Bài tập có lời giải chi tiết môn toán lớp 12 tỉ số thể tích

Bài tập có lời giải chi tiết môn Toán lớp 12: Tỉ số thể tích
Câu 1. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc. Các điểm
M , N , P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, CD , BD. Biết rằng AB = 4a , AC = 6a ,
AD = 7a . Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP .
A. V = 7a3 .
B. V = 28a3 .
C. V = 14a3 .
D. V = 21a3 .
Câu 2. Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi V ' là thể tích của khối tứ diện có các đỉnh là
V'
trọng tâm của các mặt của khối tứ diện ABCD . Tính tỉ số
.
V
V'
8
V ' 23
V'
1
V'
4
A.
B.
C.
D.
=
.
=
.
=
.
=

.
V
27
V
27
V
27
V
27
Câu 3. Cho hình chóp S. ABC có chiều cao bằng 9 , diện tích đáy bằng 5 . Gọi M là trung
điểm của cạnh SB và N thuộc cạnh SC sao cho NS = 2NC. Tính thể tích V của khối chóp
A.BMNC .
A. V = 15.
B. V = 5.
C. V = 30.
D. V = 10.
Câu 4. Cho khối chóp S. ABC có thể tích bằng 16. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các
cạnh SA, SB, SC. Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP.
A. V = 2.
B. V = 4.
C. V = 6.
D. V = 8.
Câu 5. Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Xét các điểm P thuộc đoạn AB , điểm Q thuộc
PA
QB
RB
đoạn BC và điểm R thuộc đoạn BD sao cho
= 2,
= 3,
= 4 . Tính thể tích của

PB
QC
RD
khối tứ diện BPQR theo V .
V
V
V
V
A. VBPQR = .
B. VBPQR = .
C. VBPQR = .
D. VBPQR = .
5
3
6
4
Câu 6. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB = 6a, AC = 9a,
AD = 3a . Gọi M , N , P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD , ADB . Tính thể
tích V của khối tứ diện AMNP .
A. V = 8a3 .
B. V = 4a3 .
C. V = 6a3 .
D. V = 2a3 .
· = BSC
· = CSA
· = 600. Tính
Câu 7. Cho hình chóp S. ABC có SA = 3, SB = 4, SC = 5 và ASB
thể tích V của khối chóp đã cho.

A. V = 5 2.

B. V = 5 3.
C. V = 10.
D. V = 15.
Câu 8. Cho tứ diện có thể tích bằng V . Gọi V ¢ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các
V¢
trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số
.
V
V¢ 1
V¢ 1
V¢ 2
V¢ 5
= .
= .
= .
= .
A.
B.
C.
D.
V
2
V
4
V
3
V
8
Câu 9. Cho hình chóp đều S. ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Gọi M là trung
điểm SB , N là điểm trên đoạn SC sao cho NS = 2NC . Tính thể tích V của khối chóp

A.BCNM .
a3 11
a3 11
a3 11
a3 11
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
36
16
18
24
Câu 10. Cho hình chóp đều S. ABC có tất cả các cạnh bằng a . Mặt phẳng (P ) song song với

A. V =

mặt đáy (ABC ) và cắt các cạnh bên SA, SB, SC lần lượt tại M , N , P . Tính diện tích tam
giác MNP biết mặt phẳng (P ) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau.

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí


a2 3
a2 3
a2 3
a2 3

C. SD MNP = 3 .
D. SD MNP = 3 .
. B. SD MNP =
.
8
16
4 2
4 4
Câu 11. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với
(ABC ) lấy điểm D sao cho CD = a . Mặt phẳng (a ) qua C và vuông góc với BD , cắt BD tại F

A. SD MNP =

và cắt AD tại E . Tính thể tích V của khối tứ diện CDEF .
a3
a3
a3
a3
A. V =
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
24
6
36
54

Câu 12. Cho tứ diện ABCD có thể tích V và các điểm M , N , P thỏa mãn điều kiện
uuur
uuuur
uuur uuur
uuur
uuur
AM = 2AB , AN = 3AC và AP = 4 AD . Mệnh đều nào dưới đây đúng?
V
V
A. V AMNP =
B. V AMNP = 8V .
C. V AMNP = 24V .
D. V AMNP = .
.
8
24
Câu 13. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D . Mặt phẳng (MNE ) chia khối tứ diện
ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V .

7 2a3
11 2a3
13 2a3
2a3
B. V =
C. V =
D. V =
.
.
.

.
216
216
216
18
Câu 14. Mặt phẳng đi qua trọng tâm của tứ diện, song song với một mặt phẳng của tứ diện và
chia khối tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của hai phần đó.
2
5
27
3
A. .
B. .
C.
D. .
.
3
7
37
4
Câu 15. Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng 1 . Mặt phẳng (P ) đi qua điểm S và trọng tâm

A. V =

G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M , N . Tính thể tích nhỏ nhất Vmin
của khối tứ diện SAMN .

4
2
2

2
B. Vmin = .
C. Vmin =
D. Vmin =
.
.
.
9
18
27
36
Câu 16. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 48. Gọi
M , N lần lượt là điểm thuộc các cạnh AB, CD sao cho MA = MB, NC = 2ND . Tính thể
tích V của khối chóp S.MBCN .
A. V = 8.
B. V = 20.
C. V = 28.
D. V = 40.
Câu 17. Cho hình chóp S. ABCD . Gọi A ', B ', C ', D ' lần lượt là trung điểm của SA, SB,
SC, SD. Tính tỷ số k của thể tích khối chóp S. A ' B ' C ' D ' chia cho thể tích khối chóp
S. ABCD .
1
1
1
1
A. k = .
B. k = .
C. k = .
D. k =
.

8
16
2
4
Câu 18. Cho khối chóp S. ABCD có thể tích bằng V . Lấy điểm A ' trên cạnh SA sao cho
1
SA ' = SA . Mặt phẳng (a ) qua A ' và song song với đáy (ABCD ) cắt các cạnh SB, SC, SD
3
lần lượt tại B ', C ', D ' . Tính thể tích V ' của khối chóp S. A ' B ' C ' D ' .
V
V
V
V
A. V ' =
.
B. V ' =
.
C. V ' =
.
D. V ' =
.
3
9
27
81
Câu 19. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng (a ) đi qua A, B

A. Vmin =

và trung điểm M của SC . Mặt phẳng (a ) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích

lần lượt là V1, V2 với V1 < V2 . Tính tỉ số

V1
.
V2

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí


V1 1
V
3
B. 1 = .
= .
V2 4
V2 8
Câu 20. Cho hình chóp S. ABCD

A.

V1 5
V
3
D. 1 = .
= .
V2 8
V2 5
có đáy ABCD là hình thang vuông tại A

C.

và B ,

BA = BC = 1 , AD = 2 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2 . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên SB . Tính thể tích V của khối đa diện SAHCD .

2 2
4 2
4 2
2 2
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
3
9
3
9
Câu 21. Cho hình chóp đều S. ABCD. Gọi N là trung điểm SB, M là điểm đối xứng với B
qua A. Mặt phẳng (MNC ) chia khối chóp S. ABCD thành hai phần có thể tích lần lượt là

A. V =

V1, V2 với V1 < V2 . Tính tỉ số

V1
.

V2

V1 5
V
V
V
5
5
B. 1 =
C. 1 = .
D. 1 =
= .
.
V2 7
V2 11
V2 9
V2
Câu 22. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA = a
SM
mặt phẳng đáy (ABCD ). Điểm M thuộc cạnh SA sao cho
= k. Xác định
SA
phẳng (MBC ) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau.

A.

5
.
13
vuông góc với

k sao cho mặt

- 1+ 3
- 1+ 5
- 1+ 2
1+ 5
C. k =
D. k =
. B. k =
.
.
.
2
2
2
4
Câu 23. Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD .A ' B 'C ' D ' , V1 là thể tích tứ diện
A ' ABD . Hệ thức nào sau đây đúng?
A. V = 6V1.
B. V = 4V1.
C. V = 3V1.
D. V = 2V1.

A. k =

Câu 24. Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' . Gọi D là trung điểm AC . Tính tỉ số k của thể tích
khối tứ diện B ' BAD và thể tích khối lăng trụ đã cho.
1
1

1
1
A. k = .
B. k =
.
C. k = .
D. k = .
3
6
4
12
Câu 25. Cho khối lăng trụ ABC. A B C . Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và
song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M , N . Mặt phẳng (A ¢MN ) chia khối
lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của chúng.
2
4
4
4
A. .
B.
C. .
D.
.
.
3
23
9
27

Câu 26. Cho hình lăng trụ ABC. A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AC = 2 2 .

Biết AC ¢ tạo với mặt phẳng (ABC ) một góc 600 và AC ¢= 4 . Tính thể tích V của khối đa
diện ABCC B .

8 3
16 3
16
C. V =
D. V =
.
.
.
3
3
3
Câu 27. Cho khối hộp ABCD. A B C D có thể tích V . Các điểm M , N , P thỏa mãn điều kiện
uuuur
uuur
uuur
uuuur
uuur uuur
AM = 2AC , AN = 3AB ¢ và AP = 4 AD ¢. Tính thể tích của khối tứ diện AMNP theo V .
A. V AMNP = 8V .
B. V AMNP = 4V .
C. V AMNP = 6V .
D. V AMNP = 12V .
Câu 28. Cho hình lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có thể tích bằng V . Các điểm M , N , P lần lượt
CP
2
AM
1 BN

thuộc các cạnh AA ' , BB ' , CC ' sao cho
=
= . Tính thể tích V ' của khối
= ,
AA ' 2 BB ' CC ' 3
đa diện ABC.MNP.

A. V = 8 3.

B. V =

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí


2
9
20
B. V ' = V .
C. V ' =
V.
V.
3
16
27
Câu 29. Người ta cần cắt một khối lập phương thành hai
khối đa diện bởi một mặt phẳng đi qua A (như hình vẽ)
sao cho phần thể tích của khối đa diện chứa điểm B bằng
một nửa thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số
CN
k=

.
CC '
1
2
A. k = .
B. k = .
3
3
3
1
C. k = .
D. k = .
4
2

A. V ' =

11
V.
18

D. V ' =
B

C

M

A

D
N
P

B'
A'

C'

D'

Câu 30. Cho hình hộp ABCD .A ' B 'C ' D '. Gọi M là điểm thuộc đoạn CC ' thỏa mãn
CC ' = 4CM . Mặt phẳng (AB ' M ) chia khối hộp thành hai phần có thể tích là V1 và V2 . Gọi
V1 là phần có chứa điểm B . Tính tỉ số k =

A. k =

7
.
32

B. k =

7
.
16

V1
.
V2

C. k =

7
.
25

D. k =

25
.
32

Giải chi tiết bài tập tỉ số thể tích

Câu 1. Tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi
1
một vuông góc nên V ABCD = AB.AC.AD = 28a 3.
6
1
1
Ta có SD MNP = SD BCD , suy ra V AMNP = V A .BCD = 7a 3.
4
4
Chọn A.

Câu 2. Gọi M là trung điểm AC; E, F làn lượt là trọng
tâm của tam giác ABC, ACD.
1
Trong tam giác MBD có EF = BD .

3
Tương tự ta có các cạnh còn lại của tứ diện mới sinh ra
1
bằng cạnh của tứ diện ban đầu.
3
V'
=
Do đó
V

A

M

B

C

P

N
D
A
M

E

F

B

C

3

1÷
1
ç
ç
÷ = 27 . Chọn C.
ç3÷

D

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí


SN
2
SM
và
=
SC 3
SB
1
Thể tích khối chóp VS. ABC = .9.5 = 15.
3
VS. AMN
SM SN
1

Ta có
=
.
= Þ V ABMNC =
VS. ABC
SB SC 3
Chọn D.

Câu 3. Từ giả thiết, ta có

=

1
.
2

S
M

2
VS.ABC = 10.
3

N

A

B

C

Câu 4. Ta có d S, (MNP ) = d A, (MNP ) nên V AMNP = VSMNP .

VSMNP SM SN SP 1
1
=
.
.
=
nên V AMNP = VS.ABC = 2 . Chọn A.
8
VSABC
SA SB SC 8
Câu 5. Từ giả thiết, ta có
BP 1 BQ 3 BR 4
= ,
= ,
= .
BA 3 BC 4 BD 5
VBPQR
BP BQ BR 1 3 4 1
=
.
.
= . . = .
Ta có
VBACD
BA BC BD 3 4 5 5

Mà

Suy ra VBPQR
Chọn A.

1
V
= .VBACD = .
5
5

B
P

1
AB.AC.AD = 27a 3.
6
Gọi E, F , G lần lượt là trung điểm của BC, CD , DB .

A

1
27 3
Suy ra V AEFG = V ABCD =
a .
4
4
Do M , N , P là trọng tâm của các tam giác ABC,
AM
AN
AP 2

=
=
= .
AE
AF
AG 3
AM AN AP
8
=
.
.
=
AE AF AG 27

ACD , ADB nên ta có
V A. MNP
V A. EFG

M

a3 2 9 2
=
.
12
4
SE SF
3 3
9
=
.

= . =
SB SC 4 5 20

Ta có

VS. AEF
VS. ABC

VS. ABC

20
VS. AEF = 5 2. Chọn A.
9

P

N

G

B

D
F

E

8
V A. MNP
V A. EFG = 2a 3. Chọn D.

27
Câu7. Trên các đoạn SB, SC lần lượt lấy các điểm
E, F sao cho SE = SF = 3.
Khi đó S. AEF là khối tứ diện đều có cạnh a = 3.

Suy ra VS. AEF =

D

C

Câu 6. Ta có V ABCD =

Ta có

R

Q

A

C
S

F
B

A
E
C

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí


Cõu 8. Kớ hiu t din v cỏc im nh hỡnh v.
V
SA SB SC
1
V
Ta cú S. A B C =
.
.
= ị VS. A B C = .
VS. ABC
SA SB SC
8
8

S
A'

V
Tng t V A. A MP = VB. B MN = VC.C NP = .
8
Â
Do ú V = VS. ABC - (V S. A B C + V A. A MP + V B. B MN + VC.C NP )

C'
P B'

A

N

M

V V V Vữ V
VÂ 1
=V- ỗ
+ + + ữ=
ị
= . Chn A.
ỗ
ỗ8 8 8 8 ữ
2
V
2

B

Cõu 9. Gi O l tõm ca D ABC , suy ra SO ^ (ABC) .
Tam giỏc vuụng SOA , cú SO =
1 a2 3 a
.
.
3 4
SM SN
=
.
=

SB SC

Suy ra VS. ABC =
V
Ta cú S. AMN
VS. ABC

Suy ra

SA 2 - AO2 =

a 11
3

S

.

a3 11
.
12
3
1 2 1
. = .
2 3 3
11

C

=

M

N
C

A
O

VABCNM
2
2
a3 11
= ị VABCNM = VS. ABC =
. Chn D.
VS. ABC
3
3
18

B

Cõu 10. Mt phng (P ) (ABC ) v ct cỏc cnh SA, SB, SC ln lt ti M , N , P.
SM
SN
SP
=
=
= x.
SA

SB SC
SM SN SP
=
.
.
= x 3.
SA SB SC

S

Theo Talet, ta cú
Do ú

VS. MNP
VS. ABC

VS. MNP
1
1
1
= đ x3 = đ x = 3 .
VS. ABC
2
2
2
a
Suy ra tam giỏc MNP l tam giỏc u cnh 3 .
2

P

M

Theo gi thit

A

2

a
3 a2 3
Vy din tớch SD MNP = ỗỗ 3 ữ
= 3 . Chn D.
ữ.
ỗ 2ữ 4
4 4
ỡùù AB ^ AC
Cõu 11. Ta cú ớ
ị AB ^ (ACD ) ị AB ^ CE.
ùùợ AB ^ CD

B

(1)

D

Li cú BD ^ (a ) ị BD ^ CE .

(2)

T (1) v (2) , suy ra CE ^ (ABD ) ị CE ^ AD.
Tam giỏc vuụng ABC , cú BC =
Tam giỏc vuụng DCB , cú BD =

AB 2 + AC 2 = a 2 .

BC 2 + CD 2 = a 3 .

C

N

DF CD 2 1
=
= .
Tam giỏc vuụng DCB , cú CD 2 = DF .DB ị
DB DB2 3

F
E
B

C

A

VnDoc - Ti ti liu, vn bn phỏp lut, biu mu min phớ


DE CD 2

1
=
= .
2
DA DA
2
VD .EFC
DE DF
1
=
.
=
VD .EFC
Suy ra
VD . ABC
DA DB 6
Câu 12. Từ giả thiết, suy ra
AB
1 AC 1 AD 1
= ;
= ;
= .
AM
2 AN
3 AP 4
V
AB AC AD 1 1 1
.
.
=

=
Ta có A. BCD =
V A. MNP
AM AN AP
2 3 4

Tương tự, ta cũng có

1
1 1 1
a3
.VD . ABC = . çç . a 2.a ÷
=
÷
÷ 36 . Chọn C.
6
6 ç3 2

A

D
B

1
.
24

Suy ra V A. MNP = 24.V A. BCD = 24V . Chọn C.

Câu 13. Thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh a là V ABCD =

Gọi P = EN ÇCD và Q = EM Ç AD .
Suy ra P, Q lần lượt là trọng tâm của D BCE và D ABE .
Gọi S là diện tích tam giác BCD , suy ra SD CDE = SD BNE = S.

C
P

M
N
a3 2
.
12

A

M
1
S
Q
.SD CDE = .
3
3
D
Gọi h là chiều cao của tứ diện ABCD , suy ra
B
h
h
d M , (BCD ) = ; d Q, (BCD ) = .
P

N
2
3
C
1
S. h
1
S. h
Khi đó VM .BNE = SDBNE .d M , (BCD ) =
; VQ.PDE = SDPDE .d Q, (BCD ) =
.
3
6
3
27
S.h S.h 7S.h
7 S.h
7
=
=
.
=
V
. ABCD .
Suy ra VPQD .NMB = VM .BNE - VQ.PDE =
6
27
54
18 3
18

Ta có SD PDE =

Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là V = V ABCD - V PQD .NMB =
Chọn B.
Câu 14. Gọi E, F , I lần lượt là trung điểm của các cạnh
AC, BD , EF khi đó I là trọng tâm của tứ diện
ABCD . Ta sẽ dựng mặt phẳng qua I song song với
(BCD ).
Trong mặt phẳng (EBD ) dựng đường thẳng qua I
song song với BD cắt FB, FD lần lượt tại M , N .
Qua M , N lần lượt kẻ các đường thẳng lần lượt song
song với BC, CD cắt AB, AC, AD lần lượt tại
P, Q, J .

E

11 a3 2 11 2 a3
.
=
.
18 12
216

A

F

P
B

I
M
E

Q

J
N

D

C

AQ 3
AP
AJ
AQ 3
= , suy ra
=
=
= .
AC 4
AB AD AC 4
Ta có
V A. PQJ
AP AQ AJ
3 3 3 27
27
=
.

.
= . . =
Þ
=
. Chọn C.
AB AC AD
4 4 4 64 VPQJBCD
37

Do Q là trung điểm của EC Þ
V A. PQJ

V A. BCD

Câu 15. Gọi E là trung điểm của BC. Qua B, C lần lượt kẻ đường thẳng song song với MN
và cắt đường thẳng AE tại P, Q .

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí


S

A

N

A

M

C

B

G

M

G

N
P
E

C

Q

B
ìï
ïï
ï
Theo định lí Talet, ta có ïí
ïï
ïï
ïî

AB
AP
=

AB
AC
AP AQ AP + AQ
AM
AG
Þ
+
=
+
=
.
AC
AQ
AM AN
AG AG
AG
=
AN
AG
PE QE
AP AQ = (AE - PE )+ (AE + QE )= 2AE .
Mặt khác D BPE = D CQE

Do đó

AB
AC 2AE
3
1
1

+
=
= 2. = 3 Þ
+
= 3 . Đặt
AM AN
AG
2
AM AN

Vì SABC là tứ diện đều Þ SG ^ (ABC ) và SG =
Do đó VSAMN =
Ta có 3 =

2

3

ïìï AM = x
1 1
Þ + = 3.
í
x y
ïïî AN = y

.

1
1 1
2

2
SDAMN .SG = ç
AM .AN sin 60 0 ÷
.SG =
AM .AN =
xy.
÷
ç
÷
ç
3
3 2
12
12

1 1
+
x y

2
xy

xy

2
3

xy

4

9

V min =

Câu 16. Gọi d là khoảng cách từ đỉnh A đến cạnh CD.
Diện tích hình bình hành SABCD = AB.d.

2
. Chọn C.
27

S

Ta có SMBCN = SABCD - SDAMN - SDADN

1
1
1
1
AM .d - DN .d = AB.d - AB.d - AB.d
2
2
4
6
7
7
=
AB.d =
SABCD .
12

12
7
7
Vậy VS. MBCN . = VS. ABCD =
.48 = 28. Chọn C.
12
12
= AB.d -

A

B

C

N

D

M

Câu 17. Lưu ý: Tỉ số thể tích chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác nên nếu đáy là tứ giác ta chia
đáy thành hai tam giác.
S
Ta có VS. A ' B 'C ' D ' = VS. A ' B 'C ' + VS. A ' D 'C ' .
Mà

VS. A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' 1 1 1 1
=
.

.
= . . = .
VS. ABC
SA SB SC
2 2 2 8

Suy ra VS. A ' B ' C ' =

1
.VS. ABC .
8

B'

A'

A

1
Tương tự ta cũng có VS. A ' D ' C ' = .VS. ADC .
8
1
1
1
1
D
Vậy VS. A ' B ' C ' D ' = VS. ABC + VS. ADC = (VS. ABC + VS. ADC ) = VS. ABCD .
8
8
8

8

D'

C'

B

C

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí


Suy ra

VS. A ' B 'C ' D ' 1
= . Chọn C.
VS. ABCD
8

Câu 18. Từ giả thiết suy ra A ' B '  AB Þ
Ta có VS. A ' B 'C ' D ' = VS. A ' B 'C ' + VS. A ' D 'C ' .
Mà

SB ' SA ' 1
SC ' SD ' 1
=
= . Tương tự
=
= .

SB
SA 3
SC
SD
3
S

D' C'

1
.VS. ABC .
27

VS. A ' B ' C '

B'

A'

VS. A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' 1 1 1
1
=
.
.
= . . =
.
VS. ABC
SA SB SC
3 3 3 27

A

B

1
D
VS. ADC .
C
27
1
1
1
1
V
Vậy VS. A ' B ' C ' D ' =
VS. ABC +
VS. ADC =
(VS. ABC + VS. ADC ) = VS. ABCD = . Chọn C.
27
27
27
27
27
Câu 19. Kẻ MN PCD (N Î CD ), suy ra ABMN là thiết diện của khối chóp.

Tương tự ta cũng có VS. A ' D ' C ' =

Ta có VS. ABMN = VS. ABM + VS. AMN .

S

V
SM
1
1
1
 S. ABM =
= Þ VS. ABM = VS. ABC = VS. ABCD .
VS. ABC
SC
2
2
4



VS. AMN
SM SN
1
1
=
.
= Þ VS. AMN = VS. ABCD .
VS. ACD
SC SD
4
8
1
1
3

VS. ABCD + VS. ABCD = VS. ABCD .
4
8
8
V
3
5
= VS. ABCD nên 1 = . Chọn D.
8
V2 5

Do đó VS. ABMN =
Suy ra V ABMNDC

Câu 20. Tam giác vuông SAB , có SB =
Gọi M là trung điểm AD

N

M

B

C

SA 2 + AB 2 =

3.

ABCM là hình vuông nên CM = AB = a =

tam giác ACD vuông tại C .
Ta có VS. AHCD = VS. ACD + VS. AHC .
● VS. ACD
●

A

D

S

1
1 1
2
.
= SDACD .SA = ç
AD .AB ÷
SA =
÷
ç
÷
ç
3
3 2
3

VS. AHC SH SA 2 2
2
2

=
=
= Þ VS. AHC = VS. ABC =
.
VS. ABC
SB SB 2 3
3
9

2
2 4 2
+
=
. Chọn B.
3
9
9
Câu 21. Gọi h, S lần lượt là chiều cao và diện
tích đáy của khối chóp S. ABCD . Khi đó
1
VS. ABCD = S.h. Nối MN cắt SA tại E , MC
3
cắt AD tại F . Tam giác SBM có A, N lần
lượt là trung điểm của BM và SB suy ra E
là trọng tâm tam giác SBM . Tứ giác ACDM
là hình bình hành nên F là trung điểm MC.

AD
2

A

H

Vậy VS. AHCD =

M

D

C

B

S
N

E

B

M

F
D

A
C

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Ta có VBNC. AEF = V ABCEN + VE . ACF .


VS. ENC SE SN
2 1
=
.
=
VS. ABC SA SB
3 2

1
3

VS. ENC

1
VS. ABC
3

2
2 1
1
VS.ABC = ç
= VS.ABCD .
÷
ç VS.ABCD ÷
÷

ç
3
3 2
3
1
1 1 1
1
 VE . ACF = SDACF .d E , (ACF ) = . S. h = VS. ABCD .
3
3 4 3
12
1
1
5
Do đó VBNC. AEF = V ABCEN + VE . ACF = VS. ABCD + VS. ABCD = VS. ABCD = V1 .
3
12
12
V1 5
7
. Chọn A.
Suy ra V2 = VS. ABCD
12
V2 7
V ABCEN

SN SM
=
= k. Khi đó mặt phẳng (MBC ) chia khối
SD

SA
S
chóp thành hai phần là S.MBCN và AMBDNC .
Ta có VS. MBCN = VS. MBC + VS. MCN .

Câu 22. Kẻ MN  AD (N


SD )

VS. MBC SM
=
= k Þ VS. MBC = kV
. S. ABC .
VS. ABC
SA

N

M

A

V
SM SN
 S. MCN =
.
= k 2 Þ VS. MCN = k 2.VS. ACD .
VS. ACD
SA SD

C
1
B1
VS. ABCD Þ kV
. S. ABC + k 2.VS. ACD = VS. ABCD
2
2
1
- 1+ 5
= V S. ABCD
k k2 = 1 k
. Chọn B.
2
2

Từ giả thiết, ta có VS. MBCN =
k.

VS. ABCD
2

k 2.

VS. ABCD
2

Câu 23. Ta có V = SABCD .AA ' và V1 =
Mà SD ABD =

1
SABCD
2

V
V1

Suy ra V = 6V1. Chọn A.

B'

6.

A

C'

A'

B'
C'

VB ' BAD =

VB ' BAD
V ABC. A ' B 'C '

=

1

.
6

Câu 25. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC .
AG 2
= .
Gọi E là trung điểm của BC Þ
AE 3
Đường thẳng d đi qua G và song song BC , cắt các
cạnh AB, AC lần lượt tại M , N .
AM
AN
AG 2
Þ
=
=
=
AB
AC
AE
3

D

C

B

k

D'

A'

1
SD ABD .AA '.
3

Câu 24. Ta có V ABC. A ' B 'C ' = SDABC .BB ' và
1
SD BAD .BB '.
3
1
Mà SD BAD = SD ABC
2
Chọn D.

D

B

A
D

C
B'

A'
C'
M

A
N

G
C

B

E

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí


ìï
ïï AM =
ïï
í
ïï
ïï AN =
ïî

2
AB
3
2
AC
3

SD AMN =

4
SD ABC .
9

(1)

Ta có V ABC. A B C = SD ABC .AA ' và V A '. AMN =
Từ (1) và (2) , suy ra V A '. AMN =
Vậy

1
SDAMN .AA '.
3

4
V
27 ABC. A B C

VBMNC. A B C

(2)
23
V
.
27 ABC. A B C

V A '. AMN
4
=

. Chọn B.
VBMNC. A B C
23

Câu 26. Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (A B C ) .
Suy ra HC ¢ là hình chiếu của AC ¢ trên mặt phẳng (A B C ) .
·, A B C = AC
· H.
Do đó 600 = AC
(
) · , HC = AC

· H = 2 3.
Tam giác AHC ¢, có AH = AC .sin AC
AC 2
= 4.
Diện tích tam giác SD ABC =
2
Suy ra V ABC. A B C = SD ABC .AH = 8 3.

Ta có V A. A ' B 'C ' =

1
1
8 3
SDA ' B 'C ' .AH = V ABC. A B C =
.
3
3
3

Suy ra V ABCC B = V ABC .A B C - V A .A B C =

A
B

A'

C'
H

16 3
. Chọn D.
3

B'

Câu 27. Ta có V = V AB ' D 'C + (V AA ' B ' D ' + VCC ' B ' D ' + V D ' DAC + V B ' BAC ).
Mà V AA ' B ' D ' = VCC ' B ' D ' = VD ' DAC = VB ' BAC =

V
.
6

V
.
3
AB
1 AC
1 AD

1
Từ giả thiết, ta có
= ;
= ;
= .
AN
3 AM
2 AP
4
V
AB AD AC
1
Ta có A. B D C =
.
.
=
V A. NPM
AN AP AM
24

Suy ra V AB ' D 'C =

C

D'

C'
B'

A'

D

C

V
B
A
= 8V . Chọn A.
3
Nhận xét: Công thức giải nhanh: Thể tích của khối tứ diện (4 đỉnh nằm trên hai đường chéo
1
của hai mặt đối diện) có thể tích bằng của khối lăng trụ tam giác.
3
C
A
m + n + p÷
Câu 28. Công thức giải nhanh V ABC.MNP = çç
V với
÷
÷
ç
3
B
P
M
AM
BN
CP
m=

, n=
, p=
.
AA '
BB '
CC '
N
1
2
2
11
C'
A'
Áp dụng: m = , n = , p = , ta dược V ABC.MNP = V .
2
3
3
18
Chọn D.
B'
V A. NPM

24V A. B D C = 24.

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí


V AMNPBCD
Câu 29. Công thức giải nhanh
=

V ABCDA ' B 'C ' D '

0+

0+

V AMNPBCD
1
Theo giả thiết, ta có
=
V ABCDA ' B 'C ' D ' 3

CN
BM
DP
+
CC ' = BB ' DD ' .
2
2

CN
CC '
2

1
3

CN
CC '

2
. Chọn B.
3

Câu 30. Trong mặt phẳng (CDD 'C ') , kẻ MN PC ' D với N Î CD . Suy ra CN =
khối đa điện ABB ' NCM .
B'

D'

A'

N
D

C'

A'
M

B
A

B'

C'

C'
D'

A'
B

C

1
CD và V1 là
4

A

M

M
C
A

D

N

C

Ta chia khối hộp thành hai phần (như hình vẽ). Khi đó V ABB '.NCM = V ABB 'CM + VMACN .
1
+1
5 ç1 ÷
4
 V ABB 'CM =
.V ABC. A ' B 'C ' =

. ç V ÷.
3
12 ç2 ÷
1 1
1 ç1
1
 VMACN = . VC '.ADC =
. ç V ADC .A ' D 'C ' ÷
=
V.
÷
÷
ç
4 4
16 3
96
V1
7
25
Vậy V1 = V ABCMB ' + V MACN =
V
V2
32
32
V2
0+

Nhận xét. Ta có VMACN =

7

. Chọn C.
25

1 1
. VC '.ADC vì diện tích giảm 4 lần và chiều cao giảm 4 lần.
4 4

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí