Đại số tuyến tính ma trận tích phân TP mặt 1 2 (tham khao)

TÍCH PHÂN MẶT
LOẠI 1 VÀ 2


TÍCH PHÂN MẶT
TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

Xét hàm

R3

xác định trên mặt cong S trong không gian

với hệ trục

Các tính chất

Cách tính

Oxyz

: tương tự như tích phân đường

I = ∫ ∫f ( x, y, z )dS
S

: theo nguyên tắc

mặt
cong lấy
tích

phân

: dựa vào pt của


TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

z = z ( x, y )

a/ Trường hợp S có pt

Giả sử S có hình chiếu lên mp Oxy là

Dxy
, và diện tích của Dxy là khác 0

Khi đó,

I = ∫ ∫f [ x, y, z ( x, y )] 1 + ( z ' x ) 2 + ( z ' y ) 2 dxdy
Dxy

b/ Trường hợp S có pt

x = x( y, z )

tương tự, ta có

I = ∫ ∫f [ x( y, z ), y, z )] 1 + ( x' y ) 2 + ( x' z ) 2 dydz
D yz

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

y = y ( x, z )

c/ Trường hợp S có pt

I = ∫ ∫f [ x, y ( x, z ), z ] 1 + ( y ' x ) 2 + ( y ' z ) 2 dxdz
Dxz

Ta có

Ví dụ

Tính

I = ∫ ∫zdS
S

, với S là phần mặt nón
nằm dưới mp

z = x2 + y 2
z=2

Hình chiếu của S xuống mp Oxy là

Dxy = prjOxy S : x 2 + y 2 = 4

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

z'x =

Và đồng thời

2x
2 x2 + y 2
, và

⇒I=
2

∫∫

x + y 2 ≤4

=
2

∫∫

x + y 2 ≤4

x2 + y2

=

x
x2 + y2

z' y =

2y
2 x2 + y2

=

y
x2 + y 2

x2
y2
1+ 2
+ 2
dxdy
2
2
x +y
x +y

x 2 + y 2 ( 2 )dxdy

2π

2

0

0

= 2 ∫ dϕ ∫ r 2 dr
8
= ⋅ 2 2π
3


TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

Ví dụ 2

Tính

I =∫

S

x
∫x 2 + y 2 dS

, với S là 1/8 mặt cầu

x2 + y2 + z 2 = 4

x≤0 z≤0
y≤0

trong góc

Hình chiếu của mặt cầu lên mp Oxy là

1/4 hình tròn

Dxy = prjOxy S
Pt của S lúc này là

z = − 4 − x2 − y2


TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

Suy ra

z'x =

x
4 − x2 − y2

và

x
⇒I = ∫ ∫ 2
2
x
+
y
x2 + y 2 ≤4
3π / 2

r cos ϕ
= ∫ dϕ ∫

2
r
π
0

=

3π / 2

2

∫π cos ϕdϕ 2∫
0

2

1
4 − r2

z' y =

dr = −

∫
0

4 − x2 − y2

4
4− x − y

4
rdr
2
4−r
π /2

y

2 cos tdt
1 − sin 2 t

2

đặt

2

dxdy

r = 2 sin t
π /2

= −2 ∫ dt = −π
0


TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

Ví dụ 3

Tính

I = ∫ ∫xdS

x2 + y2 = 1

, với S là phần mặt trụ

S

nằm giữa 2 mp

z=0
z=4

và không chứa 2 mặt đáy

Khi chiếu S xuống mp Oxy ta nhận

được đường tròn

Nên diện tích của hình chiếu trên mp Oxy = 0
 Không chiếu xuống mp Oxy được

x2 + y2 = 1


TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

Vì vậy, chiếu xuống mp Oyz ta được

x = ± 1− y2
Pt của S lúc này là

S1 ứng với x > 0
Do đó, ta chia S thành 2 phần
S2 ứng với x < 0

I =0

⇒ prjOyz S1 = D yz = prjOyz S 2

⇒I =∫

D yz

S2

∫ 1− y

2

1 + ( x' y ) + ( x' z ) dydz
2

2

S1

+ ∫ ∫− 1 − y 2 1 + ( x' y ) 2 + ( x' z ) 2 dydz
D yz


TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1
Ví dụ 5

Tính diện tích mặt Paraboloic

y = 1− x2 − z 2

y = 0

y =1

y

nằm giữa 2 mp

Diện tích của hình lúc này là

S = ∫ 1∫dS
S

∫

=

2
2

1
+
4
x
+
4
z
dxdz
∫

x 2 + z 2 ≤1
2π

1

0

0

= ∫ dϕ ∫ 1 + 4r 2 rdr

x
z


ứng dụng
Cho mặt S có khối lượng riêng theo diện tích là δ(x,y,z) tại điểm (x,y,z) khi đó:
KL của S là:
Moment tĩnh đối với các mặt tọa độ của mặt S là:
Tâm KL của mặt S là điểm có tọa độ:

Moment quán tính đối

Trong đó
r(x,y,z) là
khoảng cách
từ điểm M tới
đt ∆

với trục Ox,Oy, Oz với góc O là đường thẳng ∆ là:


Thí dụ: tìm trọng tâm của nữa mặt cầu tâm O(0,0,0) bán kính a với
khối lượng riêng là 1 hàng số


Gọi M(x,y,z) là trọng tâm của nữa mặt cầu tâm O(0,0,0) bán
kính a. khi đó có phương trình mặt cầu là S:
2 2 2 2
x +y +z =a ,z>=0. Do tính đối xứng nên x=0, y=0, ta chỉ
cần tính z theo công thức:


S là diện tích nữa mặt cầu bán kính a: S=2πa

2

mặt cầu trên mặt fẳng xy

 Trọng tâm có tọa độ: (0,0,

a
2

)

, và D là hình tròn bán kính a, hình chiếu của


TÍCH PHÂN MẶT

nM

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

M
Khái niệm

R3

Mặt định hướng

S

Cho mặt cong S trong không gian
, với hệ trục tọa độ Oxyz

Gọi M là điểm bất kỳ trên S

. Lúc này,

nM

Tại M, ta có pháp vector

Xét góc

α = (nM , Oz )

điều kiện

0 ≤α ≤π

α


TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

Trường hợp 1

π
0≤α ≤
2

. Lúc này

cos α ≥ 0
nM

, thì ta quy ước: hướng chứa pháp vector

là hướng dương của S

Trường hợp 2

π
≤α ≤π
2
, thì ta quy ước: hướng chứa pháp vector

. Lúc này

cos α < 0
nM
là hướng âm của S

Như vậy, ta đã định hướng cho S


TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

Ví dụ

x2 + y2 + z 2 = a2

Xét mặt cầu

, với

a>0

Xét các điểm M thuộc phía ngoài của mặt cầu

- Đối với nửa mặt cầu trên:

hướng chứa

nM

là hướng dương
- Ngược lại là hướng âm

Tích phân mặt loại 2

Xét hàm số

f ( x, y , z )

xác định tại mọi điểm

M thuộc mặt cong S đã định hướng


TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

S1 , S 2 ,  , S n

Sau đó, chia S thành n mảnh nhỏ

Sk

Trên mỗi mảnh

Gọi hình chiếu của

Mk

bất kỳ ta xét điểm

Sk

xuống mp

Oxy

và tính

là

với diện tích tương ứng là

Ta gán cho

∆Dk

f (M k )

Dk
∆Dk

dấu cộng “+”, nếu hướng của Sk là hướng dương
, và ngược lại

n

Tiếp theo, ta lập tổng tích phân

σ n = ∑ f ( M k )∆Dk
k =1


TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

σn

Giới hạn của tổng tích phân

khi

n→∞
f ( x, y, z )dxdy

đgl tích phân mặt loại 2 của biểu thức

∫ ∫f ( x, y, z )dxdy

lấy trên mặt cong S, và ký hiệu là

S

Tương tự,

nếu xét hình chiếu của S xuống các mp Oxz hay Oyz, thì

ta cũng xây dựng được các tích phân mặt loại 2 tương ứng

∫ ∫f ( x, y, z )dxdz
∫ ∫f ( x, y, z )dydz
S

S


TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

Q ( x, y , z )
P ( x, y , z ) R ( x, y , z )

Nếu có 3 hàm số

thì tổng các tích phân

cùng x/đ tại mọi điểm

M ( x, y , z ) ∈ S

∫ ∫Rdxdy

∫ ∫Pdydz

∫ ∫Qdxdz
S

S

S

đgl tích phân mặt loại 2 tổng quát

, và ký hiệu là

∫ ∫P( x, y, z )dydz + Q( x, y, z )dxdz + R( x, y, z )dxdy
S


TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2
Tính chất

: tích phân mặt loại 2 đổi dấu khi ta đổi hướng của mặt Oxy

∫ ∫Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = −∫ ∫Pdydz + Qdxdz + Rdxdy
S+

Cách tính

S−

: việc tính tích phân mặt loại 2 được đưa về tích phân 2 lớp
theo biến số phụ thuộc vào pt mặt cong lấy tích phân và
hướng mặt cong

a/ Trường hợp S có pt

z = z ( x, y )

+ hình chiếu xuống mp Oxy là

+ hướng của S là “+”

Dxy


TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

∫ ∫R( x, y, z )dxdy = ∫ ∫R[ x, y, z ( x, y)]dxdy

Khi đó

S

Dxy

x = x( y, z )

b/ Trường hợp S có pt

D yz

+ hình chiếu xuống mp Oyz là

+ hướng của S là “+”

xét theo

, với

Khi đó

cos α

α = (nM , Ox)

∫ ∫P( x, y, z )dydz = ∫ ∫P[ x( y, z ), y, z ]dydz
S

D yz


TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

y = y ( x, z )

c/ Trường hợp S có pt

+ hình chiếu xuống mp Oxz là

I = ∫ ∫zdxdy

Dxz

S

+ hướng của S là “+”

∫ ∫Q( x, y, z )dxdz = ∫ ∫Q[ x, y( x, z ), z ]dxdz

Khi đó

S

Ví dụ

Tính

TH1: S là nửa mặt cầu

Dxz

trong các trường hợp

x2 + y 2 + z 2 = a 2

z ≥ 0

, hướng “+”


TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

z = a2 − x2 − y2

Ta có pt của S là

Do vậy, hình chiếu của S xuống mp Oxy là

⇒I=∫

Dxy

∫

x2 + y 2 ≤ a 2
Dxy : 
z = 0

a 2 − x 2 − y 2 dxdy

2π

a

0

0

= ∫ dϕ ∫ a 2 − r 2 rdr
TH2: S là mặt cầu

x2 + y2 + z 2 = a2 , a > 0
lấy theo phía ngoài