Một số phương trình tích phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGÔ THỊ NGA

MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGÔ THỊ NGA

MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Phạm Thị Thái

SƠN LA, NĂM 2015


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình hoàn thành đề tài, em đã nhận được sự hướng dẫn tận tình của cô
giáo Thạc sĩ Phạm Thị Thái cùng các thầy cô giáo giảng dạy bộ môn Giải tích.
Nhân đây em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo, đặc biệt là cô

giáo Phạm Thị Thái.
Đây là lần đầu tiên em được làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên
không tránh khỏi những thiếu sót.
Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh
viên để đề tài đầy đủ và hoàn thiện hơn.
Cuối cùng em xin kính chúc các thầy cô giáo sức khỏe, công tác tốt, chúc các bạn
sinh viên mạnh khỏe, thành công trong học tập.
Sơn La, tháng 05 năm 2015
Người thực hiện
Ngô Thị Nga


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài .................................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................... 1
3. Đối tượng nghiên cứu ............................................................................................. 1
4. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................ 1
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn................................................................................ 2
6. Cấu trúc của khóa luận ........................................................................................... 2
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................ 3
1.1. Không gian metric ............................................................................................... 3
1.1.1. Định nghĩa.: ...................................................................................................... 3
1.1.2. Dãy trong không gian metric............................................................................ 3
1.1.3. Định nghĩa.. ...................................................................................................... 3
1.2. Không gian định chuẩn ....................................................................................... 3
1.2.1. Định nghĩa. ....................................................................................................... 3
1.2.2. Tính chất ........................................................................................................... 4
1.3. Không gian Hilbert .............................................................................................. 4
1.3.1. Định nghĩa. ....................................................................................................... 4

1.3.2. Bất đẳng thức Schwarz, chuẩn trên không gian tiền Hilbert ........................... 4
1.3.3. Đẳng thức hình bình hành ................................................................................ 5
1.3.4. Định nghĩa.. ...................................................................................................... 5
1.3.5. Hệ thống trực giao và trực chuẩn ..................................................................... 5
1.3.6. Một số định lý .................................................................................................. 6
1.3.7. Cơ sở trực chuẩn .............................................................................................. 6
1.3.8. Toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert...................................................... 7
1.3.9. Toán tử tích phân.............................................................................................. 7


1.4. Phương trình vi phân ........................................................................................... 9
1.4.1. Phương trình vi phân cấp một .......................................................................... 9
1.4.2. Phương trình vi phân cấp n .............................................................................. 9
1.4.3. Định lý tồn tại duy nhất nghiệm ..................................................................... 10
CHƢƠNG 2. MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG .... 11
2.1. Một số định nghĩa .............................................................................................. 11
2.2. Một số bài toán dẫn tới phương trình tích phân ................................................ 13
2.2.1. Bài toán “Cân bằng của thanh có tải trọng” ................................................... 13
2.2.2. Bài toán “ Dao động tự do và cưỡng bức của thanh ” ................................... 14
2.3. Đưa phương trình vi phân về phương trình tích phân....................................... 15
2.4. Phương trình tích phân với hạch đối xứng ........................................................ 16
2.4.1. Định nghĩa. Phương trình Fredholm loại 2 .................................................... 16
2.4.2. Xét sự tồn tại nghiệm ..................................................................................... 16
2.5. Phương trình tích phân với hạch thoái hóa ....................................................... 18
2.5.1. Định nghĩa. ..................................................................................................... 18
2.5.2. Xét sự tồn tại nghiệm ..................................................................................... 18
2.5.3. Định lý Fredholm ........................................................................................... 23
2.6. Phương trình tích phân với hạch không đối xứng ............................................. 23
2.6.1. Định nghĩa. Phương trình tích phân Fredholm loại 2 .................................... 23
2.6.2. Xét sự tồn tại nghiệm ..................................................................................... 24

2.6.3. Định lý Fredholm ........................................................................................... 24
2.7. Phương trình Volterra ....................................................................................... 24
2.7.1. Giải phương trình Volterra bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp picar ............ 24
2.7.2. Giải phương trình Volterra bằng phương pháp toán tử ................................. 34
2.8. Một số cách giải phương trình tích phân tuyến tính ......................................... 39
2.8.1. Phương pháp đại số hóa ................................................................................. 39
2.8.2. Phương pháp xấp xỉ ........................................................................................ 44


2.8.3. Phương pháp lặp liên tiếp ............................................................................... 46
2.9. Ứng dụng phương trình tích phân Volterra vào giải phương trình vi phân ...... 53
2.9.1. Phương trình tích phân Volterra..................................................................... 53
2.9.2. Giải phương trình vi phân cấp một ................................................................ 55
2.9.3. Giải phương trình vi phân cấp hai .................................................................. 56
KẾT LUẬN ............................................................................................................. 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành Toán học được xây dựng vào khoảng đầu thế kỉ XX và
đến nay hầu như đã được xem như một ngành toán học cổ điển. Trong quá trình phát
triển, Giải tích hàm đã tích lũy được một nội dung hết sức phong phú. Những phương
pháp và kết quả mẫu mực, tổng quát của Giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành
toán học có liên quan và sử dụng đến các công cụ Giải tích và không gian vectơ. Chính
điều đó đã mở rộng phạm vi nghiên cứu lớn cho ngành Toán học.
Phương trình tích phân trên không gian Hilbert là một mảng trong Giải tích hàm
được xây dựng từ các bài toán thực tế trong Vật lý, Hóa học và nhiều khoa học ứng dụng
khác. Cụ thể như trong nghiên cứu tính đàn hồi, tính dẻo, nhiệt và sự thay đổi khối lượng
của vật, lý thuyết dao động, lý thuyết xếp bảng, kỹ thuật điện, kinh tế, y học,…

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về phương trình tích phân,
ứng dụng của phương trình tích phân và bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa
học, em đã chọn đề tài “Một số phương trình tích phân và ứng dụng”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về Giải tích
hàm đặc biệt về phương trình tích phân trên không gian Hilbert, ứng dụng của nó vào giải
một số phương trình vi phân.
Trên cơ sở đó hệ thống lại những kiến thức cần thiết về toán tử trên không gian
Hilbert, từ đó trình bày cách giải một số phương trình tích phân và một số ứng dụng của
nó vào giải phương trình vi phân.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Nghiên cứu về không gian Hilbert làm cơ sở cho việc nghiên cứu đối với phương
trình tích phân trên không gian Hilbert, cụ thể là phương trình tích phân tuyến tính. Sau
đó nghiên cứu về ứng dụng của nó vào việc giải phương trình vi phân.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu liên quan tới nội dung của khóa luận. Vận dụng
các kiến thức cơ sở để hiểu về đối tượng chính cần nghiên cứu, từ đó phân tích, tổng hợp

1


rồi rút ra kết luận.
Trao đổi với giáo viên hướng dẫn.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận là tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên ĐHSP Toán về việc tìm hiểu
sâu hơn về phương trình tích phân nhờ kiến thức cơ sở về Giải tích hàm và ứng dụng của
nó vào tìm nghiệm của một số phương trình vi phân.
6. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài lời nói đầu, mục lục, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung khóa luận gồm hai
chương:

Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này hệ thống lại các kiến thức về: Không gian metric, không gian định
chuẩn. Trên cở sở đó nghiên cứu về không gian Hilbert.
Chƣơng 2. Một số trình tích phân và ứng dụng vào giải phƣơng trình vi phân
Trong chương này trình bày định nghĩa và cách giải các phương trình tích phân:
Fredholm loại 1, Fredholm loại 2, Volterra loại 1, Volterra loại 2 và tập trung nhiều vào
phương trình Fredholm loại 2 bởi ý nghĩa của nó. Sau đó trình bày ứng dụng của phương
tích phân để giải các phương trình vi phân cấp một, cấp hai.

2


CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Không gian metric
1.1.1. Định nghĩa. Cho tập X  . Một metric trên X là hàm d : X 



 0,   thỏa

mãn các tính chất sau:

i) d  x, y   0, x, y  X và d  x, y   0  x  y.
ii) d  x, y   d  y, x  , x, y  X .
3i) d  x,z   d  x, y,   d  y, z  , x, y, z  X .
Khi đó  X , d  được gọi là không gian metric.
1.1.2. Dãy trong không gian metric
Cho X là không gian metric. Dãy  xn   X được gọi là hội tụ về x nếu với mỗi số   0,

tồn tại số nguyên dương n0 sao cho n  n0  d  xn , x    và ký hiệu lim xn  x.
n

Dãy  xn   X được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu với mỗi số   0, tồn tại số
nguyên dương n0 sao cho n, m  n0  d  xn , xm   .
Nhận xét. Dãy Cauchy trong không gian metric luôn hội tụ.
1.1.3. Định nghĩa. Không gian metric được gọi là đầy đủ nếu với mọi dãy Cauchy trong
nó đều hội tụ về phần tử thuộc nó.
1.2. Không gian định chuẩn
1.2.1. Định nghĩa. Cho X là một không gian vectơ trên trường K (thực hoặc phức),
hàm thực . : X 



thỏa mãn ba tính chất:

i ) x  0, x  X , x  0  x  0
ii )  x   x , x  X ,   K
iii ) x  y  x  y , x, y  X .





được gọi là một chuẩn trên X cặp X , . được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn
và thường gọi là không gian định chuẩn.

3

1.2.2. Tính chất



+) d  x, y   x  y , x, y  X , .

 là một metric trên X.

+) Trong một không gian tuyến tính định chuẩn X.
i) Phép cộng và phép nhân vô hướng là một ánh xạ liên tục.
ii) Chuẩn . là một hàm số liên tục trên X.
1.3. Không gian Hilbert
1.3.1. Định nghĩa. Cho E là một không gian vectơ trên trường K , hàm

g : EE 

thỏa mãn:

i ) g  x, y   g  y,x ,x, y  E.
ii ) g  x  y,z   g  x,z   g  y,z  ,x, y,z  E.
iii ) g  x, y   g  x, y  ,x, y  E,  K .
iiii ) g  x,x   0,x  E,g  x,x   0  x  0  E.
Khi đó g được gọi là một tích vô hướng trên E và kí hiệu là .,. , E cùng với một tích vô
hướng trên E được gọi là không gian tích vô hướng hay không gian tiền Hilbert và kí hiệu
là  E , .,.  .
1.3.2. Bất đẳng thức Schwarz, chuẩn trên không gian tiền Hilbert
Kí hiệu x 

x, x , với mọi x  E thì ta có

x, y  x y , x, y  E.

(1.1)

Bất đẳng thức trên được gọi là bất đẳng thức Schwarz.
Nếu  E , .,.

 là không gian tiền Hilbert thì E là không gian định chuẩn với chuẩn
x 

x, x , x  E.

(1.2)

Thật vậy

i) x , x, x  0  x 
và x  0 

x, x  0

x, x  0  x, x  0  x  0  E.

ii) Với   K , x  E ta có

4


x 

 x,  x   . x, x  
2

x, x   . x .

iii) x, y  E , ta có
x  y  x  y , x  y  x, x  x, y  y , x  y , y
2

 x  2 Re x, y  y .
2

Vì

x, y 

 Re

x, y

2

   Im
2

x, y



2

 Re x, y

nên

x  y  x  2 x, y  y .
2

2

2

Mặt khác theo bất đẳng thức Schwarz ta có x, y  x . y , do đó

x y  x 2 x y  y  x  y
2

2

2



2

Suy ra

x y  x  y .
Nhận xét. Mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn và chuẩn xác định
như trên gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng được xác định theo (1.2).

1.3.3. Đẳng thức hình bình hành



2 x  y
2

2

 x y

2

 x  y , x, y  E.
2

(1.3)

1.3.4. Định nghĩa. Không gian tiền Hilbert cùng với chuẩn xác định trên nó là không
gian đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.
1.3.5. Hệ thống trực giao và trực chuẩn
Trong không gian Hilbert, nhờ tích vô hướng, ta có thể định nghĩa trực giao giống như
trong không gian

3

thông thường.

Ta nói hai vectơ x, y của không gian Hilbert H trực giao với nhau và kí hiệu x  y nếu

x, y  0.
Hệ thống trực giao
Một họ S các vectơ khác 0 của không gian Hilbert H được gọi là một hệ thống trực
giao nếu x  y, x, y  S , x  y.

5


Hệ thống trực chuẩn
Hệ thống trực giao S thỏa mãn điều kiện x  1 với x  S thì S được gọi là một
hệ thống trực chuẩn của H .
Nhận xét. Mọi hệ trực giao đều độc lập tuyến tính.
Hệ trực chuẩn đầy đủ
Một hệ trực chuẩn en n trong không gian tích vô hướng E gọi là đầy đủ khi chỉ duy


nhất vectơ 0 trực giao với tất cả các phần tử của hệ nghĩa là x  en

 n  1, 2,... kéo theo



x  0.
1.3.6. Một số định lý
Định lý 1.1. Giả sử en n là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H và giả sử

 n n là một dãy các phần tử trong trường K. Khi đó chuỗi


chuỗi

  n   và trong trường hợp này
2

n 1





n 1

n 1



 e
n 1

n n

hội tụ khi và chỉ khi

 nen    n .
2

Định lý 1.2. Hệ trực chuẩn en n trong không gian Hilbert là đầy đủ khi và chỉ khi


x  H : x   x, en en .

n 1

Định lý 1.3. Mọi hệ trực chuẩn en n trong không gian Hilbert H là hệ trực chuẩn đầy đủ


khi và chỉ khi x   x, en
2

2

, x  H .

n 1

1.3.7. Cơ sở trực chuẩn
Hệ trực chuẩn B trong không gian tiền Hilbert E được gọi là một cơ sở trực chuẩn


của E nếu x  E có biểu diễn duy nhất x   n xn , trong đó  n  E, xn là các phần tử
n 1

đôi một phân biệt trong B.
Nhận xét. Mỗi dãy trực chuẩn đầy đủ là một cơ sở trực chuẩn.

6


1.3.8. Toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert
Giả sử H1 , H 2 là hai không gian Hilbert trên cùng trường K . Ánh xạ

A : H1  H 2
là một toán tử tuyến tính liên tục, khi đó mọi kết quả của toán tử tuyến tính liên tục của
không gian Banach đều được áp dụng ở đây.
Toán tử tự liên hợp
Nếu A là một toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert H vào chính nó thì

Ax, y , x, y  H là một phiếm hàm song tuyến tính liên tục nên có một toán tử tuyến
tính duy nhất A* để cho

Ax, y  x, A* y , x, y  H .
Toán tử A* gọi là toán tử liên hợp của toán tử A.
Vì A* bằng chuẩn của phiếm hàm Ax, y mà chuẩn của phiếm hàm này lại bằng A
nên A  A* .
Ví dụ. Toán tử đồng nhất trên không gian Hilbert H là một toán tử tự liên hợp.
Tính chất. Ta có thể dễ dàng chứng minh các tính chất sau:

i )  A*   A
*

ii )  A  B   A*  B*
*

iii )  AB   B* A*
*

Toán tử đối xứng
Định nghĩa. Toán tử liên tục A từ không gian Hilbert H vào chính nó gọi là đối xứng
nếu toán tử liên hợp của nó là chính nó.
1.3.9. Toán tử tích phân
Cho một hàm hai biến K :  a, b   a, b 

là một hàm giá trị phức với lũy thừa bậc

hai của môđun khả tích trên hình vuông  a, b   a, b , tức là
b b



K  t , s  dtds  
2

(1.4)

a a

7


Không gian L2a ,b các hàm số xác định và đo được trên  a, b và có bình phương môđun
khả tích trên  a, b là không gian Hilbert với tích vô hướng được xác định
b

x, y   x  t  y  t dt , x, y  L2a ,b .
a

Xét toán tử A : L2a ,b  L2a ,b cho bởi
b

A  t    K  t , s   s  ds, t   a, b .

(1.5)

a

Toán tử này được gọi là toán tử tích phân, K  t , s  được gọi là nhân hay hạch của toán tử
này. Ta nói hạch K  t , s  là đối xứng nếu K  t , s   K  s, t .
Trước hết ta có thể thấy rằng đó là một toán tử tuyến tính liên tục trong L2a ,b . Thật vậy,
cho   t   L2a ,b do có (1.2) nên theo định lý Fubini hàm K  t , s  khả tích theo s, với hầu
2

hết mọi t nghĩa là K  t , s  xét như một hàm của s thuộc L2a ,b . Do đó tích phân (1.5) tồn
tại với hầu hết mọi x . Cũng theo định lý Fubini, hàm
b

k 2  t    K  t , s  ds
2

a

khả tích theo t và tích phân của k  t 
2

b b

N 2    K  t , s  dtds  .
2

a a

Theo bất đẳng thức Schwarz - Bunhiakowski

b

b

A  t    K  t , s    s  ds   K  t , s    s  ds
a

a

1
2


 

2
2
   K  t , s  ds      s  ds 
a
 a

b

b

  A  t  dt  
a

2

b

b

2

 k t 

2

1
2

dt   2 N 2  .

a

8

1.6 


Vậy A  t   L2a ,b , nghĩa là A là một toán tử trong L2a ,b và do tích phân là tuyến tính đối
với các hàm nên A là tuyến tính và do có (1.6) nên ta có được
1

b
2
2
A    A  t  dt    N .

a

A là toán tử tuyến tính bị chặn (hay A liên tục) và
1

b b
2
2
A  N     K  t , s  dtds  .
a a

Định lý 1.4. Toán tử tích phân là một toán tử hoàn toàn liên tục trong L2a ,b .
Định lý 1.5. Toán tử tích phân sinh bởi hạch đối xứng là một toán tử đối xứng.
1.4. Phƣơng trình vi phân
1.4.1. Phƣơng trình vi phân cấp một
Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát

F  x, y, y '  0

(1.7)

trong đó hàm F xác định trong miền D 

3

.

Nếu trong miền D, từ phương trình (1.7) ta có thể giải được y '

y '  f  x, y 

(1.8)

thì ta được phương trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm.
Nghiệm. Hàm y    x  xác định và khả vi trên khoảng (a,b) được gọi là nghiệm của
phương trình (1.7) nếu:
i)  x,  x   ,  x    D với mọi x   a, b  .
ii) F  x,  x   ,  x    0 trên  a, b  .
1.4.2. Phƣơng trình vi phân cấp n
Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát



F x, y, y ',..., y

n

  0,

(1.9)

9


trong đó hàm F xác định trong một miền G 
cần tìm, y ', y '',..., y 

n

n 2

, x là biến số độc lập, y  y  x  là hàm

tương ứng là đạo hàm cấp một, cấp hai, …, cấp n của hàm cần tìm.

Trong phương trình (1.9) có thể vắng mặt x, y, y ',..., y

n 1

nhưng y  nhất thiết phải có mặt.
n

Nếu từ (1.9) ta giải ra được đạo hàm cấp cao nhất, tức là phương trình (1.9) có dạng



y   f x, y ',..., y 
n

n 1



(1.10)

thì ta được phương trình vi phân cấp n đã giải ra đối với đạo hàm cấp cao nhất, ở đây f là
hàm xác định trên miềm E 

n 1

.

Nghiệm của phương trình (1.9) cũng như (1.10) là hàm y  y( x) khả vi n lần trên
khoảng (a, b) 

thỏa mãn các phương trình đó với mọi x thuộc khoảng (a,b).

Đường cong y  y( x), x  (a, b) gọi là đường cong tích phân của phương trình đã
cho. Để giải phương trình vi phân ta cũng dùng thuật ngữ “Tích phân phương trình vi
phân” vì lý do này.
Bài toán Cauchy
Bài toán tìm nghiệm y  y( x) của phương trình (1.9) hay (1.10) xác định trên
khoảng (a,b) nào đó thỏa mãn điều kiện:

y0  y( x0 ), y0'  y ' ( x0 ),..., y0( n1)  y ( n1) ( x0 )

(1.11)

được gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện (1.11) được gọi là điều kiện ban đầu.
1.4.3. Định lý tồn tại duy nhất nghiệm
Giả sử trong miền E 

n 1

hàm f  u1 , u2 ,..., un  liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipsit

theo u1 , u2 ,..., un . Khi đó với bất kì điểm trong

 x , y , y ,..., y    E tồn tại duy nhất
0

0

,
0

n 1
0

nghiệm y  y  x  của phương trình (1.10) thỏa mãn điều kiện ban đầu

y  x0   y0 , y'  x0   y ',...,y 

n 1

 x0   y0 n1 .

Nghiệm này xác định tại lân cận, nói chung, khá bé của điểm x0 .

10


CHƢƠNG 2
MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
2.1. Một số định nghĩa
Định nghĩa 2.1. Phương trình tích phân là phương trình mà ẩn hàm chưa biết nằm trong
dấu tích phân.
Định nghĩa 2.2. Phương trình tích phân có dạng
a

  K  x, s   s  ds  f  x  ,  là tham số
b

được gọi là phương trình Fredholm loại 1 với   s  , s   a, b là hàm chưa biết, f  x  ,

K  x, s  , x, s   a, b là các hàm cho trước, hàm K  x, s  gọi là nhân của phương trình.
Phương trình mà f  x   0 được gọi là phương trình thuần nhất.


Ví dụ. x   cos  x  s   s  ds với x, s  0,  .
0

Định nghĩa 2.3. Phương trình tích phân có dạng
b

  x   f  x     K  x, s   s  ds,  là tham số
a

được gọi là phương trình Fredholm loại 2, trong đó   x  là hàm chưa biết, f  x  và

K  x, s  là những hàm cho trước.


Ví dụ.   x   1   cos  x  s   s  ds.
0

Định nghĩa 2.4. Phương trình tích phân có dạng
x

  K  x, s   s  ds  f  x  ,  là tham số

a

được gọi là phương trình Volterra loại 1, trong đó   s  là hàm chưa biết, K  x, s  , f  x 
là các hàm cho trước.
Phương trình mà f  x   0 được gọi là phương trình thuần nhất.

11


x

Ví dụ. x 2    s  x   s  ds.
0

Định nghĩa 2.5. Phương trình tích phân có dạng
x

  x     K  x, s   s  ds  f  x  ,  là tham số,
a

được gọi là phương trình Volterra loại 2, trong đó   x  là hàm chưa biết, K  x, s  ,

f  x  là các hàm cho trước.
Phương trình mà f  x   0 được gọi là phương trình thuần nhất.
x

Ví dụ.   x   x    s  x   s  ds.
0

Nhận xét.

Các phương trình tích phân nói trên còn được gọi là các phương trình tích phân tuyến
tính là bởi tính chất tuyến tính của nó, hàm  chưa biết chứa trong đó là tuyến tính.
Một loạt các bài toán đưa đến phải xét các phương trình tích phân phi tuyến, chẳng
hạn phương trình tích phân dạng
b

  x     K  x, s g   s  , s  ds  f  x  ,
a

hay
b

  x     K  x, s g   s  , s  ds,
a

trong đó f , K , g là những hàm đã biết. Tuy vậy chúng ta chỉ giới hạn trong việc xét các
phương trình tích phân tuyến tính.
Các phương trình Volterra loại 1, loại 2 có thể xem là trường hợp đặc biệt của
phương trình Fredholm loại 1, loại 2 tương ứng. Khi các phương trình sau này ta cho
thêm điều kiện K  x, s   0, s  x, ta thu được phương trình Fredholm chính là phương
trình Volterra. Tuy nhiên ta tách các phương trình Volterra thành lớp riêng biệt bởi chúng
có một số tính chất khác biệt mà các phương trình Fredholm tùy ý không có được.

12


Lý thuyết các phương trình Fredholm loại 1 phức tạp hơn các phương trình
Fredholm loại 2 mà lại không có nhiều ý nghĩa vì vậy ta chủ yếu xét các phương trình
Fredholm loại 2.
2.2. Một số bài toán dẫn tới phƣơng trình tích phân

2.2.1. Bài toán “Cân bằng của thanh có tải trọng”
Xét bài toán: Cho thanh vật chất đàn hồi có độ dài l , có thể uốn tự do nhưng chống
lại sự dãn. Giả sử các đầu mút của thanh được gắn chặt tại vị trí cân bằng x  0, x  l . Khi
đó ở vị trí cân bằng của thanh trùng với đoạn thẳng Ol của trục Ox .



●
0

l

●

●

x

Giả sử tại vị trí x    0    l  ta đặt một lực thẳng đứng p  p . Dưới tác dụng của
lực p thanh bị lệch khỏi vị trí cân bằng và có dạng như hình vẽ:
●
0


1

●

l

x
u ( x)



2

●

x

p
Bây giờ yêu cầu là hãy tìm độ lệch  tại điểm  của thanh dưới tác dụng của lực p .
Gọi sức căng của thanh là T0 . Nếu lực p nhỏ hơn lực căng dây 0 của thanh không tải
(tức thanh ở vị trí cân bằng) thì hình chiếu của lực căng của thanh có tải có thể coi bằng

0 như trước, khi đó từ điều kiện cân bằng của thanh ta có
p   tan 1  tan  2 0 .
Góc 1 , 2 rất nhỏ nên có thể coi tan 1  sin 1 , tan  2  sin  2

 p   sin 1  sin  2 0 , sin 1 



, sin  2 
.

l 

Do đó

p  0

 l    p .


 0
 


l 
0l
13


Bây giờ ta kí hiệu u  x  là độ lệch của thanh vật chất tại điểm x nào đó dưới tác dụng của
lực p , khi đó

u  x   p G  x,  ,
trong đó dựa vào hệ thức Talet xác định được

 x l   
, 0  x  

 Tol
G  x,    
  l  x      x  l.
 Tol

Ở đây rõ ràng G  x,   G  , x  .

Bây giờ giả sử rằng trên thanh tác dụng một lực phân bố liên tục dọc trên nó với mật độ

p   , nếu lực đó nhỏ thì sự biến dạng phụ thuộc tuyến tính vào lực và thanh có tải trọng
được mô tả bởi hàm
l

u  x    G  x,  p   d

(2.1)

0

Như vậy nếu cho tải trọng lên thanh (tức là biết p  s  ) thì theo trên ta tìm được dạng

u  x  của thanh có tải trọng.
Ngược lại xét bài toán: Tìm cách phân bố tải trọng p   khi thanh có dạng u  x  đã cho.
Với hàm cần tìm p   , ta thu được phương trình Fredholm loại 2
l

u  x    G  x,  p   d  0,
0

x

dạng

f  x    K  x, s   s  ds  0.
a

2.2.2. Bài toán “ Dao động tự do và cƣỡng bức của thanh ”

Giả sử thanh dao động mà không ở trạng thái tĩnh như ở bài toán 2.2.1, u  x, t  là vị
trí của thanh tại thời điểm t ở vị trí x,  là mật độ (tuyến tính) của thanh. Tại mỗi yếu tố
độ dài dx thanh có tác dụng một lực quán tính là

14




 2 u  x, t 
 dx.
t 2

Lực p  s  tại s là

 2u  s , t 
ps  
.
t 2
Theo (2.1) ta được

 2 u  x, t 
u  x, t      G  x , s 
ds.
t 2
0
l

Nếu thanh dao động điều hòa với tần số  và biên độ u  x  , ta được

u  x, t   u  x  sin t
Thay vào trên ta được

u  x   

l

2

 G  x, s u  s  ds.

(2.2)

0

Nếu thanh chịu một dao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực thì dễ dàng ta thu
được

u  x   

l

2

 G  x, s u  s  ds  f  x .

(2.3)

0

Đây là các phương trình Fredholm loại 2, (2.2) là phương trình thuần nhất, (2.3) là
phương trình không thuần nhất.
2.3. Đƣa phƣơng trình vi phân về phƣơng trình tích phân.
Một loạt các trường hợp giải các phương trình vi phân đưa về việc giải phương trình tích
phân.
Chúng ta biết rằng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
cấp một

y '  f  x, y 
thỏa mãn điều kiện đầu y  x0   y0 , ta đưa phương trình vi phân về phương trình tích
phân (phi tuyến)

15


x

y  y0   f  t , y dt.
x0

Về việc đưa về phương trình tích phân có thể thực hiện cả đối với phương trình vi phân
cấp cao hơn một. Chẳng hạn phương trình vi phân cấp hai dạng

y '' f  x  y  0.
Đặt f  x    2    x  ,   conts , ta được

y ''  2 y    x  y.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm của phương trình tích phân

y  x 

1

x

 a

  s  sin   x  s  y  s  ds  cos  x  a  .

2.4. Phƣơng trình tích phân với hạch đối xứng
2.4.1. Định nghĩa. Phương trình Fredholm loại 2
b

  x   f  x     K  x, s   s  ds

(2.4)

a

được gọi là phương trình tích phân có hạch đối xứng nếu f  x   L2a ,b , K  x, s  thỏa mãn:
b b

i)

  K  x, s 

2

dsdx  

a a

ii ) K  x, s   K  s, x .
2.4.2. Xét sự tồn tại nghiệm
Phương trình (2.4) có thể viết lại dưới dạng

  f  A

(2.5)

trong đó A là một toán tử đối xứng hoàn toàn liên tục. Như đã biết L2a ,b là tách được,
toán tử A có một hệ trực chuẩn đầy đủ vectơ riêng en  ứng với các giá trị riêng n và

n  0 khi n   . Giả sử rằng bằng cách nào đó ta đã biết en  và n  , khi ấy muốn
xác định  chỉ cần biết các hệ số  , ei của nó đối với hệ ei  vì  
ta đi xác định các  , ei .

16



 , e
i 1

i

ei . Vậy


Với mỗi i ta có

 , ei  f , ei  A , ei
 f , ei   , Aei  f , ei  i  , ei

 1  i   , ei  f , ei

(2.6)

Nếu i  1 thì

 , ei 

f , ei
.
1  i

Còn nếu i  1 thì (2.6) cho thấy rằng hàm f cho trước phải thỏa mãn

f , ei  0 nhưng

khi ấy (2.6) không đặt điều kiện nào cho  , ei cả.
Bây giờ với giả thiết f , ei  0 cho mọi ei ứng với i  1 , nghiệm của phương trình (2.5)
là

 '

f , ei
ei   "  j e j .
1  i

Trong đó  j là những số tùy ý,



'

(2.7)

chỉ tổng số lấy theo các ei có i  1 và



"

chỉ tổng

số lấy theo các e j có  j  1 . Vì  j  0 khi j   nên tồn tại

1
  sup
  và
i 1  i
Do đó chuỗi



'



'

f , ei
1  i

2

  2  ' f , ei

2

 2 f

2

 .

f , ei
ei hội tụ.
1  i

Đặt  , là tổng của chuỗi ấy, còn tổng của chuỗi

e
"

j j

thì chỉ gồm một số hữu hạn hạng

tử, vì theo tính chất của toán tử hoàn toàn liên tục thì chỉ có thể có một số hữu hạn e j với

 j  1. Vậy tổng ấy bao giờ cũng xác định và bằng một phần tử trong không gian L2a ,b
mà ta gọi là  ,, , ta có

17


A ,   '

f , ei
f , ei
Aei  '
i ei
1  i
1  i

  " f , ei ei   ' f , ei ei   f   , .
A ,,   '  i Aei  "  i ei   ,, .

Cho nên A  A ,  A ,,   f   ,   ,, .
Hay   f  A
Điều này chứng tỏ (2.7) là nghiệm của (2.5).
Nhận xét.  ,, thuộc không gian con riêng ứng với giá trị riêng 1 nên ta có phát biểu sau:
- Nếu A không có giá trị riêng nào bằng 1 thì phương trình (2.5) có một nghiệm duy
nhất (    i

f , ei
1  i

ei ) với mọi f cho trước.

- Nếu A có giá trị riêng bằng 1 thì phương trình (2.5) chỉ có nghiệm khi f trực giao
với không gian con riêng ứng với giá trị riêng bằng 1 và khi đó nghiệm được xác định xê
xích một phần tử tùy ý của không gian con riêng này.
Qua những điều trên thấy rằng việc giải phương trình tích phân (2.4) hoặc (2.5)
trong trường hợp hạch đối xứng được quy về tìm vectơ riêng của toán tử A tương ứng.
2.5. Phƣơng trình tích phân với hạch thoái hóa
2.5.1. Định nghĩa. Phương trình tích phân Fredholm loại 2
b

  x   f  x     K  x, s   s  ds,

(2.8)

a

được gọi là phương trình tích phân có nhân thoái hóa (hay nhân suy biến) nếu K  x, s  có
dạng
m

 p  x  q  s  , p , q  L
i 1

i

i

i

i

2
a ,b

.

(2.9)

2.5.2. Xét sự tồn tại nghiệm
Bây giờ ta sẽ đi khảo sát phương trình này. Trước hết chú ý rằng, ở đây ta có thể
giả thiết các pi  x  độc lập tuyến tính, cũng như các qi  s  . Vì rằng, nếu các pi  x  không
độc lập tuyến tính thì có một pi0  x  là tổ hợp tuyến tính của các pi  x  còn lại, khi đó ta

18


đem thay tổ hợp này vào pi0  x  trong K  x, s  thì vẫn được một biểu thức có dạng (2.9),
nhưng trong đó sẽ bớt đi được pi0  x  , lặp lại phép toán đó một số lần cần thiết cuối cùng
ta sẽ được một biểu thức có dạng (2.7) trong đó các pi  x  , cũng như qi  s  đều độc lập
tuyến tính. Với hạch K  x, s  xác định bởi (2.9) ta có
b

m

  x     pi  x   qi  s   s  ds.
i 1

(2.10)

a

hay biểu diễn gọn sẽ là

    i 1 ci pi  f ,
m

(2.11)

trong đó
b

ci   qi  s   s  ds, i  1, m.
a

m

Từ (2.11) suy ra   f    ci pi sau đó thay vào (2.10) sẽ được
i 1

b
m


 
p
x
c

q

s
f
x


c
p
s








i   i
i
k
k

 ds   0.

i 1
k

1

 
a


m

Vì các pi  x  độc lập tuyến tính nên
m


ci   qi  s   f  x     ck pk  s   ds  0, i  1, m.
i 1


a
b

(2.12)

Thực hiện tách tích phân, đặt
b

b

a

a

fi   qi  s  f  s  ds; aik   pk  s  qi  s  ds; i, k  1, m,
khi đó (2.9) trở thành
m

c



aik ck  fi

 i
i 1


i  1, m


Đây là hệ phương trình đại số bậc nhất chứa m ẩn số, hay hệ được viết là

19