Toán Hàm Số Biến đổi đồ thị

1. Phép biến đổi đồ thị
4.1. Kiến thức liên quan
Đồ thị chứa dấu trị tuyệt đối
y = f(x) có đồ thị (C)

y = f ( x)

có đồ thị (C’)
y = f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ D
.
x
Ta cã: y = f( ) =
 f ( x) khi x ≥ 0.

 f (− x) khi x < 0.
Do đó:
+Ta phải giữ nguyên phần (C)
phía trên trục Ox
+Lấy đối xứng qua Ox với phần
phía dưới trục Ox.
+Bỏ đi phần (C) nằm ở phía
dưới Ox

f(x)=x^3-2x^2-0.5

y

y

f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5)
f(x)=x^3-2x^2-0.5

(C)

x

y= f ( x)
y= f ( x)

có đồ thị (C’’)

có

f ( − x ) = f ( x ) ∀x ∈ D
,
nên đây là hàm số chẵn do
đó có đồ thị đối xứng qua
trục tung Oy.
Do đó:
+) Ta phải giữ nguyờn phần
(C) bên phải Oy
+Bỏ đi phần (C) nằm ở bên
trái Oy
+Lấy đối xứng qua Oy vớớ́i
phần đồ thị (C) ở bờn phải
Oy
y

f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5
f(x)=x^3-2x^2-0.5

(C')

x

4.2. Ví dụ và bài tập
Ví dụ 1: Cho hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (đề thi đại học khối A- 2006)
2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị các hàm số:
a) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4

(C'')

x


b) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4
Giải
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C)
*) Khảo sát sự biến thiên:
(Bạn đọc tự giải)
Ta có: y’ = 6x2 – 18x + 12.
y’’ = 12x - 18
CĐ(1; 1) ; CT(2; 0)
*) Bảng biến thiên

2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị các hàm số:
a) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4
(Đặt f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4)
Ta có y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4= f(x)
Do đó đồ thị hàm số:

y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 gồm:
+) Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số y = f(x).
+) Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của đồ thị
= f(x)
qua trục hoành
b) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4

hàm số y


(Đặt f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4)
Ta có: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4
x

 f ( x) khi x ≥ 0.

 f (− x) khi x < 0.

= f( ) =
x
Và y = f( ) là hàm số chẵn nên đồ thị
có trục đối xứng là Oy.
Do đó đồ thị hàm số:
x
y = f( ) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 gồm:
+) Phần bên phải Oy của đồ thị hàm số y = f(x).
+) Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy
y=
Ví du 2. Cho hàm số

x +1
−x +1

có đồ thị (C)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

( C)

của hàm số.
x +1
= m.
− x +1
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
Giải
* Tập xác định: D=R\{1}
* Sự biến thiên:
2
y' =
> 0, ∀x ∈ ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ )
2
( 1− x)
⇒

( −∞;1)

và ( 1;+∞ )

Hàm số đồng biến trên các khoảng
Cực trị: Hàm số không có cực trị.

Giới hạn, tiệm cận:
x +1
x +1
lim− y = lim−
= +∞; lim+ y = lim+
= −∞
x →1
x →1 − x + 1
x →1
x →1 − x + 1
Do đó đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng.

.


x +1
= −1;
x →−∞ − x + 1

lim y = lim

x →−∞

x +1
= −1
x →+∞ − x + 1

lim y = lim

x →+∞

Do đó đường thẳng y = - 1 là tiệm cận ngang.
Bảng biến thiên:

x

-∞

1

+∞

+

y'

+
-1

+∞
y
-∞

-1

* Đồ thị:
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0; 1) và cắt trục hoành tại điểm (-1; 0).
Đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm I(1; -1) của hai tiệm cận.

x +1

= m.
− x +1

b)Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x +1
y=
− x +1
lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị

( C ') .

( 1)


y=

x +1
− x +1

Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của đthị
và đg thẳng y = m.
m < −1; m > 1:
Suy ra đáp số:
phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
m = 1:
phương trình có 1 nghiệm.
−1 ≤ m < 1:
phương trình vô nghiệm.
 Bài tập tự luyện

Bài 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x3 – 3x2 + 2
m
x2 − 2x − 2 =
x −1
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
y = x3 − 3 x 2
Bài 2 Cho hàm số:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của.
m
x 2 − 3x
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x =
Bài 3 Cho hàm số y = (x+1)2(x-2).(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
x − 2 ( x + 1) 2 = m
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
y = 4 x3 − 3x
Bài 4. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

4 x −3 x = m


Bài 5. a) Vẽ đồ thị hàm số

y = x3 − 3x 2 − 6

(C)
x 3 − 3x 2 − 6 = m

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình