Đại số tuyến tính ma trận tích phân Chuong03 pps

Chương 3 –
TÍCH PHÂN
ĐƯỜNG & TÍCH
PHÂN MẶT
ThS. LÊ HOÀNG
TUẤN


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN
ĐƯỜNG
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1
Khái niệm

: SGK

Cách tính

Lưu ý

: theo nguyên
tắc
việc tính tích phân đường loại 1 được đưa về
quá trình
tính một tích phân xác định, theo biến số của pt
đường
cong lấy tích
phân

Tích phân đường loại 1 không phụ thuộc vào
hướng của
đường cong lấy tích
phân

∫ f ( x, y)dl = ∫ f ( x, y)dl

( AB )

( BA )


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
1
Lưu ý
: khi đưa tích phân đường về tích phân xác định
thì
cận dưới của tích phân xác định luôn bé hơn cận
trên
a/ Trường hợp (AB) có pt tham
số
thì

I=

∫

β

f ( x, y )dl = ∫ f [ x(t ), y (t )] ( x' (t )) 2 + ( y ' (t )) 2 dt
α

( AB )

Ví dụ

 x = x(t )
;α ≤ t ≤ β

 y = y (t )

Tính

I=

∫ xydl

( AB )

, với (AB) là đoạn thẳng
nối
A(1,2) với B(3,4)


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
1
B
Phương trình tham số của
AB
+ có VTCP AB = ( x B − x A , y B − y A ) = ( 2,2)
A
+ qua
A(1,2)
 x = 1 + 2t
là phương trình 

 y = 2 + 2t

có giới hạn tại 2 đầu mút A(1,2) và
B(3,4)
1 = 1 + 2t
+ tại
thì

A(1,2)
2 = 2 + 2t

⇒t =0

3 = 1 + 2t

4 = 2 + 2t

⇒ t =1

+ tại
B(3,4)

thì


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
1
Như
0 ≤ t ≤1
vậy,
Ngoài ra, do
Suy
ra

 x' (t ) = 2
⇒
 y ' (t ) = 2

 x = 1 + 2t

 y = 2 + 2t
1

I=

2
2
xydl
=
(
1
+
2
t
)(
2
+
2
t
)
2
+
2
dt
∫
∫

( AB )

0

1

= 2 2 ∫ (2 + 2t + 4t + 4t 2 )dt
0

1

 3t
2t 
= 4 2 t +
+

2
3

0
2

3

38 2
=
3


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
1
Phương trình tham số của một số đường
cơ bản
1/ Đường tròn tâm I ( x0 , y0 ) bán
kính

 x = x0 + r cos t
;0 ≤ t ≤ 2π

 y = y0 + r sin t

2/ Đường ellipse

 x = a cos t
;0 ≤ t ≤ 2π

 y = b sin t
Ví dụ

Tính

M=

∫ ( x − y)dl

( AB )

r >0


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
1

Với (AB) là cung tròn, tâm I(1,3), bán kính 2, và A(1,5),
B(3,3)

A

Ta có phương trình tham số của cung tròn
(AB)

I

B

 x = 1 + 2 cos t

 y = 3 + 2 sin t

Thế tọa độ A(1,5) và B(3,3) ở 2 đầu
mút vào, ta có
+ tại A(1,5)

+ tại B(3,3)

1 = 1 + 2 cos t
cos t = 0
⇒

5 = 3 + 2 sin t
sin t = 1
3 = 1 + 2 cos t
cos t = 1

⇒

3 = 3 + 2 sin t
sin t = 0

⇒t =

π
2

⇒t =0


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
1
 x = 1 + 2 cos t
Mặt khác, do 

 y = 3 + 2 sin t

π
2

 x' (t ) = −2 sin t
⇒
 y ' (t ) = 2 cos t

⇒ M = ∫ [ (1 + 2 cos t ) − (3 + 2 sin t )] (−2 sin t ) 2 + (2 cos t ) 2 dt
0π

2

= 2 ∫ [ 2 cos t − 2 sin t − 2] dt
0
π
2

= 4 ∫ [cos t − sin t − 1]dt

= 4[ sin t + cos t − t ] 0

π /2

0

π


= 4 (1 + 0 − ) − (0 + 1 − 0)
2



= −2π


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
1
b/ Trường hợp (AB) có pt

I=

∫

 y = y ( x)

a ≤ x ≤ b
b

f ( x, y )dl = ∫ f ( x, y ( x)) 1 + ( y ' ( x)) 2 dx

( AB )

a

 x = x( y )

c ≤ y ≤ d

c/ Trường hợp (AB) có pt

I=

∫

, khi đó

d

thì

f ( x, y )dl = ∫ f ( x( y ), y ) 1 + ( x' ( y )) 2 dy

( AB )

c


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
1
xdl , với (AB) là
Ví dụ Tính P =
parabol
( AB )

 y = x2 +1

 A(0,1); B(2,5)

∫

B (2,5)
Ta có

A(0,1)

y = x 2 + 1 ⇒ y ' ( x) = 2 x

0≤ x≤2

và lúc
này
2

,
nên

17 17 − 1
P = ∫ x 1 + (2 x) dx =
12
0
2


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
1
d/ Trường hợp (AB) có pt tọa độ
cực

 x = r cos ϕ

 y = r sin ϕ

r = r (ϕ )

α ≤ ϕ ≤ β

, khi đó

 x = r (ϕ ) cos ϕ
⇒
 y = r (ϕ ) sin ϕ

 x' (ϕ ) = r ' (ϕ ) cos ϕ − r (ϕ ) sin ϕ

 y ' (ϕ ) = r ' (ϕ ) sin ϕ + r (ϕ ) cos ϕ

và

⇒ ( x' (ϕ )) 2 + ( y ' (ϕ )) 2 = (r ' (ϕ )) 2 + (r (ϕ )) 2
Sau
cùng

I=

∫

β

f ( x, y )dl = ∫ f [r cos ϕ , r sin ϕ ] (r ' (ϕ )) 2 + (r (ϕ )) 2 dϕ

( A, B )

α


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
1
Q = xydl
Ví
Tín
dụ
h
( AB )

∫

r = ϕ
, với (AB) là đường cong có pt trong tọa độ cực
− π ≤ ϕ ≤ π
là
 4
4
 x = ϕ cos ϕ
 x = r cos ϕ

Ta có
⇒

 y = ϕ sin ϕ
 y = r sin ϕ
Lúc này,
π
4

r ' (ϕ ) = 1

v
à

⇒ Q = ∫ ϕ 2 sin ϕ cos ϕ 1 + ϕ 2 dϕ
−

π
4

π
π
− ≤ϕ ≤
4
4
=0

( do hàm lấy tích phân là hàm

Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
1
e/ Trường hợp (AB) có là đường cong trong không gian
(Oxyz), và
hàm số lấy tích phân là f(x,y,z)

Giả sử (AB) có pt tham
số

 x = x(t )

 y = y (t ) ; α ≤ t ≤ β
 z = z (t )


Khi đó,

∫ f ( x, y, z )dl

I=

( AB )
β

= ∫ f ( x(t ), y (t ), z (t )) ( x' (t )) 2 + ( y ' (t )) 2 + ( z ' (t )) 2 dt
α

Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
1
Ví dụ
Tính
N = (2 z −

∫

x 2 + y 2 )dl

( AB )

, với (AB) là đường cong có pt

 x = t cos t

 y = t sin t ;0 ≤ t ≤ 2π
z = t


 x' (t ) = cos t − t sin t

⇒  y ' (t ) = sin t + t cos t
 z ' (t ) = 1


⇒ ( x' (t )) 2 + ( y ' (t )) 2 + ( z ' (t )) 2 = cos 2 t + t 2 sin 2 t − 2t cos t sin t
+ sin 2 t + t 2 cos 2 t + 2t cos t sin t + 1


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
1
( x' (t )) 2 + ( y ' (t )) 2
Suy
ra
2π

+ ( z ' (t )) 2 = 2 + t 2

⇒ N = ∫ (2t − | t |) 2 + t 2 dt
0
2π

= ∫ t 2 + t 2 dt
0

[

1
= (2 + 4π 2 ) 3 / 2 − 2 2
3

]

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
LOẠI 1
( để tính độ dài đường
cong )
Ví
Tính chu vi đường tròn tâm I(x0,y0), bán kính R
dụ


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
LOẠI 1
Ta có
L(C ) = dl , với (C) là đường tròn tâm I, bán
kính R
(C )

∫

 x = x0 + R cos t
Phương trình tham số của (C) 
;0 ≤ t ≤ 2π
là
 y = y0 + R sin t
 x' (t ) = − R sin t
⇒
 y ' (t ) = R cos t

⇒ L(C ) =

2π

∫

( x' (t )) 2 + ( y ' ( y )) 2 dt

0

=

2π

∫
0

2π

(− R sin t ) 2 + ( R cos t ) 2 dt = R ∫ dt = 2πR
0


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN
ĐƯỜNG
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

Định nghĩa

: SGK

Tính
chất
Điểm khác
biệt

: như tích phân đường loại 1
: phụ thuộc chiều lấy tích
phân

∫ Pdx + Qdy = − ∫ Pdx + Qdy

( AB )

( BA )

Cách tính
Xét

I=

∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy

( AB )


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
2
a/ Giả sử (AB) được xác định bởi y = y (x )
pt
x1 là hoành độ điểm đầu của cung
Gọi
(AB)
x2 ……………………….cuối…………
……....
Khi đó
x2

I = ∫ [ P ( x, y ( x)) + Q( x, y ( x)) y ' ( x)]dx
x1

Lưu
ý

x1 < x2 hay
: lúc này có
thể
không được đổi thứ tự
giữa

x1 > x2

nhưng
ta

x1 và x2


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
2
b/ Giả sử (AB) được xác định bởi x = x ( y )
pt
y1 là tung độ điểm đầu của cung
Gọi
(AB)
y2 ……………………..cuối……………
…....
Khi đó
y2

I = ∫ [ P( x( y ), y ) x' ( y ) + Q( x( y ), y )]dy
y1

c/ Giả sử (AB) được xác định bởi pt tham
số
t1 ứng với điểm đầu của cung
 x = x(t )
và

(AB)
y

=
y
(
t
)
…………………
t

2


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
t2
2
Lúc này, I = P ( x (t ), y (t )) x ' (t ) + Q ( x (t ), y (t )) y ' (t )

∫[

] dt

t1

Ví dụ

Tính

I=

∫ (3x − 4 y)dx + (2 x + y)dy

(C )

, với (C) là đường
tròn
Ta có pt tham số của (C) là

Do đó

I=

 x = 2 cos t
;0 ≤ t ≤ 2π

 y = 2 sin t
2π

x2 + y2 = 4

dx = −2 sin tdt
⇒
dy = 2 cos tdt

∫ [ (6 cos t − 8 sin t )(−2 sin t ) + (4 cos t + 2 sin t )2 cos t ] dt
0


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
2
ĐỊNH LÝ GREEN
Cho P(x,y) và Q(x,y) là những hàm có đạo hàm riêng
cấp 1 l/tục
trên miền D có biên là đường cong kín , khi đó
(C)

I=

∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy

(C )

 ∂Q ∂P 
dxdy
= (*)∫ ∫
−
∂x ∂y 
D 
trong đó
(*) lấy dấu “+” nếu chiều lấy tích phân
trùng với
chiều dương quy
ước


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
2
ĐỊNH NGHĨA CHIỀU DƯƠNG QUY ƯỚC
Xét D là miền phẳng có biên là đường cong kín
. Lúc
(C)
này,
chiều dương quy ước trên (C) là chiều mà đi theo đó,
miền D nằm
bên
trái
Ví dụ

D
(C )
(C )

D


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
2
Lưu ý các mệnh đề sau là tương đương
nhau
(1)

∂Q ∂P
=
∂x ∂y

(2)

∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0

thỏa

∀( x, y ) ∈ D ⊂ R 2

(C )

(3)

, với (C) là đường cong kín bất kỳ nằm
trong D
u ( x, y ) xác định trên D sao
tồn tại hàm
số
cho

du ( x, y ) = P ( x, y )dx + Q( x, y )dy

(4)

∫ P( x, y )dx + Q( x, y)dy

( AB )

không phụ thuộc vào đường cong nối
A,B


Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
2
Ví dụ
Tính I =

xdx + ydy
2
2
∫
x
+
y
( AB )

Trước hết, ta
xét

y
Q ( x, y ) = 2
x + y2
∂Q

2 xy
=− 2
∂x
( x + y 2 )2

A(1,1)

v B (3,2)
à
đồng thời (AB) không đi
qua O

và

, với

x
P ( x, y ) = 2
x + y2
∂P
2 xy
=− 2
∂y
( x + y 2 )2

∂P ∂Q
=
∂y ∂x ∀( x, y ) ∈ D ∈ R 2 \ (0,0)

Chương 3 – TP ĐƯỜNG – TP MẶT
Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM –

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
2
Vì vậy, tích phân đã cho không phụ thuộc vào đường cong
nối (AB)
Cho
nên,
Cách
nối A và B thành đoạn thẳng có pt x = 2 y − 1
1:
(AB)
 yA = 1
, suy ra
,

với
 yB = 2
2

(2 y − 1)2dy + ydy
I =∫
2
2
(
2
y
−
1

)
+
y
1
B

A

C

Cách 2:
nê
n

1 13
= ln
2 2

nối A, B bằng đường gấp
khúc

I=

∫

( AC )

+

∫

( CB )

= I1 + I 2