Các phương trình tích phân và ứng dụng trong vật lí

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
----------------------

NGUYỄN THỊ HOÀN

CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
TRONG VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết & Vật lý toán

HÀ NỘI - 2017


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Hà Thanh Hùng đã tận tâm
hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và động viên tôi trong suốt quá trình
thực hiện khóa luận này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lý đã quan tâm,
giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên
cứu tại khoa.
Tôi xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ của trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình nghiên cứu.
Cuối cùng, cho tôi gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè thân
thiết, những người đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành
khóa luận này.
Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Hoàn

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là do bản thân thực hiện có
sự hỗ trợ từ giáo viên hướng dẫn và không sao chép các công trình nghiên
cứu của người khác. Các dữ liệu thông tin thứ cấp sử dụng trong khóa luận là
có nguồn gốc và được trích dẫn rõ ràng.
Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan này!
Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Hoàn


BẢNG DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

TỪ VIẾT TẮT

NGHĨA CỦA TỪ VIẾT TẮT

SH

Schmidt - Hilbert

SL

Sturm - Liouville


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu .................................................................... 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận ........................................................................................ 3
NỘI DUNG ....................................................................................................... 4
CHƯƠNG 1: CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ............................ 4
1.1. Phương trình tích phân ............................................................................ 4
1.1.1

Định nghĩa về phương trình tích phân ................................................. 4

1.1.2. Các khái niệm cơ bản ........................................................................... 4
1.1.3
1.2

Xây dựng phương trình tích phân từ phương trình vi phân ................. 8
Các loại phương trình tích phân .............................................................. 9

1.3. Các nghiệm quen thuộc của phương tình tích phân ................................ 10
1.3.1. Phương trình tích phân có nhân phân tách ........................................ 10
1.3.2. Các phép biến đổi tích phân ................................................................ 12
1.3.3. Các phép biến đổi vi phân.................................................................... 16
1.4. Chuỗi Neumann ...................................................................................... 17
1.5. Lý thuyết Fredholm ................................................................................. 19
1.6. Lý thuyết Schmidt–Hilbert...................................................................... 21
CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÍ ................................................ 24
2.1. Ứng dụng của phương trình tích phân loại 1 ........................................... 24

2.2. Ứng dụng của phương trình tích phân loại 2 ........................................... 24
2.2.1. Phương trình thuần nhất ...................................................................... 24


2.2.2. Phương trình không thuần nhất ........................................................... 26
2.3. Lý thuyết fredholm ................................................................................... 31
2.4. Lý thuyết Hilbert-Schmidt. ...................................................................... 32
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 36


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính
nó, mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các
ngành khoa học khác, trong đó có vật lý học. Tính chất cơ bản của vật lý học
là tính thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của
vật lý học một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học.
Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý.
Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyết
gần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng của
nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sự
phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu. Dẫn tới sự ra đời
của một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết.
Người ta dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới.
Những quy luật tổng quát hơn những quy luật đã biết, đoán trước được mối
quan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìm
được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiều
hiện tượng xét một cách tổng quát nhất.
Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất

phong phú và đa dạng. Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành
như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích phân
Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn sinh viên để
tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đối với các môn học khác trong khi
học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của họ sau
khi ra trường.

1


Bước đầu khám phá và đi sâu vào các phương trình tích phân cũng như
ứng dụng của nó trong vật lý. Đề tài: “Các phương trình tích phân và ứng
dụng trong vật lý ” cũng là một trong số những công cụ toán có nhiều ứng
dụng quan trọng trong vật lý. Nó giúp chúng ta giải quyết các bài toán vật lý
một cách đơn giản hơn. Vì vậy khi chọn đề tài này tôi muốn đi sâu vào nghiên
cứu, tìm hiểu các phương trình tích phân dùng trong vật lý nói chung và vật lý
lý thuyết nói riêng.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt
trong vật lý.
- Hiểu rõ bản chất của phép tính tích phân.
- Nhận dạng một số ứng dụng của phép tính tích phân trong vật lý.
- Ứng dụng của phép tính tích phân để giải một số bài toán vật lý.
- Từ các bài toán được ứng dụng trên khái quát lên thành các kinh
nghiệm nhận biết khi nào thì sử dụng phép tính tích phân để giải một số bài
toán.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: các phương trình tích phân.
- Phạm vi nghiên cứu: đề tài này ta chủ yếu nghiên cứu về các phương
trình tích phân và ứng dụng của nó trong vật lý.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Giới thiệu về các phương trình tích phân.
- Phân loại và đưa ra phương pháp giải các dạng phương trình tích phân.
- Ứng dụng của phương trình tích phân trong vật lý.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Vận dụng các kiến thức về tích phân và các phép biến đổi tích phân,
phép biến đổi vi phân để nghiên cứu ứng dụng vào vật lý.
2


6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần Mở đầu, Tài liệu tham khảo, phần Nội dung của khóa luận
bao gồm:
PHẦN I: MỞ ĐẦU
PHẦN II: NỘI DUNG
Chương 1: Các loại phương trình tích phân.
Chương 2. Ứng dụng trong Vật lý
PHẦN III: KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

3


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
1.1. Phương trình tích phân
1.1.1 Định nghĩa về phương trình tích phân
Khi nghiên cứu một hệ vật lý, chúng ta thường phải xác định các tính
chất hoặc các đại lượng để thể hiện các quy luật vận động của hệ. Mỗi một
tính chất hoặc đại lượng thường được biểu thị bằng một hàm y theo các các

biến độc lập x. Như vậy hàm y(x) là các hàm cần tìm trong các hệ vật lý. Do
các điều kiện liên kết trong các hệ vật lý hàm cần tìm y(x) thường xuất hiện
trong các dấu tích phân, phương trình chứa các hàm cần tìm như vậy gọi là
phương trình tích phân.
Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên một số phương pháp giải của
phương trình vi phân. Cần phải nhấn mạnh là không phải tất cả các phương
trình tích phân đều có thể giải một cách rõ ràng bằng phương pháp giải tích.
Hầu hết các phương trình tích phân dạng phức tạp phải cần giải bằng phương
pháp tính số để tìm nghiệm gần đúng. Các phương pháp cơ bản được nêu ra ở
đây được sử dụng cho các trường hợp đơn giản, tuy nhiên cũng có thể áp
dụng để định hướng cho việc giải các phương trình phức tạp hơn.
Các phương pháp được đưa ra ở đây bao gồm:
i) Làm thế nào để đưa phương trình vi phân thành phương trình tích
phân và nghiên cứu cách giải các dạng chung nhất của phương trình tích phân
tuyến tính.
ii) Tìm nghiệm dưới dạng chuỗi vô hạn của các phương trình tích phân
với nhân có tính Hermite xác định từ đặc tính đối xứng của hệ vật lý.
1.1.2. Các khái niệm cơ bản
- Phương trình tích phân tuyến tính
4


Phương trình tích phân tuyến tính là phương trình biểu diễn được
dưới dạng

L  y(x)  f (x)

(1.1.1)

Với L là toán tử tuyến tính theo hàm cần tìm y(x) .

Ví dụ:
b

f (x)   K (x,z) y(z)dz,
a
b

y(x)  f (x)   K (x,z) y(z)dz
a

Trong đó a  x  b, a  z  b, y(x) là hàm cần tìm, các hàm còn lại đã
biết.
- Nhân của phương trình tích phân
Phương trình tích phân tuyến tính có dạng
b

g ( x) y( x)  f ( x)    K ( x, z ) y(z)dz.

(1.1.2)

a

Trong đó cận trên của tích phân có thể là biến số hoặc cố định; hàm
f(x), K(x,z) đã biết; y ( x) là hàm cần tìm,  là giá trị thực hoặc phức hoặc
tham số khác không.
Hàm K(x,z) được gọi là nhân của phương trình tích phân.
Nhân K(x,z) được gọi là L2 – nhân nếu nhân K(x,z) thỏa mãn các điều
kiện sau:
 Với mỗi a  x  b, a  z  b, ta có

bb

 K (x,z)
aa

b

 Với mỗi a  x  b, ta có  K (x,z) dz  ,
2

a

5

2

dxdz  ,


 Với mỗi a  z  b, ta có

b

 K (x,z)

2

dz  ,

a

- Phương trình tích phân thuần nhất và không thuần nhất.
 Nếu cố định cận trên là b, g(x) = 0 thì (1.1.2) trở thành
b

f (x)    K (x,z) y(z)dz  0.

(1.1.3)

a

Phương trình (1.1.3) được gọi là phương trình tích phân tuyến tính
Fredholm loại 1.
Nếu cố định cận trên b, g(x) = 1 thì (1.1.2) trở thành
b

y(x)  f ( x)    K (x,z) y(z)dz.

(1.1.4)

a

Phương trình (1.1.4) được gọi là phương trình tích phân tuyến tính
Fredholm loại 2.
Nếu f(x) = 0 thì phương trình (1.1.4) trở thành
b

y(x)    K (x,z) y(z)dz.

(1.1.5)

a

Phương trình (1.1.5) được gọi là phương trình thuần nhất của (1.1.4)
 Nếu cận trên là biến số x, g(x) = 0 thì (1.1.2) trở thành
b

f (x)    K (x,z) y(z)dz  0.

(1.1.6)

a

Phương trình (1.1.6) được gọi là phương trình tích phân tuyến tính
Volterra loại 1.
Nếu cận trên là biến số x, g(x)=1 thì (1.1.2) trở thành
b

y(x)  f (x)    K (x,z) y(z)dz
a

6

(1.1.7)


Phương trình (1.1.7) được gọi là phương trình tích phân tuyến tính
Volterra loại 2.
Nếu f(x) = 0 thì phương trình (1.1.7) trở thành
b

y(x)    K (x,z) y(z)dz.

(1.1.8)

a

Phương trình (1.1.8) được gọi là phương trình thuần nhất của (1.1.7)
Trong tất cả các trường hợp, nếu f (x) = 0 phương trình được gọi là
thuần nhất, nếu ngược lại thì không thuần nhất ( f (x)  0 ).
- Hàm riêng và trị riêng của phương trình tích phân
Số  thỏa mãn phương trình (1.1.5) với y(x)  0 được gọi là giá trị
riêng của nhân K(x,z). Hàm y ( x) ứng với giá trị riêng của  thỏa mãn
phương trình (1.1.5) được gọi là hàm riêng ứng với trị riêng  của nhân
K(x,z).
- Nhân phân ly biến số (Nhân suy biến)
Nhân K(x,z) được gọi là nhân suy biến nếu K(x,z) là L2 – nhân và được
viết dưới dạng
n

K ( x, z )  i ( x) i ( z ).

(1.1.9)

i 1

Trong đó 1( x) , …, n ( x)

và 1( z),..., n ( z) là các hàm trong

L2  a, b .
Chú ý: Có thể giả sử các hàm i ( x), i ( z) độc lập tuyến tính trong

L2  a, b . Thật vậy, nếu các pi(x) không độc lập tuyến tính thì có một i0 (x)
nào đó là tổ hợp tuyến tính của các i ( x) khác, tức là i0 (x) 
Thay tổ hợp tuyến tính này vào K(x,z) ta có

7

n



i 1,i  i0

 ii (x).


K (x,z) 

n



i 1,i  i0

i (x) i (z) 

n



i 1,i  i0

 ii (x) i (z) 
0

n



i 1,i  i0

i (x) *i (z).

Lặp lại quá trình đó một số lần cần thiết, ta thu được một biểu thức có
dạng (1.1.9), trong đó các hàm i ( x) và  i ( z ) đều độc lập tuyến tính.
- Nhân dịch chuyển
Nếu hạch của phương trình tích phân có thể được viết theo hàm của
hiệu số x - z theo hai đối số thì được gọi là nhân dịch chuyển.
Ví dụ: y ( x)  f ( x)  



 K ( x  z ) y( z )dz,

thì K ( x  z ) là nhân dịch



chuyển.
1.1.3 Xây dựng phương trình tích phân từ phương trình vi phân
Phương trình tích phân xuất hiện trong nhiều trường hợp, bởi vì chúng
ta luôn có thể đưa phương trình vi phân về dạng phương trình tích phân bằng
các biến đổi đơn giản. Việc này có thể giúp chúng ta thuận tiện hơn trong việc
tìm nghiệm của các phương trình tích phân. Khi đó, để có nghiệm cụ thể
chúng ta chỉ cần áp dụng thêm điều kiện biên của bài toán.
Để minh họa, chúng ta chọn một trường hợp đơn giản nhất là xem xét
phương trình vi phân cấp hai:

y  x   f  x, y 

(1.1.10)

trong đó f(x, y) có thể là hàm của x và y nhưng không phải của y’(x). Do đó
phương trình (1.1.10) đại diện cho một lớp lớn của các phương trình vi phân
tuyến tính và phi tuyến tính cấp hai.
Chúng ta có thể biến đổi (1.1.10) từ phương trình tích phân tương ứng
bằng cách lấy tích phân bậc 1 đối với biến x
x

y '( x)   f ( z , y ( z ))dz  c1 .
0

8


lấy tích phân một lần nữa, chúng ta được
x

u

0

0

y ( x)   du  f ( z, y ( z ))dz  c1 x  c2 .

Đây là nghiệm cần tìm ở dạng tích phân hai lớp, để chuyển về tích phân
một lớp, chúng ta cần quan tâm tới miền lấy tích phân. Bằng việc đổi biến số
thực hiện trên miền lấy tích phân, chúng ta có thể chuyển tích phân trên về
x

u

dạng: y ( x)   f ( z, y ( z ))dz  du  c1x  c2 ,
0

(1.1.11)

0

x

  ( x  z ) f ( z, y( z ))dz  c1x  c2 .

(1.1.12)

0

Phương trình (1.1.12) vừa được đưa ra ở trên gọi là phương trình tích
phân Volterra phi tuyến tính.
Nghiệm (1.1.12) sẽ được tìm cụ thể khi chúng ta có điều kiện biên.
Thông thường các điều kiện biên được cho ở dạng đơn giản: ví dụ, xác định
giá trị của y(x) và y’(x) tại x=0, ta có điều kiện biên y(0) = a và y’(0) = b, từ
đó chúng ta xác định c1 = b và c2 = a.
1.2 Các loại phương trình tích phân
Từ (1.1.12), phương trình vi phân đơn giản như là (1.1.10) có thể dẫn
đến phương trình tích phân tương ứng là phi tuyến tính. Tuy nhiên, phương
trình tích phân tuyến tính, có dạng tổng quát:
b

g ( x) y( x)  f ( x)    K ( x, z ) y(z)dz.

(1.2.1)

a

Trong đó cận trên của tích phân có thể là biến số hoặc cố định; hàm
f(x), K(x,z) đã biết; y ( x) là hàm cần tìm,  là giá trị thực hoặc phức hoặc
tham số khác không. Hàm K(x,z) được gọi là nhân của phương trình tích
phân.
9


Trong thực tế, được biết với các trường hợp đặc biệt của (1.2.1), được
gọi bằng tên riêng. Thứ nhất, nếu g(x) = 0 thì không rõ hàm y(x), hàm y chỉ
xuất hiện dưới dấu tích phân, và (1.2.1) được gọi là phương trình tích phân
tuyến tính loại một. Ngoài ra, nếu g(x) = 1, do đó hàm y xuất hiện hai lần,
một lần bên trong tích phân và một lần bên ngoài thì (1.2.1) được gọi là

phương trình tích phân tuyến tính loại hai. Trong cả hai trường hợp, nếu f (x)
= 0 phương trình được gọi là thuần nhất, nếu ngược lại thì không thuần nhất.
Phân biệt các loại phương trình tích phân khác nhau bằng dạng của
phép lấy tích phân bởi giới hạn a và b. Nếu giới hạn này là hằng số thì
phương trình được gọi là phương trình Fredholm. Tuy nhiên, nếu các giới hạn
trên b = x (tức là nó là biến số) thì phương trình được gọi là phương trình
Volterra; phương trình như vậy là tương tự với một với giới hạn cố định
nhưng theo đó nhân K(x,z) = 0 cho z > x. Cuối cùng, lưu ý rằng bất kỳ
phương trình mà một trong hai (hoặc cả hai) của giới hạn phép lấy tích phân
là vô hạn, theo đó K(x,z) trở nên vô hạn trong khoảng biến thiên của phép lấy
tích phân, được gọi là phương trình tích phân kỳ dị.
1.3. Các nghiệm quen thuộc của phương tình tích phân
1.3.1. Phương trình tích phân có nhân phân tách
Trong trường hợp chắc chắn, nó rất đặc biệt có thể là có thể để đạt được
các nghiệm quen thuộc của phương trình tích phân. Tuy nhiên, người đọc nên
nhận ra, khi đối mặt với phương trình tích phân, nói chung nó sẽ không giải
được bằng phương pháp đơn giản giới thiệu trong phần này nhưng phải thay
vào đó được giải bằng phương pháp lặp, như những phương pháp được nêu
trong phần chuỗi Neumann.
Để giải các phương trình tích phân đơn giản nhất là phương trình
Fredholm với nhân phân ly được theo các biến số (hay suy biến). Một nhân có
thể tách ra nếu nó có dạng
10


n

K ( x, z )  i ( x) i ( z ).

(1.3.1)

i 1

Trong đó i ( x) là  i ( z ) là các hàm tương ứng duy nhất của x và z, số
số hạng trong tổng n là hữu hạn.
Chúng ta hãy xem xét nghiệm của phương trình Fredholm (không đồng
nhất) của loại thứ hai
b

y( x)  f ( x)    K ( x, z ) y( z )dz
a

(1.3.2)

Trong đó nhân được tách ở dạng (1.3.1). Viết nhân trong dạng tách của
nó, hàm i ( x) có thể được đem ra ngoài tích phân trên z để đạt được
n

b

i 1

a

y ( x)  f ( x)   i ( x)   i ( z )dz.

Từ đó phép lấy tích phân giới hạn a và b không đổi cho phương trình
Fredholm, tích phân trên z trong mỗi một số hạng của tổng chỉ là một hằng số.
Có nghĩa là hằng số này bằng:
b

ci    i ( z ) y( z )dz
a

(1.3.3)

Nghiệm của (1.3.2) được tìm thấy
n

y ( x)  f ( x)    cii ( x),

(1.3.4)

i 1

Trong đó hằng số ci có thể được tính bằng cách thay thế (1.3.4) vào
(1.3.3)

11


Ví dụ: Giải phương trình tích phân
1

y( x)  x    ( xz  z 2 ) y( z )dz.

(1.3.5)

0

Lời giải:
Nhân của phương trình này là K ( x, z )  xz  z 2 , là rõ ràng có thể tách
được, và dùng ký hiệu trong ( 1.3.1 ) chúng ta có:

1( x)  x,2 ( x)  1,1( z)  z và  2 ( z )  z 2 .
Từ (1.3.4) nghiệm của (1.3.5) có dạng
y( x)  x   (c1x  c2 )

trong đó hằng số c1 và c2 được tính bằng cách lấy từ (1.3.3) như
1
1 1
1
c1   z  z    c1z  c2  dz    c1   c2 ,
0
3 3
2
1
1 1
1
c2   z 2  z    c1z  c2  dz    c1   c2
0
4 4
3

Hai phương trình tuyến tính đồng thời này có thể được giải một cách
đơn giản cho c1 và c2 là
c1 

24  
72  48   2

c2 

và

18
72  48   2

Trong ví dụ ở trên, chúng tôi thấy (1.3.5) có nghiệm duy nhất (hữu hạn)
nếu λ thỏa mãn điều kiện để mẫu số của c1 và c2 khác không.
1.3.2. Các phép biến đổi tích phân
Nếu nhân của phương trình tích phân có thể được viết là hàm của hiệu
số x - z theo hai đối số thì được gọi là nhân dịch chuyển. Phương trình tích
phân có nhân như vậy, và mà cũng có phép lấy tích phân giới hạn - ∞ đến ∞,
có thể giải bằng việc sử dụng biến đổi Fourier.
Nếu chúng ta xét phương trình tích phân sau với phép thay thế nhân,

12


y ( x)  f ( x)  



 K ( x  z) y( z)dz,

(1.3.6)



tích phân trên z rõ ràng ở dạng phép nhân chập. Do đó, biến đổi Fourier
(1.3.6) và dùng định lý phép nhân chập, đạt được
y (k )  f (k )  2  K (k ) y (k ),

có thể là sắp xếp lại

y (k ) 

f (k )
.
1  2  K (k )

(1.3.7)

Lấy biến đổi Fourier ngược, nghiệm (1.3.6) được tính bằng cách lấy
1
y ( x) 
2



f (k )exp(ikx)
 1  2  K (k )dk.


Có thể thực hiện phép biến đổi Fourier ngược này thì nghiệm có thể
được tìm thấy rõ; cách khác nó phải được lấy dưới dạng tích phân.
Thay vào đó, nếu phương trình tích phân (1.3.6) có giới hạn phép lấy
tích phân 0 và x (phương trình Volterra) thì nghiệm của nó có thể được tìm
thấy, trong đó bằng cách tương tự, sử dụng định lý phép nhân chập cho biến

đổi Laplace. Ta thấy

y ( s) 

f ( s)
,
1   K ( s)

trong đó s là biến số phép biến đổi Laplaxơ. Thường thì ta có thể sử
dụng từ điển của biến đổi Laplace đưa ra trong bảng 1.1 để đảo ngược
phương trình này và tìm ra nghiệm y(x). Tuy nhiên nói chung đánh giá về
phép biến đổi tích phân Laplaxơ ngược là khó khăn, vì (theo nguyên tắc) nó
đòi hỏi phép lấy tích phân chu tuyến.

13


f(t)

f ( s)

s0

c

c s

0

ct n

cn! s n 1

0

sin bt

b (s 2  b2 )

0

cosbt

s (s 2  b2 )

0

e at

1 ( s  a)

a

t neat

n! ( s  a ) n 1

a

sinh at

a (s 2  a 2 )

a

cosh at

s (s2  a2 )

a

eat sin bt

b ( s  a)2  b 2 

a

eat cos bt

( s  a) ( s  a) 2  b 2 

a

t1 2

1
( s3 )1 2
2

0

t 1 2

( s )1 2

0

 (t  t0 )

e st0

0

1
H (t  t0 )   nếu
0

t  t0
t  t0

e st0

s

0

Bảng 1.1: Phép biến đổi Laplace tiêu chuẩn. Các phép biến đổi có giá trị
(các phép biến đổi đang được công nhận) [3]

14

Một số ví dụ của việc sử dụng biến đổi Fourier trong giải phương trình
tích phân, nói đến phương trình có giới hạn phép lấy tích phân - ∞ đến ∞ và
dạng của nhân:
K ( x, z )  exp(ixz ).

Chẳng hạn ta xem xét phương trình Fredholm không đồng nhất


y( x)  f ( x)    exp(ixz) y( z)dz.


(1.3.8)

Các tích phân trên z rõ ràng là chỉ (bội số) biến đổi Fourier của y(z), vì
vậy ta có thể viết
y ( x)  f ( x)  2  y ( x).

(1.3.9)

Nếu chúng ta bây giờ lấy biến đổi Fourier của (1.3.9) nhưng tiếp tục
biểu thị biến độc lập bởi x, ta được
y ( x)  f ( x)  2  y ( x).

(1.3.10)

Thế (1.3.10) vào (1.3.9) ta được
y ( x)  f ( x)  2   f ( x)  2  ( x) 

nhưng khi thay x → -x và thay lại cho y (-x), ta có

y ( x)  f ( x)  2  f ( x)  2 2  f (  x)  2  f ( x)  2 2 y ( x)  .
Do đó nghiệm của (1.3.8) được tính bằng cách lấy
y ( x) 

1
 f ( x)  (2 )1 2  f ( x)  2 2 f ( x)  (2 )3 2  3 f (  x)  . (1.3.11)
2 4

1  (2 ) 

Rõ ràng, (1.3.8) có nghiệm duy nhất cung cấp   1 / 2 hoặc

i / 2 ;điều này dễ dàng chứng tỏ để được giá trị riêng của phương trình
thuần nhất tương ứng (theo đó f (x) ≡ 0).
Gần đúng tương tự với ở trên có thể là lấy để giải phương trình với
nhân có dạng K(x,y) = cos(x, y) hoặc sinxy, hoặc bằng cách xét tích phân trên
y trong mỗi một trường hợp như phần thực hay là phần ảo của biến đổi
15


Fourier tương ứng hay là bằng cách sử dụng Fourier cosin hay sin là biến đổi
trực tiếp.
1.3.3. Các phép biến đổi vi phân
Các nghiệm quen thuộc đến phương trình Volterra đôi khi được đạt
được bằng lấy vi phân phương trình để đạt được phương trình vi phân tương
ứng, có thể là dễ giải hơn.
Ví dụ: Giải phương trình tích phân
x

y( x)  x   xz 2 y( z )dz.

(1.3.12)

0

Lời giải:
Chia cho x ta được
x
y ( x)
 1   z 2 y ( z )dz ,
0
x

có thể lấy vi phân theo x để cho

d  y ( x) 
2
3  y ( x) 


x
y
(
x
)


x

 x 
dx  x 
Phương trình này có thể là được lấy trực tiếp tích phân, và ta tìm
4

x
 y ( x) 
ln 


c
4
 x 
trong đó c là một hằng số của tích phân. Do đó nghiệm của (1.3.12) có dạng
 x4 
y ( x)  Ax exp   
 4 

(1.3.13)

trong đó A là hằng số tuỳ ý.
Từ đó phương trình tích phân (1.3.12) không chứa hằng số tuỳ ý.
Chúng ta có thể tính toán giá trị của hằng số, bằng cách thế nghiệm (1.3.13)
vào (1.3.12), từ đó ta thấy A = 1.

16


1.4. Chuỗi Neumann
Phương trình tích phân cấp 1 gặp trong thực tế, nói chung, không thể

tìm được các nghiệm quen thuộc. Trong trường hợp như vậy, chúng ta có thể
có được nghiệm dưới dạng chuỗi vô hạn, như khi ta làm với phương trình vi
phân.
Chúng ta xét phương trình
b

y( x)  f ( x)    K ( x, z ) y( z )dz,

(1.4.1)

a

trong đó cả hai giới hạn trong phép lấy tích phân không đổi ( cho
phương trình Fredholm ) hay giới hạn trên là biến số ( cho phương trình
Volterra ). Rõ ràng, nếu λ nhỏ thì nghiệm gần đúng sẽ là
y(x) ≈ y0(x) = f(x),
trong đó y0(x) là viết tắt của ‘cấp 0’ các nghiệm gần đúng (và không
được nhầm lẫn với hàm riêng ).
Thay thế nghiệm gần đúng này dưới dấu tích phân trong phương trình
ban đầu, ta có phép gần đúng:
b

b

a

a

y1( x)  f ( x)    K ( x, z ) y0 ( z)dz  f ( x)    K ( x, z) f ( z)dz
Là số hạng đầu tiên trong λ. Lặp lại một lần nữa dẫn đến phép gần đúng

cấp hai
b

y2 ( x)  f ( x)    K ( x, z ) y1zdz
a

b

b

b

a

a

a

 f ( x)    K ( x, z1) f ( z1)dz1   2  dz1  K ( x, z1) K (z1, z2 ) f ( z2 )dz2.
Rõ ràng là ta có thể tiếp tục quá trình này để đạt được phép xấp xỉ cấp
cao hơn dần đến nghiệm chính xác. Đưa vào hàm

17


K1 ( x, z )  K ( x, z )
b

K 2 ( x, z )   K ( x, z1) K (z1, z )dz1,
a

b

b

a

a

K3 ( x, z )   dz1  K ( x, z1) K (z1, z2 ) K(z 2 , z )dz2 ,
tuân theo quan hệ phép truy toán
b

Kn ( x, z )   K ( x, z1) Kn1( z1, z )dz1,
a

chúng ta có thể viết nghiệm gần đúng thứ n như sau:
n

b

m 1

a

yn ( x)  f ( x)    m  K m ( x, z ) f ( z )dz.

(1.4.2)

Nghiệm chính xác của phương trình tích phân ban đầu có thể được tính
yn (n) với điều kiện là chuỗi vô hạn hội tụ. Dùng (1.4.2),

theo: y (x)  lim
n 

nghiệm này có thể là được viết là
b

y( x)  f ( x)    R( x, z;  ) f ( z)dz,
a

(1.4.3)

trong đó tìm R(x, z ; λ) được tính bằng cách lấy
R ( x, z ;  ) 



  m K m1( x, z ).

(1.4.4)

m 0

Từ biểu thức nhân của nghiệm, ta thấy nhân của nghiệm sẽ hội tụ khi λ
đủ nhỏ. Thực tế, chuỗi của nhân nghiệm sẽ hội tụ trong miền nào đó của |λ|
nếu trong miền K( x, z ) bị chặn. Điều kiện đó tương ứng là:



2 b

a

b

dx  K ( x, z ) dz  1.
2

a

(1.3.5)

Ví dụ: Dùng phương pháp chuỗi Neumann để giải phương trình tích phân
1

y( x)  x    xzy( z )dz.

(1.4.6)

0

Lời giải:

18


Bằng phương pháp nêu trên, chúng tôi bắt đầu bằng phép lấy gần đúng

y( x)  y0 ( x)  x. Thế dưới dấu tích phân dấu trong (1.3.6), chúng thu được
phép gần đúng tiếp theo
1

1

x

0

0

3

y1 ( x)  x    xzy0 (z)dz  x    xz 2dz  x 

,

Lặp lại một lần nữa, ta có
1

y2 ( x)  x    xzy1( z)dz
0

  2 
 z 
 x    xz  z 
 x.
dz  x   
0
3 
3
9




1

Cho ví dụ đơn giản này, thật dễ dàng thấy là bằng cách tiếp tục quá
trình này nghiệm (đáp án) cho (1.4.6) thu được là

    2   3

y( x)  x          ... x.
 3  3   3 

Rõ ràng biểu thức trong dấu ngoặc là cấp số nhân vô hạn với số hạng
thứ nhất λ/3 và tỷ số chung λ/3. Vì vậy, với điều kiện là |λ| < 3, chuỗi vô hạn
này hội tụ đến giá trị λ/( 3 - λ ), và nghiệm của (1.4.6) là
y ( x)  x 

x
3x

.
3 3

(1.4.7)

Cuối cùng, lưu ý là điều kiện |λ| < 3 cũng có thể được suy ra rất dễ dàng
từ điều kiện (1.4.5).
1.5. Lý thuyết Fredholm
Chúng tôi nhận thấy rằng nghiệm của phương trình tích phân (1.4.1) có

thể đạt được như chuỗi Neumann của dạng (1.4.3), trong đó nhân của nghiệm
R(x, z ; λ) được viết như chuỗi luỹ thừa vô hạn trong λ. Nghiệm này là có giá
trị cung cấp chuỗi vô hạn hội tụ.

19