Toán Hàm Số sự tương giao

3. Chủ đề 3: Bài toán tương giao
3.1. Kiến thức cơ bản
3.1.1. Bài toán tương giao tổng quát:
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m). Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
nghiệm của phương trình
f(x, m) = g(x,m) (1).
 Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Sau đó lập phương trình tương giao của d và (C).
3.1.2. Bài toán cơ bản:
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và d: y =ax+b
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x,m) = ax+b. (1)
Chú ý:
+ Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(x 0; y0) và có hệ số góc k thì phương trình d
có Dạng: y – y0 = k(x – x0).
M ( xM ; y M )
xM
+ Khai thác tọa độ giao điểm (
của (C) và d, ta cần chú ý:
là
yM = axM + b
nghiệm của (1);M thuộc d nên
+ Nếu (1) dẫn đên một phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng định lý Viet
phương pháp nhẩm nghiệm nguyên
- Nhẩm nghiệm theo x: cơ sở phương pháp => làm mất x
Vd:
- Nhẩm nghiệm theo m: cơ sở phương pháp => làm mất m
 Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ
f ( x) = an x n + an −1 x n−1 + ... + a1 x + a0 = 0
Cho phương trình:
.
p

x=
q \ an
p \ a0
q
Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ
(p, q)=1 thì
và
.
 Phương pháp hàm số
+) Xét hàm gián tiếp
-Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = g(m)
Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và đường thẳng y = g(m)
+) Xét hàm trưc tiếp
- Xét trực tiếp hàm số f(x) : coi m là ẩn và biến x là tham số
3.2. Ví dụ và bài tập


Ví dụ 1. Cho hàm số

y = − x3 + 3x 2 − 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.

b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x3 − 3x 2 + m = 0

Giải
a)
•

•

TXĐ: D = R.
y ' = −3x 2 + 6x

x = 0
y ' = 0 ⇔ −3x 2 + 6x=0 ⇔ 
x = 2
lim y = +∞, lim y = −∞

•

x →−∞

Giới hạn:
• Bảng biến thiên:

x →+∞

(−∞;0)
(2; +∞)
Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên
và
.
• Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = -1.
• Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1)
•

.

b)
•
•

x3 - 3x2 + m = 0 Û - x3 + 3x2 - 1 = m - 1
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = − x3 + 3x 2 − 1

với đường thẳng y = m – 1.

Vậy
m −1 > 3 ⇔ m > 4

m −1 = 3 ⇔ m = 4

: Phương trình có 1 nghiệm.

: Phương trình có 2 nghiệm.
3 > m − 1 > −1 ⇔ 4 > m > 0
: Phương trình có 3 nghiệm.
m − 1 = −1 ⇔ m = 0
: Phương trình có 2 nghiệm.
m − 1 < −1 ⇔ m < 0
: Phương trình có 1 nghiệm.
y = x3 − 3x 2 + 4

( C)

Ví dụ 2.Cho hàm số

.Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 0)
với hệ số góc là k ( k thuộc R). Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt và
hai giao điểm B, C (B, C khác A ) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện
tích bằng 1.
Giải
Đường thẳng d đi qua A(-1; 0) với hệ số góc là k, có phương trình là:
y = k(x+1) = kx+ k.
Nếu d cắt (C) tại ba điểm phân biệt thì phương trình: x3 – 3x2 + 4 = kx + k
⇔ 3
⇔
x – 3x2 – kx + 4 – k = 0
(x + 1)( x2 – 4x + 4 – k ) = 0
 x = −1

2
⇔  g ( x) = x − 4 x + 4 − k = 0
⇔
có ba nghiệm phân biệt
g(x) = x2 – 4x + 4 – k = 0 có
∆ ' > 0
k > 0
⇔
⇔
⇔ 0 < k ≠ 9 (*)
g
(
−
1)
≠
0

9
−
k
≠
0



hai nghiệm phân biệt khác - 1
Với điều kiện: (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C.Với A(-1;0), do đó B,C có
hoành độ là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0.
B ( x1 ; y1 ) ; C ( x2 ; y2 )
x1; x2
x2 − 4x + 4 − k = 0
Gọi
với
là hai nghiệm của phương trình:
.
y1 = kx1 + k ; y2 = kx2 + k
Còn
.


Ta có:

uuur
BC = ( x2 − x1 ; k ( x2 − x1 ) ) ⇒ BC =
h=

Khoảng cách từ O đến đường thẳng d:

Vậy theo giả thiết:
S=

1
1 k
h.BC =
.2 k
2
2 1+ k2
y=

Ví dụ 5. Cho hàm số

( x2 − x1 )

2

( 1+ k ) = x
2

⇔

2

1+ k2

1
1
1
⇔ k3 = ⇒ k = 3

2
4
4

Tìm tham số m để đường thẳng d: y = - 2x + m cắt đồ

thị tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng
Giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):
2x + 1
= −2 x + m ( x ≠ −1) ⇔ g ( x) = 2 x 2 − ( m − 4) x + 1 − m = 0 (1)
x +1
D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

(1+ k )

− x1

k

1+ k 2 = 2 k3 =1 ⇒ k3 =

2x + 1
( C)
x +1

2

3

.

(1) có hai nghiệm phân biệt khác -1.

∆ = (m − 4) 2 − 8(1 − m) > 0
m 2 + 8 > 0
⇔
⇔
 g (−1) ≠ 0
 g (−1) = −1 ≠ 0 ⇔ m 2 + 8 > 0 ⇒ m ∈ R

.

Chứng tỏ với mọi m d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
A ( x1 ; −2 x1 + m ) ; B ( x2 ; −2 x2 + m )
x1 , x2
Gọi
. Với:
là hai nghiệm của phương trình (1)
uuur
2
2
AB = x2 − x1 ; 2 x1 − x2 ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + 4 ( x2 − x1 ) = x2 − x1 5
Ta có
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d, thì khoảng cách từ O đến d là h:
m
m
⇒h=
=

5
22 + 1

(

(

S=
Theo giả thiết:

))

1
1 x2 − x1
AB.h =
2
2
5

1 ∆ 1
5= .
= . m2 + 8 = 3
2 2
4


m 2 + 8 = 42.3 ⇔ m 2 + 8 = 4 2.3 ⇒ m 2 = 40 ⇔ m = 2 10

(*)

Vậy:
Với m thỏa mãn điều kiện (*) thì d cắt (C) tại A, B thỏa mãn yêu cầu bài toán.
y = x 4 − ( m + 1) x 2 + m ( Cm )

m >1

( Cm )

Ví dụ 7. Cho hàm số
. Xác định
để đồ thị
cắt
trục Ox tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi và trục Ox có diện tích
phần phía trên trục Ox bằng diện tích phần phía dưới trục Ox.
Giải
⇔ x 4 − ( m + 1) x 2 + m = 0
Đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt
(1) có 4 nghiệm
phân biệt
⇔ t 2 − ( m + 1) t + m = 0
(2) có 2 nghiệm dương phân biệt
∆ = ( m + 1) 2 − 4m > 0

⇔ m + 1 > 0
⇔ m > 0& m ≠ 1
m > 0

Hai nghiệm của (2) là

t = 1, t = m

, do

m >1

nên 4 nghiệm phân biệt của (1) theo thứ tự tăng là:

− m , − 1,1, m
Hàm số là chẵn nên hình phẳng trong bài toán nhận Oy làm trục
đối xứng. Khi đó đồ thị có dạng như hình bên.
Bài toán thỏa mãn
S H1 = S H 2
1

⇔ ∫ x − ( m + 1) x + m dx =
4

2

0

m

∫

x 4 − ( m + 1) x 2 + m dx

1

1

m

⇔ ∫ ( x − ( m + 1) x + m ) dx = − ∫ ( x 4 − ( m + 1) x 2 + m ) dx
4

2

0

1

m

⇔

∫ ( x − ( m + 1) x
4

0

2

+ m ) dx = 0


m

 x5


x3
m m +1
−
m
+
1
+1 = 0 ⇔ m = 5
(
) + mx ÷ = 0 ⇔ −

5
3
5
3

0

KL:

m=5

thỏa mãn yêu cầu

Ví dụ 9. Cho hàm số

( Cm )

.

y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1

có đồ thị là

( Cm )

. Định

m

để đồ thị

cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Giải

x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0

Xét phương trình hoành độ giao điểm:
(1)
2
2
f (t ) = t − 2 ( m + 1) t + 2m + 1 = 0
t = x ,t ≥ 0
Đặt
thì (1) trở thành:
.
f (t ) = 0
Để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì
phải có 2 nghiệm dương phân biệt

∆ ' = m 2 > 0
1


m > −
⇔  S = 2 ( m + 1) > 0 ⇔ 
2
 P = 2m + 1 > 0
m ≠ 0


(*)
t1 < t2
f (t ) = 0
Với (*), gọi
là 2 nghiệm của
, khi đó hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox
x1 = − t2 ; x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2
lần lượt là:
x1 , x2 , x3 , x4
⇔ x2 − x1 = x3 − x2 = x4 − x3 ⇔ t2 = 9t1
lập thành cấp số cộng
m = 4
5m = 4m + 4
⇔ m + 1 + m = 9 ( m + 1 − m ) ⇔ 5 m = 4 ( m + 1) ⇔ 
⇔
m = − 4
 −5m = 4m + 4
9


Vậy

4

m = 4; − 
9


 Bài tập đề nghị.


y = x3 + 3(m − 1) x 2 − 3mx + 2

Bài 1. (Cho hàm số
và đường thẳng
đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

d : y = 5 x − 1.

Tìm m để

a) có hoành độ dương
b) có hoành độ lớn hơn 2
c) có hoành độ

x1 ; x2 ; x3

x12 + x22 + x32 = 21

thỏa mãn
y = x − 3mx 2 + (m − 1) x + m + 1

d : y = 2 x − m − 1.
Bài 2. Cho hàm số
và đường thẳng
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc
bằng 1.
3

Bài 3. Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4, có đồ thị (Cm).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
b) Cho d là đường thẳng có phương trình y = x + 4 và điểm K(1 ; 3). Tìm m để d
cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0 ; 4), B, Csao cho tam giác KBC có diện tích bằng
8 2

.
y = x3 − 3x − 1

Bài 4 Cho hàm số:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho
xA = 2

và

MN = 2 2

Bài 5 :Cho hàm số

y = x3 − 3 x 2 + ( m + 1) x + 1( 1)

có đồ thị

( Cm )

với m là tham số
m = −1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi
( d ) : y = x +1
( Cm )
b) Tìm m để đường thẳng
cắt đồ thị
tại 3 điểm phân biệt

P ( 0,1) , M , N

sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

OMN

bằng

5 2
2

với

O ( 0;0 )

Bài 6 :Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); (m là tham số) Xác định m để
(Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của
(Cm) tại D và E vuông góc với nhau


Bài 7 :Cho hàm số y = x3- (m+1)x2 + (m - 1)x + 1Chứng tỏ rằng với mọi giá trị khác 0
của m, đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A, B, C trong đó B, C có
hoành độ phụ thuộc tham số m. Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song
với nhau.
2x + 4
y=
( C)
1− x
Bài 8 Cho hàm số
.
a) Khảo sát hàm số
b) Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt
MN = 3 10
( C ) tại hai điểm M, N và
.
2x −1
y=
x −1
Bài 10 Cho hàm số
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
y = x+m
AB = 4
b) Tìm m để đường thẳng
cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho

.

y=

2x + 1
x+2

Bài 11:Cho hàm số
có đồ thị là (C). Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m
luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ
nhất.
x+2
( C)
x −1
Bài 12: Cho hàm số y =
(C) và đường thẳng d: y = x+m cắt đồ thị
tại các điểm
A

B

và sao cho tam giác
hai đường tiệm cận
y=

IAB

nhận điểm

H ( 4; −2 )

làm trực tâm. Với I là giao điểm của

2x + 2
x −1

Bài 13: Cho hàm số
(1).Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C), đường thẳng
(d ) : x − 2 y + 5 = 0
(C )
A
cắt
tại hai điểm A, B với có hoành độ dương. Viết phương trình
(C )
các tiếp tuyến của
vuông góc với IA.
y=

Bài 14 :Cho hàm số

x −1
x +1

.Tìm a và b để đường thẳng (d):

y = ax + b

cắt (C) tại hai

∆ x − 2y + 3 = 0
điểm phân biệt đối xứng nhau qua đường thẳng ( ):
.