Đại số tuyến tính ma trận tích phân Chuong02 pps

Chương 2 –
TÍCH PHÂN BỘI
ThS. LÊ HOÀNG
TUẤN


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN KÉP
Định
nghĩa
Cách tính

: SGK

I = ∫ ∫f ( x, y )dxdy
D

Định lý Fubini
a/ Nếu D xác định
bởi
f 2 ( x)

 f2 ( x)

⇒ I = ∫  ∫ f ( x, y )dy  dx

a 
 f1 ( x )
b

D
a

a ≤ x ≤ b

 f1 ( x) ≤ y ≤ f 2 ( x)

f1 ( x)
b

b

f2 ( y )

a

f1 ( x )

= ∫ dx

∫ f ( x, y)dy


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN KÉP

c ≤ y ≤ d


 g1 ( y ) ≤ x ≤ g 2 ( y )

b/ Nếu D xác định
bởi
d
g1 ( y )
c

Ví dụ

D

Tính

g 2 ( y)

d

g2 ( y)

c

g1 ( y )

⇒ I = ∫ dy

∫ f ( x, y)dx

I = ∫ ∫( xy 2 + y )dxdy

D

, với D là miền phẳng xác định
bởi
2

y = x
D:
y = 2 − x


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN KÉP
Lúc này, miền D có thể được biểu diễn
lại là
1

2− x

⇒ I = ∫ dx ∫ ( xy + y )dy
2

−2

x2

− 2 ≤ x ≤ 1
D: 2

x ≤ y ≤ 2 − x
2− x

 xy
y 
= ∫
+  dx
3
2  x2
−2 
1

3

2

 (2 − x) 3 (2 − x) 2
( x 2 )3 ( x 2 ) 2 
= ∫ x
+
−x
−
dx
3
2
3
2 
−2 
= ...
Ví dụ 2

Tính I =
∫ ∫( xy + y)dxdy
1

D

, với D là tam giác
OAB

O(0,0)

, trong đó

A(1,1)

B (2,0)


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN KÉP
Cách
1

( nhìn theo phương
đứng )

thì lúc
này

0 ≤ x ≤ 2
D:
0 ≤ y ≤ ?

nên ta tách D
thành

0 ≤ x ≤ 1
D1 : 
0 ≤ y ≤ x

1

D = D1  D2

, và

O

A
D1 D2
B
1

1 ≤ x ≤ 2
D2 : 
0 ≤ y ≤ 2 − x

⇒ I = ∫ ∫( xy + y )dxdy + ∫ ∫( xy + y )dxdy

D1

D2


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN KÉP
Hay ta có

Cách
2

1

x

2

2− x

0

0

1

0

I = ∫ dx ∫ ( xy + y )dy + ∫ dx ∫ ( xy + y )dy
( nhìn theo phương
ngang )

Lúc này, ta có

0 ≤ y ≤ 1
D:
y ≤ x ≤ 2 − y
1

2− y

A

1

O

1

B
2− y

x y

⇒ I = ∫ dy ∫ ( xy + y )dx = ∫ 
+ xy  dy
2
y

0 
0
y
1

2


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN KÉP
Phương pháp đổi
biến
a/ Tọa độ cực

M

(r , ϕ ) là tọa độ cực của

r

ϕ

M

, với

Ví dụ

x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

Từ phương trình r
Do

r = sin ϕ

= sin ϕ ta tìm ngược lại miền
D

⇒ r = r sin ϕ
2

⇒ x 2 + y 2 = r sin ϕ = y
2
1 1

2
⇒ x + y−  =
2 4



Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN KÉP

ϕ 2 − ϕ1

Như
vậy,

ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2
D:
r1 (ϕ ) ≤ r ≤ r2 (ϕ )

⇒ I = ∫ ∫f ( x, y )dxdy
D

Lưu ý

Ví dụ

ϕ2
ϕ2

r2 (ϕ )

ϕ1

r1 ( )

= ∫ dϕ

ϕ1

∫ϕ f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdr

Ta áp dụng công thức này khi D có dạng
,
hình tròn
hay
một phần hình
tròn
2
2
Tính

I =∫

D

∫x

2

+ y dxdy
2

,
với

x + y ≤ 4
D:
 y ≥ 0; y ≥ x

Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN KÉP
Lúc này, ta có
Dùng PP đổi
biến:

 x = r cos ϕ

 y = r sin ϕ

π
≤ϕ ≤π
⇒ D:4
0 ≤ r ≤ 2

⇒I=

=

π

2

π /4
π

0
2

π /4

0

2
d
ϕ
r
∫ ∫ rdr

2
d
ϕ
r
∫ ∫ dr

8
π
=  π −  = 2π
3
4


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN KÉP
Ví dụ 2

Tính

I = ∫ ∫(2 x + 3 y )dxdy
D

2

,
với

1

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4

D :  y ≥ 3x
x ≥ 0


Lúc này, miền D tương đương
với

π
π
 ≤ϕ ≤
D:3
2
1 ≤ r ≤ 2

π
2

2

⇒ I = ∫ dϕ ∫ (2 cos ϕ + 3 sin ϕ )r 2 dr
π
3

1


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN KÉP
Ví dụ 3

I = ∫ ∫xydxdy

Tính

D

, với

x 2 + y 2 ≤ x
D:
y ≤ −x

Lúc này, ta có miền
D

−

⇒I=

π
4

π
 π
− ≤ ϕ ≤ −
D: 2
4
0 ≤ r ≤ cos ϕ

cosϕ

∫π dϕ ∫ (r cos ϕ )(r sin ϕ )rdr

−

0

2

−

π
4

 cosϕ 3

= ∫  ∫ r cos ϕ sin ϕdr dϕ
π

−  0
2


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN KÉP

I = ∫ ∫f ( x, y )dxdy

a/ Tọa độ cực mở
rộng
Đổi
biến

D

 x = x(u , v)

 y = y (u , v)

, từ đó

= x ( u , v ); y = y ( u ,v )

D x
  → D1

Sau đó, ta tính định thức của ma trận
Jacobi

x'u
J =
y 'u

x 'v
= x'u y 'v − x'v y 'u ≠ 0
y 'v

⇒ I = ∫ ∫f ( x(u , v), y (u , v)). J dudv
D1


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN KÉP
Trường hợp
1:
Đổi biến

D là hình tròn lệch tâm

( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 ≤ r 2
 x − x0 = r cos ϕ


 y − y0 = r sin ϕ
⇒ J =

Lưu ý
Khi lấy cận
của
Ví dụ
Tính

r

và

ϕ

I = ∫ ∫( x − 2 y )dxdy
D

cos ϕ

− r sin ϕ

sin ϕ

r cos ϕ

=r≠0

ta coi như gốc tọa độ ( x0 , y0 )

ở
,
với

( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 ≤ 1
D:
x ≥ 2


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN KÉP
Ta có
Đặt

,
với

⇒I=
Ví dụ
2

π /2

1

− /2

0

 x − 2 = r cos ϕ

 y − 3 = r sin ϕ
− π / 2 ≤ ϕ ≤ π / 2
D:
0 ≤ r ≤ 1

∫π dϕ ∫ [ (2 + r cos ϕ ) − 2(3 + r sin ϕ )] rdr

Tính

I = ∫ ∫xydxdy
D

, với

x2 + y 2 ≤ 2 y
D:
y ≤1


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN KÉP
Ta có
Đặ
t

 x = r cos ϕ

 y − 1 = r sin ϕ
⇒ J =r

, và
2π

1

π

0

π ≤ ϕ ≤ 2π
D:
0 ≤ r ≤ 1

⇒ I = ∫ dϕ ∫ [ (r cos ϕ )(1 + r sin ϕ )] rdr
Lưu ý

PP này được áp dụng thích hợp tùy
theo bài
( bằng cách vẽ hình để nhận dạng
miền D )


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN KÉP
Trường hợp
2:

D là hình ellipse

x
 a = r cos ϕ
y
 = r sin ϕ
b

Đổi
biến
Lưu ý
Ví
dụ

x2 y2
+ 2 ≤r
2
a
b

x 'r
⇒ J =
y 'r

Trong tọa độ cực, thường người ta
chọn

Tính

I = ∫ ∫( x − y )dxdy
D

, với

 x2 y 2
 +
≤1
D: 9
4
 y ≥ 0

x'ϕ
= abr ≠ 0
y 'ϕ
0 ≤ r ≤1


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN KÉP

Ta đặt

x
 3 = r cos ϕ

y
 = r sin ϕ
2

⇒ J = abr = 6r

và lúc này
π

1

0

0

0 ≤ ϕ ≤ π
D:
0 ≤ r ≤ 1

⇒ I = ∫ dϕ ∫ (3r cos ϕ − 2r sin ϕ )6rdr
Ví dụ
2

Ta dùng lại ví dụ 1, nhưng với
miền

 x2 y2
 +
≤1
D: 9

4
 y ≥ x


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN KÉP
Lúc này,
góc

ϕ

được x/
định

sin ϕ
tgϕ =
cos ϕ
r sin ϕ
=
r cos ϕ

3
x/2
y/2
=
=
=
2

x/3
x/3

do ta nắn ellipse thành hình
tròn  cho cạnh dài x = cạnh
ngắn y

3 π
⇒ ϕ = arctg >
2 4


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
KÉP
dxdy = S D
a/ Tính diện tích miền
phẳng
D

∫∫

Ví dụ

Tính diện tích miền phẳng bị giới
hạn bởi

Dùng pp tọa độ cực, ta

4 sin ϕ
π
có

S D = ∫ ∫dxdy = ∫ dϕ
D

π

4 sin ϕ

3π
4

∫ ϕrdr

2 sin

π
r 
= ∫ 
dϕ = ∫ 6 sin 2 ϕdϕ
3π  2  2 sin ϕ
3π
4

2

4

2 y ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 y

 y ≤ −x


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
KÉP
f ( x, y )dxdy = V
b/ Thể tích vật
thể
D

∫∫

, với điều
kiện

f

liên tục trên D

f ( x, y ) ≥ 0; ∀( x, y ) ∈ D

Hay cụ thể hơn
Xét vật
Ω
thể

+ có hình chiếu vuông góc
xuống
+ mặt trên
là
+ mặt dưới

z = z 2 ( x, y )
z = z1 ( x, y )

Oxy bằng D

prjOxy Ω = D


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
KÉP
VΩ =
z 2 ( x, y ) − z1 ( x, y )
Lúc
này
D

∫ ∫[

Ví dụ

] dxdy

x2 + y 2 + z = 4

z = 2

Tính thể tích vật thể bị giới hạn
bởi

z=2

+ mặt
trên
+ mặt dưới

z = 4 − x2 − y2
z=2

prjOxy Ω = x 2 + y 2 ≤ 2

⇒ VΩ =
2

∫

2π

2

(∫4 − x 2 − y 2 − 2)dxdy = ∫ dϕ ∫ (2 − r 2 )rdr

x + y 2 ≤2

0

0


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
KÉP
Ví dụ
Tính thể tích vật thể bị giới hạn
2
bởi
Ta có

z = x2 + y 2

x + z = 2

prjOxy Ω = x 2 + y 2 ≤ 2 − x
2

1
9

2
⇒x+  + y ≤
2

4

+ mặt
dưới
+ mặt trên

z = x2 + y2

( đây là dạng của
D)

z = 2− x
⇒ VΩ =

∫

2

(∫2 − x − x 2 − y 2 )dxdy

 1
2 9
 x+  + y ≤
4
 2


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
KÉP
 1
Đặt

 x + = r cos ϕ
 2
 y = r sin ϕ

2π

3/ 2

0

0

⇒ VΩ = ∫ dϕ
Ví dụ
3

∫

1

2
 2 + − r cos ϕ − r rdr
2



Tính thể tích vật thể bị giới hạn
bởi 2

1 ≤ x 2 + y ≤ 4

z = 0
z + x2 + y 2 ≤ 4


⇒ VΩ =

∫

2

(∫4 − x 2 + y 2 − 0)dxdy

1≤ x + y 2 ≤ 4


Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
KÉP
Ví dụ
4
 y = x; y = 2 x; x = 1
Tính thể tích vật thể bị giới hạn 

2
2
z
=
0
;
z
=
x
+
y
bởi

y = 2x

Ta có

x= y

Ví dụ
5

x =1

prjOxy Ω = ∆OAB

⇒ VΩ =

∫

(∫ x 2 + y 2 )dxdy

∆OAB

Tính thể tích vật thể bị giới hạn
bởi

x2 + z 2 = 1

y = 0
 y = 2 + x2



Chương 2 – TÍCH PHÂN BỘI
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
KÉP

Lúc này ta
có
2

prjOxz Ω = x + z 2 ≤ 1

⇒ VΩ =

∫

2

x +z

Ví dụ
6

(∫2 + x 2 − 0)dxdz

y = 0
 y = 2 − x2


 z ≥ 0 dưới
 z = 3 x trên

2

Tính thể tích vật thể bị giới hạn
bởi

D

⇒ VΩ = ∫ ∫3 xdxdy
D

2

= ∫ dx
0

2− x 2

∫ 3xdy
0