Đề thi HSG Toán 9

Đề số 1
Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức

3 3
3 3
1 1 2 1 1
. :
x y x x y y
A
x y x y x y
xy yx


+ + +
= + + +

ữ
ữ
+
+



a. Rút gọn A.
b. Tìm MinA biết xy = 16.
Câu 2 (2 điểm) GiảI phơng trình
a.
( )
2
2
2

15
1
x
x
x
+ =
+
b.
1 1 1 1 1 1 1 1
2 5 7 1 3 4 6x x x x x x x x
+ + + = + + +
+ + + + + + +
Câu 3 (2 điểm)
a. Cho a, b, c là 3 số dơng thoả mãn điều kiện
1 1 1
2
1 1 1a b c
+ +
+ + +
Chứng minh rằng: abc
1
8

b. Cho x > 0, b > 0, c > 0 thoả mãn hệ thức

2
2
2
2
2 2

25
2
9
2
16
y
x xy
y
z
z zx x

+ + =



+ =



+ + =


Tính A = xy + 2yz + 3xz
Câu 4 (3 điểm) Cho (O), từ điểm A ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AB, AC (B, C
là tiếp điểm) M thuộc cung
ằ
BC
kẻ MI, MH, MK lần lợt vuông góc với BC,
AC, AB. MB cắt IK tại E, MC cắt IH tại F
a. Chứng minh : MI

2
= MH.MK
b. Gọi giao điểm thứ hai của đờng tròn ngoại tiếp
MEK
với đờng tròn
ngoại tiếp
MFH
là N, chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố
định.
Câu 5 (1 điểm) Cho hai phơng trình bậc hai

2
2
0(1)
0(2)
ax bx c
cx bx a
+ + =
+ + =
Tìm mối liên hệ a, b, c biết phơng trình (1) có nghiệm
1 2
,x x
. Phơng trình
(2) có nghiệm
3 4
,x x
và
2 2 2 2
1 2 3 4
4x x x x+ + + =

.
Đề số 2
Câu 1: Cho biểu thức

1 2 1 2
: 1
2 1 2 1 2 1 2 1
x x x x x x
A
x x x x

+ + + +
= + +
ữ ữ
ữ ữ
+ +

a. Rút gọn A.
b. Tính A biết
( ) ( )
6 2 3 2 3 2x = + +
Câu 2 : Cho phơng trình
( )
2
1 2( 2) 2( 1) 0m x m x m+ + + + =
(1)
a. Xác định m để phơng trình (1) có nghiệm.
b. Tìm m để phơng trình (1) có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1.
Câu 3 :
1. Giải hệ phơng trình

2
2
2 4
x y z
xy z
+ + =


=

2. Giải phơng trình nghiệm nguyên:
2 3 3
1 3 2x x x y+ + + =
Câu 4: Cho
ã
( )
0
90ABC BAC <
nội tiếp (O). Các tiếp tuyến tại B và C cắt
nhau tại N. NO cắt BC tại D. AD cắt (O) tại điểm thứ hai là K.
1. Gọi H là trực tâm của
BCN
. Chứng minh O và H đối xứng với nhau
qua BC.
2. Đờng thẳng đi qua A và song song với BC cắt (O) tại M. Chứng
minh : CM.BK = BM.CK.
3. Chứng minh ANKO là tứ giác nội tiếp.
Câu 5 : Cho x > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

6

6
6
3
3
3
1 1
2
1 1
x x
x x
P
x x
x x

+ +
ữ ữ

=

+ + +
ữ


Đề số 3
Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức
( )
2 2
2 2
1 1
1 : 2 3H z z z z

z z

= + + + +
ữ ữ

a. Rút gọn H.
b. Tìm z để H đạt GTNN, tính GTNN đó.
Câu 2 (2 điểm) Cho phơng trình ẩn x
x
4
+ ax
3
+bx
2
+ ax + 1 = 0 (1)
a. Giải phơng trình (1) khi a = -5, b = 8.
b. Chứng minh rằng : Nếu phơng trình (1) có nghiệm khi
( )
2
2
31
2
10
a b+ >
Câu 3 (2 điểm)
a. Giải hệ phơng trình
3 2
2 2
2 12 0
8 12

x xy y
x y

+ + =


+ =


b. Kí hiệu n! = 1.2.3.(n 1).n (với
*
n N
)
Tìm tất cả các số tự nhiên n để
( )
1 !n n M
Câu 4 (3 điểm) Cho
ABC

có 3 góc nhọn nội tiếp (O). M là một điểm bất
kì thuộc cung nhỏ
ằ
BC
(M không trùng B và C). Gọi D, E, F lần lợt là hình
chiếu của M trên các đờng thẳng BC, CA, AB.
a. Chứng minh rằng: D, E, F thẳng hàng.
b. Chứng minh:
AC AB BC
ME MF MD
+ =

.
c. Gọi H là trực tâm của
ABC

. Chứng minh rằng đờng thẳng EF luôn
đi qua trung điểm của đoạn thẳng HM.
Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c là 3 số nguyên thoả mãn
abc

0 và
3
a b c
b c a
+ + =
Chứng minh rằng:
P = abc là lập phơng của một số nguyên.
Đề số 4
Câu 1 (2 điểm)
1. Với a và b là 2 số dơng thoả mãn a
2
b > 0.
Chứng minh:
2 2
2 2
a a b a a b
a b
+
+ = +
2. Không sử dụng máy tính và bảng số chứng tỏ

7 2 3 2 3 29
5 20
2 2 3 2 2 3
+
< + <
+ +

Câu 2 (2 điểm)
1. Tìm trên đờng thẳng y = x + 1những điểm có toạ độ thoả mãn
hệ thức
2
3 2 0y y x x + =
2. Cho hai phơng trình sau:

( )
2
2
2 3 6 0
2 5 5
x m x
x x m
+ =
+ + =
ẩn x, m là tham số.
Tìm m để hai phơng trình có đúng một nghiệm chung.
Câu 3 (2 điểm) Cho một miếng đất hình thang cân chiều cao 35m, hai
đáy lần lợt bằng 30m, 50m. Ngời ta hai đoạn đờng có cùng chiều rộng,
các tim đờng lần lợt là đờng trung bình của hình thang và các đoạn thẳng
nối hai trung điểm hai đáy. Tính chiều rộng các đoạn đờng đó, biết rằng
diện tích làm đờng chiếm

1
4
diện tích mảnh đất đó.
Câu 4 (3 điểm) Cho
ã
ã
( )
0 0
90 , 60ABC ABC BAC = >
. Trung điểm M của AC. Đ-
ờng vuông góc hạ từ A xuống BM cắt BC tại I. Kẻ (I) tiếp xúc với AC tại
điểm K. Đờng thẳng qua A tiếp xúc với (I) tại E (E khác K) cắt đờng
thẳng BM tại điểm N.
a. Chứng minh rằng 5 điểm A, B, E, I, K nằm trên một đờng tròn.
b. EKMN là hình gì.
c. Chứng minh
NBE

cân.
d. EB có thể song song với AC không? Vì sao?.
Câu 5 (1 điểm) Tìm cặp số (x;y) thoả mãn phơng trình
x
2
+ y
2
+ 6x 3y 2xy + 7 = 0
Sao cho y đạt giá trị lớn nhất.
Đề số 5
Câu 1 (2 điểm)
a. Cho

3 3 3
1 1 1
1
ax by cz
x y z

= =


+ + =


Chứng minh:
2 2 2
3 3 3
3
ax by cz a b c+ + = + +
b. CMR: Nếu a, b, c là các số dơng thoả mãn a + b + c = 1.
Thì
2 2 2
1 1 1
33a b c
a b c

+ + + + + >
ữ ữ ữ

Câu 2 (2 điểm)
a. Tìm GTNN của biểu thức A = x
2

+ 15y
2
+ xy +8x + y +2008
b. Cho a, b, c khác nhau và a + b + c = 2008.
Tính
( ) ( )
3 3 3
2 2 2
( )
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
A
a b c b c a c a b
+ +
=
+ +
Câu 3 (2 điểm)
Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào một bể nớc và một vòi chẩy ra ở lng
chừng bể. Khi bể cạn nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút đầy bể. Còn
nếu đóng vòi chẩy ra, mở vòi chẩy vào thì sau 1 giờ 30 phút thì đầy bể.
Biết vòi chẩy vào chẩy gấp đôi vòi chẩy ra.
a. Tính thời gian nớc chẩy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ vòi
chẩy ra.
b. Nếu chiều cao bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chẩy ra đến
đáy bể là bao nhiêu?.
Câu 4 (3 điểm)
Cho
ABC
. I là giao điểm của các đờng phân giác AA, BB, CC
Chứng minh rằng :

1 . . 8
4 '. '. ' 27
AI BI CI
AA BB CC
< <
Câu 5 (1 điểm)
Cho a, b, c là ba số thực dơng và thoả mãn a + b + c = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

6 6 6
3 3 3 3 3 3
a b c
M
b c c a a b
= + +
+ + +
Đề số 6