Đề cương ôn MI1111 de cuong bai tap GT1 2017

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng và Tin học

ĐỀ CƯƠNG BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - TỪ K62

Nhóm ngành 1

Mã số : MI 1111

1) Kiểm tra giữa kỳ hệ số 0.3: Tự luận, 60 phút.
Nội dung: Chương 1, chương 2 đến hết tích phân bất định của các hàm
phân thức hữu tỉ.
2) Thi cuối kỳ hệ số 0.7: Tự luận, 90 phút.
Chương 1
Phép tính vi phân hàm một biến số
1.1-1.4. Dãy số, hàm số
1. Tìm tập xác định của các hàm số
a) y =

4

d) y = arccos (sin x).

log(tan x)

2x
b) y = arcsin
1+x
√
x

c) y =
sin πx

e) y = arcsin(sin x)
f) y = sin(arcsin x).

2. Chứng minh các đẳng thức sau
a) sinh(−x) = − sinh x,
b) cosh(−x) = − cosh(x),
c) cosh2 x − sinh2 x = 1,
d) sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y,
e) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y,
f) sinh 2x = 2 sinh x cosh x,
1


g) cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x.
3. Tìm miền giá trị của hàm số
a) y = lg (1 − 2 cos x)

c) y = arctan(sin x)

b) y = arcsin lg

d) y = arctan(ex ).

x
10

4. Tìm f (x) biết

a) f

x+

1
x

= x2 +

1
x2

b) f

x
1+x

= x2 .

5. Tìm hàm ngược của hàm số
a) y = 2x + 3

b) y =

1−x
1+x

c) y =

1 x

(e − e−x ).
2

6. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
a) f (x) = ax + a−x (a > 0)
b) f (x) = ln x +

c) f (x) = sin x + cos x

√
1 + x2

d) f (x) = arcsin x.

7. Chứng minh rằng bất kỳ hàm số f (x) nào xác định trong một khoảng
đối xứng (−a, a), (a > 0) cũng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng
tổng của một hàm số chẵn với một hàm số lẻ.
8. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của hàm số sau (nếu có)
a) f (x) = A cos λx + B sin λx

d) f (x) = cos2x

b) f (x) = sin(x2)

√
e) f (x) = cos x + cos x 2

1
1
c) f (x) = sin x + sin 2x + sin 3x

2
3

√
f) f (x) = sin x + sin x 2.

1.5-1.6. Giới hạn hàm số
9. Tìm giới hạn
2


x100 − 2x + 1
a) lim 50
x→1 x − 2x + 1

(xn − an ) − nan−1(x − a)
b) lim
,
x→a
(x − a)2
n ∈ N.

10. Tìm giới hạn

a) lim

x→+∞

b) lim

x→+∞

x+
√

√
3

√
m

√
1 + αx − n 1 + βx
c) lim
x→0
x
√
√
m
1 + αx n 1 + βx − 1
.
d) lim
x→0
x

√
x+ x
x+1

x3 + x2 − 1 − x

11. Tìm giới hạn
√

√
cos x − 3 cos x
c) lim
x→0
sin2 x
1 − cos x cos 2x cos 3x
d) lim
.
x→0
1 − cos x

sin x − sin a
a) lim
x→a
x−a
√
√
b) lim sin x + 1 − sin x
x→+∞

12. Tìm giới hạn
x2 − 1
a) lim
x→∞ x2 + 1
√ 1
b) lim+ (cos x) x

c) lim [sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)]

x−1
x+1

x→∞

√
√
d) lim n2 ( n x − n+1 x) , x > 0.
n→∞

x→0

13. Khi x → 0+ cặp VCB sau có tương đương không?
α(x) =

x+

√

x và β(x) = esin x − cos x.

1.7. Hàm số liên tục
14. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0


 1 − cos x , nếu x = 0,
x2

a) f (x) =

a,
nếu x = 0.
3


b) g(x) =



ax2 + bx + 1,

nếu x ≥ 0,


a cos x + b sin x, nếu x < 0.

15. Điểm x = 0 là điểm gián đoạn loại gì của hàm số
a) y =

8
1 − 2cot x

b) y =

sin x1
1

ex + 1

eax − ebx
,
c) y =
x
(a = b)

1.8. Đạo hàm và vi phân
16. Tìm đạo hàm của hàm số




1 − x,
nếu x < 1,



f (x) = (1 − x)(2 − x), nếu 1 ≤ x ≤ 2,





x − 2,
nếu x > 2.
17. Với điều kiện nào thì hàm số


xn sin 1 , nếu x = 0,

x
f (x) =

0,
nếu x = 0

(n ∈ Z)

a) Liên tục tại x = 0

b) Khả vi tại x = 0
c) Có đạo hàm liên tục tại x = 0.
18. Chứng minh rằng hàm số f (x) = |x − a|ϕ(x), trong đó ϕ(x) là một
hàm số liên tục và ϕ(a) = 0, không khả vi tại điểm x = a.
19. Tìm vi phân của hàm số
x
1
arctan , (a = 0)
a
a
x
b) y = arcsin , (a = 0)
a

x−a
1
, (a = 0)
ln
2a
x+a

√
d) y = ln x + x2 + a .

a) y =

c) y =

4


20. Tìm
a)

d
d(x2)

sin x
x

b)

d(sin x)
d(cos x)

c)

d
x3 − 2x6 − x9 .
3
d(x )

21. Tính gần đúng giá trị của biểu thức
a) log 11

b)

7

2 − 0.02
.
2 + 0.02

22. Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số
x2
a) y =
, tính y (8)
1−x
1+x
b) y = √
, tính y (100)
1−x

x2
, tính y (8)
c) y =
1−x
d) y = x2 sin x, tính y (50) .

23. Tính đạo hàm cấp n của hàm số
x

x2 − 1
1
b) y = 2
x − 3x + 2
a) y =

c) y = √
3

x
1+x

d) y = eax sin(bx + c).

1.9. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng
24. Chứng minh rằng phương trình xn + px + q = 0 với n nguyên dương
không thể có quá 2 nghiệm thực nếu n chẵn, không có quá 3 nghiệm thực
nếu n lẻ.
25. Giải thích tại sao công thức Cauchy dạng
áp dụng được đối với các hàm số
f (x) = x2,

g(x) = x3,

f (b) − f (a)
f (c)
=
không
g(b) − g(a)
g (c)

−1 ≤ x ≤ 1

26.Chứng minh bất đẳng thức
a) |sin x − sin y| ≤ |x − y|

b)

a a−b
a−b
< ln <
, 0 < b < a.
a
b
b

27. Tìm giới hạn
5


√
√
x+ x− x

a) lim

x+

b) lim

x
1
−
x − 1 ln x

x→+∞

x→1

e) lim tan
x→1

πx
ln(2 − x)
2

f) lim 1 − atan2 x

1
x sin x

x→0

1

e x − cos x1

c) lim

x→∞

1−

1−

tan π2 x
g) lim−
x→1 ln(1 − x)

1
x2

ex sin x − x(1 + x)
d) lim
x→0
x3

h) lim (1 − cos x)tan x .
x→0

28. Xác định a, b sao cho biểu thức sau đây có giới hạn hữu hạn khi x → 0
a
b
1
1
−
−
−
f (x) =
sin3x x3 x2 x

29. Cho f là một hàm số thực khả vi trên [a, b] và có đạo hàm f (x) trên
(a, b). Chứng minh rằng với mọi x ∈ (a, b) có thể tìm được ít nhất một
điểm c ∈ (a, b) sao cho

f (b) − f (a)
(x − a)(x − b)
(x − a) =
f (c)
b−a
2
30. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số
f (x) − f (a) −

b) y = arctan x − x

a) y = x3 + x
31. Chứng minh bất đẳng thức

a) 2x arctan x ≥ ln 1 + x2 với mọi x ∈ R
b) x −

x2
≤ ln(1 + x) ≤ x với mọi x ≥ 0.
2

32. Tìm cực trị của hàm số
3x2 + 4x + 4
a) y = 2
x +x+1

c) y =

b) y = x − ln(1 + x)

d) y = x 3 + (x − 2) 3 .

(1 − x)(x − 2)2

3

2

33. Dùng phương pháp Newton, tính

2

√
6
2 đúng đến 8 chữ số thập phân sau

dấu phẩy.
6


1.10. Khảo sát hàm số, đường cong
34. Khảo sát hàm số
2t
1 − t2
e)
2


y= t
1+t

 x = 2t − t2
f)
 y = 3t − t3

2 − x2
a) y =
1 + x4
b) y =

√
3



x=

x3 − x2 − x + 1

x4 + 8
c) y = 3
x +1

g) r = a + b cos ϕ, (0 < a ≤ b)

x−2
d) y = √

x2 + 1

h) r = √

7

a
, (a > 0) .
cos 3ϕ


Chương 2
Phép tính tích phân hàm một biến số
2.1 Tích phân bất định
1. Tính các tích phân
a)
b)
c)
d)

√
x xdx

e)

xdx
(x + 2)(x + 5)

|x2 − 3x + 2|dx

f)

dx
√
x x2 + 1
xdx

dx
(x + a)2 (x + b)2

g)

sin x sin(x + y)dx

h)

1 + sin x
dx.
sin2 x

e)

dx
(x2 + 2x + 5)2

f)

sinn−1x sin(n + 1)xdx

g)

e−2x cos 3xdx

h)

arcsin2 xdx.

1−

1
x2

(x2 − 1)

3/2

2. Tính các tích phân
a)

arctan xdx

b)

x+2
√
dx
x2 − 5x + 6

c)
d)

xdx
√
x2 + x + 2
√
x −x2 + 3x − 2dx

3. Lập công thức truy hồi tính In
a) In =

xnex dx

b) In =

dx
.
cosn x

2.2. Tích phân xác định
4. Tính các đạo hàm
d y t2
e dt
a)
dx x

d
b)
dy

y

3

t2

e dt
x

8

d x
dt
√
c)
.
dx x2 1 + t4


5. Dùng định nghĩa và cách tính tích phân xác định, tìm các giới hạn
a) lim

n→∞

1
1
1
1
+
+
+ ··· +

, (α, β > 0)
nα nα + β nα + 2β
nα + (n − 1)β

1
n→∞ n

b) lim

1+

1
+
n

1+

2
+ ··· +
n

1+

n
.
n

6. Tính các giới hạn
sin x √

a) lim+
x→0

x

tan tdt

0
tan x √

b) lim

0

x→+∞

sin tdt

(arctan t)2 dt
√
x2 + 1

0

7. Tính các tích phân sau
e

a)
1/e
e

b)

|ln x| (x + 1) dx

d)

(x ln x)2 dx

e)

1

3

sin2x cos x

0

(1 + tan2 x)

3

arcsin
0

3π/2

c)
0

2 dx

x
dx
1+x

π/2

dx
2 + cos x

cosn x cos nxdx.

f)
0

8. Chứng minh rằng nếu f (x) liên tục trên [0, 1] thì
a)

b)

f (cos x)dx

f (sin x)dx =

xf (sin x)dx =
0

0

0

0

π

π

π/2

π/2

π
f (sin x)dx.
2

9. Cho f (x), g(x) là hai hàm số khả tích trên [a, b]. Khi đó f 2(x), g 2(x) và
f (x).g(x) cũng khả tích trên [a, b]. Chứng minh bất đẳng thức (với a < b)
2

b

f (x)g(x)dx
a

b

≤

2

b

f (x)dx

g 2 (x)dx

a

a

(Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz)
2.3. Tích phân suy rộng
10. Xét sự hội tụ và tính (trong trường hợp hội tụ) các tích phân sau
9


0

a)
b)

c)

xex dx

+∞

−∞

−∞

+∞

1

d)

cos xdx

0

0

dx
(x2 + 1)2
dx
x(1 − x)

.

11. Xét sự hội tụ của các tích phân sau
a)

1
0

b)

1
0

c)

1
0

dx
tan x − x
√
xdx
esin x − 1
√
xdx
√
1 − x4

12. Nếu

+∞
0

Xét ví dụ

d)

+∞ ln (1
1

e)

+∞
1

f)

+∞
0

√

+ x) dx
x

dx
x + x3

x2dx
.
x4 − x2 + 1

f (x)dx hội tụ thì có suy ra được f (x) → 0 khi x → +∞ không?

+∞

sin x2 dx.

0

13. Cho hàm f (x) liên tục trên [a, +∞) và lim f (x) = A = 0. Hỏi
x→+∞

+∞

f (x)dx có hội tụ không.

a

2.4. Ứng dụng của tích phân xác định
14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a) Đường parabol y = x2 + 4 và đường thẳng x − y + 4 = 0
b) Parabol bậc ba y = x3 và các đường y = x, y = 2x, (x ≥ 0)
c) Đường tròn x2 + y 2 = 2x và parabol y 2 = x, (y 2 ≤ x)
d) Đường y 2 = x2 − x4 .
15. Tính thể tích của vật thể là phần chung của hai hình trụ x2 + y 2 ≤ a2
và y 2 + z 2 ≤ a2 , (a > 0).
16. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi mặt paraboloit z = 4 − y 2 , các mặt
10


phẳng tọa độ x = 0, z = 0 và mặt phẳng x = a (a = 0).
17. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các
đường y = 2x − x2 và y = 0
a) Quanh trục 0x một vòng

b) Quanh trục 0y một vòng.

18.Tính độ dài đường cong
ex + 1

a) y = ln x
khi x biến thiên từ 1 đến 2.
e −1


 x = a cos t + ln tan t
π
π
2
b)
khi t biến thiên từ đến

3
2
 y = a sin t

(a > 0).

19. Tính diện tích mặt tròn xoay tạo nên khi quay các đường sau
a) y = sin x, 0 ≤ x ≤

π
quay quanh trục 0x
2

1
b) y = (1 − x)3, 0 ≤ x ≤ 1 quay quanh trục 0x.
3

11

Chương 3
Hàm số nhiều biến số
3.1. Các khái niệm cơ bản
1. Tìm miền xác định của các hàm số sau
a) z =
b) z =

1

c) z = arcsin

x2 + y 2 − 1

(x2 + y 2 − 1) (4 − x2 − y 2 ) d) z =

y−1
x

√
x sin y

2. Tìm các giới hạn nếu có của các hàm số sau
x2 − y 2
, (x → 0, y → 0)
a) f (x, y) = 2
x + y2
πx
b) f (x, y) = sin

, (x → ∞, y → ∞)
2x + y
x3 − y 3
c) f (x, y) = 2
,
x + y2
d) f (x, y) =

(x → 0, y → 0)

1 − cos x2 + y 2
,
x2 + y 2

(x → 0, y → 0).

3.2. Đạo hàm riêng và vi phân
3. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau
a) z = ln x +
b) z = y 2 sin

3

d) z = xy , (x > 0)

x2 + y 2

x
y

c) z = arctan

e) u = xy , (x, y, z > 0)
z

x2 − y 2
x2 + y 2

1

f) u = e x2 +y2 +z2 .

4. Khảo sát sự liên tục và sự tồn tại, liên tục của các đạo hàm riêng của
hàm số f (x, y) sau


x arctan y
x
a) f (x, y) =

0,

2

, nếu x = 0,
nếu x = 0.
12





x sin y − y sin x


, nếu (x, y) = (0, 0),
x2 + y 2
b) f (x, y) =


0,
nếu (x, y) = (0, 0).

5. Giả sử z = yf (x2 − y 2 ), ở đây f là hàm số khả vi. Chứng minh rằng đối
với hàm số z hệ thức sau luôn thỏa mãn
1
z
1
zx + zy = 2
x
y
y
6. Tìm đạo hàm riêng các hàm số hợp sau đây
a) z = eu

2

−2v 2

, u = cos x, v =

x2 + y 2

b) z = ln u2 + v 2 , u = xy, v =

x
y

c) z = arcsin (x − y) , x = 3t, y = 4t3.
7. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số
a) z = sin(x2 + y 2 )
b) z = ln tan

c) z = arctan

y
x

2

d) u = xy z .

x+y
x−y

8. Tính gần đúng
a) A =

3

2

b) B = ln

2

(1, 02) + (0, 05)

√
3

1, 03 +

√
4
0, 98 − 1 .

9. Tìm đạo hàm, đạo hàm riêng của các hàm số ẩn xác định bởi các phương
trình sau
a) x3y − y 3 x = a4 , tính y
b) x + y + z = ez , tính zx , zy
c) arctan

x+y
y
= , tính y
a
a

d) x3 + y 3 + z 3 − 3xyz = 0, tính zx , zy .
13

x+z
, tính ux , uy biết rằng z là hàm số ẩn của x, y xác định
y+z
bởi phương trình zex = xex + yey .

10. Cho u =

11. Tìm đạo hàm của hàm 
số ẩn y(x), z(x) xác định bởi hệ
 x+y+z =0
12. Phương trình z 2 +

2
=
x

 x2 + y 2 + z 2 = 1

y 2 − z 2 , xác định hàm ẩn z = z(x, y). Chứng

minh rằng
1
1
x2zx + zy = .
y
z
13. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số sau
a) z =

1
3

(x2 + y 2 )3

b) z = x2 ln(x + y)

y
c) z = arctan .
x

3.3. Cực trị của hàm số nhiều biến số
14. Tính vi phân cấp hai của các hàm số sau
a) z = xy 2 − x2y

b) z =

1
.
2(x2 + y 2 )

15. Tìm cực trị của các hàm số sau
a) z = x2 + xy + y 2 + x − y + 1

c) z = x2 + y 2 − e−(x

b) z = x + y − xey

d) z = 2x4 + y 4 − x2 − 2y 2 .

2

16. Tìm cực trị có điều kiện
a) z =

1 1
1
1
1
+ với điều kiện 2 + 2 = 2
x y
x
y
a

b) z = xy với điều kiện x + y = 1.
17. Tính giá trị lớn nhất và bé nhất của các hàm số

14

+y 2 )


a) z = x2y(4 − x − y) trong hình tam giác giới hạn bởi các đường thẳng
x = 0, y = 0, x + y = 6
b) z = sin x+sin y +sin(x+y) trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường
π
π
thẳng x = 0, x = , y = 0, y = .

2
2

15