Biến đổi lượng giác và hệ thức lượng võ anh khoa, hoàng bá minh

LƯỢNG
GIÁC
MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG
TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG

VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH


VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH

LƯỢNG GIÁC
MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG
TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG

TP. HỒ CHÍ MINH

--------------------TOANMATH.com


LỜI NÓI ĐẦU
Cuốn sách “LƯỢNG GIÁC – MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG” này được biên
soạn với mục đích cung cấp, bổ sung kiến thức cho học sinh THPT và một số bạn đọc
quan tâm đến mảng kiến thức này trong quá trình học tập và làm việc. Ở cuốn sách này,
ngoài việc đưa ra những khái niệm và dạng bài tập cơ bản, chúng tôi sẽ thêm vào đó lịch
sử và ứng dụng của môn học này để các bạn hiểu rõ hơn “Nó xuất phát từ đâu và tại sao
chúng ta lại phải học nó?”.
Ở các chương chính, chúng tôi chia làm 3 phần :
Phần I : Nêu lý thuyết cùng ví dụ minh họa ngay sau đó, giúp bạn đọc hiểu và biết
cách trình bày bài. Đồng thời đưa ra các dạng toán cơ bản, thường gặp trong quá trình
làm bài trên lớp của học sinh THPT. Ở phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số bài để bạn
đọc có thể nắm vững hơn, tránh sai sót.

Phần II : Trong quá trình tham khảo và tổng hợp tài liệu, chúng tôi sẽ đưa vào
phần này các dạng toán khó nhằm giúp cho các học sinh bồi dưỡng, rèn luyện kĩ năng
giải LƯỢNG GIÁC thành thạo hơn khi gặp phải những dạng toán này.
Phần III : Chúng tôi sẽ đưa ra lời giải gợi ý cho một số bài, qua đó bạn đọc kiểm
tra lại đáp số, lời giải hoặc cũng có thể tham khảo thêm.
Trong quá trình biên soạn, mặc dù chúng tôi đã cố gắng bằng việc tham khảo một lượng
rất lớn các tài liệu có sẵn và tiếp thu có chọn lọc ý kiến từ các bạn đồng nghiệp để dần
hoàn thiện cuốn sách này, nhưng khó tránh khỏi những thiếu sót bởi tầm hiểu biết và kinh
nghiệm còn hạn chế, chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của bạn đọc
gần xa.
Chi tiết liên hệ tại :


CÁC TÁC GIẢ
VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH.

--------------------TOANMATH.com


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình biên soạn, chúng tôi xin cám ơn đến những bạn đã cung cấp tài liệu tham
khảo và vui lòng nhận kiểm tra lại từng phần của bản thảo hoặc bản đánh máy, tạo điều
kiện hoàn thành cuốn sách này :
-

Tô Nguyễn Nhật Minh (ĐH Quốc Tế Tp.HCM)
Ngô Minh Nhựt (ĐH Kinh Tế Tp.HCM)
Mai Ngọc Thắng (ĐH Kinh Tế Tp.HCM)
Trần Lam Ngọc (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM)
Nguyễn Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Tp.HCM)

Nguyễn Hoài Anh (THPT Chuyên Phan Bội Châu Tp.Vinh)
Phan Đức Minh (ĐH Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội)

và một số thành viên diễn đàn MathScope.

--------------------TOANMATH.com


MỤC LỤC
TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG
CHƯƠNG 1 : SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ ....................................... 1
CHƯƠNG 2 : CÁC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC ........................................................ 4
2.1

CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC ................................... 7
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................... 15

2.2

TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ............................................................... 21
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................... 33

2.3

CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC SUY TỪ ĐẲNG THỨC
LƯỢNG GIÁC KHÁC CHO TRƯỚC .......................................................... 36
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................... 45

2.4

CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO
BIẾN SỐ ....................................................................................................... 46
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................... 51

CHƯƠNG 3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ....................................... 52
3.1

CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC ......... 55
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ................................................................................... 77

3.2

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
TRONG TAM GIÁC ..................................................................................... 81
BÀI TẬP TỰ LUYỆN .................................................................................. 133

3.3

NHẬN DẠNG TAM GIÁC VÀ TÍNH CÁC GÓC TRONG TAM GIÁC..... 143
BÀI TẬP TỰ LUYỆN .................................................................................. 191

--------------------TOANMATH.com


ĐỌC THÊM :
TÓM LƯỢC TIỂU SỬ CÁC NHÀ KHOA HỌC
CÓ ẢNH HƯỚNG ĐẾN LƯỢNG GIÁC .................................................. 199
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 205

--------------------TOANMATH.com

Chương 1 : Sơ lược về khái niệm và lịch sử

CHƯƠNG 1
SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ
I.

KHÁI NIỆM

Trong toán học nói chung và lượng giác học nói riêng, các hàm lượng giác là các
hàm toán học của góc, được dùng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có tính chất
tuần hoàn. Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài
hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn thẳng nối
các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị. Sâu xa hơn, ở khía cạnh hiện đại hơn, định nghĩa
hàm lượng giác là chuỗi vô hạn hoặc là nghiệm của phương trình vi phân, điều này cho
phép hàm lượng giác có thể có đối số là một số thực hay một số phức bất kỳ.

( Dạng đồ thị hàm sin )

II.

LỊCH SỬ
Những nghiên cứu một cách hệ thống và việc lập bảng tính các hàm lượng giác
được cho là thực hiện đầu tiên bởi Hipparchus(1) (180-125 TCN), người đã lập bảng tính
độ dài các cung tròn và chiều dài của dây cung tương ứng. Sau đó, Ptomely(2) tiếp tục
phát triển công trình, tìm ra công thức cộng và trừ cho •‹ሺ ൅ ሻ và …‘•ሺ ൅ ሻ,
Ptomely cũng đã suy diễn ra được công thức hạ bậc, cho phép ông lập bảng tính với bất
kỳ độ chính xác cần thiết nào. Tuy nhiên, những bảng tính trên đều đã bị thất truyền.
Các phát triển tiếp theo diễn ra ở Ấn Độ, công trình của Surya Siddhanta(3) (thế kỷ

4-5) định nghĩa hàm sin theo nửa góc và nửa dây cung. Đến thế kỷ 10, người Ả Rập đã
dùng cả 6 hàm lượng giác cơ bản với độ chính xác đến 8 chữ số thập phân.
Các công trình đầu tiên này về các hàm lượng giác cơ bản đều được phát triển
nhằm phục vụ trong các công trình thiên văn học, cụ thể là dùng để tính toán các đồng hồ
mặt trời.
1
--------------------TOANMATH.com


Chương 1 : Sơ lược về khái niệm và lịch sử
Ngày nay, chúng được dùng để đo khoảng cách tới các ngôi sao gần, giữa các mốc
giới hạn hay trong các hệ thống hoa tiêu vệ tinh. Rộng hơn nữa, chúng được áp dụng vào
nhiều lĩnh vực khác : quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử học, lý thuyết xác
suất, thống kê, sinh học, dược khoa, hóa học, lý thuyết số, địa chấn học, khí tượng học,
hải dương học…
Ta lấy ví dụ từ một bài toán sau trích từ Lucia C. Hamson, Daylight, Twilight,
Darkness and Time :
Việc mô hình hóa về số giờ chiếu sáng của mặt trời là hàm thời gian trong năm tại
nhiều vĩ độ khác nhau. Cho biết Philadelphia nằm ở vĩ độ ͶͲ୭ Bắc, tìm hàm biểu thị số
giờ chiếu sáng của mặt trời tại Philadelphia.

Chú ý rằng mỗi đường cong tương tự với một hàm số sin mà bị di chuyển và kéo
căng ra. Tại độ cao của Philadelphia, thời gian chiếu sáng kéo dài 14,8 giờ vào ngày 21
tháng 6 và 9,2 giờ vào ngày 21 tháng 12, vậy nên biên độ của đường cong (hệ số kéo
căng theo chiều dọc) là :
ͳ
ሺͳͶǡͺ െ ͻǡʹሻ ൌ ʹǡͺ
ʹ
Hệ số nào mà chúng ta cần để kéo căng đồ thị hình sin theo chiều ngang nếu
chúng ta đo thời gian ‫ ݐ‬trong ngày? Bởi có 365 ngày/ năm, chu kỳ của mô hình nên là 365.

Nhưng mà giai đoạn của ‫ ݕ‬ൌ •‹ ‫ ݐ‬là ʹߨ, nên hệ số kéo căng theo chiều ngang là :

2

--------------------TOANMATH.com


Chương 1 : Sơ lược về khái niệm và lịch sử
ܿൌ

ʹߨ

͵͸ͷ

Chúng ta cũng để ý rằng đường cong bắt đầu một chu trình của nó vào ngày 21
tháng 3, ngày thứ 80 của năm nên chúng ta phải phải dịch chuyển đường cong về bên
phải 80 đơn vị. Ngoài ra, chúng ta phải đưa nó lên trên 12 đơn vị. Do đó chúng ta mô
hình hóa số giờ chiếu sáng của của mặt trời trong năm ở Philadelphia vào ngày thứ ‫ ݐ‬của
năm bằng hàm số :
‫ܮ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͳʹ ൅ ʹǡͺ •‹ ൤

ʹߨ
ሺ‫ ݐ‬െ ͺͲሻ൨
͵͸ͷ

3
--------------------TOANMATH.com


Chương 2 : Các biến đổi lượng giác

CHƯƠNG 2
CÁC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
I.
BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC
BIỆT
Ta gọi cung có liên quan đặc biệt với
cung ߙ là các cung :
Đối với ߙ : െߙ
-

Bù với ߙ : ߨ െ ߙ

-

Hiệu ߨ với ߙ : ߨ ൅ ߙ

-

Hơn kém

cos
sin
tan
cot

గ
ଶ

với ߙ :

గ
૛

േߙ

െߙ

ߨെߙ

ߨ൅ߙ

…‘• ߙ
െ •‹ ߙ
െ –ƒ ߙ
െ …‘– ߙ

െ …‘• ߙ
•‹ ߙ
െ –ƒ ߙ
െ …‘– ߙ

െ …‘• ߙ
െ •‹ ߙ
–ƒ ߙ
…‘– ߙ

ߨ
െߙ
ʹ

•‹ ߙ
…‘• ߙ
…‘– ߙ
–ƒ ߙ

ߨ
൅ߙ
ʹ
െ •‹ ߙ
…‘• ߙ
െ …‘– ߙ
െ –ƒ ߙ

Ngoài ra, có một số hàm lượng giác khác :
ͳ
ͳ
െ•‡… ߙ ൌ
െ  …•… ߙ ൌ
…‘• ߙ
•‹ ߙ
െ˜‡”•‹ߙ ൌ ͳ െ …‘• ߙ െ ‡š•‡…ߙ ൌ •‡… ߙ െ ͳ
II.
1.

4

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
CÔNG THỨC CƠ BẢN

ߨ

•‹ଶ ‫ ݔ‬൅ …‘• ଶ ‫ ݔ‬ൌ ͳ –ƒ ‫ ݔ –‘… ݔ‬ൌ ͳ ቀ‫ ݇ ് ݔ‬ǡ ݇ ‫ א‬Ժቁ
ʹ
ͳ
ߨ
•‹ ‫ݔ‬
 ͳ ൅ –ƒଶ ‫ ݔ‬ൌ
ቀ‫ݔ‬
്
൅ ݇ߨǡ ݇ ‫ א‬Ժቁ
–ƒ ‫ ݔ‬ൌ
…‘• ଶ ‫ݔ‬
ʹ
…‘• ‫ݔ‬
ͳ
…‘• ‫ݔ‬
ͳ ൅ …‘– ଶ ‫ ݔ‬ൌ
 ሺ‫ߨ݇ ് ݔ‬ǡ ݇ ‫ א‬Ժሻ
…‘– ‫ ݔ‬ൌ
•‹ଶ ‫ݔ‬
•‹ ‫ݔ‬

--------------------TOANMATH.com


Chương 2 : Các biến đổi lượng giác

Từ hình vẽ thực tiễn trên, ta rút ra được một số công thức cơ bản về hàm lượng giác :
2.
CÔNG THỨC CỘNG
•‹ሺܽ േ ܾሻ ൌ •‹ ܽ …‘• ܾ േ •‹ ܾ …‘• ܽ

…‘•ሺܽ ൅ ܾሻ ൌ …‘• ܽ …‘• ܾ ‫ܾ ‹• ܽ ‹• ט‬
–ƒሺܽ േ ܾሻ ൌ

ߨ
–ƒ ܽ േ –ƒ ܾ
ቀܽǡ ܾǡ ܽ േ ܾ ് ൅ ݇ߨǡ ݇ ‫ א‬Ժቁ
ͳ ‫ܾ ƒ– ܽ ƒ– ט‬
ʹ

…‘–ሺܽ േ ܾሻ ൌ

…‘– ܽ …‘– ܾ ‫ͳ ט‬
 ሺܽǡ ܾǡ ܽ േ ܾ ് ݇ߨǡ ݇ ‫ א‬Ժሻ
…‘– ܽ േ …‘– ܾ

3.
a.

CÔNG THỨC NHÂN
CÔNG THỨC NHÂN 2
•‹ ʹ‫ ݔ‬ൌ ʹ •‹ ‫ݔ •‘… ݔ‬
…‘• ଶ ‫ ݔ‬െ •‹ଶ ‫ݔ‬
…‘• ʹ‫ ݔ‬ൌ ൝ ʹ …‘• ଶ ‫ ݔ‬െ ͳ
ͳ െ ʹ •‹ଶ ‫ݔ‬
ߨ
ʹ –ƒ ‫ݔ‬
–ƒ ʹ‫ ݔ‬ൌ
ቀ‫ݔ‬ǡ
ʹ‫ݔ‬
്

൅ ݇ߨǡ ݇ ‫ א‬Ժቁ
ͳ െ –ƒଶ ‫ݔ‬
ʹ
b.
CÔNG THỨC NHÂN 3
ߨ
ߨ
•‹ ͵‫ ݔ‬ൌ ͵ •‹ ‫ ݔ‬െ Ͷ •‹ଷ ‫ ݔ‬ൌ Ͷ •‹ ‫ ‹• ݔ‬ቀ െ ‫ݔ‬ቁ •‹ ቀ ൅ ‫ݔ‬ቁ
͵
͵
ߨ
ߨ
ଷ
…‘• ͵‫ ݔ‬ൌ Ͷ …‘• ‫ ݔ‬െ ͵ …‘• ‫ ݔ‬ൌ Ͷ …‘• ‫ •‘… ݔ‬ቀ െ ‫ݔ‬ቁ …‘• ቀ ൅ ‫ݔ‬ቁ
͵
͵
ߨ
ߨ
͵ –ƒ ‫ ݔ‬െ –ƒଷ ‫ݔ‬
ൌ –ƒ ‫ ƒ– ݔ‬ቀ െ ‫ݔ‬ቁ –ƒ ቀ ൅ ‫ݔ‬ቁ
–ƒ ͵‫ ݔ‬ൌ
͵
͵
ͳ െ ͵ –ƒଶ ‫ݔ‬
Công thức tổng quát đối với hàm tan :
–ƒ ܽ ൅ –ƒ ܾ ൅ –ƒ ܿ െ –ƒ ܽ –ƒ ܾ –ƒ ܿ
–ƒሺܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ሻ ൌ
ͳ െ –ƒ ܽ –ƒ ܾ െ –ƒ ܾ –ƒ ܿ െ –ƒ ܿ –ƒ ܽ
5
--------------------TOANMATH.com

Chương 2 : Các biến đổi lượng giác
c.

d.

4.
a.

b.

6

CÔNG THỨC TÍNH THEO ‫ ݐ‬ൌ –ƒ ‫ݔ‬
ʹ‫ݐ‬
•‹ ʹ‫ ݔ‬ൌ
ͳ ൅ ‫ݐ‬ଶ
ͳ െ ‫ݐ‬ଶ
ߨ
…‘• ʹ‫ ݔ‬ൌ
ቀ‫ݔ‬
്
൅ ݇ߨǡ ݇ ‫ א‬Ժቁ
ʹ
ͳ ൅ ‫ݐ‬ଶ
ʹ‫ݐ‬
–ƒ ʹ‫ ݔ‬ൌ
ͳ െ ‫ݐ‬ଶ
CÔNG THỨC HẠ BẬC

ͳ െ …‘• ʹ‫ݔ‬
ͳ ൅ …‘• ʹ‫ݔ‬
ͳ െ …‘• ʹ‫ݔ‬
…‘• ଶ ‫ ݔ‬ൌ
–ƒଶ ‫ ݔ‬ൌ
•‹ଶ ‫ ݔ‬ൌ
ʹ
ʹ
ͳ ൅ …‘• ʹ‫ݔ‬
െ
•‹
͵‫ݔ‬
൅
͵
•‹
‫ݔ‬
…‘•
͵‫ݔ‬
൅
͵
…‘•
‫ݔ‬
•‹ଷ ‫ ݔ‬ൌ
…‘• ଷ ‫ ݔ‬ൌ
Ͷ
Ͷ
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
TÍCH THÀNH TỔNG
ͳ
…‘• ܽ …‘• ܾ ൌ ሾ…‘•ሺܽ ൅ ܾሻ ൅ …‘•ሺܽ െ ܾሻሿ

ʹ
ͳ
•‹ ܽ •‹ ܾ ൌ െ ሾ…‘•ሺܽ ൅ ܾሻ െ …‘•ሺܽ െ ܾሻሿ
ʹ
ͳ
•‹ ܽ …‘• ܾ ൌ ሾ•‹ሺܽ ൅ ܾሻ ൅ •‹ሺܽ െ ܾሻሿ
ʹ
ͳ
…‘• ܽ •‹ ܾ ൌ ሾ•‹ሺܽ ൅ ܾሻ െ •‹ሺܽ െ ܾሻሿ
ʹ
TỔNG THÀNH TÍCH
ܽെܾ
ܽ൅ܾ
…‘•
…‘• ܽ ൅ …‘• ܾ ൌ ʹ …‘•
ʹ
ʹ
ܽ൅ܾ
ܽെܾ
•‹
…‘• ܽ െ …‘• ܾ ൌ െʹ •‹
ʹ
ʹ
ܽെܾ
ܽ൅ܾ
…‘•
•‹ ܽ ൅ •‹ ܾ ൌ ʹ •‹
ʹ
ʹ
ܽെܾ

ܽ൅ܾ
•‹
•‹ ܽ െ •‹ ܾ ൌ ʹ …‘•
ʹ
ʹ
ߨ
•‹ሺܽ േ ܾሻ
ቀܽǡ ܾ ് ൅ ݇ߨǡ ݇ ‫ א‬Ժቁ
–ƒ ܽ േ –ƒ ܾ ൌ
…‘• ܽ …‘• ܾ
ʹ
•‹ሺܾ േ ܽሻ
…‘– ܽ േ …‘– ܾ ൌ
 ሺܽǡ ܾ ് ݇ߨǡ ݇ ‫ א‬Ժሻ
•‹ ܽ •‹ ܾ
ߨ
•‹ሺܽ െ ܾሻ
ቀܽ ് ൅ ݇ߨǡ ܾ ് ݈ߨǡ ݇ǡ ݈ ‫ א‬Ժቁ
–ƒ ܽ ൅ …‘– ܾ ൌ
…‘• ܽ •‹ ܾ
ʹ
ߨ
…‘•ሺܽ ൅ ܾሻ
ቀܽ ് ݇ߨǡ ܾ ് ൅ ݈ߨǡ ݇ǡ ݈ ‫ א‬Ժቁ
…‘– ܽ െ –ƒ ܾ ൌ
•‹ ܽ …‘• ܾ
ʹ

--------------------TOANMATH.com

Chương 2 : Các biến đổi lượng giác
c.

CÔNG THỨC BỔ SUNG

ߨ
•‹ ܽ േ …‘• ܽ ൌ ξʹ •‹ ቀܽ േ ቁ
Ͷ
ߨ
…‘• ܽ േ •‹ ܽ ൌ ξʹ …‘• ቀܽ ‫ ט‬ቁ
Ͷ
ߨ
ߨ
ξ͵ •‹ ܽ േ …‘• ܽ ൌ ʹ •‹ ቀܽ േ ቁ ൌ ʹ …‘• ቀܽ ‫ ט‬ቁ
͸
͵
ߨ
ߨ
•‹ ܽ േ ξ͵ …‘• ܽ ൌ ʹ •‹ ቀܽ േ ቁ ൌ ʹ …‘• ቀܽ ‫ ט‬ቁ
͵
͸
݉ •‹ ܽ ൅ ݊ …‘• ܽ ൌ ඥ݉ଶ ൅ ݊ଶ •‹ሺܽ ൅ ܾሻ
Trong đó
݉ଶ ൅ ݊ଶ ൐ Ͳ
݊
݉
൝…‘• ܾ ൌ
Ǣ •‹ ܾ ൌ
ξ݉ଶ ൅ ݊ଶ

ξ݉ଶ ൅ ݊ଶ

III.
1.
-

-

CÁC LOẠI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Ta thường sử dụng các phương pháp : biến đổi vế phức tạp hoặc nhiều số hạng
thành vế đơn giản; biến đổi tương đương; xuất phát từ đẳng thức đúng nào đó, biến
đổi về đẳng thức cần chứng minh.
Trong khi biến đổi ta sử dụng các công thức thích hợp hướng đến kết quả phải đạt
được.
Lưu ý một số công thức trên phải chứng minh trước khi sử dụng.

Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau :
a.

b.

…‘– ܽ െ –ƒ ܽ ൌ ʹ …‘– ʹܽ
•‹ ʹܽ ሺ–ƒ ܽ ൅ …‘– ܽሻ ൌ ʹ

Giải:
a.

Ta có :
…‘• ܽ •‹ ܽ …‘• ଶ ܽ െ •‹ଶ ܽ ʹ …‘• ʹܽ

 ൌ
െ
ൌ
ൌ
ൌ 
•‹ ܽ …‘• ܽ
•‹ ʹܽ
•‹ ܽ …‘• ܽ

b.

Ta có :
 ൌ ʹ •‹ ܽ …‘• ƒ ൬

•‹ ܽ …‘• ܽ
൅
൰ ൌ ʹሺ•‹ଶ ܽ ൅ …‘• ଶ ܽሻ ൌ ʹ
…‘• ܽ •‹ ܽ

7
--------------------TOANMATH.com


Chương 2 : Các biến đổi lượng giác
Bài 2: Chứng minh đẳng thức sau :
ƒǤ –ƒଷ ‫ ݔ‬൅ –ƒଶ ‫ ݔ‬൅ –ƒ ‫ ݔ‬൅ ͳ ൌ

•‹ ‫ ݔ‬൅ …‘• ‫ݔ‬
…‘• ଷ ‫ݔ‬

„Ǥ

ͳ ൅ …‘– ‫ ݔ ƒ– ݔ‬൅ ͳ
ൌ
ͳ െ …‘– ‫ ݔ ƒ– ݔ‬െ ͳ

…Ǥ

͸ ൅ ʹ …‘• Ͷ‫ݔ‬
ൌ …‘– ଶ ‫ ݔ‬൅ –ƒଶ ‫ݔ‬
ͳ െ …‘• Ͷ‫ݔ‬

†Ǥ

–ƒ ‫ ݔ‬െ •‹ ‫ݔ‬
ͳ
ൌ
•‹ଷ ‫ݔ‬
…‘• ‫ ݔ‬ሺͳ ൅ …‘• ‫ ݔ‬ሻ

Giải:
a.
Ta có :

b.

•‹ ‫ݔ‬
ቀ
൅ ͳቁ
 ൌ –ƒଶ ‫ ݔ‬ሺ–ƒ ‫ ݔ‬൅ ͳሻ ൅ –ƒ ‫ ݔ‬൅ ͳ ൌ ሺ–ƒ ‫ ݔ‬൅ ͳሻሺ–ƒଶ ‫ ݔ‬൅ ͳሻ ൌ …‘• ‫ݔ‬ଶ

…‘• ‫ݔ‬
•‹ ‫ ݔ‬൅ …‘• ‫ݔ‬
ൌ
ൌ 
…‘• ଷ ‫ݔ‬
Ta có điều cần chứng minh tương đương với
ሺͳ ൅ …‘– ‫ ݔ‬ሻሺ–ƒ ‫ ݔ‬െ ͳሻ ൌ ሺ–ƒ ‫ ݔ‬൅ ͳሻሺͳ െ …‘– ‫ ݔ‬ሻ

฻ –ƒ ‫ ݔ‬െ ͳ ൅ –ƒ ‫ ݔ –‘… ݔ‬െ …‘– ‫ ݔ‬ൌ –ƒ ‫ ݔ‬െ –ƒ ‫ ݔ –‘… ݔ‬൅ ͳ െ …‘– ‫ݔ‬
Điều này hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh.
c.

Ta có :
 ൌ ሺ…‘– ‫ ݔ‬൅ –ƒ ‫ ݔ‬ሻଶ െ ʹ ൌ

d.

Ͷ
Ͷ
͸ ൅ ʹ …‘• Ͷ‫ݔ‬
െ
ʹ
ൌ
െ
ʹ
ൌ
ൌ 
ͳ െ …‘• Ͷ‫ݔ‬
•‹ଶ ʹ‫ݔ‬
ͳ െ …‘• Ͷ‫ݔ‬

ʹ

Ta có :
ͳ
െ ͳቁ
•‹ ‫ ݔ‬ቀ
ͳ െ …‘• ‫ݔ‬
ͳ
…‘• ‫ݔ‬
ൌ
ൌ
ൌ 
 ൌ
ଷ
•‹ ‫ݔ‬
…‘• ‫ ݔ‬ሺͳ െ …‘• ‫ ݔ‬ሻሺͳ ൅ …‘• ‫ ݔ‬ሻ …‘• ‫ ݔ‬ሺͳ ൅ …‘• ‫ ݔ‬ሻ

8

--------------------TOANMATH.com


Chương 2 : Các biến đổi lượng giác
Bài 3: Chứng minh :
a.
ͷ ൅ ͵ …‘• Ͷ‫ ݔ‬ൌ ͺሺ•‹଺ ‫ ݔ‬൅ …‘• ଺ ‫ ݔ‬ሻ
b.
•‹ ʹ‫ ݔ ƒ– ݔ‬ൌ ͳ െ …‘• ʹ‫ݔ‬
Suy ra giá trị :
ߨ

͵ߨ
ͷߨ
 ൌ –ƒଶ
൅ –ƒଶ
൅ –ƒଶ
ͳʹ
ͳʹ
ͳʹ
Giải:
a.
Ta có :
•‹଺ ‫ ݔ‬൅ …‘• ଺ ‫ ݔ‬ൌ ሺ•‹ଶ ‫ ݔ‬൅ …‘• ଶ ‫ ݔ‬ሻሺ•‹ସ ‫ ݔ‬െ •‹ଶ ‫ •‘… ݔ‬ଶ ‫ ݔ‬൅ …‘• ସ ‫ ݔ‬ሻ
͵
͵
ൌ ሺ•‹ଶ ‫ ݔ‬൅ …‘• ଶ ‫ ݔ‬ሻଶ െ ͵ •‹ଶ ‫ •‘… ݔ‬ଶ ‫ ݔ‬ൌ ͳ െ •‹ଶ ʹ‫ ݔ‬ൌ ͳ െ ሺͳ െ …‘• Ͷ‫ ݔ‬ሻ
Ͷ
ͺ
ͷ ൅ ͵ …‘• ସ ‫ݔ‬
ൌ
ͺ
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b.

Ta có :
ͳ െ …‘• ʹ‫ݔ‬
ʹ •‹ଶ ‫ݔ‬
ൌ
ൌ –ƒ ‫ݔ‬
•‹ ʹ‫ݔ‬
ʹ •‹ ‫ݔ •‘… ݔ‬

Nên

ߨ
ξ͵
ͳ െ …‘•
ͳെ
ߨ
͸
ʹ ൌ ʹ െ ξ͵
ൌ
ൌ
–ƒ
ߨ
ͳ
ͳʹ
•‹
͸
ʹ
͵ߨ
͵ߨ ͳ െ …‘• ͸
ൌ
–ƒ
ൌͳ
͵ߨ
ͳʹ
•‹
͸
ͷߨ
ͷߨ ͳ െ …‘• ͸

ൌ
ൌ ʹ ൅ ξ͵
–ƒ
ͷߨ
ͳʹ
•‹
͸
ଶ
ଶ
Vậy  ൌ ൫ʹ െ ξ͵൯ ൅ ͳ ൅ ൫ʹ ൅ ξ͵൯ ൌ ͳͷ
Bài 4: Chứng minh
•‹ସ ‫ ݔ‬ൌ
Áp dụng tính tổng sau :
 ൌ •‹ସ

͵ ͳ
ͳ
െ …‘• ʹ‫ ݔ‬൅ …‘• Ͷ‫ݔ‬
ͺ ʹ
ͺ

ߨ
͵ߨ
ͷߨ
͹ߨ
൅ •‹ସ
൅ •‹ସ
൅ •‹ସ
ͳ͸
ͳ͸

ͳ͸
ͳ͸
9
--------------------TOANMATH.com


Chương 2 : Các biến đổi lượng giác

Giải:
Ta có :
ͳ െ …‘• ʹ‫ ݔ‬ଶ ͳ ൅ …‘• ଶ ʹ‫ ݔ‬െ ʹ …‘• ʹ‫ ͳ ݔ‬൅
ସ
•‹ ‫ ݔ‬ൌ ൬
൰ ൌ
ൌ
ʹ
Ͷ
͵ …‘• Ͷ‫ͳ ݔ‬
ൌ ൅
െ …‘• ʹ‫ݔ‬
ͺ
ͺ
ʹ
Suy ra
͵ ͳ
ߨ ͳ
ߨ
ߨ
ൌ െ …‘• ൅ …‘•
•‹ସ

ͺ ͺ
Ͷ
ͳ͸ ͺ ʹ
͵ߨ ͵ ͳ
͵ߨ ͳ
͵ߨ
ൌ െ …‘•
൅ …‘•
•‹ସ
ͳ͸ ͺ ʹ
ͺ
ͺ
Ͷ
ͷߨ ͳ
ͷߨ
ͷߨ ͵ ͳ
ൌ െ …‘•
൅ …‘•
•‹ସ
ͺ
ͺ
Ͷ
ͳ͸ ͺ ʹ
•‹ସ

ͳ ൅ …‘• Ͷ‫ݔ‬
െ ʹ …‘• ʹ‫ݔ‬
ʹ
Ͷ

͹ߨ ͵ ͳ
͹ߨ ͳ
͹ߨ
ൌ െ …‘•
൅ …‘•
ͳ͸ ͺ ʹ
ͺ
ͺ
Ͷ

Vì
…‘•

ͷߨ
ߨ
͹ߨ
ߨ
͵ߨ
ͷߨ
͹ߨ
͵ߨ
൅ …‘•
ൌ …‘• ൅ …‘•
ൌ …‘• ൅ …‘•
ൌ …‘•
൅ …‘•
ൌͲ
ͺ
ͺ
ͺ

Ͷ
Ͷ
Ͷ
Ͷ
ͺ

Nên
ൌ

͵
ʹ

Bài 5: Cho ‫ݔ‬ǡ ‫ݕ‬ǡ ‫ ݖ‬với ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ ݊ߨ ሺ݊ ‫ א‬Գሻ
Chứng minh
…‘• ଶ ‫ ݔ‬൅ …‘• ଶ ‫ ݕ‬൅ …‘• ଶ ‫ ݖ‬ൌ ͳ ൅ ʹǤ ሺെͳሻ௡ …‘• ‫ݖ •‘… ݕ •‘… ݔ‬
Giải:
Ta có :
…‘• ଶ ‫ ݔ‬൅ …‘• ଶ ‫ ݕ‬ൌ

ͳ ൅ …‘• ʹ‫ ͳ ݔ‬൅ …‘• ʹ‫ݕ‬
൅
ൌ ͳ ൅ …‘•ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ …‘•ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻ
ʹ
ʹ

…‘• ଶ ‫ ݖ‬ൌ …‘• ଶ൫݊ߨ െ ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ൯ ൌ …‘• ଶ ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ
10

--------------------TOANMATH.com

Chương 2 : Các biến đổi lượng giác
Nên
 ൌ ͳ ൅ …‘•ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ ሾ…‘•ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ ൅ …‘•ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻሿ ൌ ͳ ൅ ʹ …‘•ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ …‘• ‫ݕ •‘… ݔ‬
ൌ ͳ ൅ ʹ …‘•ሺ݊ߨ െ ‫ݖ‬ሻ …‘• ‫ݕ •‘… ݔ‬
Khi
-

݊ ൌ ʹ݉ thì …‘•ሺ݊ߨ െ ‫ݖ‬ሻ ൌ …‘• ‫ݖ‬
݊ ൌ ʹ݉ ൅ ͳ thì …‘•ሺ݊ߨ െ ‫ݖ‬ሻ ൌ െ …‘• ‫ݖ‬

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 6: Chứng minh
ߨ
ʹߨ
͵ߨ ͳ
…‘• െ …‘•
൅ …‘•
ൌ
͹
͹
͹
ʹ
(ĐH Đà Nẵng 1998)
Giải: Đặt
ߨ
ʹߨ
͵ߨ
 ൌ …‘• െ …‘•
൅ …‘•

͹
͹
͹
Ta có :
ߨ
ʹߨ
ߨ
ʹߨ
ߨ
͵ߨ
ʹ •‹  ൌ •‹
െ ʹ •‹ …‘•
൅ ʹ •‹ …‘•
͹
͹
͹
͹
͹
͹
ʹߨ
͵ߨ
ߨ
Ͷߨ
ʹߨ
ൌ •‹
െ ൤•‹
൅ •‹ ቀെ ቁ൨ ൅ ൤•‹
൅ •‹ ൬െ ൰൨
͹
͹

͹
͹
͹
ʹߨ
͵ߨ
ߨ
Ͷߨ
ʹߨ
ߨ
Ͷߨ
͵ߨ
ൌ •‹
െ •‹
൅ •‹ ൅ •‹
െ •‹
ൌ •‹ ൬•‹
ൌ •‹ ൰
͹
͹
͹
͹
͹
͹
͹
͹
Do đó
ൌ

ͳ
ʹ

Bài 7: Chứng minh
•‹଺ ‫ •‘… ݔ‬ଶ ‫ ݔ‬൅ •‹ଶ ‫ ݔ ଺ •‘… ݔ‬ൌ

ͳ
ሺͳ െ …‘• ସ ʹ‫ ݔ‬ሻ
ͺ

11
--------------------TOANMATH.com


Chương 2 : Các biến đổi lượng giác
Giải: Ta có điều cần chứng minh tương đương với
ͳ
•‹ଶ ‫ •‘… ݔ‬ଶ ‫ ݔ‬ሺ•‹ସ ‫ ݔ‬൅ …‘• ସ ‫ ݔ‬ሻ ൌ ሺͳ െ …‘• ଶ ʹ‫ ݔ‬ሻሺͳ ൅ …‘• ଶ ʹ‫ ݔ‬ሻ
ͺ
฻ ͺ •‹ଶ ‫ •‘… ݔ‬ଶ ‫ ݔ‬െ ͳ͸ •‹ସ ‫ •‘… ݔ‬ସ ‫ ݔ‬ൌ •‹ଶ ʹ‫ ݔ‬ሺͳ ൅ …‘• ଶ ʹ‫ ݔ‬ሻ
฻ ʹ •‹ଶ ʹ‫ ݔ‬െ •‹ସ ʹ‫ ݔ‬ൌ •‹ଶ ʹ‫ ݔ‬൅ •‹ଶ ʹ‫ •‘… ݔ‬ଶ ʹ‫ݔ‬
฻ •‹ଶ ʹ‫ ݔ‬ൌ •‹ଶ ʹ‫ ݔ‬ሺ•‹ଶ ʹ‫ ݔ‬൅ …‘• ଶ ʹ‫ ݔ‬ሻ
Điều này hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Bài 8: Chứng minh
•‹ ܽ ൅ …‘– ܽ ௡
•‹௡ ܽ ൅ …‘– ௡ ܽ
ǡ ݊ ‫ א‬Գ
൬
൰ ൌ
ͳ ൅ •‹ ܽ –ƒ ܽ
ͳ ൅ •‹௡ ܽ –ƒ௡ ܽ
Giải: Ta có :

௡

•‹ ܽ ൅ …‘– ܽ ௡
•‹ ܽ ൅ …‘– ܽ
 ൌ ቌ
ቍ ൌ ൬…‘– ܽ
൰ ൌ …‘– ௡ ܽ
ͳ
•‹
ܽ
൅
…‘–
ܽ
ͳ ൅ •‹ ܽ
…‘– ܽ
 ൌ

•‹௡ ܽ ൅ …‘– ௡ ܽ
•‹௡ ܽ ൅ …‘– ௡ ܽ
ൌ …‘– ௡ ܽ
ൌ …‘– ௡ ܽ
௡
௡
ͳ
…‘– ܽ ൅ •‹ ܽ
ͳ ൅ •‹௡ ܽ
…‘– ௡ ܽ

Do đó, ta có điều phải chứng minh.
Bài 9: Chứng minh

•‹ଶ ܽ െ ʹ …‘• ସ ܽ ൅ ͵ …‘• ଶ ܽ ൌ

•‹ଶ ܽ
ͳ െ •‹ଶ ܽ
൅
൅ •‹ ܽ …‘• ܽ ൅ ʹ •‹ଶ ܽ …‘• ଶ ܽ
ͳ ൅ …‘– ܽ ͳ ൅ –ƒ ܽ

Giải:
Ta có :
 ൌ •‹ଶ ܽ ൅ …‘• ଶ ܽ ൅ ʹ …‘• ଶ ܽ ሺͳ െ …‘• ଶ ܽ ሻ
 ൌ

12

ͳ
ሺ•‹ଶ ܽ ൅ …‘– ܽ …‘• ଶ ܽ ሻ ൅ •‹ ܽ …‘• ܽ ൅ ʹ •‹ଶ ܽ …‘• ଶ ܽ
ͳ ൅ …‘– ܽ

--------------------TOANMATH.com


Chương 2 : Các biến đổi lượng giác
•‹ଷ ܽ ൅ …‘• ଷ ܽ
•‹ ܽ
ቆ
ቇ ൅ •‹ ܽ …‘• ܽ ൅ ʹ •‹ଶ ܽ …‘• ଶ ܽ
ൌ
•‹ ܽ ൅ …‘• ܽ
•‹ ܽ

ൌ ͳ െ •‹ ܽ …‘• ܽ ൅ •‹ ܽ …‘• ܽ ൅ ʹ •‹ଶ ܽ …‘• ଶ ܽ ൌ ͳ ൅ ʹ •‹ଶ ܽ …‘• ଶ ܽ
Do đó, ta có điều phải chứng minh.
Bài 10: Chứng minh
•‹ ʹ୭ •‹ ͳͺ୭ •‹ ʹʹ୭ •‹ ͵ͺ୭ •‹ Ͷʹ୭ •‹ ͷͺ୭ •‹ ͸ʹ୭ •‹ ͹ͺ୭ •‹ ͺʹ୭ ൌ

ξͷ െ ͳ
ͳͲʹͶ

(ĐHSP Hải Phòng 2001)
Giải: Đặt
 ൌ •‹ ʹ୭ •‹ ͳͺ୭ •‹ ʹʹ୭ •‹ ͵ͺ୭ •‹ Ͷʹ୭ •‹ ͷͺ୭ •‹ ͸ʹ୭ •‹ ͹ͺ୭ •‹ ͺʹ୭
Ta có :
•‹ ͵ܽ ൌ Ͷ •‹ ܽ •‹ሺ͸Ͳ୭ ൅ ܽሻ •‹ሺ͸Ͳ୭ െ ܽሻ
Áp dụng công thức trên, ta được :
Ͷ •‹ ʹ୭ •‹ሺ͸Ͳ୭ ൅ ʹ୭ ሻ •‹ሺ͸Ͳ୭ െ ʹ୭ ሻ ൌ •‹ ͸୭
Ͷ •‹ ͳͺ୭ •‹ሺ͸Ͳ୭ ൅ ͳͺ୭ ሻ •‹ሺ͸Ͳ୭ െ ͳͺ୭ ሻ ൌ •‹ ͷͶ୭
Ͷ •‹ ʹʹ୭ •‹ሺ͸Ͳ୭ ൅ ʹʹ୭ ሻ •‹ሺ͸Ͳ୭ െ ʹʹ୭ ሻ ൌ •‹ ͸͸୭
Nhân lại, ta được :
͸Ͷ ൌ •‹ ͸୭ •‹ ͷͶ୭ •‹ ͸͸୭
฻ ͸Ͷ ൌ

െͳ ൅ ξͷ
ͳ
ͳ
•‹ ͸୭ •‹ሺ͸Ͳ୭ ൅ ͸୭ ሻ •‹ሺ͸͸୭ െ ͸୭ ሻ ൌ •‹ ͳͺ୭ ൌ
ͳ͸
Ͷ
Ͷ

Vậy

ൌ

ξͷ െ ͳ
ͳͲʹͶ

13
--------------------TOANMATH.com


Chương 2 : Các biến đổi lượng giác
Bài 11: Chứng minh rằng
ͳ
ܽ
ͳ
ܽ
ͳ
ܽ
–ƒ ܽ ൅ –ƒ ൅  ǥ ൅ ௡ –ƒ ௡ ൌ ௡ …‘– ௡ െ ʹ …‘– ʹܽ
ʹ
ʹ
ʹ
ʹ
ʹ
ʹ
…‘• ܽ ൅ …‘• ͵ܽ ൅  ǥ ൅ …‘•ሺʹ݊ െ ͳሻܽ ൌ

•‹ ʹ݊ܽ
ߨ
ǡ ‫ א ܽ׊‬ቀͲǢ ቁ ǡ ݊ ‫ א‬Գ
ʹ •‹ ܽ

ʹ

•‹ଶ ݊ܽ
ߨ
•‹ ܽ ൅ •‹ ͵ܽ ൅  ǥ ൅ •‹ሺʹ݊ െ ͳሻܽ ൌ
ǡ ‫ א ܽ׊‬ቀͲǢ ቁ ǡ ݊ ‫ א‬Գ
ʹ
•‹ ܽ
Giải:
x Ta có : –ƒ ‫ ݔ‬ൌ …‘– ‫ ݔ‬െ ʹ …‘– ʹ‫ݔ‬
Sử dụng công thức này, ta được :
–ƒ ܽ ൌ …‘– ܽ െ ʹ …‘– ʹܽ
ͳ
ܽ ͳ
ܽ
–ƒ ൌ …‘– െ ʹ …‘– ܽ
ʹ
ʹ ʹ
ʹ
ܽ
ͳ
ܽ ͳ
ܽ
ͳ
–ƒ ൌ ଶ …‘– െ …‘–
Ͷ ʹ
Ͷ ʹ
ʹ
Ͷ
………………………………………..

ܽ
ͳ
ܽ
ͳ
ܽ
ͳ
–ƒ ௡ ൌ ௡ …‘– ௡ െ ௡ିଵ …‘– ௡ିଵ
௡
ʹ
ʹ
ʹ
ʹ
ʹ
ʹ
Cộng lại, ta có được điều phải chứng minh.
x Ta sử dụng công thức ʹ •‹ ‫ ݕ •‘… ݔ‬ൌ •‹ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ ൅ •‹ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻ
Ta có : ʹ •‹ ܽ  ൌ •‹ ʹܽ ൅ ሺ•‹ Ͷܽ െ •‹ ʹܽሻ ൅ ሺ•‹ ͸ܽ െ •‹ Ͷܽሻ ൅  ǥ ൅
ሾ•‹ ʹ݊ܽ െ •‹ሺʹ݊ െ ʹሻܽሿ ൌ •‹ ʹ݊ܽ
Vậy ta có điều phải chứng minh.
x Ta sử dụng công thức ʹ •‹ ‫ ݕ ‹• ݔ‬ൌ …‘•ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻ െ …‘•ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ
Ta có : ʹ •‹ ܽ  ൌ ሺͳ െ …‘• ʹܽ ሻ ൅ ሺ…‘• ʹܽ െ …‘• Ͷܽ ሻ ൅ ሺ…‘• Ͷܽ െ …‘• ͸ܽ ሻ ൅  ǥ ൅
ሾ…‘•ሺʹ݊ െ ʹሻܽ െ …‘• ʹ݊ܽ ሿ ൌ ͳ െ …‘• ʹ݊ܽ ൌ ʹ •‹ଶ ݊ܽ
Vậy ta có điều phải chứng minh.
14

--------------------TOANMATH.com


Chương 2 : Các biến đổi lượng giác
2.1.1.

a.
b.
c.
2.1.2.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Chứng minh các đẳng thức sau
•‹ ͵‫‹• ݔ‬ଷ ‫ ݔ‬൅ …‘• ͵‫ •‘… ݔ‬ଷ ‫ ݔ‬ൌ …‘• ଷ ʹ‫ݔ‬
Ͷ …‘• ଷ ‫ ݔ͵ ‹• ݔ‬൅ Ͷ •‹ଷ ‫ ݔ͵ •‘… ݔ‬ൌ ͵ •‹ Ͷ‫ݔ‬
–ƒ ‫ ݔ‬൅ ʹ …‘– ʹ‫ ݔ‬ൌ …‘– ‫ݔ‬
Chứng minh
ሺ•‹ଶ ‫ ݔ‬൅ –ƒଶ ‫ ݔ‬൅ ͳሻሺ…‘• ଶ ‫ ݔ‬െ …‘– ଶ ‫ ݔ‬൅ ͳሻ
ൌͳ
ሺ…‘• ଶ ‫ ݔ‬൅ …‘– ଶ ‫ ݔ‬൅ ͳሻሺ•‹ଶ ‫ ݔ‬൅ –ƒଶ ‫ ݔ‬െ ͳሻ

2.1.3. Chứng minh
ߨ
ߨ
–ƒଶ ‫ ݔ‬൅ –ƒଶ ቀ െ ‫ݔ‬ቁ ൅ –ƒଶ ቀ ൅ ‫ݔ‬ቁ ൌ ͻ –ƒଶ ͵‫ ݔ‬൅ ͸
͵
͵
Áp dụng tính tổng :
 ൌ –ƒଶ ͷ୭ ൅ –ƒଶ ͳͲ୭ ൅ ‫ ڮ‬൅ –ƒଶ ͺͷ୭
2.1.4. Chứng minh
ƒሻ•‹ሺ݊ െ ͳሻܽ •‹ ܽ ൌ

•‹ ܽ
…‘–ሺ݊ െ ͳሻܽ െ …‘– ݊ܽ

„ሻ–ƒሺ݊ െ ͳሻܽ –ƒ ݊ܽ ൌ …‘– ܽ ሾ–ƒ ݊ܽ െ –ƒሺ݊ െ ͳሻܽ ሿ െ ͳ

…ሻͳ ൅

†ሻ

–ƒ ʹ௡ ܽ
ͳ
ൌ
…‘• ʹ௡ ܽ –ƒ ʹ௡ିଵ ܽ

ͳ
ͳ
ͳ
቎
ൌ
െ
ܽ
ܽ
ܽ቏
௡ିଵ
Ͷ௡ …‘• ଶ ௡ Ͷ
Ͷ •‹ଶ ௡
•‹ଶ ௡
ʹ
ʹ െͳ
ʹ
ͳ

2.1.5. Chứng minh –ƒଶ ʹͲ୭ ,–ƒଶ ͶͲ୭ ,–ƒଶ ͺͲ୭ là nghiệm của phương trình ‫ ݔ‬ଷ െ
͵͵‫ ݔ‬ଶ ൅ ʹ͹‫ ݔ‬െ ͵ ൌ Ͳ
Từ đó suy ra giá trị của

 ൌ –ƒଶ ʹͲ୭ ൅ –ƒଶ ͶͲ୭ ൅ –ƒଶ ͺͲ୭
 ൌ –ƒଶ ʹͲ୭ –ƒଶ ͶͲ୭ ൅ –ƒଶ ͶͲ୭ –ƒଶ ͺͲ୭ ൅ –ƒଶ ͺͲ୭ –ƒଶ ʹͲ୭
 ൌ –ƒଶ ʹͲ୭ –ƒଶ ͶͲ୭ –ƒଶ ͺͲ୭
15
--------------------TOANMATH.com


Chương 2 : Các biến đổi lượng giác
2.1.6. Cho 3 góc ǡ ǡ  thỏa  ൅  ൅  ൌ Ͷͷ୭
Chứng minh
–ƒ  ൅ –ƒ  ൅ –ƒ  െ –ƒ  –ƒ  –ƒ  ൌ ͳ െ –ƒ  –ƒ  െ –ƒ  –ƒ  െ –ƒ  –ƒ 
2.1.7. Chứng minh
•‹଺ ‫ ݔ‬൅ …‘• ଺ ‫ ݔ‬ൌ

ͷ ͵
൅ …‘• Ͷ‫ݔ‬
ͺ ͺ

2.1.8. Chứng minh
•‹ସ ܽ ൅ …‘• ସ ܽ െ ͳ ʹ
ൌ
•‹଺ ܽ ൅ …‘• ଺ ܽ െ ͳ ͵
(ĐHQG Hà Nội 1996)
2.1.9. Chứng minh
ሺͳ െ …‘• ܽሻଶ
…‘• ଶ ܾ െ •‹ଶ ܿ
ͳ ൅ …‘• ܽ
ቈͳ െ
቉൅
െ …‘– ଶ ܾ …‘– ଶ ܿ ൌ …‘– ܽ െ ͳ

•‹ଶ ܾ •‹ଶ ܿ
•‹ଶ ܽ
ʹ •‹ ܽ
2.1.10. Chứng minh
ͳ
ͳ
ͳ
ͳ
൅
൅
൅
ൌ …‘– ‫ ݔ‬െ …‘– ͳ͸‫ݔ‬
•‹ ʹ‫ ‹• ݔ‬Ͷ‫ ‹• ݔ‬ͺ‫ͳ ‹• ݔ‬͸‫ݔ‬
ừ¯×ǡ …Šứ‰‹Š ‫˜ ׷‬ớ‹ọ‹݊ ‫ א‬Գǡ ‫് ݔ‬

݇ߨ
 ሺ݇ ‫ א‬Ժǡ ݈ ‫ א‬Գሻ
ʹ௟

ͳ
ͳ
ͳ
൅
൅ǥ ൅
ൌ …‘– ‫ ݔ‬െ …‘– ʹ௡ ‫ݔ‬
•‹ ʹ‫ ‹• ݔ‬Ͷ‫ݔ‬
•‹ ʹ௡ ‫ݔ‬
2.1.11. Chứng minh
•‹଼ ‫ ݔ‬൅ …‘• ଼ ‫ ݔ‬ൌ

͵ͷ ͹
ͳ
൅
…‘• Ͷ‫ ݔ‬൅
…‘• ͺ‫ݔ‬
͸Ͷ ͳ͸
͸Ͷ

2.1.12. Chứng minh
…‘• ͳʹ୭ ൅ …‘• ͳͺ୭ െ Ͷ …‘• ͳͷ୭ …‘• ʹͳ୭ …‘• ʹͶ୭ ൌ െ

ξ͵ ൅ ͳ
ʹ
(ĐHQG Hà Nội 2001)

16

--------------------TOANMATH.com


Chương 2 : Các biến đổi lượng giác
2.1.13. Chứng minh Ͷ •‹ ͳͺ୭ •‹ ͷͶ୭ ൌ ͳ
(ĐH Phòng Cháy Chữa Cháy 2001)
2.1.14. Chứng minh
–ƒ ͵Ͳ୭ ൅ –ƒ ͶͲ୭ ൅ –ƒ ͷͲ୭ ൅ –ƒ ͸Ͳ୭ ൌ

ͺ
ξ͵

…‘• ʹͲ୭

(ĐHQG Hà Nội 1995)

2.1.15. Chứng minh
ƒሻͳ͸ •‹ ͳͲ୭ •‹ ͵Ͳ୭ •‹ ͷͲ୭ •‹ ͹Ͳ୭ ൌ ͳ
„ሻͺ ൅ Ͷ –ƒ

ߨ
ߨ
ߨ
ߨ
൅ ʹ –ƒ
൅ –ƒ
ൌ …‘–
ͳ͸
͵ʹ
͵ʹ
ͺ

2.1.16. Chứng minh
ƒǤ …‘•

ʹߨ
͵ߨ
Ͷߨ
ͷߨ
ͳ
ߨ
͸ߨ
͹ߨ
…‘• …‘•

…‘• …‘• …‘•
…‘•
ൌ ଻
ͳͷ
ͳͷ
ͳͷ
ͳͷ
ͳͷ
ͳͷ
ͳͷ ʹ

„Ǥ –ƒ ͷ୭ –ƒ ͷͷ୭ –ƒ ͸ͷ୭ –ƒ ͹ͷ୭ ൌ ͳ
2.1.17. Chứng minh
–ƒ ͳͲ୭ –ƒ ʹͲ୭ –ƒ ͵Ͳ௢ ǥ –ƒ ͹Ͳ୭ –ƒ ͺͲ୭ ൌ ͳ
2.1.18. Chứng minh
•‹ሺܽ െ ܾሻ •‹ሺܾ െ ܿ ሻ •‹ሺܿ െ ܽሻ
൅
൅
ൌͲ
…‘• ܽ …‘• ܾ …‘• ܾ …‘• ܿ …‘• ܿ …‘• ܽ
2.1.19. Chứng minh
ͳ െ ʹ •‹ଶ ܽ
ൌͳ
ߨ
ߨ
ʹ …‘– ቀ ൅ ܽቁ …‘• ଶ ቀ െ ܽቁ
Ͷ
Ͷ
2.1.20. Chứng minh
ͳ ൅ …‘• ܽ ൅ …‘• ʹܽ ൅ …‘• ͵ܽ

ൌ ʹ …‘• ܽ
ʹ …‘• ଶ ܽ ൅ …‘• ܽ െ ͳ

17
--------------------TOANMATH.com


Chương 2 : Các biến đổi lượng giác
2.1.21. Chứng minh
…‘– ܽ െ –ƒ ܽ െ ʹ –ƒ ʹܽ െ Ͷ –ƒ Ͷܽ െ  ǥെ ʹ௡ –ƒ ʹ௡ ܽ ൌ ʹ௡ାଵ …‘– ʹ௡ାଵ ܽ
2.1.22. Chứng minh
•‹଼ ܽ െ …‘• ଼ ܽ െ Ͷ •‹଺ ܽ ൅ ͸ •‹ସ ܽ െ Ͷ •‹ଶ ܽ ൌ ͳ
GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.1.1. ƒǡ „ – Sử dụng công thức hạ bậc.
2.1.3. Đặt
‫ ݐ‬ൌ –ƒ ‫ݔ‬
Khi đó
 ൌ ‫ ݐ‬ଶ ൅ ቆ

ξ͵ െ ‫ݐ‬
ͳ ൅ ξ͵‫ݐ‬

ଶ

ቇ ൅ቆ

ξ͵ ൅ ‫ݐ‬
ͳ െ ξ͵‫ݐ‬

ଶ

ቇ

Áp dụng tính tổng, viết lại thành
 ൌ ሺ–ƒଶ ͷ୭ ൅ –ƒଶ ͷͷ୭ ൅ –ƒଶ ͸ͷ୭ ሻ ൅ ሺ–ƒଶ ͳͲ୭ ൅ –ƒଶ ͷͲ୭ ൅ –ƒଶ ͹Ͳ୭ ሻ
൅ ሺ–ƒଶ ͳͷ୭ ൅ –ƒଶ Ͷͷ୭ ൅ –ƒଶ ͹ͷ୭ ሻ ൅ ሺ–ƒଶ ʹͲ୭ ൅ –ƒଶ ͶͲ୭ ൅ –ƒଶ ͺͲ୭ ሻ
൅ ሺ–ƒଶ ʹͷ୭ ൅ –ƒଶ ͵ͷ୭ ൅ –ƒଶ ͺͷ୭ ሻ ൅ –ƒଶ ͵Ͳ୭ ൅ –ƒଶ ͸Ͳ୭
Rồi sử dụng công thức đã chứng minh ở trên.
2.1.4.
a)
Để ý
 ൌ

b)

•‹ ܽ
ൌ 
•‹ሺ݊ܽ െ ݊ܽ ൅ ܽሻ
•‹ሺ݊ െ ͳሻܽ •‹ ݊ܽ

Để ý
ͳ
…‘• ܽ െ …‘• ݊ܽ …‘•ሺ݊ െ ͳሻܽ ʹ ሾ…‘• ܽ െ …‘•ሺʹ݊ െ ͳሻܽሿ
 ൌ
ൌ
…‘• ݊ܽ …‘•ሺ݊ െ ͳሻܽ
…‘• ݊ܽ …‘•ሺ݊ െ ͳሻܽ

c)

Ta có :
ͳ ൅ …‘• ʹ௡ ܽ ʹ …‘• ଶ ʹ௡ିଵ ܽ •‹ ʹ௡ିଵ ܽ •‹ ʹ௡ ܽ …‘• ʹ௡ିଵ ܽ
 ൌ
ൌ
ൌ
ൌ 
…‘• ʹ௡ ܽ
…‘• ʹ௡ ܽ •‹ ʹ௡ିଵ ܽ
…‘• ʹ௡ ܽ •‹ ʹ௡ିଵ ܽ

d)

Ta có điều cần chứng minh tương đương với :
ͳ

ͳ
ͳ
ͳ
൅
ൌ ௡ିଵ
ܽ
ܽ
ܽ
Ͷ௡ …‘• ଶ ௡ Ͷ௡ •‹ଶ ௡ Ͷ
•‹ଶ ௡ିଵ
ʹ
ʹ
ʹ
18

--------------------TOANMATH.com


Chương 2 : Các biến đổi lượng giác
2.1.5. Sử dụng công thức
͵ –ƒ ܽ െ –ƒଷ ܽ
–ƒ ͵ܽ ൌ
ͳ െ ͵ –ƒଶ ܽ
Cho ܽ ൌ ʹͲ୭ , ta có :
͵ –ƒ ʹͲ୭ െ –ƒଷ ʹͲ୭
ൌ ξ͵
ͳ െ ͵ –ƒଶ ʹͲ୭
Suy ra
ሺ͵ –ƒ ʹͲ୭ െ –ƒଷ ʹͲ୭ ሻଶ ൌ ͵ሺͳ െ ͵ –ƒଶ ʹͲ୭ ሻଶ
2.1.6. Áp dụng công thức :
–ƒሺܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ሻ ൌ
2.1.9. Cần chứng minh

–ƒ ܽ ൅ –ƒ ܾ ൅ –ƒ ܿ െ –ƒ ܽ –ƒ ܾ –ƒ ܿ
ͳ െ –ƒ ܽ –ƒ ܾ െ –ƒ ܾ –ƒ ܿ െ –ƒ ܿ –ƒ ܽ

ሺͳ െ …‘• ܽሻଶ
ͳ ൅ …‘• ܽ
ቈͳ െ
቉ ൌ …‘– ܽ
ʹ •‹ ܽ
•‹ଶ ܽ
…‘• ଶ ܾ െ •‹ଶ ܿ
െ …‘– ଶ ܾ …‘– ଶ ܿ ൌ െͳ
ଶ

ଶ
•‹ ܾ •‹ ܿ
2.1.10. Để ý
…‘– ‫ ݔ‬െ …‘– ʹ‫ ݔ‬ൌ

ͳ
ͳ
Ǣ…‘– ʹ‫ ݔ‬െ …‘– Ͷ‫ ݔ‬ൌ
•‹ Ͷ‫ݔ‬
•‹ ʹ‫ݔ‬

…‘– Ͷ‫ ݔ‬െ …‘– ͺ‫ ݔ‬ൌ

ͳ
ͳ
Ǣ…‘– ͺ‫ ݔ‬െ …‘– ͳ͸‫ ݔ‬ൌ
•‹ ͳ͸‫ݔ‬
•‹ ͺ‫ݔ‬

2.1.12. Ta có :
 ൌ ʹ …‘• ͳͷ୭ …‘• ͵୭ െ ʹ …‘• ͳͷ୭ ሺ…‘• Ͷͷ୭ ൅ …‘• ͵୭ ሻ ൌ …‘• ͵Ͳ୭ െ …‘• ͸Ͳ୭
2.1.13. Nhân 2 vế cho …‘• ͳͺ୭ .
2.1.14. Áp dụng công thức
–ƒ ܽ ൅ –ƒ ܾ ൌ

•‹ሺܽ ൅ ܾሻ
…‘• ܽ …‘• ܾ
19
--------------------TOANMATH.com