Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 yên lạc

UBND HUYỆN YÊN LẠC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HGS LỚP 9 CẤP HUYỆN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề )

NĂM HỌC 2014 -2015
MÔN: TOÁN

Bài 1: ( 2,5 điểm)
Cho biểu thức P =

x +1
x+2
x +1
−
−
x −1 x x −1 x + x + 1

a, Rút gọn biểu thức P.
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =

2
+ x .
P

Bài 2: ( 2,5 điểm)
a, Cho biểu thức A = 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 . Chứng minh rằng A là số chính

phương.
1
2

b, Giải phương trình x − 2 + y + 2014 + z − 2015 = ( x + y + z )
Bài 3: ( 2,5 điểm)
a, Chứng minh rằng tích của 8 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 128.
b, Với số tự nhiên n tùy ý cho trước, chứng minh rằng số
m = n ( n + 1) ... ( n + 7 ) + 7! không thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính
phương ( với k nguyên dương, kí hiệu k! là tích 1.2.3…k).
Bài 4: ( 1,5 điểm)
Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm bên trong đường tròn ( P ≠ O ) Gọi Q là
một điểm tùy ý trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi điểm Q chuyển động trên
đường tròn (O) thì giao điểm M các đường thẳng kẻ qua O vuông góc với PQ và tiếp
tuyến kẻ từ Q của đường tròn (O) chạy trên một đường thẳng cố định.
Bài 5: ( 1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3 .
a3

b3

c3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = b 2c + a + c 2a + b + a 2b + c
(
) (
) (
)
-------------------------------------Hết--------------------------------(Giám thị không giải thích gì thêm)

UBND HUYỆN YÊN LẠC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014- 2015

MÔN: TOÁN
Bài
Nội dung
1
a, ĐKXĐ x ≥ 0; x ≠ 1
2,5 đ
x + x + 1 − x − 2 − ( x + 1) ( x − 1)
− x
=
Ta có P =

(

)(

)

Điểm
0,25
1,25

x + x +1

x −1 x + x + 1

b, Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
Q=

(

)+

−2 x + x + 1
x

0,75

2 

x = −2 −  x +
÷ ≤ −2 − 2 2
x


Vậy GTLN của Q= −2 − 2 2 khi x=2
Bài a, Biến đổi A3 = 40 + 3. 3 202 − 14 2 2 . A ⇔ A3 − 6 A − 40 = 0
( )
2
2,5 đ ⇔ ( A − 4 ) ( A2 + 4 A + 10 ) = 0
Vì A2 + 4 A + 10 = ( A + 2 ) + 6 ≥ 6 > 0 , suy ra A − 4 = 0 ⇔ A = 4 = 22
Vậy A là một số chính phương.
b, ĐKXĐ x ≥ 2; y ≥ −2014; z ≥ 2015
Phương trình đã cho tương đương với

2

(

) (
Do ( x − 2 − 1)
2

) (
2

x − 2 −1 +

y + 2014 − 1 +
2

≥ 0;

(

)

0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

2

z − 2015 − 1 = 0

)

2

y + 2014 − 1 ≥ 0;

(

)

2

z − 2015 − 1 ≥ 0

 x − 2 −1 = 0
x = 3


⇒  y + 2014 − 1 = 0 ⇔  y = −2013

 z = 2016

 z − 2015 − 1 = 0

Vậy nghiệm của phương trình là (x;y;z)=(3;-2013;2016)
Bài a, -Ta có 128 = 23.22.2.2 , trong 8 số nguyên liên tiếp tồn tại 1 số chia hết cho

3
8, một số chia hết cho 6, một số chia hết cho 4 và một số chia hết cho 2
2,5 đ -Do đó 8 số nguyên liên tiếp chia hết cho 23.22.2.2 = 128
b, Giả sử m = a 2 + b 2 . Theo ý a, thì n ( n + 1) ... ( n + 7 ) + 7! = 128 k, k ∈ Z
Do đó a 2 + b 2 = 128k + 7! (1)
Từ (1) suy ra a,b đều chẵn. Đặt a=2c, b=2d và rút gọn ta được
c 2 + d 2 = 32k + 1260 (2)
Từ (2) suy ra c, d đều chẵn. Đặt c=2p, d=2q và rút gọn ta được
p 2 + q 2 = 8k + 315
(3)
Vì số chính phương khi chia 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1, nên p 2 + q 2 chia
cho 4 dư 0;1 hoặc 2. Mà 8k+315 chia 4 dư 3. Nên (3) không xảy ra.
Vậy không thể biểu diễn số m = n ( n + 1) ... ( n + 7 ) + 7! dưới dạng tổng của hai
số chính phương.
Bài

0,25
0,25

0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


4

1,5 đ

d
Q

S

P
O

M

N

Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với đường thẳng OP ở S.
Gọi N là chân đường vuông góc kẻ từ O đến PQ

0,25

2
Ta có VONQ : VOQM ( g − g ) ⇒ OQ = OM ⇔ OQ = OM .ON (1)

ON

0,25

OP ON
=
⇔ OP.OS = OM .ON (2)
OM OS

OQ 2
Từ (1) và (2) suy ra OP.OS = OQ 2 ⇒ OS =
không đổi, nên điểm S cố
OP

0,5

OQ

Ta có VOPN : VOMS ( g − g ) ⇒

Bài
5
1,0 đ

0,25

định.
Vậy điểm M chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với OP tại điểm S 0,25
cố định.
a, Áp dụng BĐT AM-GM ta có
0,25
a3
a3
b 2c + a b 2c a
b 2c a 8a 2c a
=(
+ +
)− − − ≥ a− − − =
− −

b ( 2c + a )
b ( 2c + a ) 3
9
3 9 9
3 9 9 9
9 9
a3
b3
c3
 8a b 2c   8b c 2a   8c a 2b  0,25
+
+
≥  − − ÷+  − − ÷+  − − ÷
b ( 2c + a ) c ( 2a + b ) a ( 2b + c )  9 3 9   9 3 9   9 3 9 
a+b+c
=
=1
3
⇒ P ≥1
0,25
P=

Vậy GTNN của P=1 khi a=b=c=1.

0,25