Toan DADe tu luyen thi DH so 15 v2

Khóa h c Luy n ñ thi ñ i h c môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Phương

Hư ng d n gi!i ñ thi t" luy n s% 15

HƯ NG D N GI I ð T! LUY$N THI TH% ð&I H'C S( 15
MÔN: TOÁN
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PHƯƠNG
ðây là ñáp án ñD thi ñi kèm vLê Bá TrCn Phương t2i website Hocmai.vn. ð+ ñ2t ñưXc k#t qu cao trong kì thi ñ2i hSc s,p tlàm trư
Th3i gian làm bài: 180 phút

PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7, 0 ðI M)
Câu I. ( 2,0 ñi/m) Cho hàm s y = x3 + 3 x 2 + mx + 1 có ñ th là

(Cm ) (m là tham s th c)

1. Kh o sát s bi#n thiên và v& ñ th c'a hàm s khi m = 3.
2. Xác ñ nh m ñ+ (Cm ) c,t ñư.ng th/ng: y = 1 t2i ba ñi+m phân bi5t C(0; 1); D; E sao cho các ti#p tuy#n
c'a (Cm ) t2i D và E vuông góc vGi!i:
Phương trình hoành ñ@ giao ñi+m c'a (Cm) và (d):
x3 + 3 x 2 + mx + 1 = 1 ⇔ x3 + 3 x 2 + mx = 0
(2)
x = 0
⇔ x ( x 2 + 3 x + m) = 0 ⇔  2
 x + 3 x + m = 0 (3)
Yêu cCu bài toán ⇔ phương trình (3) có 2 nghi5m phân bi5t x1 ; x2 ñDu khác 0, ñ ng th.i:
f '( x1 ). f '( x2 ) = −1 .
Trong ñó f ( x ) = x 3 + 3x 2 + mx + 1

 = 9 − 4m > 0

Yêu cCu bài toán ⇔ m ≠ 0
 2
2
( 3 x1 + 6 x1 + m )( 3 x2 + 6 x2 + m ) = −1
 x 2 = − m − 3 x1
Do x1 ; x2 là nghi5m c'a (3) nên x12 + 3 x1 + m = 0 và x22 + 3 x2 + m = 0 ⇒  12
 x2 = − m − 3 x2
9

m < 4

⇔ m ≠ 0
 3(−3 x − m) + 6 x + m 3( −3x − m) + 6 x + m = −1
][
]
1
1
2
2
[


9
9


0 ≠ m <

0 ≠ m <
⇔
⇔
4
4
9 x x + 6( x + x ) m + 4m 2 = −1 9 x x + 6( x + x ) m + 4m 2 + 1 = 0
1
2
1
2
 1 2
 1 2
b

 x1 + x2 = − a = −3
Áp dKng ñ nh lý Viet vào phương trình (3) ta có: 
 x .x = c = m
 1 2 a
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58+58+12

Trang | 1


Khóa h c Luy n ñ thi ñ i h c môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Phương

Hư ng d n gi!i ñ thi t" luy n s% 15

9


0≠m<
9
9



4
0 ≠ m <
0 ≠ m <

⇔
⇔
⇔
4
4
9m − 18m + 4m 2 + 1 = 0
 4 m 2 − 9m + 1 = 0
m = 9 ± 65



8
1
So sánh ñiDu ki5n: m = 9 − 65
8
Câu II. ( 2,0 ñi/m)

(

)

 x − 2 y − xy = 0
1. Gi i h5 phương trình: 
 x − 1 − 2 y − 1 = 1
Gi!i:
x ≥ 1

ðiDu ki5n: 
1
 y ≥ 2

(

)

(1) ⇔ x − y − y + xy = 0 ⇔

(

x+ y

)(

)

x −2 y = 0

 x −2 y =0
⇔

⇔ x =2 y
 x + y = 0
⇔ x = 4 y thay vào (2) có:
4 y −1 − 2 y −1 = 1 ⇔ 4 y −1 = 2 y −1 + 1
⇔ 4 y −1 = 2 y −1 + 2 2 y −1 + 1 ⇔ 2 y −1 = 2 2 y −1

 2 y −1 = 0
y =
⇔
⇔
 2 y − 1 = 2
y =


1
x = 2
2
⇔
5
 x = 10
2

 1  5
V_y h5 có hai nghi5m: ( x; y ) =  2;  ; 10; 
 2  2
2. Tìm x thu@c ( 0; π ) th`a mãn phương trình: cot x − 1 =

cos2 x
1
+ sin 2 x − sin 2 x

1 + tan x
2

Gi!i:
ðiDu ki5n:
sin 2 x ≠ 0
sin 2 x ≠ 0
⇔

sin x + cos x ≠ 0
 tan x ≠ −1
cos x − sin x cos2 x.cos x
=
+ sin 2 x − sin x cos x
Phương trình ⇔
sin x
cos x + sin x
cos x − sin x
⇔
= cos 2 x − sin x cos x + s in 2 x − sin x cos x
sin x
⇔ cos x − sin x = sin x(1 − sin 2 x)
⇔ (cos x − sin x)(sin x cos x − sin 2 x − 1) = 0

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58+58+12

Trang | 2

Khóa h c Luy n ñ thi ñ i h c môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Phương

Hư ng d n gi!i ñ thi t" luy n s% 15

⇔ (cos x − sin x)(sin 2 x + cos 2 x − 3) = 0

π 

⇔ (cos x − sin x)  2 sin  2 x +  − 3  = 0
4 


cos x − sin x = 0
⇔
 2 sin  2 x + π  = 3 (loai )

4

⇒ cos x = sin x ⇔ x =

π
4

+ kπ ( k ∈ z ) (th`a mãn ñiDu ki5n)

Do x ∈ ( 0; π ) ⇒ k = 0 ⇒ x =

π
4

.
π
4

Câu III. (1,0 ñi:m) Tính tích phân: I = ∫ ( x + sin 2 2 x ) cos2 xdx
0

Gi!i:
π

π

π

4

4

4

I = ∫ ( x + sin 2 2 x)cos2 xdx = ∫ x cos 2 xdx + ∫ sin 2 2 x cos 2 xdx = I1 + I 2
0

0

π

0

π

π

π 1
14
x
Tính I1 = ∫ x cos 2 xdx = sin 2 x 4 − ∫ sin 2 xdx = −
2
20
8 4
0
0
4

π

π

4

1
1
Tính I 2 = ∫ sin 2 x cos 2 xdx = sin 3 2 x 4 =
6
6
0
0
2

V_y I =

π
8

−

1
12

Câu IV. ( 1,0 ñi/m)
1. Trên c2nh AD c'a hình vuông ABCD có ñ@ dài là a, ldy ñi+m M sao cho AM = x (0 < x ≤ a ) . Trên
ñư.ng th/ng vuông góc va) Tính kho ng cách tg ñi+m M ñ#n mft ph/ng (SAC).
b) Kh MH vuông góc vGi!i:
 SA ⊥ ( ABCD )
Do 
⇒ ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) l2i có
 SA ⊂ ( SAC )
MH ⊥ AC = ( SAC ) ∩ ( ABCD )
⇒ MH ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( M , SAC ) = MH = AM .sin 450 =

x
2

Ta có:

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58+58+12

Trang | 3


Khóa h c Luy n ñ thi ñ i h c môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Phương

Hư ng d n gi!i ñ thi t" luy n s% 15

x
x
⇒ HC = AC − AH = a 2 −
2
2
1
1 x 
x 
= MH .MC = .
a 2−


2
2 2
2

AH = AM .cos450 =
⇒S

MHC

1
x 
x 
= .2a.
a 2−


6
2
2
Tg bi+u thic trên ta có:
1
⇒ VSMCH = SA.S
3

MCH

2

x 
 x
+a 2−
3

1
2 =a
VSMCH ≤ a  2

3 
2

6



x
x
⇔
=a 2−
⇔ x=a
2
2
⇔ M trùng vCâu V. (1,0 ñi/m) Cho các s th c dương a, b, c thay ñji luôn th`a mãn: a + b + c =1.
Ching minh rlng:

a + b2 b + c2 c + a 2
+
+
≥2
b+c c+a a+b

Gi!i:

b
c   b2
c2
a2 
 a
Ta có v# trái = 
+

+
+
+
+
 = A+ B
 
b+c c+a a+b b+c c+a a+b
A+3 =

1
1
1
1 
+
+
[(a + b) + (b + c) + (c + a)] 
2
 a + b b + c c + a 

1
1
1
1
9
≥ .3 3 (a + b)(b + c)(c + a ).3 3
.
=
2
a+b b+c c+a 2
3

⇒ A≥
2
 a2
b2
c2 
12 = (a + b + c )2 ≤ 
+
+
 (a + b + b + c + c + a)
 a+b b+c c+a 
1
⇔ 1 ≤ B.2 ⇔ B ≥
2
3 1
Tg ñó ta có: V# trái ≥ + = 2 = VP
2 2
1
Ddu ñ/ng thic x y ra khi a = b = c =
3
PH N RIÊNG (3,0 ñi:m): Thí sinh chB ñưDc làm mGt trong hai phMn (phMn A hoOc B)
A. Theo chương trình ChuSn:
Câu VI.a. ( 2,0 ñi/m)
1. Trong mft ph/ng tSa ñ@ vuông góc Oxy , cho tam giác ABC, bi#t A(2; 3), B(3; 2) có di5n tích blng
và trSng tâm thu@c ñư.ng th/ng

3
2

: 3 x − y − 8 = 0 . Tìm tSa ñ@ ñmnh C.

Gi!i:

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58+58+12

Trang | 4


Khóa h c Luy n ñ thi ñ i h c môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Phương

Hư ng d n gi!i ñ thi t" luy n s% 15

5 5
Ta có: AB = 2 , trung ñi+m M  ; − 
2 2
Phương trình ( AB) : x − y − 5 = 0

S

ABC

=

1
3
3
d (C ; AB ). AB = ⇒ d (C ; AB ) =
2
2

2

GSi G (t ;3t − 8) là trSng tâm tam giác ABC thì d (G; AB) =
⇒ d (G; AB ) =

t − (3t − 8) − 5
2

=

1
2

t = 1
1
⇒
2
t = 2

⇒ G (1; −5); G (2; −2)
Mà CM = 3GM ⇒ C = ( −2; −10) ∨ C = (1; −1)
2. Trong không gian v
:

x −1 y + 2 z
=
= . Tìm tSa ñ@ ñi+m M trên
−1
1

2
Gi!i:

sao cho: MA2 + MB 2 = 28 .

x = 1− t

:  y = −2 + t ⇒ M (1 − t ; −2 + t ; 2t )
 z = 2t


Phương trình tham s

Ta có: MA2 + MB 2 = 28 ⇔ 12t 2 − 48t + 48 = 0 ⇔ t = 2
Tg ñó suy ra: M( 1; 0; 4).

(

Câu VII.a. ( 1,0 ñi/m) Gi i bdt phương trình: 2 + 3

)

x 2 − 2 x +1

(

+ 2− 3

)

x 2 − 2 x −1

≤

4
2− 3

Gi!i:

(

Bdt phương trình ⇔ 2 + 3

(

ðft t = 2 + 3

)

x2 −2 x

)

x2 − 2 x

(

+ 2− 3

)

x2 − 2 x

≤4

(t > 0)

1
Bdt phương trình tương ñương: t + ≤ 4 ⇔ t 2 − 4t + 1 ≤ 0 ⇔ 2 − 3 ≤ t ≤ 2 + 3 (th`a mãn)
t

(

Khi ñó: 2 − 3 ≤ 2 + 3

)

x2 − 2 x

≤ 2 + 3 ⇔ −1 ≤ x 2 − 2 x ≤ 1

⇔ x2 − 2 x − 1 ≤ 0 ⇔ 1 − 2 ≤ x ≤ 1 + 2
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b. ( 2,0 ñi/m)
1. Trong mft ph/ng tSa ñ@ vuông góc Oxy , cho ñư.ng tròn (C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 5 = 0 . Tìm M thu@c trKc
tung sao cho qua M kh ñưXc hai ti#p tuy#n c'a (C) mà góc gioa hai ti#p tuy#n ñó blng 600.
Gi!i:
(C) có tâm I(3; 0) và bán kính R = 2, M thu@c Oy nên M(0;m)
Qua M kh hai ti#p tuy#n MA và MB (A và B là hai ti#p ñi+m)

 AMB = 600 (1)
V_y 
vì MI là phân giác c'a AMB
 AMB = 1200 (2)
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58+58+12

Trang | 5


Khóa h c Luy n ñ thi ñ i h c môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Phương

Hư ng d n gi!i ñ thi t" luy n s% 15

(1) ⇔ AMI = 300 ⇔ MI =

IA
⇔ MI = 2 R ⇔ m 2 + 9 = 4 ⇔ m = ± 7
sin 300

(2) ⇔ AMI = 600 ⇔ MI =

IA
2 3
4 3
⇔ MI =
R ⇔ m2 + 9 =
(vô nghi5m)
0

sin 60
3
3

(

)

(

)

V_y có hai ñi+m M 1 0; 7 ; M 2 0; − 7 .
x −1 y + 1 z
=
=
.
2
1
−1
Vi#t phương trình ñư.ng th/ng ñi qua ñi+m M c,t và vuông góc vM’ ñ i xing vGi!i:
GSi H là hình chi#u vuông góc c'a M trên d, ta có MH là ñư.ng th/ng ñi qua M, c,t và vuông góc v2. Trong không gian v
 x = 1 + 2t

d có phương trình tham s là:  y = −1 + t
 z = −t


Vì H thu@c d nên tSa ñ@ H(1+2t; 1+t; t). Suy ra MH = (2t − 1; −2 + t ; −t )
Vì MH ⊥ d và d có m@t vectơ chm phương là u = (2;1; −1) nên :

2
2.(2t − 1) + 1.(−2 + t ) + ( −1).( −t ) = 0 ⇔ t = .
3
1 4 2
Vì th# MH =  ; − ; − 
3 3 3

uMH = 3MH = (1; −4; −2)
Suy ra phương trình chính t,c c'a ñư.ng th/ng MH là :

x − 2 y −1 z
=
=
1
−4
−2

7 1 2
8 5 4
Theo trên có H  ; − ; −  mà H là trung ñi+m c'a MM’ nên tSa ñ@ M '  ; − ; − 
3 3 3
3 3 3
 4log3 xy = 2 + ( xy ) log3 2
Câu VII.b. (1,0 ñi/m) Gi i h5 phương trình: 
.
2

2
log 4 ( x + y ) + 1 = log 4 2 x + log 4 ( x + 3 y )
Gi!i:
x > 0
ðiDu ki5n : 
y > 0

(1) ⇔ 22log3 xy − 2log3 xy − 2 = 0
⇔ log 3 xy = 1 ⇔ xy = 3 ⇔ y =

3
x

(2) ⇔ log 4 (4 x 2 + 4 y 2 ) = log 4 (2 x 2 + 6 xy ) ⇔ x 2 + 2 y 2 = 9
K#t hXp (1) và (2) ta ñưXc nghi5m c'a h5 :

(


6
3; 3 ;  6;

2 


)

Giáo viên: Lê Bá TrMn Phương
NguVn :
Hocmai.vn

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58+58+12

Trang | 6