Toán Hàm Số Sự tương giao

1

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ
CHỦ ĐỀ : SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ

Học viên: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Khóa : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lớp :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ


2

Nói các bạn cùng mình tham gia trò
chơi vượt sóng gió nhé

Giao

Tương

Là gì?

Là sự giao cắt giữ hai hay nhiều ĐTHS

Giao cắt.

Va chạm

Giải phương trình

F(x) = G (x)

Để làm gì ?
Tìm nghiệm
( số giao điểm )

1

Điều kiện tiếp xúc

Sự tương giao

2

Gồm
cái kiện cắt nhau tại số điểm xá
Điều
gì ?


3

3

Điều kiện cắt nhau tại một số điểm và thoả mãn một số tính

Điều kiện
tiếp xúc

Để xét sự tiếp xúc của hai đồ thị hàm số và , ta xét hệ:


 f ( x) = g ( x)

( *)

 f '( x ) = g '( x )
.
Ta có:
( C)
( C ')
( *)
⇔
1.
và
tiếp xúc nhau
hệ
có nghiệm đối
x

với ;
2.

3.

Nghiệm của

( *)

chính là hoành độ tiếp điểm;

x0

⇒

( C)

là hoành độ tiếp điểm
tiếp tuyến chung của
( C ')
x0
và
tại điểm có hoành độ
là:
y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 )
.

Hệ quả. Đường thẳng
I. Bài toán tương
giao tổng quát:
hàm số

y = kx + m

là tiếp tuyến của đồ thị

 f ( x ) = kx + m


 f '( x ) = k
khi và chỉ khi hệ

có

Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m). Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
nghiệm của phương trình
f(x, m) = g(x,m) (1).


4

 Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Sau đó lập phương trình tương giao của d và (C).
................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

Bài toán
Cho hai đồ thị hàm số
Tìm m để hai đồ thị cắt nhau tại
các điểm và thỏa mãn một tính
chất

Phương pháp giải

Phương pháp nhẩm nghiệm nguyên
- Nhẩm nghiệm theo x: cơ sở phương
pháp => làm mất x
- Nhẩm nghiệm theo m: cơ sở phương
pháp => làm mất m
 Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ
Cho phương trình:


Nhẩm nghiệm

f ( x) = an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 = 0

.
x=

Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ
q)=1 thì và
Trực tiếp
Coi m là ẩn , x là tham số

Xét hàm

p
q

(p,

Phương pháp
hàm số


5

Gián tiếp
Biến đổ về hàm

Hãy cùng mình xem một

số ví dụ

.
y = − x + 3x − 1
3

Ví dụ 1. Cho hàm số

2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.

b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình
Giải
a)
•
•

TXĐ: D = R.
y ' = −3x 2 + 6x

x = 0
y ' = 0 ⇔ −3x 2 + 6x=0 ⇔ 
x = 2
lim y = +∞, lim y = −∞

•

x →−∞

Giới hạn:
• Bảng biến thiên:

x →+∞

x3 − 3x 2 + m = 0

.


6

(−∞;0)
(2; +∞)
Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên
và
.
• Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = -1.
• Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1)
•

b)
•
•

x3 - 3x2 + m = 0 Û - x3 + 3x2 - 1 = m - 1
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = − x3 + 3x 2 − 1

với đường thẳng y = m – 1.

Vậy
m −1 > 3 ⇔ m > 4

m −1 = 3 ⇔ m = 4

: Phương trình có 1 nghiệm.

: Phương trình có 2 nghiệm.
3 > m − 1 > −1 ⇔ 4 > m > 0
: Phương trình có 3 nghiệm.
m − 1 = −1 ⇔ m = 0
: Phương trình có 2 nghiệm.
m − 1 < −1 ⇔ m < 0
: Phương trình có 1 nghiệm.


7

y = x3 − 3x 2 + 4

( C)

Ví dụ 2.Cho hàm số
.Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 0)
với hệ số góc là k ( k thuộc R). Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt và
hai giao điểm B, C (B, C khác A ) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện
tích bằng 1.
Giải
Đường thẳng d đi qua A(-1; 0) với hệ số góc là k, có phương trình là:

y = k(x+1) = kx+ k.
Nếu d cắt (C) tại ba điểm phân biệt thì phương trình: x3 – 3x2 + 4 = kx + k
⇔ 3
⇔
x – 3x2 – kx + 4 – k = 0
(x + 1)( x2 – 4x + 4 – k ) = 0
 x = −1

2
⇔  g ( x) = x − 4 x + 4 − k = 0
⇔
có ba nghiệm phân biệt
g(x) = x2 – 4x + 4 – k = 0 có
∆ ' > 0
k > 0
⇔
⇔
⇔ 0 < k ≠ 9 (*)
 g (−1) ≠ 0
9 − k ≠ 0

hai nghiệm phân biệt khác - 1
Với điều kiện: (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C.Với A(-1;0), do đó B,C có
hoành độ là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0.
B ( x1 ; y1 ) ; C ( x2 ; y2 )
x1; x2
x2 − 4 x + 4 − k = 0
Gọi
với
là hai nghiệm của phương trình:

.
y1 = kx1 + k ; y2 = kx2 + k
Còn
.
uuur
2
BC = ( x2 − x1 ; k ( x2 − x1 ) ) ⇒ BC = ( x2 − x1 ) 1 + k 2 = x2 − x1 1 + k 2
Ta có:
k
h=
1+ k2
Khoảng cách từ O đến đường thẳng d:
Vậy theo giả thiết:

(

S=

)

(

)

1
1 k
1
1
1
h.BC =

. 2 k 1+ k 2 = 2 k3 =1 ⇒ k3 = ⇔ k3 = ⇒ k = 3
2
2 1+ k2
2
4
4


8

y=

Ví dụ 3. Cho hàm số

2x + 1
( C)
x +1

Tìm tham số m để đường thẳng d: y = - 2x + m cắt đồ

thị tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng
Giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):
2x + 1
= −2 x + m ( x ≠ −1) ⇔ g ( x) = 2 x 2 − ( m − 4) x + 1 − m = 0 (1)
x +1
D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

⇔

3

.

(1) có hai nghiệm phân biệt khác -1.

∆ = (m − 4) 2 − 8(1 − m) > 0
m 2 + 8 > 0
⇔
⇔
 g (−1) ≠ 0
 g (−1) = −1 ≠ 0 ⇔ m 2 + 8 > 0 ⇒ m ∈ R

.

Chứng tỏ với mọi m d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
A ( x1 ; −2 x1 + m ) ; B ( x2 ; −2 x2 + m )
x1 , x2
Gọi
. Với:
là hai nghiệm của phương trình (1)
uuur
2
2
AB = x2 − x1 ; 2 x1 − x2 ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + 4 ( x2 − x1 ) = x2 − x1 5
Ta có
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d, thì khoảng cách từ O đến d là h:
m
m

⇒h=
=
5
22 + 1

(

(

S=
Theo giả thiết:

))

1
1 x2 − x1
AB.h =
2
2
5

1 ∆ 1
5= .
= . m2 + 8 = 3
2 2
4

m 2 + 8 = 42.3 ⇔ m 2 + 8 = 4 2.3 ⇒ m 2 = 40 ⇔ m = 2 10

(*)

Vậy:
Với m thỏa mãn điều kiện (*) thì d cắt (C) tại A, B thỏa mãn yêu cầu bài toán.
y = x 4 − ( m + 1) x 2 + m ( Cm )

m >1

( Cm )

Ví dụ 4. Cho hàm số
. Xác định
để đồ thị
cắt
trục Ox tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi và trục Ox có diện tích
phần phía trên trục Ox bằng diện tích phần phía dưới trục Ox.
Giải


9

⇔ x 4 − ( m + 1) x 2 + m = 0

Đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt
phân biệt
⇔ t 2 − ( m + 1) t + m = 0
(2) có 2 nghiệm dương phân biệt

(1) có 4 nghiệm

∆ = ( m + 1) 2 − 4m > 0


⇔ m + 1 > 0
⇔ m > 0& m ≠ 1
m > 0

Hai nghiệm của (2) là

t = 1, t = m

, do

m >1

nên 4 nghiệm phân biệt của (1) theo thứ tự tăng là:

− m , − 1,1, m
Hàm số là chẵn nên hình phẳng trong bài toán nhận Oy làm trục
đối xứng. Khi đó đồ thị có dạng như hình bên.
Bài toán thỏa mãn
S H1 = S H 2
1

⇔ ∫ x 4 − ( m + 1) x 2 + m dx =
0

m

∫

x 4 − ( m + 1) x 2 + m dx

1

1

m

⇔ ∫ ( x − ( m + 1) x + m ) dx = − ∫ ( x 4 − ( m + 1) x 2 + m ) dx
4

2

0

1

m

⇔

∫ ( x − ( m + 1) x
4

0

2

+ m ) dx = 0
m

 x5

x3
m m +1
+1 = 0 ⇔ m = 5
 − ( m + 1) + mx ÷ = 0 ⇔ −
3
5
3
 5
0

KL:

m=5

thỏa mãn yêu cầu

.


10

Ví dụ 5. Cho hàm số

( Cm )

y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1

có đồ thị là

( Cm )

. Định

m

để đồ thị

cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Giải

x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0

Xét phương trình hoành độ giao điểm:
(1)
2
f (t ) = t − 2 ( m + 1) t + 2m + 1 = 0
t = x2 , t ≥ 0
Đặt
thì (1) trở thành:
.
f (t ) = 0
Để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì
phải có 2 nghiệm dương phân biệt
∆ ' = m 2 > 0
1



m > −
⇔  S = 2 ( m + 1) > 0 ⇔ 
2
 P = 2m + 1 > 0
m ≠ 0


(*)
t1 < t2
f (t ) = 0
Với (*), gọi
là 2 nghiệm của
, khi đó hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox
x1 = − t2 ; x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2

lần lượt là:
x1 , x2 , x3 , x4

lập thành cấp số cộng

⇔ x2 − x1 = x3 − x2 = x4 − x3 ⇔ t2 = 9t1

m = 4
5m = 4 m + 4
⇔ m + 1 + m = 9 ( m + 1 − m ) ⇔ 5 m = 4 ( m + 1) ⇔ 
⇔
m = − 4
 −5m = 4m + 4
9


Vậy

4

m = 4; − 
9


Bạn hãy tìm cho mình những
người bạn đồng hành để giải các
bài tập này nhé !!!


11

y = x 3 + 3(m − 1) x 2 − 3mx + 2

Bài 1. (Cho hàm số
và đường thẳng
đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

d : y = 5 x − 1.

Tìm m để

a) có hoành độ dương
b) có hoành độ lớn hơn 2
c) có hoành độ

x1 ; x2 ; x3

x12 + x22 + x32 = 21

thỏa mãn
y = x − 3mx 2 + (m − 1) x + m + 1

d : y = 2 x − m − 1.
Bài 2. Cho hàm số
và đường thẳng
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc
bằng 1.
3

Bài 3. Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4, có đồ thị (Cm).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
b) Cho d là đường thẳng có phương trình y = x + 4 và điểm K(1 ; 3). Tìm m để d
cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0 ; 4), B, Csao cho tam giác KBC có diện tích bằng
8 2

.
TÔI LÀ …………………………………………………………………………....................

SƠ ĐỒ CON ĐƯỜNG


12

Bạn hãy chiến đấu với nhũng bài tập
này vì tương lai của mình

y = x3 − 3x − 1

Bài 4 Cho hàm số:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho


13

xA = 2

và

MN = 2 2

Bài 5 :Cho hàm số

y = x3 − 3 x 2 + ( m + 1) x + 1( 1)

có đồ thị

( Cm )

với m là tham số
m = −1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi
( d ) : y = x +1
( Cm )

b) Tìm m để đường thẳng
cắt đồ thị
tại 3 điểm phân biệt

P ( 0,1) , M , N

sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

OMN

bằng

5 2
2

với

O ( 0;0 )
Bài 6 :Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); (m là tham số) Xác định m để
(Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của
(Cm) tại D và E vuông góc với nhau
Bài 7 :Cho hàm số y = x3- (m+1)x2 + (m - 1)x + 1Chứng tỏ rằng với mọi giá trị khác 0
của m, đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A, B, C trong đó B, C có
hoành độ phụ thuộc tham số m. Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song
với nhau.
2x + 4
y=
( C)
1− x
Bài 8 Cho hàm số

.
a) Khảo sát hàm số
b) Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt
MN = 3 10
( C ) tại hai điểm M, N và
.
2x −1
y=
x −1
Bài 10 Cho hàm số
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
y = x+m
AB = 4
b) Tìm m để đường thẳng
cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho
.
y=

2x + 1
x+2

Bài 11:Cho hàm số
có đồ thị là (C). Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m
luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ
nhất.


14

Bài 12: Cho hàm số y =
A

x+2
x −1

B

và sao cho tam giác
hai đường tiệm cận
y=

(C) và đường thẳng d: y = x+m cắt đồ thị

IAB

nhận điểm

H ( 4; −2 )

( C)

tại các điểm

làm trực tâm. Với I là giao điểm của

2x + 2
x −1

Bài 13: Cho hàm số

(1).Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C), đường thẳng
(d ) : x − 2 y + 5 = 0
(C )
A
cắt
tại hai điểm A, B với có hoành độ dương. Viết phương trình
(C )
các tiếp tuyến của
vuông góc với IA.
y=

Bài 14 :Cho hàm số

x −1
x +1

y = ax + b

.Tìm a và b để đường thẳng (d):
∆ x − 2y + 3 = 0
điểm phân biệt đối xứng nhau qua đường thẳng ( ):
.

cắt (C) tại hai

TEAMWORK

Họ và tên người thắng cuộc : …………………………………………………………………..
SĐT / Facebook : ……………………………………………………………………………...
Địa chỉ :…………………………………………………………………………………………

H
ã
y


15