Tensor đề các và ứng dụng trong vật lí

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
---------------------

NGUYỄN THỊ THANH TÂM

TENSOR ĐỀ-CÁC VÀ ỨNG DỤNG TRONG
VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

HÀ NỘI - 2017


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy TS. Hà Thanh Hùng đã tận
tình hƣớng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thƣờng xuyên động viên để tôi
hoàn thành khóa luận này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo của trƣờng Đại học Sƣ
phạm Hà Nội 2 và các thầy cô trong khoa Vật Lý đã quan tâm, giúp đỡ và tạo
điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu tại khoa.
Tôi xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ của Trƣờng Đại học Sƣ
phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè thân thiết, những
ngƣời đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này.
Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Tâm

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là do tự bản thân thực hiện
có sự hỗ trợ từ giáo viên hƣớng dẫn và không sao chép các công trình nghiên
cứu của ngƣời khác. Các dữ liệu thông tin thứ cấp sử dụng trong khóa luận là
có nguồn gốc và đƣợc trích dẫn rõ ràng.
Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan này!
Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Tâm


MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Bố cục của khóa luận .................................................................................... 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 4
CHƢƠNG 1: CÁCH PHÂN LOẠI VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CỦA
TENSOR ĐỀ-CÁC ........................................................................................... 4
1.1. Khái niệm về Tensor ................................................................................. 4
1.1.1. Một số ký hiệu ....................................................................................... 4
1.1.2. Sự chuyển cơ sở trong các trục tọa độ ................................................. 8
1.2. Tensor Đề-các ............................................................................................ 9
1.2.1. Phép biến đổi tọa độ .............................................................................. 9
1.2.2. Cách phân bậc của tensor Đề-các. ....................................................... 11

1.3. Đại số Tensor ........................................................................................... 14
1.3.1. Phép cộng và phép trừ tensor. .............................................................. 14
1.3.2. Phép nhân tensor: Tích ngoài, tích trong và phép cuộn. ...................... 14
1.3.2.1. Phép nhân ngoài (tích ngoài) của tensor........................................... 14
1.3.2.2. Phép cuộn tensor. ............................................................................... 15
1.3.2.3. Phép nhân trong (tích trong) của tensor........................................... 16
1.3.3. Phép hoán vị chỉ số. .............................................................................. 16
1.3.4. Dấu hiệu ngược của tensor. .................................................................. 16
1.3.5. Gradien của một tensor......................................................................... 17


1.3.6. Định luật co chỉ số của tensor. ............................................................. 18
1.4. Tensor Levi-Civita và Isotropic. .............................................................. 19
1.4.1. Tensor Isotropic (Tensor đẳng hướng) ................................................. 19
1.4.2. Tensor Levi – Civita. ............................................................................. 21
1.4.2.1. Định nghĩa: ....................................................................................... 21
1.4.2.2. Tính chất: .......................................................................................... 22
1.4.2.3. Đồng nhất thức. ................................................................................. 22
1.5. Giả tensor ................................................................................................. 23
1.5.1. Phép quay riêng và phép quay riêng ngược ......................................... 23
1.5.2: Giả tensor.............................................................................................. 25
1.6. Tensor kép. ............................................................................................... 26
CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG VẬT LÝ CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC ................... 33
2.1. Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen động lƣợng ....................... 33
2.2. Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen quán tính ........................... 34
2.3. Ứng dụng của tensor trong việc tính độ điện dẫn  của mạng tinh thể ...... 35
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 44

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Tensor là khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải
quyết các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực nhƣ cơ học môi trường liên tục,
lý thuyết đàn hồi và đặc biệt là thuyết tương đối rộng... Tensor lần đầu tiên
đƣợc nghiên cứu bởi các nhà toán học Tullio Levi-Civita và Gregorio RicciCurbastro, những ngƣời tiếp tục các công trình sơ khởi của Bernhard
Riemann và Elwin Bruno Christoffel cùng một số nhà toán học khác, trong
một nhánh mà họ gọi là phép tính vi phân tuyệt đối.
Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi, ngƣời ta thƣờng sử dụng
hệ các phƣơng trình cân bằng, phƣơng trình chuyển động...Việc thiết lập các
phƣơng trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong nhƣ hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ
cầu...là tƣơng đối phức tạp.
Tensor cũng có ứng dụng hữu ích trong những lĩnh vực khác nhƣ cơ
học môi trường liên tục. Đại số ngoài (exterior algebra) do Hermann
Grassmann phát triển từ giữa thế kỷ XIX cũng là một lý thuyết tensor mang
nhiều đặc tính hình học trong thời gian đầu, cho đến khi nó đƣợc nhận ra cùng
với các dạng vi phân, đƣợc thống nhất về bản chất với phép tính tensor.
Vật lý và toán học luôn luôn có mối quan hệ mật thiết với nhau, vật lý
sử dụng những công cụ toán học có sẵn đồng thời đặt ra những yêu cầu mới
đối với toán học. Để tìm hiểu rõ hơn về vai trò của tensor Đề-các trong vật lý
tôi đã quyết định chọn đề tài : Tensor Đề-các và ứng dụng trong vật lý.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu : “Tensor Đề-các và ứng dụng trong vật lý” trên cơ
sở đó tìm hiểu rõ hơn về Tensor Đề-các và các ứng dụng của nó trong vật lý.

1


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Giới thiệu về tensor Đề-các.

- Phân loại tensor Đề-các.
- Trình bày các phép tính của tensor Đề-các.
- Ứng dụng của tensor Đề-các trong vật lý.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: Tensor.
- Phạm vi nghiên cứu: Tensor trong hệ tọa độ Đề-các.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Đọc sách và tham khảo tài liệu,
- Phƣơng pháp phân tích, tổng hợp,
- Trao đổi ý kiến với giáo viên.
6. Bố cục của khóa luận
PHẦN I: MỞ ĐẦU
PHẦN II: NỘI DUNG
Chƣơng : Cách phân loại và các ph p iến đ i của tensor Đề-các
1.1: Khái niệm về tensor.
- Một số kí hiệu.
- Sự chuyển đổi cơ sở.
1.2: Tensor Đề-các.
- Cách phân bậc của tensor Đề-các.
1.3: Đại số tensor.
1.4: Tensor Isotropic và Levi – Civita.
1.5: Giả tensor.
1.6: Tensor kép.
Chƣơng 2: Ứng dụng vật lý của Tensor.
2.1: Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen động lƣợng.

2


2.2: Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen quán tính.

2.3: Ứng dụng của tensor trong việc tính độ điện dẫn  của mạng tinh
thể.
PHẦN III. KẾT LUẬN

3


NỘI DUNG
CHƢƠNG : CÁCH PHÂN LOẠI VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI
CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC
1.1. Khái niệm về Tensor
Tensor là đối tƣợng hình học miêu tả quan hệ tuyến tính giữa các đại
lƣợng vectơ, vô hƣớng, và các tensor với nhau. Những ví dụ cơ bản về liên hệ
này bao gồm tích vô hƣớng, tích vector, và ánh xạ tuyến tính. Đại lƣợng
vector và vô hƣớng theo định nghĩa cũng là tensor. Có nhiều cách biểu diễn
tensor, nhƣ mảng giá trị số đa chiều. Bậc (hay hạng) của một tensor bằng số
chiều của mảng cần để biểu diễn nó, hay tƣơng đƣơng với số chỉ số cần để
đánh dấu các thành phần của mảng. Ví dụ, một ánh xạ tuyến tính biểu diễn
dƣới dạng ma trận 2 chiều, mảng 2 chiều, do đó nó là tensor bậc (hạng) 2.
Vector có thể coi là mảng một chiều và là tensor bậc (hạng) 1. Đại lƣợng vô
hƣớng là các giá trị số và là tensor bậc (hạng) 0.
1.1.1. Một số ký hiệu
Ta sẽ kí hiệu một đại lƣợng vật lý nào đó bằng một hoặc một tập kí tự
(chữ La mã, chữ La tinh viết thƣờng hoặc in hay bằng bất kỳ một kí hiệu nào
tùy ý, là tên của đại lƣợng vật lý nào đấy cần khảo sát, ví dụ a, A, Ab, , ... )
kèm theo các chỉ số dƣới hoặc trên hoặc hỗn hợp. Các chỉ số này có thể là số
jl
... . Đại lƣợng
tự nhiên, các chữ (Hy lạp hoặc Latinh), ví dụ Ai , Ai j , aik , ABiak

vật lý Ai j thì A là kí tự, tên của đại lƣợng vật lý; j là chỉ số trên; i là chỉ số
dƣới. Sau này ngƣời ta gọi các đại lƣợng có kí hiệu nhƣ vậy là đại lƣợng
tensor. Trong lý thuyết tổng quát về tensor cần phân biệt chỉ số trên và chỉ số
dƣới. Các tensor trong tọa độ Đề-các thì các chỉ số trên và dƣới không có
phân biệt gì, và ngƣời ta thƣờng viết một loại chỉ số, thƣờng là chỉ số dƣới và

4


các chỉ số thƣờng bằng chữ Latinh. Dƣới đây khi nói đến tensor, ta hiểu là
tensor Đề-các nếu không có chú thích gì đặc biệt.
Để sử dụng một cách thống nhất các đại lƣợng vật lý, ta có những quy
ƣớc sau đây:
Quy ƣớc 1: Nếu một đại lƣợng (hoặc một biểu thức đơn, ví dụ Aij , aib j ,... ) với
các chỉ số bằng chữ Latinh gặp một lần thì chỉ số ấy là các giá trị từ 1 đến 3
và nó có thể xuất hiện trên tử số hoặc mẫu số của một số hạng trong một biểu
thức.
Ví dụ:
- Đại lƣợng ai có 31  3 thành phần là a1, a2 , a3
- Đại lƣợng Aij có 32  9 thành phần là:
a11, a12 , a13 , a21, a22 , a23 , a31, a32 , a33

- Đại lƣợng

ai
có 32  9 thành phần là:
x j
a1 a1 a1 a2 a2 a2 a3 a3 a3
,
,

,
,
,
,
,
,
x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3

- Đại lƣợng aijk có 33  27 thành phần.
- Đại lƣợng aijmk có 34  81 thành phần.
Chỉ số lặp lại một lần trong một đại lƣợng (hoặc một biểu thức đơn) gọi
là chỉ số tự do.
Quy ƣớc 2: Chỉ số bằng chữ (Latinh) gặp hai lần trong một đại lƣợng hoặc
trong một biểu thức đơn đƣợc lấy tổng từ 1 đến 3.
3

Ví dụ: aii   aii  a11  a22  a33
i 1
3

ai xi   ai xi a1 x1  a2 x2  a3 x3
i 1

5


Chỉ số lặp lại hai lần trong một đại lƣợng hoặc trong một biểu thức đơn
gọi là chỉ số câm và có thể thay bằng bất kỳ một chữ nào khác mà kết quả đều
nhƣ nhau.
Lƣu ý:

- Sẽ không bao giờ gặp trong đại lƣợng (hoặc một biểu thức đơn) lại có
quá hai chỉ số trùng nhau, chẳng hạn đại lƣợng aiib j ci là không có
nghĩa (tất nhiên đại lƣợng a11bnc1 lại có nghĩa).
- Hai quy ƣớc trên là quy ƣớc chỉ số Anh-xtanh, trong nhiều ứng dụng nó
có thể mở rộng đến n tùy ý mà không nhất thiết chỉ đến 3, ví dụ ai có
thể có đến n thành phần là a1, a2 , a3, ...an :
n

aibi   aibi  a1b1  a2b2  ...  anbn
i 1

Quy ƣớc 3: Ký hiệu Krônecker:
1, i  j
0, i  j

 ij  

Nhƣ vậy đại lƣợng  ij có 9 thành phần trong đó ba thành phần bằng 1
đó là 11   22  33  1 ; 6 thành phần còn lại đều bằng 0 đó là:

12   21  13  31   23  32  0
Lƣu ý, các đại lƣợng ai , aij đều gắn với một đại lƣợng vật lý nào đó mà
các đại lƣợng vật lý lại đƣợc xác định trong một hệ tọa độ (Đề-các) xác định,
nên để phù hợp với các kí hiệu trên đây, các trục tọa độ sẽ đƣợc đánh số từ 1
đến 3 tƣơng ứng với các trục x, y, z . Ta sẽ nói hệ trục tọa độ xi có các vectơ
đơn vị ei tƣơng ứng với cách nói đã quen thuộc là hệ trục x, y, z tƣơng ứng
với các vectơ đơn vị i , j , k tức là:

x1  x, x2  y, x3  z

6


e1  i , e2  j , e3  k

Từ quy ƣớc 3 và các lƣu ý trên ta có các hệ quả sau:
- Hệ quả 1:  ij   ji
- Hệ quả 2:  ii   jj  3
- Hệ quả 3: ik .ik  ii jj  3
- Hệ quả 4:  ij kj   ik

aij jk  aik
aijij  aii  a jj  a11  a22  a33
- Hệ quả 5: ei .e j  ei . e j cos  ei .e j   cos  ei .e j    ij
Quy ƣớc 4: Kí hiệu Levi-Civita.

 ijk  1 khi các chỉ số lập thành hoán vị chẵn của 1 2 3,

 ijk  1 khi các chỉ số lập thành hoán vị lẻ của 1 2 3,

 ijk  0 khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau.
Đại lƣợng  ijk có 33  27 thành phần, có 3 thành phần bằng 1 là 123 ,  231,  312 ;
3 thành phần bằng 1 là 132 ,  213 ,  321 và 21 thành phần còn lại đều bằng 0.
Từ quy ƣớc trên với lƣu ý ở quy ƣớc 2, ta có các hệ quả sau:
- Hệ quả 1:  ijk   jik   kij
- Hệ quả 2:  ijk . ipq   jp kq   jq kp
Từ đó ta có ngay:  ijp . ijp  2 pq
- Hệ quả 3:  ijk . ijk  6
- Hệ quả 4: ei  e j   ijk ek

7


1.1.2. Sự chuyển cơ sở trong các trục tọa độ
Vì tensor thể hiện mối quan hệ giữa các vector, tensor phải độc lập với
bất kỳ sự lựa chọn hệ tọa độ nào. Khi chọn một cơ sở tọa độ hoặc hệ quy
chiếu và áp dụng tensor vào, nó sẽ cho kết quả là một mảng đa chiều đƣợc tổ
chức đại diện cho tensor đó trong cơ sở hay hệ quy chiếu đó.
Một vector tùy ý a trong hệ tọa độ Đề-các đã cho với 3 thành phần ai
trên các trục tọa độ xi . Ta có thể viết a  ai (lƣu ý đây là cách viết mới,
không nên hiểu một đại lƣợng vector tƣơng đƣơng với các đại lƣợng vô
hƣớng). Cách viết này cũng có thể hiểu việc sắp xếp các thành phần của
vector thành hàng hoặc cột là không quan trọng, sau này sẽ thấy rõ hơn việc
nhân các đại lƣợng tensor là các phép nhân theo quy ƣớc (định nghĩa), việc
mở rộng các phép tính này hoàn toàn phù hợp với phép tính vector đã quen
biết khi xếp nó thành hàng hoặc thành cột theo kiểu ma trận.
Giả sử có một tập hợp các vector cơ sở e1, e2 , e3 thuộc không gian ba
chiều (vector). Trong cơ sở này, bằng cách sử dụng quy ƣớc lấy tổng, vector
a đƣợc mô tả:

a  a1e1  a2e2  a3e3  aiei

Nếu có một cơ sở mới e1 ', e2 ', e3 ' liên quan với cơ sở cũ bởi biểu thức:

e j'  Sij e j (tổng trên i )

(1.1)

Trong đó Sij là thành phần thứ i của vector e j' đối với cơ sở e1, e2 , e3 .
 Trong cơ sở mới này, a  a1' e1'  a2' e2'  a3' e3' (tổng trên i )

Nếu ký hiệu Sij bởi ma trận S thì a'j  (S1 )ij a j (tổng trên j )
Bằng quy ƣớc lấy tổng, có một tổng ẩn trên j từ j  1 tới j  3
Trong trƣờng hợp đặc biệt, phép biến đổi là phép quay của trục tọa độ.
Các ma trận biến đổi S là trực giao và ta có:

8


ai'  (ST )ij a j  S ji a j (tổng trên j )
Tuy nhiên, biến đổi vô hƣớng diễn ra khác nhau thì nó vẫn không thay đổi.
 Các phép tính vector thƣờng gặp:
(i)

Phép cộng (trừ) các vector:

a  b   ai  bi    ai  bi  ei
(ii)

Phép nhân vô hƣớng hai vector:
a.b  ai ei .bk ek  aibk ei ek  aibk  ik  aibi

(iii)

Phép nhân có hƣớng hai vector:
a  b  ai ei  bk ek  aibk ei  ek  aibk  ikpe p   ikp aibk e p   ikp aibk

  pqr a pbqer   pqr a pbq .
(iv)

Tích hỗn hợp của 3 vector:





a b  c  aiei pqr bpcqer   pqr aibpcqei .er   pqr aibpcq ir   pqr ar bpcq

1.2. Tensor Đề-các
1.2.1. Phép biến đổi tọa độ

Hình 1

9


Giả sử hai hệ tọa độ Đề-các trực giao có chung gốc tọa độ tùy ý

 

 

Ox1x2 x3   Oxi  và Ox1' x2' x3'  Oxi' (Hình 1). Vì hai hệ trục  Oxi  và Oxi'

đều trực giao có chung gốc nên có thể hệ trục này nhận đƣợc từ hệ trục kia
bằng phép quay các trục quanh gốc tọa độ hoặc bằng phép chiếu gƣơng các
trục đối với một mặt tọa độ nào đấy, hoặc có thể kết hợp cả hai cách. Gọi ei
và ei' là các vector đơn vị trên các trục tọa độ tƣơng ứng và cosin của góc
giữa hai trục xi và xk' kí hiệu là aik . Rõ ràng ta có:













ei .ek'  ei . ek' cos ei .ek'  cos ei .ek'  cos xi xk'  aik

(1.2)

Và có 9 đại lƣợng aik nhƣ vậy.
Ta lập bảng:

e1

e2

e3

e1'

a11

a12

a13

e2'

a21

a22

a23

e3'

a31

a32

a33

Hoặc ma trận biến đổi hệ trục tọa độ:
 a11 a12
A   aik    a21 a22
a
 31 a32

a13 
a23 
a33 

(1.3)

Nhờ ma trận biến đổi này mà các vector đơn vị trên hệ trục tọa độ

 Oxi  (tạm gọi là hệ trục tọa độ cũ) là ek

có thể biểu diễn qua các vector đơn

vị của hệ trục tọa độ mới ei' và ngƣợc lại:
ei'  aik .ek ; ek  aik .ei'

(lƣu ý đến quy ƣớc về chỉ số)
10

(1.4)


Nói cách khác, khi cho trƣớc một hệ trục tọa độ Đề-các (tƣơng ứng với
cho tập các vector đơn vị hay hệ các vector cơ sở) và ma trận cosin chỉ
phƣơng thì hệ vector cơ sở mới (tƣơng ứng với hệ trục tọa độ mới) là hoàn
toàn xác định theo (1.4).
Dễ dàng thấy rằng các hàng và các cột của ma trận A đều là những
vector trực giao và trực chuẩn, nghĩa là các vector vuông góc với nhau có độ
lớn (chuẩn) bằng đơn vị.
Thật vậy:
ei' .ek'   ik  aip e p .akp eq  aip akq pq  aip akp
ei ek   ik  a pi e p' .aqk eq'  a pi aqk  pq  a pi a pk

(1.5)

Ma trận gồm các hàng, các cột trực giao và trực chuẩn gọi là ma trận
trực giao. Các ma trận trực giao thỏa mãn đẳng thức:

A1  AT

1.2.2. Cách phân bậc của tensor Đề-các.
Vector tùy ý x trên Hình 1 có thể biểu diễn qua các thành phần tƣơng
ứng trong hệ tọa độ mới xi' và trong hệ tọa độ cũ xk nhƣ sau:
x  xi'  xi' .ei'

(1.6)

x  xk  xk .ek

(1.7)

Các vector đơn vị ei' và ek lại có quan hệ thông qua (1.4). Từ (1.4) và
(1.6) và (1.7) suy ra:
xi'  aik xk ; xk  aik xi'

(1.8)

Đẳng thức (1.8) chứng tỏ rằng nếu biết trƣớc ma trận cosin chỉ phƣơng
của hai hệ trục tọa độ và các thành phần của một vector nào đó trong một hệ
trục đã cho thì các thành phần của nó trong hệ trục kia cũng hoàn toàn xác
định. Quy luật này giống với quy luật biến đổi hệ trục tọa độ (1.4). Từ kết quả
đó cho phép ta có một định nghĩa mới về vector nhƣ sau:
11


Một hệ thống gồm 31  3 thành phần xk cho trong một hệ tọa độ Đềcác nào đó, khi hệ trục này thay đổi theo quy luật (1.4) thì các thành phần
này cũng thay đổi theo quy luật ấy (quy luật (1.8)), chúng lập thành một
tensor Đề-các bậc nhất.

Lƣu ý rằng quy luật biến đổi của tensor bậc nhất tỉ lệ bậc nhất với các
cosin chỉ phƣơng. Một vector là một tensor bậc nhất nhƣng không phải chỉ có
vector mới là tensor bậc nhất mà bất kỳ một tập 3 thành phần nào khi hệ trục
tọa độ thay đổi mà nó đƣợc xác định theo quy luật (1.8) đều là tensor bậc
nhất. Một mặt phẳng có phƣơng trình tổng quát cho trong hệ trục  Oxi  là:
ak xk  ai xi  1, khi hệ trục thay đổi thành

Ox 
'
i

phƣơng trình của mặt

phẳng này trong hệ trục tọa độ mới là: ai' xi'  1
Quan hệ giữa tọa độ xk và xi' nhƣ đã biết là: xi'  aik xk . Vậy thì:
ai' xi'  ai' aik xk  1  ak xk hay ak  aik ai' .

Đây chính là quan hệ của biến đổi tensor bậc nhất (1.8). Vậy các hệ số
của mặt phẳng ak cũng là một tensor bậc nhất.
Tensor bậc nhất có một bất biến, đó là “độ dài” và “hƣớng” của nó
đƣợc xác định bằng tích xi xi trong hệ tọa độ cũ và xi' xi' trong hệ tọa độ mới là
không thay đổi (bằng nhau).
Thật vậy, ta có:
xi' .xi'  aip x p .aiq xq  aip aiq .x p xq   pq x p xq  xi xi

Để dẫn đến các tensor bậc cao hơn (chẳng hạn bậc 2) ta xét tích của 2
vector đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
x  y  xi yk

(1.9)

nghĩa là lấy tập hợp các tích có thể có đƣợc của từng thành phần của hai
vector x và y . Ta có tất cả 9 tích nhƣ vậy. Kí hiệu:
12


aik  xi yk

(1.10)

Ta thử xem các thành phần aik sẽ thay đổi nhƣ thế nào khi chuyển sang
hệ trục tọa độ mới. Gọi aik' là các thành phần của nó trong hệ trục mới và khi
chuyển sang hệ trục mới, đẳng thức (1.10) trở thành:
aik'  xi' yk'

(1.11)

Do xi , yk là thành phần của tensor bậc nhất nên sang hệ tọa độ mới
phải tuân theo quy luật (1.8):
aik'  aip x p .akq yq  aip akq .x p yq  aip akq .a pq

(1.12)

Đẳng thức (1.12) chứng tỏ rằng việc chuyển đổi các thành phần a pq
trong hệ tọa độ cũ sang các thành phần trong tọa độ mới là có quy luật xác
định dựa vào các thành phần của ma trận chuyển đổi A và tỷ lệ bậc hai với
các thành phần cosin chỉ phƣơng này. Quy luật (1.12) dẫn đến định nghĩa
tensor bậc hai nhƣ sau:
Một hệ thống gồm 32  9 thành phần aik cho trong một hệ trục tọa độ
Đề-các nào đấy, khi hệ trục tọa độ thay đổi theo quy luật (1.12) chúng lập

thành một tensor Đề-các bậc hai.
Dễ dàng thấy rằng các hệ số của mặt bậc hai tổng quát aik xi xk  1 , là
một tensor bậc hai.
Trên cơ sở nghiên cứu quy luật biến đổi của tensor bậc nhất và tensor
bậc hai ta có thể mở rộng để định nghĩa một tensor Đề-các bậc N bất kỳ
nhƣ sau:
Một hệ thống gồm 3N thành phần aikp... cho trong một hệ trục tọa độ
Đề-các nào đấy, khi hệ trục tọa độ thay đổi theo quy luật (1.4) thì các thành
phần này thay đổi theo quy luật:
'
aikp
 aim akn a ps ...amns...

13

(1.13)


chúng lập thành một tensor Đề-các bậc N .
Các thành phần của tensor trong hai hệ trục tỉ lệ bậc N với các cosin
chỉ phƣơng.
Trƣờng hợp đặc biệt, các vô hướng là tensor bậc không.
1.3. Đại số Tensor
Đại số tensor nghiên cứu các phép tính đại số nhƣ: phép cộng, phép trừ,
phép nhân (tích trong, tích ngoài và phép cuộn) tensor.
1.3.1. Phép cộng và phép trừ tensor.
Giả sử aijk ... và bijk ... là các thành phần của cùng một tensor. Các tensor
Đề-các cùng bậc có thể cộng (hoặc trừ) các thành phần theo nguyên tắc sau:

aijk ...  bijk ...  cijk ...

(1.14)

Tensor tổng này sẽ cùng bậc với các tensor thành phần. Cần lƣu ý rằng
các chỉ số nhƣ nhau đƣợc sắp xếp theo một thứ tự nhất quán trong mỗi một
phần tử. Phép nhân tất cả các thành phần của tensor với một vô hƣớng cho
một tensor mới cùng bậc, chẳng hạn:

bijk  a.aijk

(1.15)

1.3.2. Phép nhân tensor: Tích ngoài, tích trong và phép cuộn.
1.3.2.1. Phép nhân ngoài (tích ngoài) của tensor.
Phép nhân ngoài (tích ngoài) của hai tensor có bậc tùy ý là một tensor
mới mà mỗi thành phần của nó đƣợc biểu diễn bằng tích có thể có của từng
thành phần tensor này với từng thành phần tensor kia. Bậc của tensor mới
bằng tổng bậc của hai tensor thành phần.
Chứng minh:
Giả sử đối với hai tensor có bậc hai và bậc ba aik và bijk . Tích có thể
của từng thành phần tensor này với từng thành phần tensor kia sẽ là aik bpqr .
Ta kí hiệu kết quả phép nhân này là cikpqr , nghĩa là:

14


cikpqr  aik bpqr
Bây giờ cần chứng minh cikpqr là một tensor bậc năm. Thật vậy, trong
hệ tọa độ mới có:
'

cikpqr
 aik' b'pqr

Do giả thiết, aik và bpqr là hai tensor bậc hai và bậc ba nên ở hệ tọa độ
mới, các thành phần này biến đổi theo quy luật của tensor, vậy:
'
cikpqr
 aim akn amn a ps aqh arj bshj  aim akn a ps aqh arj amnbshj

 aimakna ps aqharj cmnshj
Theo định nghĩa đây là quy luật của tensor bậc năm.
1.3.2.2. Phép cuộn tensor.
Phép cuộn tensor theo hai chỉ số là phép tính khi hai chỉ số trùng nhau
và nhƣ vậy nó tuân theo quy tắc lấy tổng. Kết quả phép cuộn tensor đƣợc một
tensor mới (tích chập) có bậc giảm hai đơn vị so với tensor ban đầu.
Việc chứng minh kết quả của phép cuộn tensor là một tensor có bậc bé
hơn tensor ban đầu hai đơn vị hoàn toàn tƣơng tự nhƣ cách chứng minh tích
ngoài của hai tensor. Điều cần lƣu ý là để thực hiện phép cuộn tensor đòi hỏi
tensor ban đầu phải có bậc ít nhất là hai và có thể cuộn nhiều lần.
Ví dụ: Chỉ ra phép cuộn của một tensor bậc N tạo ra tensor bậc  N  2 .
Bài làm
Giả sử Tij...l ...m...k là các thành phần của một tensor bậc N thì:
'
Tij...
l ...m...k  Lip L jq ...Llr ...Lms ...Lkn Tpq...r ...s...n
Nthuaso

Nếu l  m thì:
'
Tij...

l ...l ...k  Lip L jq ...Llr ...Lls ...LknTpq...r ... s...n

 Lip L jq ... rs ...LknTpq...r ...s...n
15


 Lip L jq ...Lkn Tpq...r ...r ...n
 N 2 thuaso

Thấy rằng Tij...l ...l ...k là các thành phần (khác nhau) của một tensor Đềcác bậc  N  2
1.3.2.3. Phép nhân trong (tích trong) của tensor.
Phép nhân trong là phép nhân ngoài và cuộn đồng thời của các tensor,
các chỉ số trùng nhau phải có mặt trong mỗi nhân tử.
Ví dụ phép nhân trong là Aijk b j , Tmnank còn Aiikb j lại không phải là
phép nhân trong vì chỉ số i trùng nhau chỉ nằm ở nhân tử Aiik .
1.3.3. Phép hoán vị chỉ số.
Với tensor đã cho, hoán vị bất kì chỉ số nào đều nhận đƣợc tensor mới
cùng bậc với tensor đã cho. Tensor mới và tensor cũ có các thành phần nhƣ
nhau, không thay đổi nhƣng sắp xếp thứ tự các thành phần là khác nhau.
1.3.4. Dấu hiệu ngược của tensor.
Ta thƣờng gặp trƣờng hợp sau đây trong phép tính tensor:
Khi thực hiện phép tính tích các đại lƣợng một cách hình thức nhƣ các
phép tính tensor mà biết chắc một thành phần là tensor và kết quả của phép
tính ấy cũng là tensor. Vấn đề đặt ra là, thành phần còn lại trong phép tính ấy
có phải là tensor không. Trƣớc hết ta chứng minh cho trƣờng hợp riêng và sau
đó mở rộng cho trƣờng hợp tổng quát.
Giả thiết bi , ci là hai tensor bậc 1 và có đẳng thức:

ci  aisbs
cần chứng minh ais là một tensor bậc hai.

Chứng minh:

16

(1.16)


Do bi là tensor bậc nhất (vector), không mất tính tổng quát ta chọn hệ
trục mới có một trục trùng với vector này, chẳng hạn trục đó là trục k , khi đó
bk' bằng độ dài  của vector:
bk'   và bk'  0 khi s  k

Chuyển sang hệ tọa độ mới, đẳng thức (1.16) trở thành:
ci'  ais' bs'

(1.17)

Ở đây, s là chỉ số lấy tổng, khi s chạy đến k thì bk'   , hai giá trị
khác bằng không. Đẳng thức (1.17) trở thành:
ci'   aik'

(1.18)

Theo giả thiết bi , ci là tensor bậc nhất nên theo quy luật biến đổi tensor
phải có:
ci'   ip c p   ip a pqbq   ip a pq mqbm'   ip kq a pq

(1.19)

So sánh (1.18) và (1.19) nhận đƣợc:

aik'   ip kq a pq

Đây là quy luật của tensor bậc hai và là điều phải chứng minh.
Mở rộng cho các tensor bất kỳ thì trong một tích hình thức kiểu phép
nhân trong hai tensor mà có một thành phần là tensor (bậc bất kỳ), kết quả của
phép nhân là tensor thì thành phần kia cũng là tensor, bậc của tensor này bằng
chỉ số của nó.
1.3.5. Gradien của một tensor.
Đạo hàm riêng một lần theo một biến xk nào đó của tensor bậc bất kì
nhận đƣợc tensor có bậc cao hơn tensor ban đầu một đơn vị.
Ví dụ:
- Tensor bậc không:   tensor bậc nhất:

17


 i
xi


- Tensor bậc nhất: ai  tensor bậc hai:

ai
 2 ai
 ai ,kj
 ai ,k  tensor bậc ba:
xk x j
xk

- Tensor bậc hai:

- Tensor bậc ba:

ai
 ai ,k
xk

Tij
xk

 Tij,k  tensor bậc bốn:

 2Tij
xk xm

 aij ,km

Lƣu ý: Chỉ số biến lấy đạo hàm không trùng với chỉ số của các thành phần
tenxơ.
1.3.6. Định luật co chỉ số của tensor.
Xét phƣơng trình:

Apq...k ...m Bij...k ...n  C pq...mij...n

(1.20)

Trong đó: 3 tensor A, B, C lần lƣợt là các tensor bậc M , N , M  N  2 ;
k độc lập trong A và B .
Khi Bik và C pi là tensor bậc 2 bất kì, ta xét phƣơng trình:

Apk Bik  C pi

(1.21)

ta có:
A'pk Bik'  C 'pi (chuyển từ (1.21))

 Lpq LijCqj (khi C là một tensor)
 Lpq Lij Aql B jl (từ (1.21))
'
 L pq Lij Aql Lmj Lnl Bmn
(khi B là một tensor)

 L pq Lnl Aql Bin' (khi Lij Lmj  im )

Nếu k và n là chỉ số câm thì:

A

'
pk



 Lpq Lkl Aql Bik'  0

Bik là một tensor bất kì thì Bik' cũng là một tensor bất kì nên:

18

A'pk  L pq Lkl Aql
A'pk đƣợc cho bởi công thức chung (1.12) vì thế Apk là thành phần của

một tensor bậc 2, lúc này (1.21) đƣợc thay thế bằng:

Apk Bik  C pi (Định luật co chỉ số của tensor).
Định luật này đƣợc sử dụng để kiểm tra một tập hợp các số lƣợng là
một tensor một cách thuận tiện. Nó đƣợc áp dụng bằng cách quy ƣớc tập hợp
các số lƣợng (có kí hiệu N ), với một tensor tùy ý bậc N và xác định kết quả
là một vô hƣớng.
1.4. Tensor Levi-Civita và Isotropic.
1.4.1. Tensor Isotropic (Tensor đẳng hướng)
Một tensor mà các thành phần của nó có giá trị nhƣ nhau trong hệ tọa
độ Đề-các đƣợc gọi là tensor đẳng hƣớng. Cụ thể là tensor đồng nhất thức bậc
2,  ij và tensor hoán vị bậc 3,  ijk . Chúng ta có thể phân loại tensor đẳng
hƣớng thành bốn bậc nhƣ sau:
 Bậc 0: Tất cả các đại lƣợng vô hƣớng đều là tensor đẳng hƣớng, xét
với một tensor Tijk , trong hệ tọa độ Đề-các bất kì thì ta có thể viết
là:
Tij'k  Tijk

 Bậc 1: Không có vector không đẳng hƣớng bằng 0.
 Bậc 2: Tensor đẳng hƣớng bậc 2 chung nhất là  ij .
 Bậc 3: Tensor đẳng hƣớng bậc 3 chung nhất là  ijk .
 Bậc

4:

Tensor

đẳng

hƣớng

bậc

4

ij kl  ik jk  il jk
Trong đó  ,  , ,  ,  là các đại lƣợng vô hƣớng.

19

chung

nhất

là


Ví dụ: Chứng minh nếu T là một tensor đẳng hƣớng bậc 2 thì T  ij
Chứng minh
Xét một tensor bậc 2 T có thành phần Tij với các trục e1, e2 , e3 . Giả sử

T là đẳng hƣớng, trong phép quay vuông góc với 3 trục, đối với trục mới thì:
e1'  e2 , e2'  e1, e3'  e3

Ma trận của phép quay này là:
 0 1 0

A   1 0 0 
 0 0 1



Sử dụng phép biến đổi của ma trận, ta thấy rằng:
 T11' T12' T13'   0 1 0   T T
T13   0 1 0 
11
12
 '





'
'
 T21 T22 T23    1 0 0   T21 T22 T23   1 0 0 
 '
'
' 
  0 0 1   T31 T32 T33   0 0 1 
T
T
T
31
32
33



 T22
  T12
T
 32

T21 T23 
T11 T13 
T31 T33 

vì T là đẳng hƣớng, Tij'  Tij , do đó:
T11  T22
T13  T23  T13 sao cho T13  T23  0

T31  T32  T31 sao cho T31  T32  0

Tƣơng tự xét trong phép quay vuông góc với 2 trục, ta thấy rằng
T11  T33 và T12  T32  0 , T21  T23  0 . Do đó phần tử ngoài đƣờng chéo của

T là số 0 và tất cả các phần tử đƣờng chéo bằng  . Nên:

20