Lời giải đề thi ĐH số 15

ĐẠI HỌC MỞ BÁN CÔNG TPHCM-KHỐI A,B
Câu I:
4 2
2y x x
= −
1a) Khảo sát và vẽ:
 TXĐ:
¡

3
' 4 4y x x= −

2
' 0 0 1
'' 12 4
1 5
" 0
9
3
y x x
y x
y x y
= ⇔ = ∨ = ±
= −
= ⇔ = ± ⇒ = −
=> Điểm uốn
1 2
1 5 1 5
; , ;
9 9
3 3

I I
   
= − = − −
 ÷  ÷
   
 BBT:
 Đồ thò:
1b. Biện luận số nghiệm:
Ta có :
4 2
2 0x x m
− − =
4 2
2x x m
⇔ − =
Dựa vào đồ thò (C) ta kết luận :
 m< -1: vô nghiệm.
 m= -1: 2 nghiệm.
 -1< m < 0: 4 nghiệm.
 m= 0: 3 nghiệm.
 m> 0: 2 nghiệm.
Câu II:
Cho
1 1
2.4 5.2 0
x x
m
− −
− + =
(1)

2a. Giải (1) khi m = 2:
Đặt
1
2
x
t
−
=
Điều kiện
1
2
t
≥
(vì
1 1x − ≥ −
)
Khi đó (1) trở thành :
2
2 5 0t t m
− + =
(*)
Với m=2 : (*) trở thành:
2
2 5 2 0t t
− + =
1
2
2
t t
⇔ = ∨ =

Vậy (1)
1 1
1
2 2 2
2
x x− −
⇔ = ∨ =
1 1 1 2 1 1
4 0
x x x
x x
⇔ − = ∨ − = ∨ − = −
⇔ = ∨ =
2b. Tìm m để (1) có nghiệm:
Ta có: (*)
2
2 5t t m
⇔ − = −
Xem hàm số :
2
2 5y t t
= −
trên
1
[ , )
2
+∞
' 4 5
5
' 0

4
y t
y t
= − +
= ⇔ =
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta được:
(1) có nghiệm
⇔
(*) có nghiệm trong
1
[ , )
2
+∞
⇔
25
8
m
≤
Câu III:
3a. Tính :
10
2
5 1
dx
I
x
=
−
∫

Ta có:
10
10
2
2
2 5 2 8
5 1
5 5 5
2 5 1
I dx x
x
= = − =
−
∫
3b. Tính
ln
1
e
J x xdx=
∫
Đặt u = lnx
1
du dx
x
⇒ =
dv = xdx, chọn
2
2
x
v

=
2
1
ln
2 2
1
1
e
e
x
J x xdx⇒ = −
∫
2 2
2
1 1
2 4 4
1
e
e e
x
+
= − =
Câu IV:
4a. Tìm số cách chọn 4 viên bi có ít nhất 1 viên bi trắng:
Nếu không phân biệt màu thì số cách chọn 4 viên bi là:
4
14
C
Số cách chọn 4 viên bi màu đen:
4

6
C
Vậy số cách chọn 4 viên bi trong đó có ít nhất 1 viên trắng:
4 4
14 6
986C C
− =
(cách)
4b. Tìm số cách chọn 4 viên bi cùng màu:
 Số cách chọn 4 viên bi trắng:
4
8
C
 Số cách chọn 4 viên bi đen:
4
6
C
Vậy số cách chọn 4 viên bi cùng màu :
4 4
8 6
C C
+
= 85 (cách)
Câu Va:
A(1, 2), B(0, 1), C(-2, 1)
Va.1) Phương trình AB:
0 1
1 0
1 0 2 1
x y

x y
− −
= ⇔ − + =
− −
Va.2) CH qua C và nhận
( 1, 1)AB
= − −
uuur
làm pháp vectơ nên có phương trình:
1( x + 2 ) + 1(y - 1) = 0

⇔
x + y + 1 = 0
Va.3) Gọi I (x, y) là tâm đường tròn:
Ta có :
2 2
2 2
IA IB
IB IC

=


=



− + − = + −

⇔


+ − = + + −


= −

⇔ ⇒ −

=

2 2 2 2
2 2 2 2
( 1) ( ) ( 1)
( 1) ( 2) ( 1)
1
( 1,3)
3
x y z x y
x y x y
x
I
y
Bán kính R = IA =
5
.
Suy ra phương trình đường tròn cần tìm:
(x + 1)
2
+ (y - 3)
2

= 5.
Câu Vb:
1. Chứng minh
( )AH SBC
⊥
và tính AH:
Ta có :
( )BC SAB BC AH
⊥ ⇒ ⊥
Mà
SB AH
⊥
SAB
∆
vuông cho:
S
A
a
a
H
B
O
C
D
I

2 2 2
2 2 2
2
2

1 1 1
1 1 7
6 6
6 42
7 7
AH AS AB
a a a
a a
AH AH
= +
= + =
⇒ = ⇒ =
2. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD):
Hình chiếu của SC lên (ABCD) là AC.
=> Góc của SC và (ABCD) là
·
SCA
.
Ta có:
·
6
3
2
SA a
tgSCA
AC
a
= = =
·
60SCA⇒ = °

3. Tính khoảng cách từ O đến (SBC):
Ta có:
( )AH SBC
⊥
AH HC
⇒ ⊥
.Vẽ
OI AC
⊥
⇒
( )OI SBC
⊥
⇒
OI là khoảng cách từ O đến (SBC)
⇒
42
2 14
AH a
OI
= =
(đường trung bình)