Đại số tuyến tính ma trận tích phân vp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

ThS. LÊ HOÀNG TUẤNS

GIẢI TÍCH 2

Chương 4 –


Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
TỔNG QUAN
dạng ẩn
Phương trình vi phân (PTVP)

 chứa hàm
( vd: y(x), u(x),v(x),… )

Ví dụ

Ví dụ 2

y '+2 y = 0

 cấp 1

y"+2 y ' = 1

 cấp 2

xdx − y 2 dy = 0

 cấp 1

Tìm hàm y(x) thỏa

y ' ( x) = x 2

GIẢI TÍCH 2

dạng pt chứa đạo hàm (vi phân)


Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Pt này có 1 nguyên hàm cơ bản là

x3
3

, còn nghiệm tổng quát của pt đã cho là

x3

+C
3

, với C là hằng số

GIẢI TÍCH 2

Lưu ý

 gọi là nghiệm riêng

Pt vi phân cấp n thì nghiệm tổng quát chứa n hằng số (n số C)

PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ
Là pt vi phân mà ta có thể tách x và y về 2 vế riêng biệt nhau

Ví dụ

giải pt

Ta có

y '+2 y = 0
dy
dy
⇒
+ 2y = 0
y' =
dx
dx

dy
⇔
= −2dx
y


Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được

dy
∫ y = ∫ − 2dx

⇒ ln | y |= −2 x + ln C

Sau đó, lấy tiếp e mũ 2 vế ( không cần chú ý đến dấu | | trong ln )

e

ln| y|

=e

−2 x + ln C

⇒ y = Ce −2 x

⇒ y=e

−2 x

.e

ln C

là nghiệm tổng quát của pt đã cho

GIẢI TÍCH 2

( khi có ln ở vế trái thì vế phải ghi lnC )


Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
CÁC DẠNG PHÂN LY BIẾN SỐ THƯỜNG GẶP

dy
y ' = f ( x) g ( y ) ⇒
= f ( x)dx
g ( y)

y ' = f ( x)
y' = g ( y)

Ví dụ 1

giải pt

Ta có: pt (*)

y
y '− = 0
x

(*)

dy y
⇔
=
dx x

dy dx
⇔
=
y
x

⇔ ln | y |= ln | x | + ln C ⇔ y = Cx

là nghiệm cần tìm

GIẢI TÍCH 2

M 1 ( x) N1 ( y )dx + M 2 ( x) N 2 ( y )dy = 0

Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Ví dụ 2

giải pt
Ta có: (**)

xydx − ( y + 1)( x 2 + 1)dy = 0

(**)

⇔ xydx = ( y + 1)( x 2 + 1)dy

 1
x
⇔∫ 2
dx = ∫ 1 + dy
x +1
 y
1
⇔ y + ln | y |= ln | x 2 + 1 | + ln C
2
Đến đây, do lnC là hằng số, nên ta nhân thêm hệ số 1/2 cho lnC

Lúc này, (***)

1

1
2
⇔ y + ln | y |= ln | x + 1 | + ln C
2
2

GIẢI TÍCH 2

xdx
( y + 1)dy
⇔ 2
=
x +1
y

(***)


Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

⇔ 2 y + 2 ln | y |= ln | x 2 + 1 | + ln C
⇔ 2 y + ln | y 2 |= ln | x 2 + 1 | + ln C
Tiếp theo, lấy e mũ 2 vế ta được

=e

ln| x 2 +1|+ ln C

⇔ y 2 e 2 y = C ( x 2 + 1)

là nghiệm cần tìm

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN
Ví dụ

giải pt

Hướng giải quyết:

ydx + ( x + 2 y + 1)dy = 0
tìm hàm

u = u ( x, y )

du = ydx + ( x + 2 y + 1)dy

(*)

sao cho

vế trái của pt (*)

GIẢI TÍCH 2

e

2 y + ln| y 2 |

Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Lúc này, ta có

u ' x = y

u ' y = x + 2 y + 1

Đến đây, bài toán đã cho trở thành: tìm hàm u(x,y) khi biết

⇒ u ( x, y ) = ∫ u ' x dx + g ( y )
= ∫ ydx + g ( y )
= yx + g ( y )

Lấy tiếp đạo hàm 2 vế theo y của hàm u(x,y) này, ta được

u' y = x + g ' ( y)

GIẢI TÍCH 2

Do vậy,

u ' x

u ' y

Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

u' y = x + 2 y + 1

Đồng nhất với biểu thức

, ta có

x + g ' ( y) = x + 2 y + 1

⇒ g ( y ) = ∫ g ' ( y )dy = ∫ (2 y + 1)dy = y 2 + y
Như vậy, ta có

u ( x, y ) = xy + y 2 + y
thỏa pt

du = 0

⇒ u = xy + y 2 + y = C
là nghiệm cần tìm của pt (*)

GIẢI TÍCH 2

⇒ g ' ( y) = 2 y + 1

Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Tổng quát,

bắt đầu

ta có lưu đồ sau

P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0

vi phân toàn phần?

∂P ∂Q
=
∂y ∂x
Đ

cách khác

kết thúc

tìm hàm u(x,y) thỏa

nghiệm u = C

u ' x = P


u ' y = Q

GIẢI TÍCH 2

S


Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Ví dụ

giải pt

(3e 3 x y − 2 x)dx + (e 3 x + sin y )dy = 0

P ( x, y )

(*)

Q ( x, y )

Ta có

∂P
∂Q
3x
= 3e =
∂y

∂x

 thỏa đk vi phân toàn phần

u ' x = P ( x, y ) = 3e 3 x y − 2 x
Bây giờ, ta tìm hàm u(x,y) thỏa

3x
u ' y = Q( x, y ) = e + sin y
u ( x, y ) = ∫ u ' x dx + g ( y )
Ta có

GIẢI TÍCH 2

Trước hết, ta kiểm tra pt (*) có thỏa đk vi phân toàn phần hay không


Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

u ( x, y ) = ∫ (3e3 x y − 2 x)dx + g ( y )

Suy ra,

= e3 x y − x 2 + g ( y)

u ' y = e 3 x + g ' ( y ) = e 3 x + sin y
⇒ g ' ( y ) = sin y ⇒ g ( y ) = ∫ g ' ( y )dy = − cos y

Như vậy,

u ( x, y ) = e3 x y − x 2 − cos y = C
là nghiệm của pt đã cho

Lưu ý

Nếu pt đã cho có dạng vi phân toàn phần (VPTP) thì ta có thể
tìm u(x,y) trực tiếp bằng cách tạo ra f(x)dx và g(y)dy

GIẢI TÍCH 2

Lấy đạo hàm theo y ta được


Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Ví dụ

giải pt

ydx + ( x + 2 y + 1) dy = 0
⇔ (2 y + 1) dy + ydx + xdy = 0
⇔ (2 y + 1)dy + d ( xy ) = 0

Ví dụ 2

giải pt

u ( x, y ) = y 2 + y + xy = C

(3e 3 x y − 2 x)dx + (e 3 x + sin y )dy = 0

⇒ −2 xdx + sin ydy + 3e3 x ydx + e 3 x dy = 0
⇒ −2 xdx + sin ydy + yd (e 3 x ) + e 3 x dy = 0
⇒ −2 xdx + sin ydy + d ( ye 3 x ) = 0
Lúc này, nghiệm của pt là

u ( x, y ) = − x 2 − cos y + ye 3 x = C

GIẢI TÍCH 2

Lúc này, nghiệm của pt là


Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Lưu ý

Pdx + Qdy = 0

Xét pt

µ ( x, y )

 ta tìm hàm

∂P ∂Q
−
∂y ∂x
= f (x )
Q

µ ( x, y ) = e ∫

∂ ( µP ) ∂ ( µQ)
=
∂y
∂x
hàm chỉ phụ thuộc vào x

f ( x ) dx
∫
⇒ µ ( x, y ) = e

− g ( y ) dy

TH2:

nếu

∂P ∂Q
−
∂y ∂x
= g ( y)
P

GIẢI TÍCH 2

thừa số tích phân

, thì

µPdx + µQdy = 0

sao cho

thỏa

TH1: nếu

nếu

∂P ∂Q
≠
∂y ∂x


Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Ví dụ

giải pt

( x 2 + y 2 + x)dx + xydy = 0
P ( x, y )

Q ( x, y )

∂Q
∂P
= 2y ≠ y =
∂x
∂y

∂P ∂Q
⇒
−
=y
∂y ∂x

∆
∆
y 1
⇒ =
=
Q xy x

f (x)

hàm chỉ phụ thuộc biến x

GIẢI TÍCH 2

Ta có

(*)


Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Suy ra

µ ( x, y ) = e ∫

dx
x

= e ln x = x

Tiếp theo, ta nhân 2 vế của pt (*) cho hàm

µ ( x, y )

⇔ x( x 2 + y 2 + x)dx + x( xy )dy = 0

⇔ ( x 3 + xy 2 + x 2 )dx + x 2 ydy = 0
P ( x, y )
Do vậy,

∂P

∂Q
= 2 xy =
∂y
∂x

Q ( x, y )
 giải tiếp theo pp vi phân toàn phần

GIẢI TÍCH 2

(*) ⇔ µ ( x, y )[( x 2 + y 2 + x)dx + xydy ] = 0

thì


Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Ví dụ 2

giải pt

Ta có

y (1 + xy )dx − xdy = 0

∂P
∂Q
= 1 + 2 xy ≠ −1 =

∂y
∂x

2(1 + xy ) 2
=
=
y (1 + xy ) y

∆ 2 + 2 xy
⇒ =
P y + xy 2
⇒ µ ( x, y ) = e

−

∫

2 dy
y

=e

−2 ln y

= y −2

=e
1
= 2
y

ln y −2

hàm theo y

GIẢI TÍCH 2

∂P ∂Q
⇒∆=
−
= 2 + 2 xy
∂y ∂x


Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

1
µ ( x, y ) = 2
y

Tiếp theo, ta nhân 2 vế của pt ban đầu cho

thì thu được

∂P
1 ∂Q
=− 2 =

∂y
y
∂x
Do vậy, ta tìm hàm u(x,y) thỏa

. Lúc này,

 thỏa đk vi phân toàn phần

1

u ' x = y + x

x
u ' y = − 2

y

GIẢI TÍCH 2

y (1 + xy )dx xdy
− 2 =0
2
y
y
(1 + xy )dx xdy
⇔
− 2 =0
y
y

Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Thật vậy, ta có

u ( x, y ) = ∫ u ' x dx + g ( y )

Lấy tiếp đạo hàm theo biến y thì ta được

x
x
u' y = − 2 + g ' ( y) = − 2
y
y
⇒ g ' ( y) = 0
Như vậy, nghiệm của pt đã cho là

⇒ g ( y ) = ∫ g ' ( y )dy = C

x x2
u ( x, y ) = + + C = C1
y 2

GIẢI TÍCH 2

x x2
= + + g ( y)

y 2

1

= ∫  + x dx + g ( y )
y



Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Ví dụ 3

xdx + ydy + xdy − ydx = 0

giải pt

⇔ ( x − y )dx + ( x + y )dy = 0
Lúc này,

 Ta nên xét theo ???

 Hướng giải quyết:

∆
P
ta tìm hàm

, nhưng

hay

∂P ∂Q
∆=
−
= −2
∂y ∂x
∆
Q

µ = µ(x2 + y2 )

µ ( x − y )dx + µ ( x + y )dy = 0
∂ ( µ ( x − y )) ∂µ
⇒
=
⋅ ( x − y) − µ
∂y
∂y

sao cho

GIẢI TÍCH 2

∂P
∂Q
= −1 ≠ 1 =
∂y

∂x


Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

và

Đặt

∂ ( µ ( x + y )) ∂µ
=
⋅ ( x + y) + µ
∂x
∂x

t = x2 + y2

⇒ µ ( x 2 + y 2 ) = µ (t )

, và do vậy

Từ đk vi phân toàn phần, ta có

∂ ( µ ( x − y )) ∂ ( µ ( x + y ))
=
∂y
∂x

GIẢI TÍCH 2

∂µ
= µ 't .t ' x = 2 xµ '
∂x
∂µ
= µ 't .t ' y = 2 yµ '
∂y


Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

⇔ 2 xµ ' ( x + y ) + µ = 2 yµ ' ( x − y ) − µ

dµ
dt
⇔∫
= ∫−
µ
t

⇔ ln µ = − ln t

⇔ ln µ = ln t −1

1

1
⇔ µ =t = = 2
t x + y2
−1

Tiếp theo, ta giải pt ban đầu theo phương pháp vi phân toàn phần

GIẢI TÍCH 2

⇔ ( x 2 + y 2 )µ ' = −µ
dµ
dµ
dt
⇔t⋅
= −µ
⇔
=−
dt
µ
t


Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH

Xét pt vi phân

 phân ly được

a ( x ) y + b( x )

 cấp 1 tuyến tính

2
y' = ⋅ y + x3
a/
 bậc 1 theo y
x
b/
2 ydx + ( y 2 − 2 x)dy = 0
dy
2y
⇒ y' =
=− 2
(không phải là hàm bậc 1 theo y)
dx
y − 2x
2x − y2
x' ( y ) =
, nên ta chuyển sang
2y
 bậc 1 theo x = x(y)

GIẢI TÍCH 2

Ví dụ

y ' = f ( x, y ) =

f ( x) g ( y )


Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH
Lưu ý

y ' = a ( x ) y + b( x )
y ' = a ( x) y
giải pt

Ta có

 thuần nhất

y ' = ytgx

(*)

dy
dy
= tgxdx
(*) ⇔
= ytgx ⇔
y
dx

dy
⇔∫
= ∫ tgxdx ⇔ ln y = − ln(cos x) + ln C
y
C
⇔ y=
là nghiệm của pt (*)
cos x

GIẢI TÍCH 2

Ví dụ

 không thuần nhất


Chương 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH
Như vậy,

nếu pt có dạng thuần nhất

y ' = a( x) y

 chuyển về dạng phân ly biến số

Ví dụ

giải pt

y
y' = + 3x 3
x

Ta có dạng thuần nhất của pt (*) là

Do vậy, nghiệm lúc này là

Đến đây, ta biến thiên hằng số C, nghĩa là xem

⇒ ln y =  + ln C
⇒ y = Cy0 ( x)

(*)

y
y' =
x
y = Cx
C = C (x)

GIẢI TÍCH 2

dy
∫ y = ∫ a( x)dx