Đại số tuyến tính ma trận tích phân Chuong01 pps

GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN
XÁC ĐỊNH & TÍCH PHÂN
SUY RỘNG
ThS. LÊ HOÀNG
TUẤN

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin




GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Bài toán Cho một hình thang cong,
 yêu cầu tính diện tích của hình thang
y
này
y = f ( x) ≥ 0; lt

f (ξ i )
O

a

xi xi +1 b x

Ta chia đoạn[ a, b] thành n

phần

a ≡ x0 < x1 <  < xi < xi +1 <  < xn ≡ b

ξi

[ xi , xi +1 ]
là điểm nằm trong
đoạn
∆xi = xi +1 − xi là chiều dài [ xi , xi +1 ]
của
Lúc
Si ≈ f (ξ i )∆xi là diện tích của hình chữ
này:
nhật
, với f (ξ i ) là chiều
và ∆xi là chiều
cao
rộng
ξi

Gọi

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin




GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Suy ra diện tích hình thang
là
n −1

n −1

i =0

i =0

S = ∑ Si ≈ ∑ f (ξ i )∆xi

Đặt
tiếp

λ = max ∆xi
i

n −1

⇒ S = lim ∑ f (ξ i )∆xi
λ →0

i =0

Định nghĩa
Cho
hàm

f xác định

[ a, b] → R

trên
Ta gọi phân
hoạch
(cách chia) ( của
đoạn

π

a
////////[

của đoạn[ a, b]

[a, b] ) sao cho:

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin

]////////
b
là bộ điểm
chia



GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
a ≡ x0 < x1 <  < xi < xi +1 <  < xn ≡ b
, và ký hiệu
là

π , π ' của đoạn[a, b]
Xét 2 phân
hoạch
a
////////[ | | |
| ||
| | |

π (a, xi , b)

π

|

| ]/////////

b

π'
π ' (π ⊂ π ' )
Ta nói π ' mịn hơn π nếu bộ điểm chia π nằm
của
trong

Lưu ý Khi cho 2 phân hoạch khác π 1 và π 2
nhau
thì luôn có phân
π mịn hơn π 1 và π 2 l
hoạch

π = π1  π 2

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin

à




GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
π , với chiều dài cực
Cho phân hoạch
đại
thì

f

Xét
hàm

λ = max ∆xi

i

λ

được gọi là đường kính của phân
hoạch
có phân hoạchπ : ξ i ∈ [ xi , xi +1 ]
thì tổng tích phân Riemann
σ

π

n −1

= ∑ f (ξ i )∆xi
i =0

Định
nghĩa

∃ lim σ = I
λ →0

nếu

∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀π , λ < δ ⇒ σ − I < ε , ∀ξ i

Lúc này ta gọiI
trên đoạn[ a, b]

= lim σ là tích phân xác định của
λ →0

hàm
, và ký hiệu
là

f

b

I = ∫ f ( x )dx

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin

a




GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Lúc này, ta gọif là hàm khả tích trên[ a, b]
Định lý

[a, b] ⇒ f bị chặn (bị chận)
khả tích
trên

trên
Tổng trên và tổng dưới (tổng
Darboux)
Giả sử f là hàm bị chặn
[ a, b] → R
trên
π của [a, b]
Ta lấy một phân hoạch
Nếu

f

(nghĩa
là

[ a, b]
a

/////////[

[ a, b]

được chia thành những đoạn [ xi , xi +1 ] )
nhỏ
i = 0,1,2,  , n − 1
|

x1

x2

| |

x3

|| |

|

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin

xn −1

| ]/////////

b



GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Lúc này, ta gọi mi = inf f ( x )
∆xi

và

là chận dưới đúng

M i = sup f ( x) là chận trên đúng
∆xi

Suy ra

mi ≤ f (ξ i ) ≤ M i ; ∀ξ i ∈ ∆xi

tổng Darboux
trên

S

⇒ mi ∆xi ≤ f (ξ i )∆xi ≤ M i ∆xi
n −1

n −1

n −1

i =0

i =0

i =0

⇒ ∑ mi ∆xi ≤ ∑ f (ξ i )∆xi ≤ ∑ M i ∆xi
Đến
đây,

gọi là tổng Darboux dưới, kí

hiệu

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin

s



GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Như vậy, trên phân
hoạch
Một số tính chất cần
lưu ý
1) Với phân
hoạch

π

π

thì

cho
trước

2) Khi ta lập định một phân
hoạch

+ tổng dưới chỉ có thể
tăng
+ tổng trên chỉ có thể
giảm

π : s, S
π ' ⊃ π : s' , S '

s ≤σ ≤ S
, thì

π

s = inf σ

S = sup σ

thì

nếu ta làm
mịn s
| |

s'
S ' ≤ S
⇒
s ' ≥ s

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin

π

(thêm điểm
chia)
S'
| |

S




GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Tính chất
(tt)
3) ∀s, ∀S ta luôn có

s≤S

Định lý (điều kiện khả tích)
Cho
hàm
Lưu ý
Tập chận
dưới
Tập chận
trên

f xác định
trên
f khả
tích
trên

[a, b] . Lúc
này,
[a, b] ⇔ lim( S − s ) = 0
λ →0

()

{ s} luôn bị chặn trên S ⇒ ∃ sup{ s} = I* ≤ S
bởi
{ S } luôn bị chặn dưới bởi bất cứ chận
dưới nào

⇒ ∃ inf { S } = I * ≥ I *

s ≤ I* ≤ I * ≤ S

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin




GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Như vậy,
Nếu tích phân
dưới

I*

bằng với tích phân
n −1
trênn −1

I*

⇒ S − s = ∑ M i ∆xi − ∑ mi ∆xi
i =0

thì hàm khả
tích

i =0

n −1

= ∑ ( M i − mi )∆xi
i =0

Lúc này, M i

− mi

gọi là dao độ của
hàm
, và kí hiệu ωi
là

f

trên
đoạn

∆xi
n −1

⇒ S − s = ∑ ωi ∆xi
i =0

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin




GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
n −1

Lúc này,

()

⇔ lim ∑ ωi ∆xi = 0
λ →0

i =0

Định lý
Nếu

f

liên tục trên[ a, b] thì

Lưu ý 1
Nếu

Lưu ý 2

f

là hàm khả
tích

f

khả tích trên[ a, b]

b

b

a

a

⇒ ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = 

( không phụ thuộc vào biến lấy tích
phân )
[a, b] , ta lấy đoạn nhỏ
Nếu f là hàm khả tích
trên
hơn
[c , d ]
là [c, d ] ⊂ [ a, b] ⇒ f khả tích trên đoạn
con

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin




GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ví dụ 1
Tính

b

2
x
∫ dx

bằng định nghĩa, với

b>0

0

Ta có

f ( x) = x 2

⇒ f

là hàm sơ cấp nên liên tục R
trên
, suy ra, hàm này cũng liên tục [0, b]
trên
khả tích trên[0, b]

Do vậy, ta lấy một phân
hoạch

π : [0, b]

π

bằng cách chia [0, b]
đều
thành n phần

b
∆xi = ;
n

i = 0,1,2,  , n − 1

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin




GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Lúc này, ta chọn ξ i

= xi +1
n −1

⇒σ = ∑
i =0

Mặt khác,

n −1

n −1
b
b


f (ξ i )∆xi = ∑ xi2+1   = ∑ xi2+1
 n  n i =0
i =0

2


b
b n −1
b
2
xi = i  ⇒ σ = ∑ (i + 1)  2 
n 
n
n i =0
 

3 n
b 3 n −1
b
= 3 ∑ (i + 1) 2 = 3 ∑ i 2
n i =0
n i =1

b 3  n(n + 1)(2n + 1)  b 3
= 3
→
n 
6
3

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin

( khi

n→∞)



GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ví dụ 2
Tính

b

dx
∫a x

bằng định nghĩa, với

1
Tương tự như vd1, ta xétf ( x ) =
x
Lấy phân
hoạch

π

0
[ a, b]
liên tục
trên
⇒ f cũng khả tích
trên
i
n

[ a, b]

xi = x0 q i = aq ⇒ b = xn = aq
b
i
n
Chọn ξ i = xi = aq
⇒q=
a
thỏa

n −1

⇒σ = ∑
i =0

n −1

1
f (ξ i )∆xi = ∑ ∆xi
i = 0 xi

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin




GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Mà

∆xi = xi +1 − xi = aq

i +1

− aq = aq (q − 1)
i

i

n −1

n −1
1
i
⇒ σ = ∑ i × aq (q − 1) = ∑ (q − 1) = n(q − 1)
i = 0 aq
i =0

 b 
= n n − 1
 a 

1/ n

b
−1


b
 b 
dx
b
a

n


⇒∫
= lim n

− 1 = lim
= ln
1
x n →∞  a  n →∞
a
a
n
α
A −1
t
t
( vì lim
= ln A; A > 0 hay (a )' = a ln a )
α →0
α
Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin




GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Tính chất của hàm khả tích
Nếu

a
b

∫ f ( x)dx

ta xét tích phân

a

a

Nếu

∫ f ( x)dx = 0

a=b

a

Nếu

b

a

∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx

a>b

ta xét tích phân

a

Tính chất 1
b

c

b

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
a

a

và

f

b

c

khả tích trên đoạn
lớn

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin

∀a, b, c
[a, b] nế c ∈ [a, b]
u
b ∈ [ a, c ]

[a, c] nế
u




GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Tính chất 2
Xét 2
hàm
Ta có

f;g

khả tích
trên

[a, b] . Lúc này,

Af ( x) + Bg ( x)

với
cũng khả tích
trên

A, B ∈ R

[ a , b]

b

b

b

a

a

a

, và

∫ ( Af ( x) + Bg ( x))dx = A∫ f ( x)dx + B ∫ g ( x)dx
Tính chất 3
Xét 2
hàm

f ;g

khả tích
trên

⇒ f .g

Tính chất 4 Giả
sử

f

f

cũng khả tích
trên
cũng khả tích
[ a, b]
trên
khả tích
[a, b]
trên

[ a, b]

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin

[ a , b]




GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Ngoài ra

b

a
Nếu

⇒

b

∫ f ( x)dx ≤ ∫
a

f ( x) dx

a

, nhưng nếu không đặt điều
kiện

⇒

a
thì

b

b

∫ f ( x)dx ≤ ∫

a

f ( x) dx

a

Tính chất 5
Giả
sử

f

khả tích, ≥ 0 trê
n

[a, b]; a < b

b

⇒ ∫ f ( x)dx ≥ 0
a

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin




GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC

ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Hệ quả 1

f;g

Giả
sử

f ( x) ≤ g ( x)

là 2 hàm khả tích,
thỏa
b

b

a

a

⇒ ∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx
f

khả tíchtrê [ a, b]; a < b
n
, và có 2 hằng sốm ;

m ≤ f ( x) ≤ M

a

M

Hệ quả 2
Giả
sử

,
với

m

M

thỏa

a

b

b

⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a )
a

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin

GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Tính chất 6 (định lý về giá trị trung
bình)
Giả
f là hàm khả tích [a, b] , và
sử
m trên
là cận dưới
m≤ f
của [ a, b] , tức
đúng
M là cận trên
là
đúng
Khi
b
đó:
∃µ ∈ [m, M ] thỏa
f ( x)dx = µ (b − a)

( x) ≤ M

∫
a

Ngoài ra,
nếu

f

[ a, b]
là hàm liên tục
trên
c ∈ [a, b] sao cho
thì tồn tại ít nhất một
b
điểm

∫ f ( x)dx = f (c)(b − a)
a

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin




GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Tính chất 7 (định lý về giá trị trung bình mở
rộng)
Giả
f là hàm khả tích [a, b] ,
sử
g trên
là hàm khả

≥ 0 (hoặ ≤ 0 ) trên [a, b] , và
c
m tích
là cận dưới
của
f , tức m ≤ f ( x) ≤
đúng
M là cận trên
là
hàm
đúng
Khi
b
b
đó:
∃µ ∈ [m, M ] thỏa
f ( x) g ( x)dx = µ g ( x)dx

∫

∫

a

Lưu ý
Nếu

g ≡1

M

a

b

thì

∫ f ( x)dx = µ (b − a)
a

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin




GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Hệ
quả

Giả thiết thêm
f liên tục [a, b] , thì
rằng
trên
luôn luôn tồn tại một c ∈ [ m, M ] thỏa
số
b

b

b

a

a

a

∫ f ( x) g ( x)dx = µ ∫ g ( x)dx = f (c)∫ g ( x)dx
( với

f (c) = µ )

Liên hệ với nguyên
hàm
Giả
f là hàm liên tục
sử
trên
của f trê [ a, b] ⇒
n
(CT NewtonLebnitz)

[ a, b]

b

, và

F (x)

là nguyên
hàm

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) = F ( x)

b
a

a

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin




GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Định lý trung bình mở rộng thứ 2

f

Giả
sử

g

Khi
đó:

là hàm đơn điệu
giảm
là hàm liên tục

∃ξ ∈ [a, b]

,
và

thỏa

≥0

trên [ a, b]

b

ξ

a

a

∫ f ( x) g ( x)dx = f (a)∫ g ( x)dx

Lưu ý

Nếu

f

là hàm tăng đơn
điệu
b

,
và

≥ 0 trên [a, b] , thì
b

∫ f ( x) g ( x)dx = f (b)∫ξ g ( x)dx
a

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin




GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Hệ quả
Nếu

f

là hàm đơn điệutrên [a,b],
thì
b

ξ

a

a

b

∫ f ( x) g ( x)dx = f (a) ∫ g ( x)dx + f (b)∫ξ g ( x)dx
Tính tích phân bằng phương pháp đổi
biến
Giả sử ϕ : [α , β ] → J , và f : J
ϕ (β )

→R

liên tục , suy
ra

β

f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ' (t )dt
∫
ϕ α
α

( )

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin




GIẢI TÍCH 2

Chương 1 – TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH & TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Tính tích phân bằng phương pháp tích phân
từng phần1
Gọi C là tập hợp các hàm có đạo hàm liên
tục
u ( x), v( x) ∈ C 1 trên [ a, b] , khi đó ta có
Xét 2
hàm
b

∫ u ( x)v' ( x)dx = u ( x)v( x)
a

b
a

b

− ∫ v( x)u ' ( x)dx
a

hay
b

b

∫ udv = uv a − ∫ vdu
a

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin

b

a