ' và mặt phẳng BCC B
bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD. ABCD .
A. VABC . ABC   2a 3 .

B. VABC . ABC   2a 3 .

C. VABC . ABC  

Hướng dẫn giải:
AB  BCC ' B '

D. VABC . ABC   a 3 .

A

AC ' B  30
 AC ', BCC ' B '   AC ', BC ' 



2a 3
.
2



D

C

B

 BC '  AB.cot 30  a 3
 BB '  BC '2  B ' C '2  a 2

D'

A'

 V  S ABCD .BB '  a 3 2
C'

N

B'





24

Hướng dẫn giải:
AB  BCC ' B '

C. a 3 cot 2   1 .

H

B. a 3 cot 2 .

A. a 3 cot 2   1 .

.V

Ví dụ 7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABCD có cạnh đáy bằng a , đường chéo AC ' tạo với mặt bên
BCC B một góc  0    45o . Khi đó, thể tích khối lăng trụ bằng:

 AC ', BCC ' B '   AC ', BC ' 
AC ' B  





A

D. a 3 tan 2   1 .
D

C

B

C

 BC '  AB.cot   BB '  a cot 2   1

D'

A'

O

 V  S ABCD .BB '  a 3 cot 2   1

C'

H

B'

3. Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng
Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA  BC  a , AB hợp
với mặt đáy một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .
a3 3
.
B. VABC . ABC   a 3 3 .
2
Hướng dẫn giải:

A. VABC . ABC  

C. VABC . ABC   a 3 .

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

D. VABC . ABC   5a 3 2 .

14


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
AA '   ABC   AA ',  ABC    A ' B, AB  
ABA '  60



C'

A'



a3 3
1
 AA '  AB.tan 60  a 3  V  . AB.BC. AA ' 
2
2

B'

C

A

B

Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , AC  2a, 
CAB  120, góc giữa
 ABC  và mặt phẳng  ABC  bằng 45 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.ABC .
B. VABC . ABC   3a 3 3 .

C. VABC . ABC   3a 3 .

Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC .
AM  AC.cos 60  a

.V
B'

H

A ' M  BC , AM  BC

AMA '  45
 A ' BC ,  ABC   A ' M , AM  
1

BC. AM . AA '  a 3 3
2

M
B

C

 AA '  AM  a  V 

C

A

24



C'

A'

AC 2  AB 2  2 AB. AC.cos120  2a 3

BC 

D. VABC . ABC   2 a 3 3 .

N

A. VABC . ABC   a 3 3 .

O

Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng  AB ' C ' tạo với mặt đáy
0
góc 60 . Tính theo a thể tích lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .

a3 3
.
2

B. V 

3a3 3
.
4

H

A. V 

C. V 

Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm B ' C '
 A ' M  B 'C '

 600 
A' M 

S A ' B ' C '

a3 3
.
8

D. V 

A

C

AMA '
 AB ' C ',  A ' B ' C '   AM , A ' M  

a 3
3a
; AA '  A ' M .tan
AMA ' 
2
2
2
3
a 3
3a 3

 V  SABC . AA ' 
4
8

3a3 3
.
8

B

C'

A'
M
B'

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

15


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
Ví dụ 4. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có cạnh đáy bằng a . Góc giữa hai mặt phẳng

 ABC  bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
a3 3
a3 3
.
B. VABC . ABC  
.
8
4
Hướng dẫn giải:

Gọi M là trung điểm của BC .
 A ' M  BC , AM  BC

A. VABC . ABC  



C. VABC . ABC  

 ABC  và

ABC. ABC .
a3
.
2

D. VABC . ABC  

a3 3
.
2

C'

A'

A ' MA  30
 A ' BC ,  ABC   A ' M , AM  

B'

a
a3 3
 AA '  AM .tan 30   V  S ABC . AA ' 
2
8
C

N

A
M

.V

B

Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC  a , mặt phẳng

a

3

8

.

B.

C.

3a 3 3
.
8

D.

3a 3 3
.
2

A'

C'

O

Hướng dẫn giải:
BC  AB 
  BC  A ' B
BC  AA '


BC  AB   ABC 


BC  A ' B   A ' BC  

BC   ABC    A ' BC 

3a 3 3
.
4

C

A.

24

trụ ABC. A ' B ' C ' .
3

A ' BC có diện tích bằng a 2 3 . Tính thể tích khối lăng

H

 A ' BC  tạo với đáy một góc 30 và tam giác

H

B'



ABA '
 ABC,  A ' BC   AB, A ' B  
2

S A ' BC 

2.S  A ' BC 2.a 3
1
A ' B.BC  A ' B 

 2a 3
2
BC
a

C

A
B

AB  A ' B.cos
ABA '  2a 3.cos 300  3a; AA '  A ' B.sin
ABA '  2a 3.sin 300  a 3
VABC . A ' B 'C '

1
1
3a 3 3
 B.h  S ABC . AA '  . AB.BC. AA '  .3a.a.a 3 
2
2
2

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

16


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
Ví dụ 6. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABCD có cạnh đáy bằng a , mặt phẳng BC ' D hợp với đáy

 ABCD một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
a3 6
a3 3
. B. VABCD . ABC D 
.
6
2
Hướng dẫn giải:
Gọi I là trung điểm của BD .
 AC  BD, C ' I  BD 

BC ' D   ABCD  BD 

A. VABCD . ABC D 

C. VABCD . ABC D 

ABCD. ABCD .

a3 6
.
2

D. Kết quả khác.

A'

D'

B'

 BC ' D;  ABCD   AC , C ' I   
CIC '  60
1
a 2
a 6
AC 
 CC '  CI .tan 60 
2
2
2
a3 6
 V  S ABCD .CC ' 
2

C'

A

CI 

D

C

.V

B

N

I

0
Ví dụ 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' . Mặt phẳng  A ' BC  hợp với đáy  ABCD một góc 60 ,

Hướng dẫn giải:
AA '   ABCD

2a 3 6
.
3

 300  A ' C ,  ABCD   A ' C , AC   
A ' CA

AB 
BC 



  A ' BC  ,  ABCD   A ' B, AB  
A ' BA

tan
A ' BA

 a; AC 

AA '

tan
A ' CA

A'

 3a

D'
C'

B'

O

AA '

H

 60

0

3
D. V  a .

C. V  2a3 2 .

24

B. V 

C

A. V  2a 3 6 .

H

A ' C hợp với đáy  ABCD một góc 300 và AA '  a 3 . Tính theo a thể tích khối hộp.

A

AC 2  AB 2  2a 2; S ABCD  AB.BC  2a 2 2

 VABCD . A ' B 'C ' D '  S ABCD . AA '  2a 3 6

D

B

C

4. Dạng 4: Khối lăng trụ xiên

Ví dụ 1. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết cạnh bên bằng a 3 và hợp với
đáy  ABC  một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .
a3 3
3a 3 3
.
B. VABC . ABC  
.
8
8
Hướng dẫn giải:

A. VABC . ABC  

C. VABC . ABC  

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

5a 3 3
.
8

D. Đáp án khác.

17


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
Kẻ A ' H   ABC 

B'

C'

 AA ',  ABC    AA ', AH   
A ' AH  60





A'

3a
3a 3 3
 A ' H  AA '.sin 60 
 V  S ABC . A ' H 
2
8

B

C

H
A

Ví dụ 2. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , điểm A ' cách đều ba điểm A, B, C .
Góc giữa AA ' và  ABC  bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .





D. VABC . ABC  

N

a3 3
4

24

 A ' G  AG.tan 60  a  V  S ABC . A ' G 

a3 3
.
4

C'

H

 AA ',  ABC    AA ', AG  
GAA '  60

C. VABC . ABC  

.V

3a 3 4
a3 3
.
B. VABC . ABC  
.
4
2
Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm của ABC  A ' G   ABC 

A. VABC . ABC  

C

C

5a 3 3
.
4

B'

A'

B

G

O

A

H

Ví dụ 3. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC  2a ; cạnh bên AA  2a
. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm cạnh AC . Tính thể tích V của
khối lăng trụ ABC. ABC .
A. V 

1 3
a3
a .
B. V  .
2
3
Hướng dẫn giải:

C. V  a3 .

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

D. V 

2a 3
.
3

18

Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
Vì ABC là tam giác vuông cân tại B nên trung tuyến
BH
cũng là đường cao của nó và
1
HB  HA  HC  AC  a .
2

A'

C'

B'

A ' H  A ' A2  AH 2  2a 2  a 2  a
VABC . ABC  A ' H  S ABC

B

A

1
 A ' H  BH  AC  a 3
2

H
C

Ví dụ 4. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của A ' lên mặt

phẳng  ABC  trùng với tâm O của tam giác ABC . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ

C. VABC . ABC  

4a 3 3
.
5

.V

a3 3
a3 3
.
B. VABC . ABC  
.
12
4
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC  BC   AA ' M 

C'

H

A. VABC . ABC  

N

a 3
.

ABC. ABC , biết khoảng cách giữa AA ' và BC là
4

24

Gọi H là hình chiếu của M lên AA '
a 3
HM 1
 HM  d AA ', BC  
 sin
A ' AO 

8
AM 2
a

A ' AO  30 A ' O  AO.tan
A ' AO 
3

C

B'

A'

M

H
B

C
O

O

a3 3
 V  S ABC . A ' O 
12

D. Kết quả khác.

A

H

Ví dụ 5. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A ' trên
 ABC  là trung điểm của BC , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30. Tính theo a thể tích của
khối lăng trụ ABC. ABC .
a3 3
a3 3
.
B. VABC . ABC 
.
4
3
Hướng dẫn giải:

A. VABC . ABC 

C. VABC . ABC 

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

a3 3
.
12

D. VABC . ABC 

a3 3
.
8

19


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
Gọi M là trung điểm của BC
 A ' M   ABC 

B'

C'

 AA ',  ABC    AA ', AM  
A ' AM  30





 A ' M  AM . tan 30 

A'

a
a3 3
 V  S ABC . A ' M 
2
8

C

B

M

A

Ví dụ 6. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . Hình chiếu vuông góc của A ' trên
 ABC  là trung điểm của AB , góc giữa mặt phẳng  AAC C  và mặt đáy bằng 60 . Tính theo a
thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .

Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của AB , kẻ MH  AC
 A ' M   ABC 

C. VABC . ABC  

A ' HM  60
 ACC ' A ',  ABC   A ' H , HM  
2

24

1
1
a 3
AC.MH  S ABC 
2
2
2
a 3
3a
 MH 
 A ' M  MH .tan 60 
2
2
3
3a 3
V  S ABC . A ' M 
2

C

S ABC  a 2 3; S AMC 

D. VABC . ABC   a 3 3 .

B'

C'

H



3a 3 3
.
2

N

B. VABC . ABC   3a 3 3 .

.V

A. VABC . ABC   2 a 3 3 .

A'

B

C

M

O

H

H

A

a 10
Ví dụ 7. Cho lăng trụ ABC. ABC có AA 
, AC  a 2, BC  a,
ACB  135o . Hình chiếu vuông góc của
4
C lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm M của AB . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ

ABC. ABC .
A. VABC . ABC   a 3 .

B. VABC . ABC  

a3 6
.
8

C. VABC . ABC 

3a 3
.
8

D. VABC . ABC   3a 3 3 .

Hướng dẫn giải:

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

20


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
AB 

AC 2  BC 2  2 AC.BC.cos
ACB  a 5



2 AC 2  BC 2  AB 2

 MC 



4

 MC '  CC '2  MC 2 
V 



B'

A'

a
2

C'

a 6
4

A

B

M

1
a3 6
AC.BC.sin135.MC ' 
2
8

C

Ví dụ 8. Cho lăng trụ ABC. ABC có độ dài cạnh bên bằng a , đáy ABC là tam giác vuông tại C , 
BAC  60o
, góc giữa BB ' và  ABC  bằng 60 . Hình chiếu vuông góc của B ' lên  ABC  trùng với trọng tâm
của tam giác ABC . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .

N

27a3
27a3
73a 3
.
B. VABC . ABC 
.
C. VABC . ABC 
.
208
280
208
Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm ABC , M là trung điểm AC  B ' G   ABC  A'





a 3
a
, BG  BB '.cos 60 
2
2
AB
AB 3
AC  AB.cos 60 
, BC  AB.sin 60 

2
2
2
AB 3
 S ABC 
8

C'



M

G
C

2 AB 2  BC 2  AC 2 AB 13
3
3a
3a
BM  BG 


 AB 
2
4
4
4
13



H

 S ABC 

B

A

O

C

24

 B ' G  BB '.sin 60 

27a3
.
802

B'

H

 BB ',  ABC   BB ', BG   
B ' BG  60

D. VABC . ABC 

.V

A. VABC . ABC 

9a 2 3
27a3
 V  S ABC .B ' G 
104
208

Ví dụ 9. Cho hình hộp ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  3, AD  7 . Hai mặt bên

 ABB ' A ' và  ADD ' A ' lần lượt tạo với đáy các góc 45 và 60 . Tính theo thể tích của khối hộp
A. 1.

ABCD. ABCD biết cạnh bên bằng 1.
B. 3.
Hướng dẫn giải:

C. 6.

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

D. 9.

21

Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
Kẻ A ' H   ABCD , HM  AB, HN  AD

A'

 A ' M  AB, A ' N  AD 
A ' MH  45,
A ' NH  60

Đặt A ' H  x . Khi đó:

D'

B'

x
2x

; AN 
A' N 
sin 60
3
Mà HM  x.cot 45  x

3  4x
 HM
AA '  A ' N 
3
2

C'

2

2

N

A

D

M
H

3  4x2
3
x
x
3
7
 VABCD. A ' B 'C ' D '  AB. AD.x  3

B

C

Ví dụ 10. Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và AB  a, AD  a 3 ; A ' O

N

vuông góc với đáy  ABCD  . Cạnh bên AA ' hợp với mặt đáy  ABCD  một góc 45 . Tính theo a
a

3

.

B. V 

6
Hướng dẫn giải:

a3 3
.
3

S ABCD  AB. AD  a 2 3

A ' O   ABCD

AC
a
2



C

 45  AA ',  ABCD   AA ', AO  

A ' AO



a3 6
.
2

24

AC  AB 2  AD 2  2a  AO 

C. V 

H

A. V 

.V

thể tích khối lăng trụ đã cho.
3

D'
C'

B'

D
O

B

C

H

O

A'

A

A ' O  AO  a  VABCD. A ' B 'C ' D '  S ABCD . A ' O  a 3 3

D. V  a3 3 .

B. LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Một số hình chóp đặc biệt:

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

22


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
 Hình chóp tam giác đều:
Hình chóp tam giác đều:
‒ Đáy là tam giác đều.

‒ Các mặt bên là các tam giác cân.
Hình tứ diện đều:
‒ Đáy là tam giác đều.
‒ Các mặt bên là các tam giác đều.
Cách vẽ:
‒ Vẽ đáy ABC .
‒ Vẽ trung tuyến AI .
‒ Dựng trọng tâm H .

S

C

A
H

I

B

‒ Vẽ SH   ABC  .

N

Ta có:
‒ SH là chiều cao của hình chóp.

‒ Góc giữa mặt bên và mặt đáy: 
SIH   .

.V

SAH   .
‒ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: 

 Hình chóp tứ giác đều:
Hình chóp tứ giác đều:
‒ Đáy là hình vuông.
‒ Các mặt bên là các tam giác cân.
Cách vẽ:
‒ Vẽ đáy ABCD .
‒ Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC và BD .
‒ Vẽ SH   ABCD .

C

24

H

S

A

O

Ta có:
‒ SH là chiều cao của hình chóp.

H

‒ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: 
SAH   .

D

O
B

C

‒ Góc giữa mặt bên và mặt đáy: 
SIH   .

 Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

23


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
‒

SA   ABC  .

S

SBA   .

‒ Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy: 

‒ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy: 
SCA   .

C

A

B

‒

SA   ABCD .

S

‒ Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy: 
SBA   .

N

SCA   .
‒ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy: 

H

.V

‒ Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy: 

SDA   .

D

B

C

24

Chú ý:

A

a) Đường chéo của hình vuông cạnh a là d  a 2 .

Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d  a 3 .

C

Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d  a 2  b 2  c 2 .
a 3
.
2
c) Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác
đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).

H

O

b) Đường cao của tam giác đều cạnh a là h 

1. Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1. Cho hình chóp S. ABC SB  SC  BC  CA  a . Hai mặt

 ABC

và

 ASC

cùng vuông góc với

SBC . Thể tích khối chóp S.ABC bằng:
A. VS . ABC 

a3 3
.
12

B. VS . ABC 

a3 3
.
2

C. VS . ABC 

a3 3

.
6

D. VS . ABC 

a3 3
.
3

Hướng dẫn giải:

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

24


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
 ABC  SBC , ASC  SBC  AC  SBC

A

1
a3 3
SB  SC  BC  SBC đều  V  .SSBC .CA 
3
12
B

C

S

Ví dụ 2. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB  a, AC  a 3 , cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy, SA  a 2 . Tính theo a thể tích của khối chóp S. ABC .
B. VS . ABc

a3
 .
3

a3 2

.
3

C. VS . ABM

Hướng dẫn giải:
S

C

A

C

24

H

2

a3 3

.
2

.V

1 1
a3
BC  AC  AB  a 2 V  . . AB.BC.SA 
3 2
3
2

D. VS . ABM

N

A. VS . ABC

a3 3

.
3

O

B

A. VS . ABC

a3
 .
4

H

Ví dụ 3. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SB  2a .
Tính theo a thể tích của khối chóp S. ABC .
B. VS . ABC

a3
 .
3

C. VS . ABC

a3
 .
2

D. VS . ABC

a3
 .
7

Hướng dẫn giải:

SA  SB 2  AB 2  a 3

S

1
1 a2 3
a3
 V  .S ABC .SA  .
.a 3 
3
3 4
4
C

A

B

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

25