Đề thi học sinh giỏi môn toán 9

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2007 - 2008
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN: 180 PHÚT
Bài 1 ( 5 điểm ): Cho biểu thức:
P(x) =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x
− − +
+ −
+ − − +
a) Rút gọn biểu thức P(x).
b) Tính giá trò của x để P(x) =
1
2
.
c) Chứng minh rằng P(x)
≤

2
3
với mọi x ≠ 1 và x
≥
0
Bài 2 ( 5 điểm ):
Cho phương trình có ẩn x (m là tham số): x – mx + m – 1 = 0
1. Chứng tỏ phương trình có nghiệm x
1
, x
2

với
∀
m. Tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và
giá trò của m tương ứng.
2. Đặt
2 2
1 2 1 2
6B x x x x= + −
a) Chứng minh B = m
2
– 8m + 8
b) Tính giá trò nhỏ nhất của B và giá trò của m tương ứng.
Bài 3 ( 4 điểm ):
a) tính giá trò của biểu thức: M = x + y, biết:
(
)
(
)
2 2
2008 2008 2008x x y y+ + + + =
b) giải hệ phương trình:
1
1 1
1
x y
x y
+ =




+ =


Bài 4 ( 3 điểm ):
Cho đường tròn tâm O, dây AB < 2R. Gọi C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Kẻ hai dây CD và
CE cắt dây AB lần lượt tại hai điểm M và N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác DENM nội tiếp.
b) Cho AN = BM. Chứng tỏ rằng tứ giác DENM là hình thang.
Bài 5( 3 điểm ):
Cho tam giác nhọn ABC. Lấy điểm E
∈
AB, điểm D
∈
AC. Kẻ DF // CE (F
∈
AB), kẻ EM // BD (M
∈
AC). Chứng minh rằng: FM // BC.
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài 1 (5 điểm):
ĐKXĐ: x
≥
0, x
≠
1 0,25 đ
a) P(x) =
( ) ( )
15 11 3 2 2 3
1 3
1 3

x x x
x x
x x
− − +
− −
− +
− +
0,25 đ
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
15 11 3 2 3 2 3 1
1 3
x x x x x
x x
− − − + − + −
− +
0,25 đ
=
( ) ( )
15 11 3 7 6 2 3
1 3
x x x x x
x x
− − − + − − +
− +
0,25 đ
=
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
1 2 5
5 7 2
3 1 3 1
x x
x x
x x x x
− −
− + −
=
+ − + −
0,25 đ
=
2 5
3
x
x
−
+
0,25 đ
b) Để P(x) = thì
2 5
3
x
x
−
+
= 0,25 đ

( ) ( )

2 5 2 3x x− = +
0,25 đ
 -10 - = 3 – 4
 -11 = -1 0,25 đ
 x = 0,25 đ
Vậy khi x = thì P(x) =
c) Để P(x)
≤
thì
2 5 2
3
3
x
x
−
≤
+
0,25 đ

2 5 2
0
3
3
x
x
−
− ≤
+
0,25 đ


( )
6 15 6
0
3 3
x x
x
− − −
≤
+
0,50 đ

( )
16
0
3 3
x
x
−
≤
+
0,25 đ
Do x
≥
0 và x
≠
1 nên 3( x + 3) > 0 0,50 đ
=> -16 x
≤
9 0,25 đ
Vậy

( )
16
0
3 3
x
x
−
≤
+

∀
x
≠
1 và x
≥
0 0,25 đ
Bài 2 (5 điểm):
Phương trình: x – mx + m – 1 = 0 (*)
1.
∆
= (–m)
2
– 4.1.(m – 1) = m
2
– 4m + 4 0,50 đ
= (m – 2)
2

≥
0 0,25 đ

Vậy (*) luôn luôn có nghiệm x
1
, x
2

∀
m 0,25 đ
* phương trình đã cho có nghiệm kép
⇔

0
0
a ≠


∆ =

0,25 đ

⇔
(m – 2)
2
= 0
⇔
m = 2 0,25 đ
Nghiệm kép: x
1
= x
2
=

( ) 2
1
2.1 2 2
m m− −
= = =
0,25 đ
2. a) Ta có:
2 2
1 2 1 2
6B x x x x= + −
( )
2
1 2 1 2 1 2
2 6B x x x x x x= + − −
0,50 đ
( )
2
1 2 1 2
8B x x x x= + −
(1) 0,25 đ
Theo đònh lí Vi–ét thì:
1 2
1 2
( )
1
1
1
1
m
x x m

m
x x m
− −

+ = =



−

× = = −


(2) 0,50 đ
Thay (2) vào (1) có: B = m
2
– 8(m –1) = m
2
– 8m +8 (đpcm) 0,50 đ
b) B = m
2
– 8m +8 = (m
2
– 8m +16) – 8 0,25 đ
= (m – 4)
2
– 8 0,25 đ
Vì (m – 4)
2

≥
0
⇒
(m – 4)
2
– 8
≥
–8 0,50 đ
Vậy giá trò nhỏ nhất của B là – 8 0,25 đ
Dấu “=” xảy ra
⇔
m – 4 = 0
⇔
m = 4 0,25 đ
Bài 3 (4 điểm):
a) Ta có:
(
)
(
)
2 2
2008 2008 2008x x y y+ + + + =
⇔

(
)
(
)
(
)

(
)
2 2 2 2
2008 2008 2008 2008 2008x x y y x x x x+ + + + − + = − +
0,50 đ
⇔

(
)
(
)
2 2
2008 2008 2008 2008y y x x− + + = − +
0,25 đ
⇔
y = – x +
2 2
2008 2008x y+ − + 0,25 đ
Tương tự ta cũng có:
x = – y +
2 2
2008 2008y x+ − + 0,25 đ
Vậy: x + y = – x +
2 2
2008 2008x y+ − + – y +
2 2
2008 2008y x+ − + 0,25 đ

⇔
x + y = – x – y

⇔
x + y = – (x + y)

⇔
x + y = 0 0,25 đ
Vậy: với
(
)
(
)
2 2
2008 2008 2008x x y y+ + + + =
thì M = x + y = 0 0,25 đ
b) Phương trình:
1
1 1
1
x y
x y
+ =



+ =


Giải:
Điều kiện: x
≠

0, y
≠
0 0,25 đ
Nhân vế theo vế hai phương trình của hệ đã cho ta được:

( )
1 1
1x y
x y
 
+ + =
 ÷
 
0,25 đ
⇔
(x + y)(x +y) = xy 0,25 đ
⇔
(x + y)
2
– xy = 0 0,25 đ
⇔
x
2
+ xy + y
2
= 0 0,25 đ
⇔
2
2
3

0
2 4
y y
x
 
+ + =
 ÷
 
0,25 đ
Ta có:
2
2
3
0
2 4
y y
x
 
+ + >
 ÷
 

∀
x
≠
0, y
≠
0 0,25 đ
Vậy hệ đã cho vô nghiệm. 0,25 đ
Bài 4 (3 điểm): Vẽ hình, ghi GT và KL đúng 0,25 đ

Ta có:
·
»
¼
( )
= +
1
2
DMB sd AC DEB
0,25 đ
(Góc có đỉnh bên trong đường tròn)
Và
·
¼
1
2
DEN sd DAC=
0,25 đ
(Tính chất góc nội tiếp)
⇒
·
·
»
¼
¼
2
AC DEB DAC
DMB DEN sd
+ +
+ =

0,25 đ
Hay
·
·
» »
»
»
»
2
AC DE EB DA AC
DMB DEN sd
+ + + +
+ =
Mà
»
»
AC CB=
(gt) 0,25 đ
Nên
» »
»
»
»
( )
0
360sd AC DE EB DA AC+ + + + =
Vậy
·
·
DMB DEN+

= 180
0
Mà
·
DMB
và
·
DEN
là hai góc đối
⇒
tứ giác DENM nội tiếp. 0,25 đ
Do AN = BM (gt)
⇒
AM + MN = BN + MN 0,25 đ
⇒
AM = BN
Mà
»
»
AC CB=
(gt)
⇒
AC = CB (Quan hệ giữa cung và dây) 0,25 đ
⇒

∆
CAM =
∆
CBN (c.g.c)
0,25 đ

⇒

·
·
ACM BCN=
(hai góc tương ứng)
⇒

»
»
AD BE=
(tính chất góc nội tiếp của một đường tròn)
⇒
·
·
BAE DEA=
(tính chất góc nội tiếp) 0,25 đ
Mà hai góc BAE và DEA ở vò trí so le trong nên AB // DE.
Mà MN
∈
AB
⇒
MN // DE 0,25 đ
Vậy tứ giác DENM là hình thang 0,25 đ
N
M
C
O
A
B

D
E
N
M
C
O
A
B
D
E
Bài 5 (3 điểm):
Vẽ hình và ghi GT, KL đúng 0,25 đ
Do DF // CE (gt) nên
AF AD
AE AC
=
(theo đ/l Ta–let) 0,50 đ
⇒
AF.AC = AD.AE (1) 0,50 đ
Do EM // BD (gt) nên
AE AM
AB AD
=
(theo đ/l Ta–let) 0,25 đ
⇒
AM.AB = AD.AE (2) 0,25 đ
Từ (1) và (2)
⇒
AF.AC = AM.AB 0,25 đ
⇒

AF AM
AB AC
=
0,50 đ
⇒
FM // BC (Đònh lí Ta–lét đảo) 0,50 đ
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
M
F
A
B
C
E
D