HDHS lop 8 tu hoc PTDTTNT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (689.57 KB, 30 trang )

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

LỜI NÓI ĐẦU
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán trong giai đoạn hiện
nay đã được xác định là “PPDH Toán trong nhà trường các cấp phải phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và phát triển năng lực
tự học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy...” (trích:
Chương trình GDPT môn Toán của Bộ GD&ĐT ban hành theo quyết định số
16/2006/QĐ-BGD&ĐT ngày 05/5/2006).
Thực tế đã chứng minh “thiên tài nhờ tự học” mà chúng ta có thể kể ra đó
là Cac Mác, Lê-nin trong lĩnh vực triết học; Faraday, Newton, Anhxtan trong lĩnh
vực vật lý; Ga loa, Abel, Gauss trong lĩnh vực toán học... Họ là những tấm gương
vĩ đại về tự học. Một câu nói rất nổi tiếng của nhà bác học-sinh vật học Đacuyn
“Là bác học, không có nghĩa là ngừng học” đã nói lên phần nào tính quan trọng
của việc tự học.
Đối với học sinh hiện nay, có quá nhiều em không biết tự học dẫn đến lười
học, ỷ lại vào thày cô... Có khá nhiều lý do đưa ra giải thích cho việc này. Có thể
kể ra một số nguyên nhân chính được nhiều nhà giáo dục đưa ra:
Thứ nhất, do tâm lý học sinh chỉ cần đến lớp ghi chép bài đầy đủ và học
bài cẩn thận là tới lúc thi có thể đạt được điểm cao vì những gì mình viết ra là
những gì sách nói, thầy cô dạy, sai làm sao được. Học sinh ngày nay đã quá phụ
thuộc vào các bài giảng của thầy cô trên lớp, thầy cô dạy như thế nào thì lại hiểu
và học như thế ấy dẫn đến quá trình thụ động, thiếu suy nghĩ và sáng tạo trong lúc
học.
Thứ hai, do chính các thầy cô mặc dù biết tầm quan trọng của tự học
nhưng không tìm ra phương pháp phù hợp hướng dẫn cho học sinh.
Thứ ba, do việc ngày nay khi việc học được nâng cao thì có quá nhiều sách
tham khảo, sách nâng cao theo các chuyên đề... nhưng hầu hết các tài liệu này
người viết theo quan điểm “chữa bài tập, phân dạng bài...” chứ không đi sâu vào
vấn đề “tại sao lại nghĩ được như vậy?”, việc định hướng cho người tự học của

các tài liệu này còn nhiều hạn chế.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

1

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giúp học sinh tự học là nhiệm vụ quan trọng của người Thầy. Có nhiều
biện pháp để đạt được mục đích đó. Bản thân tôi rất quan tâm hướng tới sự đồng
cảm với học trò của mình, đó là “Tại sao Thầy lại nghĩ ra được cách giải ấy?”
chứ không phải “Thầy giải bài tập đó em có hiểu không?”.
Để hoàn thiện đề tài này, tôi đã nhận được sự góp ý, chia sẻ của các thày
cô trong nhóm chuyên môn Toán trường THCS Phù Cừ và đặc biệt là sự giúp đỡ
của thày Bùi Đăng Thương – người đã nhiều năm nghiên cứu và có nhiều chuyên
đề đổi mới phương pháp dạy học, hướng dẫn học sinh tự học... đã được triển khai
tại trường ở một số năm học trước.
Xin được trân trọng cảm ơn!
Phù Cừ, ngày 20 tháng 3 năm 2015

Nguyễn Quốc Ghi

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

2

1- Kết quả và bài học kinh nghiệm
2- Khuyến nghị và đề xuất
Tài liệu tham khảo

Trang
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
8
9
10
13
13
14
17
17
18
28
28
30
31

DANH MỤC NHỮNG CHỮ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI
Viết tắt
ĐMPPDH
PPDH
GV
HS
PTĐTTNT

Viết đúng
Đổi mới phương pháp dạy học
Phương pháp dạy học
Giáo viên
Học sinh
Phân tích đa thức thành nhân tử

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

3

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

HĐT
SGK
SBT
STK

Hằng đẳng thức.
Sách giáo khoa
Sách bài tập
Sách tham khảo

PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU
I- CƠ SỞ KHOA HỌC.
1) Cơ sở lý luận.
Một số vấn đề cơ bản về dạy học tích cực.
1.1 Dạy học tích cực là gì?
Dạy học tích cực là một thuật ngữ rút gọn, được dùng ở nhiều nước để chỉ
những phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ
động, sáng tạo của người học.
"Tích cực" trong PPDH được dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái
nghĩa với không hoạt động, thụ động.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

4

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dạy tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận
thức của người học, nghĩa là tập trung vào phát huy tính tích cực của người học
chứ không phải là tập trung vào phát huy tính tích cực của người dạy.
Học tích cực chỉ xảy ra khi học sinh được trao cơ hội thực hiện các tương

tác đề tài chính trong một giai đoạn giáo dục, được động viên để hình thành tri
thức hơn là việc nhận tri thức từ việc giới thiệu của giáo viên.
1.2 Đặc trưng cơ bản của dạy - học tích cực.
1.2.1. Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động của học sinh.
1.2.2. Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học, tự đọc.
1.2.3. Tăng cường học tập cá thể phối hợp với học tập hợp tác
1.2.4. Kết hợp đánh giá của thầy và tự đánh giá của trò.
Chúng ta đều biết cách học tích cực thì phong phú nhưng có chung một đặc
trưng là “Khám phá và Khai phá”, có thể hiểu cách học tích cực là
“ 1. Học bất kỳ lúc nào
2. Học bất kỳ nơi nào
3. Học bất kỳ người nào
4. Học bất kỳ nguồn nào”
2) Cơ sở thực tiễn.
Bản thân tôi là người đã có nhiều năm kinh nghiệm trong công tác, nhiều
năm tự nghiên cứu vấn đề ĐMPPDH.
Được giảng dạy tại trường THCS Phù Cừ- trường chất lượng cao của
huyện, hầu hết học sinh nhà trường có nhận thức khá trở lên về bộ môn toán. Đây
là điều kiện thuận lợi cho tôi triển khai nghiên cứu các đề tài về ĐMPPDH.
Xác định được vai trò quan trọng của việc giáo dục học sinh tự học, bản thân
tôi luôn cố gắng tìm tòi “lời giải” của bài toán “Làm thế nào khuyến khích và
giúp đỡ học sinh của mình tự học?”. Một trong những “đáp án” của “bài toán”
trên là viết những tài liệu hướng tới sự đồng cảm với học trò của mình đó là “Tại
sao Thầy lại nghĩ ra được cách giải ấy?” chứ không phải “Thầy giải bài tập đó em
có hiểu không?”.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

5

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Trong phạm vi của kinh nghiệm dạy học của bản thân, tôi chuyển tải đề tài
“Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử” là một chủ
đề kiến thức toán học nền tảng cho nhiều đơn vị kiến thức toán học khác. Tôi viết
chuyên đề nghiên cứu này chủ yếu dành cho học sinh lớp 8 và cũng là tài liệu
tham khảo, ôn tập cho học sinh lớp 9, học sinh THPT. Rất hi vọng chuyên đề này
được sự quan tâm của các bạn đồng nghiệp.
II- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI.
- Nghiên cứu các giải pháp thực hiện mục tiêu “Dạy học chú trọng rèn luyện
phương pháp tự học, tự đọc”.
- Vận dụng vào trong các tình huống dạy- học điển hình khác theo hướng tích cực.
- Vận dụng vào thực tế các nhà trường trên cơ sở đối tượng học sinh, phương tiện
dạy học hiện có.
III- ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
* Đề tài nghiên cứu về Phương pháp hướng dẫn học sinh tự học trong quá trình
học tập môn Toán.
* Nghiên cứu trong phạm vi hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học chủ đề toán học
“Phân tích đa thức thành nhân tử”.
* Nghiên cứu trên cơ sở thực hiện là nội dung, chương trình, kế hoạch giáo dục ở
trường THCS, các định hướng và quan điểm về ĐMPPDH, các thầy cô giáo và các
em học sinh trường THCS Phù Cừ.
IV- KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU.
a) Phương pháp nghiên cứu:
1/ Phương pháp nghiên cứ lý luận
Nghiên cứu một số tài liệu về khoa học phương pháp dạy học, đổi mới
PPDH môn toán, quản lý và chỉ đạo của hiệu trưởng, nhiệm vụ năm học, hướng

dẫn thực hiện kế hoạch năm học của các cấp ... để xây dựng lý luận cho đề tài.
2/ Nhóm phương pháp thực tiễn
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

6

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giảng dạy trực tiếp, dự giờ, quan sát, hội thảo, đàm thoại, tổng kết kinh
nghiệm để rút ra bài học về việc tự học môn Toán THCS.
3/ Nhóm phương pháp hỗ trợ
Điều tra thống kê, lập bảng biểu so sánh dữ liệu đánh giá ....
b) Kế hoạch
1/ Đăng ký nghiên cứu chuyên đề “Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích
đa thức thành nhân tử” với trường THCS Phù Cừ từ đầu năm học 2014-2015.
2/ Thực hiện nhóm phương pháp thực tiễn tại trường THCS Phù Cừ trong năm học
2013-2014, 2014-2015. bao gồm:
+ Điều tra thực tiễn qua học sinh trường THCS Phù Cừ (Từ tháng 10/2013).
+ Tổ chức chuyên đề cấp Tổ đối với Tổ KHTN (tháng 3 năm 2014).
+ Tổng kết, viết đề tài, thông qua Hội đồng khoa học trường THCS Phù Cừ
(Tháng 3 năm 2015).

PHẦN HAI: NỘI DUNG.
Chương I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ TỰ HỌC.
1. Quan điểm về tự học
a) Chất lượng và hiệu quả giáo dục được nâng cao khi và chỉ khi tạo ra được

năng lực sáng tạo của người học, khi biến được quá trình giáo dục thành quá trình
tự giáo dục. Luật Giáo dục đã ghi rõ: “Phương pháp giáo dục phải coi trọng việc
bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu, tạo điều kiện cho người học phát triển
tư duy sáng tạo, rèn luyện kỹ năng thực hành, tham gia nghiên cứu, thực nghiệm,
ứng dụng”. Như vậy, phương pháp dạy và học cần thực hiện theo ba định hướng:
- Bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu;
- Tạo điều kiện cho người học phát triển tư duy sáng tạo;
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

7

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Rèn luyện kỹ năng thực hành, tham gia nghiên cứu, ứng dụng.
b) Mục đích của đổi mới phương pháp dạy học ở các trường phổ thông là
thay đổi lối dạy truyền thụ một chiều sang dạy học theo “các phương pháp dạy học
tích cực với các kỹ thuật dạy học tích cực nhằm giúp học sinh phát huy tính tích
cực, tự giác, chủ động sáng tạo, rèn thói quen và khả năng tự học.. làm cho Học là
quá trình kiến tạo; học sinh tìm tòi, khám phá,phát hiện, luyện tập, khai thác và xử
lý thông tin, tự hình thành tri thức. Chú trọng hình thành các năng lực Tự học,
Sáng tạo, Hợp tác” (Tài liệu tập huấn giáo viên môn Toán – Vụ giáo dục trung
học- tháng 7 năm 2010)
2. Tự học và nghiên cứu khoa học
2.1. Tự học
Trong quá trình học tập bao giờ cũng có tự học, nghĩa là tự mình lao động
trí óc để chiếm lĩnh kiến thức. Trong tự học, bước đầu thường có nhiều lúng túng

nhưng chính những lúng túng đó lại là động lực thúc đẩy học sinh tư duy để thoát
khỏi “lúng túng”, nhờ vậy mà thành thạo lên, và đã thành thạo thì hay đặt những
dấu hỏi, phát hiện vấn đề và từ đó đi đến chiếm lĩnh tri thức.
Theo đặc trưng cơ bản của các phương pháp dạy học tích cực yêu cầu: “
Dạy học chú trọng đến rèn luyện phương pháp học tập và phát huy năng lực tự học
của học sinh. Phương pháp tích cự xem việ rèn luyện phương pháp học tập và
năng lực tự học của học sinh không chỉ là một biện pháp nâng cao hiệu quả dạyhọc mà còn là một mục tiêu dạy học” (Tài liệu tập huấn giáo viên môn Toán – Vụ
giáo dục trung học- tháng 7 năm 2010). Nếu rèn luyện cho người học có được
phương pháp, kỹ năng, thói quen, niềm say mê, ý chí tự học thì sẽ tạo cho họ lòng
ham học, khơi dậy năng lực vốn có của mỗi người, kết quả học tập sẽ được nhân
lên gấp bội. Vì vậy, ngày nay người ta luôn nhấn mạnh mặt hoạt động học trong
quá trình dạy học, đặt vấn đề phát triển tự học ngay trong trường phổ thông,
không chỉ tự học ở nhà mà còn tự học trên lớp, học bất kỳ nguồn nào.
2.2. Nghiên cứu khoa học

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

8

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Việc nghiên cứu khoa học dĩ nhiên tác động trở lại việc học và có phát triển
tự học lên đến nghiên cứu khoa học thì mới có thực tiễn để hiểu sâu mối quan hệ
giữa tư duy độc lập và tư duy sáng tạo. Đối với học sinh khá, giỏi người làm công
tác giáo dục cần hướng cho học sinh tới việc “nghiên cứu khoa học” bắt đầu bằng
việc tạo ra động lực “tiếp cận khoa học” cho học sinh.

3. Phương pháp tự học có tác dụng bồi dưỡng năng lực tự học, kỹ năng tự học
làm cầu nối giữa học tập và nghiên cứu khoa học của người học.
Hoạt động nghiên cứu khoa học của học sinh là loại hình hoạt động rất cơ
bản do tính chất đặc thù của quá trình phát triển năng lực tư duy. Theo tôi, khả
năng nghiên cứu khoa học của học sinh là năng lực thực hiện có hiệu quả các hoạt
động nghiên cứu khoa học trên cơ sở lựa chọn, tiến hành hệ thống các thao tác trí
tuệ và thực hành nghiên cứu khoa học phù hợp với điều kiện và hoàn cảnh nhất
định nhằm đạt mục đích nghiên cứu khoa học đề ra. Hoạt động nghiên cứu khoa
học có thể diễn ra theo các giai đoạn sau:
- Định hướng nghiên cứu;
- Xây dựng kế hoạch nghiên cứu;
- Thực hiện kế hoạch nghiên cứu;
- Kiểm tra, đánh giá kết quả nghiên cứu;
- Báo cáo kết quả nghiên cứu.
4. Một số biện pháp cơ bản hướng dẫn học sinh tự học:
4.1 Một số kỹ năng cơ bản về tự học của học sinh
1- Lập kế hoạch học tập:
Trước khi làm bất cứ chuyện gì, nên lập kế hoạch. Nếu không có kế hoạch
thì không làm chủ được thời gian, nhất là khi có điều gì bất trắc xảy đến. Một kế
hoạch học tập tốt cũng giống như chiếc phao cứu hộ vậy. Mỗi người, tùy vào nhu
cầu của mình, sẽ lập một kế hoạch học tập riêng, kế hoạch đó có thể thay đổi khi
cần, nhưng điều quan trọng là phải tuân thủ kế hoạch đã đề ra.
Kế hoạch học tập giúp quản lý thời gian.Bất cứ ai cũng có 168 giờ mỗi tuần,
nhưng có người sử dụng quỹ thời gian đó có hiệu quả hơn người khác. Học sinh
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

9

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

có rất nhiều thứ để làm, bạn hãy liệt kê tất cả công việc cho từng ngày sau đó, nếu
bạn thấy còn ít hơn 30 giờ mỗi tuần để tự học thì bạn hãy kiểm điểm lại xem tại
sao mình phí thời gian như vậy.
2- Học ở đâu?
Bạn có thể học ở bất kỳ nơi nào, mặc dù rõ ràng có một số nơi thuận lợi hơn
cho việc học. Thư viện, phòng đọc sách, phòng riêng là tốt nhất. Quan trọng là nơi
đó không làm phân tán sự tập trung của bạn. Cho nên hãy làm cho việc lựa chọn
nơi học thích hợp trở thành một phần của thói quen học tập của bạn.
3- Khi nào nên học tập?
Nói chung chỉ nên học lúc chúng ta thoải mái, minh mẫn, vào đúng khoảng
thời gian đã lên kế hoạch để học. Nguyên tắc là không học trong vòng 30 phút sau
khi ăn, và trước khi đi ngủ, không học ngốn vào giờ chót trước khi đến lớp.
4- Học cho giờ lý thuyết:
Nếu bạn học trước để chuẩn bị cho giờ lên lớp, cần đọc tất cả những tài liệu,
cần đọc trước và ghi chú thích những điểm chưa hiểu. Nếu bạn học sau giờ lên
lớp, cần chú ý xem lại những thông tin ghi chép được.

5- Học cho giờ cần phát biểu, trả bài:
Bạn nên dùng khoảng thời gian ngay trước các giờ học này để luyện tập kỹ
năng phát biểu với các học viên khác ( nếu cần). Điều này sẽ giúp bạn hoàn thiện
kỹ năng phát biểu.
6- “ Học bất kỳ người nào. Học bất kỳ nguồn nào”
Đây chính là một đặc trưng quan trọng của dạy học tích cực. Tuy nhiên, đối
với học sinh phổ thông cần và rất cần định hướng và giúp đỡ của giáo viên về
“nguồn” tri thức mà các em có được.
7- Sửa đổi kế hoạch học tập.

Đừng lo ngại khi phải sửa đổi kế hoạch. Thật sự kế hoạch chỉ là cách bạn dự
tính sẽ dùng quỹ thời gian của mình như thế nào, cho nên một khi kế hoạch không
hiệu quả, ta có thể sửa đổi nó. Nên nhớ rằng, việc lập kế hoạch là giúp bạn có thói
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

10

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

quen học tốt hơn và khi đó việc lập kế hoạch sẽ trở nên dễ dàng hơn.
Bạn phải ý thức một sự thật đơn giản là tuân theo đúng kế hoạch học tập đã định là
một chuyện rất khó làm, trong khi vỡ kế hoạch là một việc dễ làm nhất trên thế
gian này.
4.2 Một số biện pháp hướng dẫn học sinh tự học.
a) Tự học qua sách giáo khoa:
- SGK là nguồn tri thức quan trọng cho học sinh, nó là 1 hướng dẫn cụ thể để đạt
lượng liều lượng kiến thức cần thiêt của môn học, là phương tiện phục vụ đắc lực
cho giáo viên và học sinh. Do đó tự học qua SGK là vô cùng quan trọng để học
sinh tham gia vào quá trình nhận thức trên lớp và củng cố khắc sâu ở nhà.
- Để học sinh tự nghiên cứu trước SGK ở nhà thì giáo viên không nên chỉ đơn giản
là nhắc các em đọc trước bài mới mà cần nêu cụ thể câu hỏi mà khi đọc xong bài
mới các em có thể trả lời được. Đó là cách giao nhiệm vụ cụ thể giúp học sinh đọc
sách giao khoa có mục tiêu cụ thể rõ ràng.
- SGK cũng là tài liệu để học sinh đọc thêm cho rõ ràng những kiến thức mà giáo
viên truyền đạt trên lớp vì vậy những ví dụ mẫu giáo viên không nên thay đổi để
nếu học sinh đã đọc trước sẽ tham gia ngay được vào bài giảng, những học sinh

yếu có thêm 1 tài liệu để đọc lại khi chưa rõ cách giáo viên hướng dẫn.
- Đối với những nội dung mà sách giáo khoa đã có chi tiết đầy đủ thì không nên
ghi lên bảng cho học sinh chép mà cho các em về tự đọc trong SGK, cách làm này
vừa tiết kiệm thời gian vừa tạo thói quen đọc SGK cho học sinh và làm cho bài
giảng không bị nhàm chán.
b) Tự học qua sách bài tập, sách tham khảo:
- Đối với học sinh trong trường, sách bài tập đều có nên giáo viên phải tận dụng
tài liệu này để giúp học sinh tự học hiệu quả.
- Việc cho bài tập về nhà cũng cho theo thứ tự dạng bài tập của SGK và SBT để
học sinh có 1 lượng bài tập tương tự đủ lớn (các bài này đều có lời giải chi tiết) để
có thể tự mình làm được các bài trong SGK. Khi cho bài theo cách này sẽ giúp học
sinh có 1 cách học mới là khi gặp khó khăn sẽ tự tìm kiếm một phương án tương
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

11

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

tự đã có để giải quyết chứ không thụ động chờ đợi giáo viên hướng dẫn.
c) Tự nghiên cứu:
Giáo viên nên hướng dẫn học sinh làm các BT lớn, có kiểm tra đánh giá để
học sinh có khả năng tự phân tích tổng hợp. Đối với học sinh THCS, muốn hiệu
quả cao, giáo viên phải biết viết các tài liệu theo hướng các chuyên đề nhằm định
hướng về Tư duy và Kỹ năng cho học sinh đồng thời tạo ra động lực thúc đẩy học
sinh nghiên cứu khoa học.
d) Hợp tác nghiên cứu, học tập:

Trong học tập không phải mọi tri thức, kỹ năng, thái độ đều được hình
thành bằng các hoạt động cá nhân độc lập. Lớp học, nhóm học là môi trường giao
tiếp tạo nên mối quan hệ hợp tác giữa các cá nhân trên con đường chiếm lĩnh nội
dung học tập. Thông qua thảo luận, tranh luận trong tập thể, các ý kiến cá nhân
được bộc lộ, khẳng định hay bác bỏ để qua đó người học được nâng mình lên một
trình độ mới.


Chương II- THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TỰ HỌC
VÀ GIÁO DỤC HỌC SINH TỰ HỌC HIỆN NAY.
I- Đánh giá chung
Trong việc đổi mới PPDH lấy học sinh làm trung tâm thì việc tự học của
học sinh vô cùng quan trọng, để điều khiển quá trình tự học sao cho có hiệu quả
nhất thì việc kiểm tra đánh giá của giáo viên đỏi hỏi phải thật khéo léo, đa dạng
góp phần tích cực làm chuyển biến quá trình tự học của học sinh.
Tuy vậy, trong thực tế dạy học hiện nay việc áp dụng phương pháp dạy học
hướng dẫn học sinh tự học của giáo viên ở tất cả các môn học nói chung và môn
toán nói riêng còn gặp rất nhiều lúng túng và khó khăn. Cách học của học sinh vẫn
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

12

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

đơn giản là cố gắng hoàn thành hết số bài tập giáo viên giao về nhà (bằng mọi
cách có thể), và học thuộc trong vở ghi đối với các môn học thuộc. Đối với giáo

viên thì chỉ quen thuộc với cách kiểm tra bài cũ đầu giờ cốt sao cho đủ số lần điểm
miệng. Việc kiểm tra định kỳ chỉ đơn giản là thực hiện theo phân phối chương
trình, trước khi kiểm tra sẽ giới hạn cho học sinh một phần kiến thức.
Đa số giáo viên thường quan niệm kiến thức là mục đích của quá trình dạy
học nên chỉ quan tâm đến phương pháp truyền thụ kiến thức của bài đúng với nội
dung SGK. Một số giáo viên chưa có kỹ năng soạn bài, vẫn áp dụng một cách rập
khuôn, máy móc lối dạy học "truyền thống" chủ yếu giải thích, minh hoạ tái hiện,
liệt kê kiến thức theo SGK là chính, ít sử dụng câu hỏi tìm tòi, tình huống có vấn
đề... coi nhẹ rèn luyện thao tác tư duy, năng lực thực hành, ít sử dụng các phương
tiện dạy học nhất là các phương tiện trực quan để dạy học và tổ chức cho học sinh
nghiên cứu thảo luận trên cơ sở đó tìm ra kiến thức và con đường để chiếm lĩnh
kiến thức của học sinh.
Thực tế, giáo viên thường soạn bài bằng cách sao chép lại SGK hay từ thiết
kế bài giảng, không dám khai thác sâu kiến thức, chưa sát với nội dung chương
trình, hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức giải quyết những vấn đề từ nhỏ đến
lớn trong thực tế đời sống và sản xuất. Khi dạy thường nặng về thông báo, không
tổ chức hoạt động học tập cho các em, không dự kiến được các biện pháp hoạt
động, không hướng dẫn được phương pháp tự học.
Mặt khác, phương pháp dạy học phổ biến hiện nay vẫn theo "lối mòn", giáo
viên truyền đạt kiến thức, học sinh thụ động lĩnh hội tri thức. Thậm chí có giáo
viên còn đọc hay ghi phần lớn nội dung lên bảng cho học sinh chép nội dung
SGK. Việc sử dụng các phương tiện dạy học: phiếu học tập, tranh ảnh, băng hình,
bản trong... chỉ dùng khi thi giáo viên hay có đoàn thanh tra, kiểm tra đến dự, còn
các tiết học thông thường hầu như "dạy chay".
Do việc truyền đạt kiến thức của giáo viên theo lối thụ động nên rèn luyện
kỹ năng tự học cũng như việc hướng dẫn tự học của giáo viên cho học sinh không
được chú ý làm cho chất lượng giờ dạy không cao
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

13

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2) Tổng hợp số liệu điều tra thưc tiễn. (Điều tra bắt đầu từ tháng 11 năm 2013)
2.1 Điều tra về việc tự học của học sinh
Kết quả qua phiếu điều tra:
Mức độ
Lớp
8A (45hs)
8B (44hs)
7A (44hs)
7B (45hs)

Tự đọc bài mới Tự học STK sau Học theo tài liệu
SGK trước khi đến bài học trên lớp

của giáo viên

lớp
1/45=2%
2/44=5%
1/44=2%
3/45=7%

20/45=45%
16/44=36%

21/44=48%
15/45=33%

24/45=53%
26/44=59%
22/44=50%
27/45=60%

ĐÁNH GIÁ CÁC KẾT QUẢ ĐIỀU TRA
Hầu hết học sinh không đọc bài mới trước khi lên lớp. Qua trao đổi, tôi thấy
các em có chung câu trả lời là “khó, hôm sau học - thày giảng”. Có nhiều em tự
học thêm STK. Qua trao đổi, tôi thấy nguyên nhân có học chủ yếu do Thầy ra
thêm bài tập về nhà ở tài liệu này, nếu không thì các em cúng dễ bỏ qua...
2.2 Kết quả điều tra những tác động của giáo viên đối với việc tự học của học
sinh thông qua biện pháp viết tài liệu phát cho học sinh.
2.2.1. Điều tra học sinh khối 7, 8 của trường THCS Phù Cừ qua câu hỏi điều tra:
“Em có thích tài liệu theo chuyên đề của Thầy gửi cho các em tự học không?
nguyên nhân?(em có thể chọn nhiều lý do theo chính kiến của em”
Mẫu phiếu
1* Không thích
Lý do: a) Do tài liệu chỉ có bài tập mà không có lời giải
b) Do tài liệu có quá nhiều bài tập khó
c) Do tài liệu có nhiều chỗ không có trong SGK.
2* Thích
Lý do: a) Do tài liệu viết chi tiết các suy nghĩ dẫn tới lời giải
b) Do tài liệu có sẵn hướng dẫn giải
c) Do có nhiều vấn đề mở rộng
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

14

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Trong tổng số 160 phiếu thu về khi cho thấy:
1. Vấn đề nguyên nhân không thích tài liệu
Có 55% phiếu có chọn “ không thích - trong đó có 46% chọn lý do a) 57% chọn
lý do b) và 14% chọn lý do c)
2. Vấn đề nguyên nhân thích tài liệu
Có 85% chọn lý do a) 13% chọn lý do b) và 65% chọn lý do c).
2.2.2. Điều tra học sinh khối 7, 8 của trường THCS Phù Cừ qua câu hỏi điều tra: “
Em học được khoảng bao nhiêu % nội dung các tài liệu mà thầy viết (trong
khoảng các mức dưới đây)”
a) Khoảng 5-10%

b) Khoảng 10-15%

c) Khoảng 20-30%

d) Khoảng 40-50%

e) Khoảng 60-80%

f) Khoảng 85-100%

Trong tổng số 160 phiếu thu về khi cho thấy:
Phương án

Số lượng

a
11

b
14

c
23

d
34

e
53

f
25

ĐÁNH GIÁ CÁC KẾT QUẢ ĐIỀU TRA
1. Có nhiều em học sinh không thích tài liệu chỉ là các bài tập, thậm chí cả
tài liệu gồm bài tập của thầy có hướng dẫn giải.
2. Có rất nhiều học sinh thích tài liệu viết chi tiết các suy nghĩ dẫn tới lời
giải, với loại tài liệu này số lượng học sinh học được từ 50% nội dung trở lên
chiếm phần lớn, điều này có nghĩa là tài liệu loại này phù hợp hơn với các em,
được các em đón nhận nhiều.
Từ những nghiên cứu thực tế trên, tôi nhận thấy giải pháp “viết các
chuyên đề trình bày theo các chủ đề toán học, tài liệu kết hợp bài tập với những
suy nghĩ của mình dẫn tới cách giải có sức giáo dục tốt ý thức tự học của học

sinh”.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

15

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



CHƯƠNG III- PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I- Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
1) Đặt nhân tử chung: là phương pháp áp dụng tính chất ngược của phép nhân
phân phối với phép cộng.
Đặc điểm: các hạng tử có thừa số chung, có biến chung...
2) Dùng hằng đẳng thức: là phương pháp nhận dạng và áp dụng các hằng đảng
thức nhằm đưa từ dạng khai triển về dạng tích.
Đặc điểm: có dạng khai triển của một trong số các hằng đẳng thức.
3) Nhóm hạng tử: là phương pháp dùng tính chất kết hợp của phép cộng, kết hợp
hai hay nhiều hạng tử của đa thức nhằm xuất hiện vận dụng đặt nhân tử chung
hoặc hằng đẳng thức.
4) Tách hạng tử: là phương pháp “tách” một hay một số hạng tử của đa thức
thành tổng (hiệu) của hai hay nhiều hạng tử khác, nhằm kết hợp với các hạng tử
còn lại để xuất hiện vận dụng đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

16

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5) Thêm – bớt hạng tử: là phương pháp “thêm mới– bớt đi” cùng một hay một số
hạng tử vào đa thức, nhằm kết hợp với các hạng tử còn lại để xuất hiện vận dụng
đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
6) Sử dụng định lí về nghiệm (định lí Bezu):
Cho đa thức F(x) = anxn + an−1xn−1 + .... + a2x2 + a1x + a0 (ai ∈ ¢ ,n∈ ¥ )
- Nếu F(x) có nghiệm nguyên x =m (m∈ ¢ )th×m∈ ¦ (a0). Khi đó F(x) = (x − m).G(x)
p

- Nếu F(x) có nghiệm hữu tỉ x = q (p,q∈ ¢ vµ¦ CLN(p;q)=1) th×p∈ ¦ (a0)vµq∈¦ (an)
Khi đó F(x) = (qx – p).H(x)
Nhận xét: Nếu các em nhẩm được nghiệm của đa thức thì sẽ biết được nhân
tử của đa thức, từ đó dễ dàng có thể “tách” hay “thêm-bớt” hạng tử để phân tích đa
thức thành nhân tử.
7) Hệ số bất định (thường sử dụng với các đa thức có bậc ≥ 4 vô nghiệm hoặc có
nghiệm vô tỉ): Với một đa thức có bậc ≥ 3 luôn phân tích được thành tích của các
đa thức bậc nhất hoặc bậc hai vô nghiệm.
Theo định lí trên ta có thể giả định kết quả phân tích của đa thức, sau đó đồng nhất
các hệ số đồng bậc để tìm ra các hệ số phân tích.
Nhận xét: Định lí trên đã được toán học chứng minh, tuy nhiên không phải
bất kì đa thức nào cũng vận dụng được phương pháp hệ số bất định để phân tích
thành nhân tử (do hệ tham số điều kiện quá lớn...).
Vấn đề đặt ra là “ Tìm hiểu về đặc điểm điển hình” để làm gì?
Nếu bạn nắm vững đặc điểm điển hình thì giúp bạn “cảm nhận” được hướng

giải quyết tức là định hướng được tư duy cho mình.
II- Ví dụ và bài tập vận dụng.
1- Ví dụ điển hình.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức A = 2x(x − 1) − 3(x − 1) thành nhân tử.
? Nghĩ như thế nào?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

17

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bạn nghĩ như thế nào? Ở ví dụ này ta dễ dàng phát hiện nhân tử chung là
(x-1). Do vậy phân tích đa thức A thành nhân tử khá dễ dàng
A = 2x(x − 1) − 3(x − 1) = (x − 1)(2x − 3)
Tuy nhiên nếu ta viết đa thức A ở hình thức khai triển triệt để
A = 2x2 − 5x + 3 thì có khá nhiều bạn khó có thể nghĩ ra cách để phân tích.
Với một đa thức bậc hai P = ax2 + bx + c phân tích được thành nhân tử, ta
thường nghĩ viết P về dạng P = ax2 + (m+ n)x + c trong đó phải lựa chọn được
m, n thỏa mãn m.n = a.c và m+ n = b; khi đó ta có thể nhóm cặp hạng tử để được
nhân tử chung. Trong ví dụ trên ta có thể lựa chọn cặp số (m; n)=(-2; -3) sẽ thỏa
mãn tính chất trên
A = 2x2 − 5x + 3 = 2x2 − (2 + 3)x + 3 = (2x2 − 2x) − (3x − 3) = 2x(x − 1) − 3(x − 1)
= (x − 1)(2x − 3)
Tuy vậy cách nhẩm ra được cặp số (m; n) thỏa mãn tính chất chả dễ dàng gì,
bạn hãy thử sức với ví dụ sau đây:

Ví dụ 2: Phân tích đa thức B = 6x2 + x − 2 thành nhân tử.
? Nghĩ như thế nào?
6.(−2) = (−3).4
Nhìn vào bài tập này ta có thể lựa chọn cặp số (m; n) = (-3; 4) vì 
1= (−3) + 4
Vì vậy đa thức B được phân tích như sau
B = 6x2 + x − 2 = 6x2 + 4x − 3x- 2 = 2x(3x + 2) − (3x+2) = (3x + 2)(2x − 1)
Với các đa thức bậc hai với các hệ số nguyên thì ta có thể áp dụng cách
phân tích trên, tuy nhiên với các đa thức có bậc lớn hơn 2 thì ta làm như thế nào?
Các bạn hãy thử sức với ví dụ sau
Ví dụ 3: Phân tích đa thức C = x3 − 4x2 + x + 6 thành nhân tử.
? Nghĩ như thế nào?
Theo hướng tư duy của dạng bài phân tích đa thức thành nhân tử ta thường
đi theo định hướng sau: “đa thức có đặt được nhân tử chung không?” → “đa thức
có thể hiện một hằng đẳng thức nào không?” → “Có thể kết hợp hai hay vài hạng
tử của đa thức để đặt được nhân tử chung hay sử dụng hằng đẳng thức nào đó
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

18

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

không?” → “Tách hạng tử, thêm-bớt hạng tử để kết hợp với các hạng tử còn lại
nhằm có nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức. Tách như thế nào? Thêm-bớt gì?”
Nếu ở các mức tư duy nhận biết “đa thức có đặt được nhân tử chung
không?” → “đa thức có thể hiện một hằng đẳng thức nào không?” → “Có thể kết

hợp hai hay vài hạng tử của đa thức để đặt được nhân tử chung hay sử dụng hằng
đẳng thức nào đó không?” thì đa số học sinh làm được, tuy nhiên đến mức tư duy
“Tách hạng tử, thêm-bớt hạng tử để kết hợp với các hạng tử còn lại nhằm có nhân
tử chung hoặc hằng đẳng thức. Tách như thế nào? Thêm-bớt gì?” thì có khá nhiều
bạn không làm được. Vậy “làm như thế nào?”.
Với các đa thức có nghiệm ta thường vận dụng định lí Bezu để phân tích đa
thức đó thành nhân tử. Không khó khăn gì khi “dùng máy tính điện tử trợ giúp
việc tìm nghiệm” hoặc kết hợp lược đồ Hoocle và định lí Bezu để nhẩm nghiệm
của đa thức một biến. Trong ví dụ tìm nghiệm của đa thức C = x3 − 4x2 + x + 6
bằng lược đồ như sau
1
-4
1
6
X=-1
1
-5
6
0
X=2
1
-3
0
X=3
1
0
Khi đã nhẩm được nghiệm của đa thức ta có thể định hướng các nhân tử cần
phân tích, như trong ví dụ trên các nhân tử là (x+1), (x-2) và (x-3) từ đó có thể
nghĩ “tách”, “thêm-bớt hạng tử” cho phù hợp.
C = x3 − 4x2 + x + 6 = x2(x + 1) − 5x(x + 1) + 6(x + 1) = (x + 1)(x2 − 5x + 6)

= (x + 1)[ x(x − 2) − 3(x − 2)] = (x + 1)(x − 2)(x − 3)

Vậy với các đa thức một biến có nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ, ta có
thể phối kết hợp định lí Bezu và lược đồ Hoocle để tìm nghiệm và phân tích đa
thức. Tuy nhiên với đa thức nhiều biến thì sao? Các bạn hãy thử sức với ví dụ sau:
Ví dụ 4: Phân tích đa thức D = x2 − 3xy + 2y2 thành nhân tử.
? Nghĩ như thế nào?
Trong ví dụ này nếu chỉ quan tâm tới các hệ số của đa thức thì ta có thể
dùng cách tìm cặp số (m; n) giống với đa thức bậc hai một biến, cụ thể
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

19

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.2 = (−1).(−2)
(m; n) = (-1; -2) vì 
−3 = (−1) + (−2)
Từ đó khá dễ để phân tích được đa thức bằng cách tách hạng tử
−3xy = (−xy) + (−2xy) và kết hợp theo cặp với hai hạng tử còn lại. Đa thức được
phân tích như sau
D = x2 − 3xy + 2y2 = (x2 − xy) − (2xy − 2y2) = x(x − y) − 2y(x − y) = (x − y)(x − 2y)
Vậy với các đa thức bậc hai chỉ có hai biến ta có thể dùng giải thuật giống
với đa thức một biến để phân tích đa thức đó thành nhân tử. Tuy nhiên nếu bậc của
đa thức lớn hơn 2 hoặc số lượng biến nhiều hơn 2 biến thì ta phải làm như thế

nào? Các bạn hãy thử sức với ví dụ sau:

Ví dụ 5: Phân tích đa thức E = x3 + 6x2y + 11xy2 + 6y3 thành nhân tử.
? Nghĩ như thế nào?
Trong ví dụ này ta thấy đa thức không có nhân tử chung và cũng không thể
hiện ở dạng hằng đẳng thức nào, khi kết hợp hai hoặc ba hạng tử cũng không làm
xuất hiện nhân tử chung hoặc dùng được hằng đẳng thức, từ đó định hướng phải
tách hạng tử hoặc thêm-bớt hạng tử để phân tích. Nhưng vấn đề đặt ra “tách như
thế nào?”, “thêm-bớt hạng tử nào?”. Với đa thức một biến ta sẽ nhẩm nghiệm để
định hướng các nhân tử cần phân tích, vậy với đa thức nhiều biến có làm được như
vậy không? Làm như thế nào?
Với đa thức nhiều biến nếu ta coi một biến là biến chính, các biến còn lại
chỉ đóng vai trò như các tham số và sắp xếp đa thức theo lũy thừa giẩm dần của
biến chính thì cũng có thể dùng kết hợp định lí Bezu và lược đồ Hoocle để nhẩm
nghiệm và phân tích. Trong ví dụ này ta (coi x là biến chính, còn y đóng vai trò
tham số) làm như sau
E = x3 + 6x2y + 11xy2 + 6y3 = x3 + 6y.x2 + 11y2.x + 6y3
Lược đồ Hoocle
1

6y

11y2

6y3

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

20

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

x = -y

1

5y

x = -2y
x = -3y

1
1

3y
0

6y
0

0

Theo lược đồ ta có các nhân tử của đa thức là (x+y), (x+2y) và (x+3y) từ đó
có thể nghĩ “tách”, “thêm-bớt hạng tử” cho phù hợp.
E = x3 + 6x2y + 11xy2 + 6y3 = x2(x + y) + 5y(x + y) + 6y2(x + y) = (x + y)(x2 + 5y + 6y2)
= (x + y)[ x(x + 2y) + 3y(x + 2y)] = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)

Trong ví dụ này ta đã thử sức với một đa thức bậc 3 với hai biến, tuy nhiên
với các đa thức nhiều hơn hai biến thì cách làm có tương tự không? Các bạn thử
sức với ví dụ sau
Ví dụ 6: Phân tích đa thức F = x2 + y2 + 2xy + yz + zx + x + y + z thành nhân tử.
? Nghĩ như thế nào?
Với ví dụ này có khá nhiều bạn tư duy tốt sẽ nghĩ ra cách nhóm hạng tử để
xuất hiện HĐT và nhân tử chung

(

)

F = x2 + y2 + 2xy + yz + zx + x + y + z = x2 + y2 + 2xy + ( yz + zx) + ( x + y + z)
= (x + y)2 + z(x + y) + (x + y + z) = (x + y + z)(x + y) + (x + y + z)
= (x + y + z)(x + y + 1)
Tuy nhiên có khá nhiều bạn khó có thể tư duy ở mức hai như trên. Vậy giải
pháp đặt ra là gì? Có thể làm giống như cách ở ví dụ 5 không?
F = x2 + y2 + 2xy + yz + zx + x + y + z = x2 + (2y + z + 1)x + (y2 + yz + y + z)
= x2 + (2y + z + 1)x + (y + 1)(y + z)
Lược đồ Hoocle
x=-y-1
X=-y-z

1

2y+z+1

1
1

y+z
0

y2 + yz + y + z
0

Theo lược đồ ta có các nhân tử của đa thức là (x+y+1) và (x+y+z) từ đó có
thể nghĩ “tách”, “thêm-bớt hạng tử” cho phù hợp như sau

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

21

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
2

F = x + y + 2xy + yz + zx + x + y + z = x(x + y + 1) + (y + z)(x + y + 1)
= (x + y + z)(x + y + 1)

Lời bình: Định lí Bezu và lược đồ Hoocle không chỉ có thể dùng với đa
thức một biến, mà còn dùng được với các đa thức nhiều biến trong việc “nhẩm
nghiệm” để phân tích đa thức thành nhân tử (với các đa thức nhiều biến thì máy
tính điện tử không trợ giúp được). Tuy nhiên với các đa thức vô nghiệm có kết quả
phân tích được thành nhân tử có các hệ số nguyên thì việc phân tích đa thức đó
thành nhân tử (biết chắc nhân tử của đa thức chỉ là các đa thức bậc hai vô nghiệm

– theo định lí “Mọi đa thức có bậc lớn hơn 2 luôn phân tích được thành tích của
các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai vô nghiệm.”) thì ta làm như thế nào? Các bạn
hãy thử sức với ví dụ sau:
Ví dụ 7: Phân tích đa thức G = x4 + 4y4 thành nhân tử.
? Nghĩ như thế nào?
Trong ví dụ này đa thức có hai hạng tử ở dạng “tổng các bình phương” vì
vậy mà ta nghĩ tới việc thêm-bớt hạng tử để sử dụng hằng đẳng thức

(

)

G = x4 + 4y4 = x4 + 4y4 + 4x2y2 − 4x2y2 = (x2 + 2y2)2 − (2xy)2
= (x2 + 2y2 − 2xy)(x2 + 2y2 + 2xy)
Với các đa thức có dạng tổng các bình phương hoặc tổng các lập phương...
ta có thể thêm-bớt hạng tử để sử dụng các hằng đẳng thức tương ứng để phân tích.
Tuy nhiên với các đa thức không thể hiện một trong số các dạng đó thì làm
như thế nào? Các bạn hãy thử sức với ví dụ sau
Ví dụ 8: Phân tích đa thức H = x4 + 2x3 + 4x2 + 3x + 2 thành nhân tử.
? Nghĩ như thế nào?
Trong ví dụ này chúng ta không thể sử dụng trực tiếp các phương pháp như
đặt nhân tử chung, dùng HĐT, nhóm hạng tử, nhẩm nghiệm... để phân tích được
đa thức.
Theo định lí về phân tích đa thức thì với đa thức bậc 4 vô nghiệm sẽ phân
tích được thành tích của hai đa thức bậc hai vô nghiệm. Tức là đa thức H sẽ được
phân tích thành dạng H = (ax2 + bx + c)(mx2 + nx + k) , việc còn lại là ta phải đi
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

22

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

tìm các hệ số a, b, c, m, n, k. Tuy nhiên nếu nhận xét tinh hơn một chút ta có thể
có ít tham số hơn và bài toán sẽ dễ giải hơn. Cụ thể trong đa thức H các hệ số đều
dương và các hệ số bậc bốn là 1 và hệ số bậc không là 2 nên đa thức H sẽ phân
H = (x2 + ax + 1)(x2 + bx + 2)

tích được như sau

Ta khai triển tích thành tổng được
H = x4 + (a + b)x3 + (ab + 3)x2 + (2a + b)x + 2
Đồng nhất các hệ số của đa thức H ta tìm được các hệ số a và b. Cụ thể là
a + b = 2

ab + 3 = 4 ⇒ a = b = 1.
2a + b = 3

Vậy H = x4 + 2x3 + 4x2 + 3x + 2 = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2)
Lời bình: phương pháp hệ số bất định là cách giả định kết quả phân tích đa
thức thành nhân tử, sau đó đi đồng nhất các hệ số tương ứng cùng bậc của đa thức
lúc đầu và kết quả khai triển tích thành tổng của giả định từ đó đưa ra kết quả phân
tích. Cách làm này cũng hay dùng với các đa thức bậc cao có nghiệm vô tỉ. Các
bạn hãy thử sức với ví dụ sau:
Ví dụ 9: Phân tích đa thức K = x4 − 4x3 + 5x2 - 4x + 1 thành nhân tử.
? Nghĩ như thế nào?
Dùng máy tính điện tử kiểm tra sẽ thấy nghiệm của đa thức là số vô tỉ nên

khó có thể định hướng được nhân tử của đa thức này, do vậy ta sẽ nghĩ tới việc giả
định kết quả và đồng nhất hệ số để phân tích đa thức. Quan sát đa thức ta có thể
giả định kết quả phân tích của K như sau
K = (x2 + ax + 1)(x2 + bx+1)
Ta khai triển tích thành tổng được
K = x4 + (a + b)x3 + (ab + 2)x2 + (a + b)x + 1
Đồng nhất các hệ số của đa thức K ta tìm được các hệ số a và b. Cụ thể là
a + b = −4 a + b = −4 a = −1
⇔
⇒

ab
+
2
=
5
ab
=
3


 b = −3
Vậy K = x4 − 4x3 + 5x2 - 4x + 1= (x2 − x + 1)(x2 − 3x + 1)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

23

Bài 2: Tìm x biết
a) x2 − 6x + 8 = 0

b) 4x2 + 4x − 35 = 0

c) 2x2 − 3x − 5 = 0

d) 3x3 − 48x = 0

e) x4 − x2 − 600 = 0

f) x3 + x2 − 4x = 4

Bài 3: Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì
a) n3 − nM
6

b) n7 − nM
7

c) n4 − 10n2 + 9M
384 (ví i mäi n lÎ )

d) n2 + 7n + 22 kh«ng chia hÕt cho 9
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x2 − y2 − 2x + 2y

b) 2x + 2y − x2 − xy

d) x2 − 2x − 4y2 − 4y

e) x2y − x3 − 9y + 9x

g) x2 − x − 12

h) 81x4 + 4

c) x2 − 25+ y2 − 2xy
f) x2 + 8x + 15

Bài 5: Tìm số nguyên n thỏa mãn

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

24

Hướng dẫn học sinh lớp 8 tự học phân tích đa thức thành nhân tử.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
3
2

a) n + 2n − 4M
11

b) 2n + n + 7n + 1M2n − 1

c) n 4 − 2n 3 + 2n 2 − 2n + 1Mn 4 − 1

d) n 3 − n 2 + 2n + 7M
n2 +1

Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) 2x3 +9x2 +7x- 6
3)2x2 - 5xy+3y2
5)x3 - 7x +6
7)x3 - 6x2 - x +30
9)(x2 +x +1).(x2 +x +3)-15
11) 4x4 +y4
13) x8 +14x4 +48
15) x4 - 3x3 - 2x2 +3x +1

2) 3x3 +22x2 +25x +6
4)x3 +3x2y- 20y3
6)x3 +5x2 +8x +4
8)(x2 - 3)2 +16
10) (x +1)(x +3)(x +5)(x +7) +15
12) x8 +x4 +1
14) x4 +4x3 -10x2 +4x +1
16) x2 +y2 - x- y+2xy-12

Bài 7: Tìm x biết
a) 2x2 -7x + 6 = 0

b) 3x2 + 25x + 38 = 0

c) (x2 -1)(x+2)(x+4) = 72

d) (2x+1)(x+1)2(2x+3) = 18

e) x4 + 6x3 +7x2 -6x -3 = 0

f) (x2 + 5x +6)(x2 +9x + 20)-24 = 0.

g) (x -4)2 - 5 x − 4 - 14 = 0
Bài 8: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử :
a) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6;

b) x3 + 3xy + y3 - 1

Bài 9: Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn
a) 2x + 3y - xy = 8

b) 4x + 4y = 1088

c) x2 - 4x + 7 = y2

Bài 10: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) ( x2 +4x +8)2 + 3x( x2 +4x +8) + 2x2.
2) 2(x2 + 6x +1)2 + (x2 + 6x +1)(5x2 +5) + 2(x2 +1)2.
3) x3 + 8x2 + 17x +10
4) 2x3 -3x2 +3x -1
5) 3x3 -14x2 + 4x +3.
6) x8 + 98x4 +1
7) x6 + x4 + x2y2 + y4 - y6
8) (a+b+c)2 + (a+b-c)2 - 4c2
Bài 11: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử, dùng phương pháp hệ số bất định:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Quốc Ghi – THCS Phù Cừ

25

HDHS lop 8 tu hoc PTDTTNT

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về