tổng hợp bài tập dao động vật lý 12 hay nhất.

Chuyên đề ôn thi THPT QG năm 2017

TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
A. CƠ SỞ LÝ LUẬN
I. Thực trạng
Trong chương trình Vật lý 12, “ Tổng hợp dao động điều hòa cùng phương,
cùng tần số ”(THDĐĐH) thuộc chương “ Dao động cơ ”. Sách giáo khoa chỉ đưa
ra phương pháp giản đồ Fre-nen để đưa ra 2 công thức tính biên độ dao động tổng
hợp A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2cos(ϕ2 − ϕ1 ) (5-1)
và

A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2
A1cosϕ1 + A2 cosϕ 2 (5-2)
lệch pha ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 là :

tan ϕ =

Đồng thời nêu ra hai trường hợp đặc biệt xét theo độ
Nếu các dao động thành phần cùng pha: ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 = 2nπ ; n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…)
thì A = A1 +A2
Nếu các dao động thành phần ngược pha: ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 = (2n + 1)π ; n = 0, ± 1, ± 2, ±
3,…) thì A = A1 − A2 .
Với lượng kiến thức như trên HS chỉ nắm được một cách đơn thuần dưới góc
độ toán học, không hiểu được ý nghĩa vật lý và cũng không xác định được sự vận
dụng THDĐĐH xuyên suốt trong năm chương còn lại của sách vật lý 12.
Đối với HS từ việc xác định không được tầm quan trọng và ý nghĩa vật lý của
THDĐĐH nên vận dụng gặp không ít khó khăn, HS có cảm giác là giải tự luận
chứ vận dụng để giải trắc nghiệm còn quá mơ hồ.
II. Giải pháp
1. Xác định vị trí của THDĐĐH trong chương trình vật lý 12
Như trình bày ở trên, giáo viên cần điều chỉnh nhận thức về THDĐĐH không

đơn thuần là thuật toán chỉ áp dụng cho dao động cơ mà nó có ý nghĩa vật lý và
chi phối đến các chương I, II, II, IV, V đối với sách giáo khoa vật lý 12 chương
trình chuẩn, chương II, II, IV, V, VI đối với sách giáo khoa vật lý 12 chương trình
nâng cao.
THDĐĐH trong các chương sau là hiện tượng vật lý rõ nét, chứ không đơn
thuần là công cụ toán. Như
- các dao động thành phần trong thí nghiệm giao thoa sóng cơ ⇒ giao thoa
sóng cơ chính là dao động tổng hợp. Đó là những vị trí dao động cực đại, vị trí dao
động cực tiểu, học sinh có thể quan sát hiện tượng vật lý này một cách sinh động
bằng thực nghiệm giao thoa sóng trên mặt nước.
- chương điện xoay chiều, đối với đoạn mạch RLC nối tiếp điện áp giữa hai
đầu đoạn mạch bằng tổng điện áp trên các phần tử trên đoạn mạch đó, có thể
THDĐĐH.
- chương dao động điện từ ít đề cập hơn đến lý thuyết THDĐĐH, ta có thể
gặp bài toán tổng hợp dao động nếu mạch dao động có nhiều tụ hoặc nhiều cuộn
cảm mắc nối tiếp hoặc song song.
- chương tính chất sóng ánh sáng THDĐĐH được đề cập một cách định tính
hơn so với các chương trước. Trong chương này THDĐĐH chính là vị trí vân tối,
vị trí vân sáng, mà ít đề cập đến những giá trị trung gian.


Chuyên đề ôn thi THPT QG năm 2017

2. Rèn luyện kỹ năng THDĐĐH
a. Rèn luyện kỹ năng THDĐĐH bằng máy tính:
Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số bằng phương pháp
bấm máy tính cầm tay, chủ yếu là sử dụng 2 dòng máy tính phổ biến hiện nay:
a1. Máy FX 570 MS
* Với các thao tác bấm máy sau:
Bước 1: Bấm MODE 2

Bước 2: Nhập A1; bấm shift (-) và nhập pha ban đầu dao động thứ nhất ( đã đổi về
đơn vị độ π được thay bằng 180 )
Bước 3: Bấm + ; nhập A2 và bấm shift (-) ; nhập pha ban đầu dao động thứ hai ( đã
đổi về đơn vị độ π được thay bằng 180 )
Bước 4: Bấm shift +
Bước 5: Bấm = ta được giá trị A
Bước 6: Bấm shift = ra pha tổng hợp ϕ ( kết quả là số thập phân theo độ ta phải
chuyển về rad như sau

a.π
180

rad, rút gọn nếu được )

a2. Máy FX 570 ES
Bước 1: Bấm MODE 2
Bước 2: Nhập A1 ; bấm shift (-) ; nhập pha ban đầu dao động thứ nhất (đã đổi về
đơn vị độ π được thay bằng 180 )
Bước 3: Bấm + ; nhập A2; bấm shift (-) ; nhập pha ban đầu dao động thứ hai (đã
đổi về đơn vị độ π được thay bằng 180 )
Bước 4: Bấm shift 2 chọn 3
Bước 5: Bấm = ra giá trị A và pha tổng hợp ϕ kết quả là số thập phân theo độ ta
phải chuyển về rad như sau

a.π
180

rad, rút gọn nếu được )

Chú ý: * Nếu có nhiều dao động ta nhập thêm từ Bước 3.

* Nếu cho x1 và x thì x2 = x – x1 Nhập như trên tức Bước 2 thay vì nhập
A1 ta nhập A, ở Bước 3 bấm dấu ( - ) thay cho dấu ( + ).
b. Lý thuyết THDĐĐH bằng giản đồ véc tơ quay
Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số bằng phương pháp
vectơ quay:
Giả sử có vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao
động lần lượt là: x1=A1cos(ωt+ϕ1) và x2=A 2cos(ωt+ϕ2 ) .
( Chú ý các dao động thành phần phải cùng dạng hàm sin hoặc cos; nếu khác
nhau thì phải chuyển để cùng hàm )
Dao động của vật là tổng hợp của hai dao động có dạng: x = x1+ x2 = Acos(ωt + ϕ).
Để biểu diễn các véc tơ, ta chọn trục gốc nằm ngangy(∆) , và có thể vẽ thêm trục Oy
vuông góc với (∆) (hình vẽ).
M
M1

Biểu diễn các vectơ quay tại thời điểm t = 0

+
ϕ
O

M2

(∆ )


Chuyên đề ôn thi THPT QG năm 2017

uur
uur uuuu

r  A 1 = A 1
x1 → A 1 = OM 1  uur
(A 1; ∆) = ϕ1
uur
uur uuuu
r  A 2 = A 2
và x2 → A 2 = OM 2  uur
(A 2;∆) = ϕ2

(hình vẽ)

( Sau này HS đã có kỹ năngur thìuurkhông
cần ghi các véc tơ thành phần này )
uur
uuuu
r uuuu
r uuuu
r
Vectơ OM = OM1 + OM 2 hay A = A1 + A 2 biểu diễn dao động tổng hợp có độ lớn A là
ur
biên độ của dao động tổng hợp và A hợp với trục (∆) một góc ϕ là pha ban đầu của
dao động tổng hợp. ( theo quy ước chiều dương quay ngược chiều kim đồng hồ )
a- Biên độ của dao động tổng hợp: A = A 12 + A 22 + 2A1A 2cos(ϕ2 − ϕ1)
b- Pha ban đầu của dao tổng hợp:

tanϕ =

A 1 sinϕ1 + A 2 sinϕ2
A 1cosϕ1 + A 2 cosϕ2

III. Phân loại các dạng bài tập
1. Bài tập lý thuyết định tính
VD 1: Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có phương
trình dao động tương ứng lệch pha nhau một góc π. Có thể kết luận rằng:
A. Hai chất điểm không cùng lúc đi qua vị trí cân bằng.
B. Trung điểm của đoạn nối hai chất điểm hoàn toàn không dao động
C. Hai chất điểm luôn chuyển động không cùng chiều.
D. Hai dao động không thể cùng gốc thời gian.
VD 2: Có 2 vật dao động điều hoà, biết gia tốc vật 1 cùng pha với li độ của vật 2.
Khi vật 1 qua vị trí cân bằng theo chiều dương thì vật 2 qua
A. vị trí biên có li độ âm.
B. vị trí biên có li độ dương.
C. vị trí cân bằng theo chiều dương. D. vị trí cân bằng ngược chiều dương.
VD 3: Hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình lần lượt là x 1 =
3cos(10πt + φ) cm và x2 = 4cos(10πt – φ) cm. Nếu thay đổi giá trị của φ thì
A. biên độ dao động tổng hợp luôn bằng 1 cm vì hai dao động ngược pha
nhau.
B. tốc độ cực đại của dao động tổng hợp không thể thấp hơn 10π cm/s.
C. biên độ dao động tổng hợp không thể là 7 cm.
D. cơ năng của dao động tổng hợp không phụ thuộc vào giá trị của φ.
VD 4: Hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có biên độ lần lượt là 3 cm
và 4 cm. Dao động tổng hợp vuông pha với một trong hai dao động thành phần
trên thì
A. biên độ dao động tổng hợp là 5 cm.
B. độ lệch pha của hai dao động thành phần là |Δφ| > π/2
C. độ lệch pha của dao động tổng hợp với dao động còn lại là π/4
D. dao động thành phần vuông pha với dao động tổng hợp có biên độ là 4
cm.

Chuyên đề ôn thi THPT QG năm 2017

VD 5: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số 2 Hz có li độ lần lượt là
2

x1, x2 thỏa mãn

2

 x1   x2 
 4 ÷ + 3 ÷ =1
   

tại mọi thời điểm. Gọi v1 và v2 lần lượt là vận tốc

của dao động x1 và x2. Kết luận sai là
A. Dao động với li độ x1 có biên độ là A1 = 4 cm B. Biên độ dao động tổng
hợp là A = 5 cm
C. Tại mọi thời điểm ta có
D. Tại mọi thời điểm ta có

x1v1 x2v2
+
=0
16
9
2
2
 v1   v2 
2

 4 ÷ +  3 ÷ = 25π cm²/s²
   

VD 6: Cho ba dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có biên độ là 3 cm, 4
cm, 5 cm. Biên độ nhỏ nhất và lớn nhất của dao động tổng hợp từ ba dao động trên
lần lượt là
A. 1 cm và 12 cm
B. 1 cm và 10 cm
C. 0 cm và 10 cm
D. 0 cm và 12 cm
VD 7: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ 5 cm, lệch
pha góc

π
,
2

theo trục tọa độ Ox. Các vị trí cân bằng trùng với gốc tọa độ. Tại thời

điểm t, li độ của các dao động lần lượt là x 1 = 4 cm và x2 = −3 cm, khi đó li độ
của dao động tổng hợp là
A. 1 cm
B. 7 cm
C. 10 cm
D. 5 cm
VD 8: Chọn phát biểu đúng khi nói về hai dao động điều hoà quanh một vị trí cân
bằng O, cùng phương, cùng tần số, lệch pha nhau π/2.
A. Vật (1) đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương thì vật (2) đi qua vị trí cân
bằng theo chiều âm.
B. Khi vật (1) ở vị trí biên dương thì vật (2) ở vị trí biên âm.

C. Khi vật (1) ở vị trí biên thì vật (2) ở vị trí cân bằng.
D. Hai vật luôn chuyển động ngược chiều nhau.
2. Bài tập áp dụng công thức: A 2 = A 12 + A 22 + 2A1A 2cos(ϕ2 − ϕ1)
VD 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần
số 10 Hz với các biên độ thành phần là 7 cm và 8 cm. Cho biết hiệu số pha của hai
dao động là

π
.
3

Vận tốc của vật khi nó qua vị trí có li độ x = 12 cm là:

A. 314 cm/s.
B. 100 cm/s
C. 157 cm/s
D. 120π cm/s
VD 2: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng chu
kì T = π/10 s và có biên độ lần lượt là 6 cm và 8 cm. Biết hiệu số pha của hai dao
động thành phần là π/2 rad. Vận tốc của vật khi nó qua li độ x = 5 cm là
A. ± 3 cm/s.
B. ± 10 3 cm/s.
C. ± 3 m/s.
D. ± 10
3 m/s.


Chuyên đề ôn thi THPT QG năm 2017

VD 3: Một vật nặng 200 g thực hiện hai dao động cùng phương có phương trình x1

= A1cos(20t +

π
)
4

(cm) và x2 = 5cos(20t –

π
)
4

(cm). Năng lượng dao động của vật

là W = 0,225 J. Giá trị của A1 là
A. 4,0 cm.
B. 9,0 cm.
C. 2,5 cm.
D. 5,6 cm.
VD 4: Một vật có khối lượng m = 200 g thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà
cùng phương, cùng tần số và có các phương trình dao động là x 1 = 6sin(15t +

π
)
3

(cm) và x2 = A2sin(15t + π) (cm). Biết cơ năng dao động của vật là E = 0,06075 J.
Hãy xác định A2.
A. 4 cm.
B. 1 cm.

C. 6 cm.
D. 3 cm.
VD 5: Một vật đồng thời tham gia hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần
số có các phương trình lần lượt là x1= 3cos(10t + π/3) cm, x2 = A2cos(10t – π/6)
cm. Tốc độ của vật khi qua vị trí cân bằng là 50 cm/s. Biên độ dao động thành
phần thứ hai là
A. 2 cm.
B. 1 cm.
C. 4 cm.
D. 5 cm.
VD 6: Chất điểm m = 50 g tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương
cùng biên độ 10 cm và cùng tần số góc 10 rad/s. Năng lượng của dao động tổng
hợp bằng 25 mJ. Độ lệch pha của hai dao động thành phần bằng
A. 0.
B. π/3.
C. π/2.
D. 2π/3.
3. Dùng máy tính (dạng cơ bản)
VD 1: Cho một thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần
π
5π
số có phương trình sau: x1 = 10cos(5πt - 6 ) (cm) và x2 = 5cos(5πt + 6 ) (cm).
Phương trình dao động tổng hợp là
π
A. x = 5cos(5πt - 6 ) (cm).
π

C. x = 10cos(5πt - 6 ) (cm).

B. x = 5cos(5πt +

D. x = 7,5cos(5πt

5π
) (cm).
6
π
- 6 ) (cm).

VD 2: Một vật đồng thời thực hiện hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần
số có phương trình: x1 = 2 2 cos2πt (cm) và x2 = 2 2 sin2πt (cm). Dao động tổng
hợp của vật có phương trình là
π
3π
A. x = 4cos(2πt - 4 ) (cm).
B. x = 4cos(2πt - 4 ) (cm).
C. x = 4cos(2πt +

π
)
4

(cm).

D. x = 4cos(2πt +

3π
)
4

(cm).

VD 3: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần
số có phương trình: x 1 = 4,5cos(10t + π/2) (cm) và x2 = 6cos(10t) (cm). Gia tốc
cực đại của vật là
A. 7,5 m/s2.
B. 10,5 m/s2.
C. 1,5 m/s2.
D. 0,75 m/s2.


Chuyên đề ôn thi THPT QG năm 2017

VD 4: Một vật có khối lượng m = 500 g, thực hiện đồng thời hai dao động điều
π
hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x 1 = 8cos(2πt + 2 ) (cm) và x2 =
8cos2πt (cm). Lấy π2 = 10. Động năng của vật khi qua li độ x =

A
2

là

A. 32 mJ.
B. 64 mJ.
C. 96 mJ.
D. 960 mJ.
VD 5: Một vật có khối lượng m = 200 g thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà
có phương trình: x 1 = 4cos10t (cm) và x2 = 6cos10t (cm). Lực tác dụng cực đại
gây ra dao động tổng hợp của vật là
A. 0,02 N.

B. 0,2 N.
C. 2 N.
D. 20 N.
VD 6: Một vật có khối lượng m = 200 g, thực hiện đồng thời hai dao động điều
π
hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = 6cos(5πt - 2 ) (cm) và x2 =
6cos5πt (cm). Lấy π2 = 10. Tỉ số giữa động năng và thế năng tại x = 2 2 cm bằng
A. 2.
B. 8.
C. 6.
D. 4.
VD 7: Một vật nhỏ có m = 100 g tham gia đồng thời 2 dao động điều hoà, cùng
phương cùng tần số theo các phương trình: x1 = 3cos20t (cm) và x2 = 2cos(20t -

π
)
3

(cm). Năng lượng dao động của vật là
A. 0,016 J.
B. 0,040 J.
C. 0,038 J.
D. 0,032 J.
VD 8: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần
π
số. Biết phương trình của dao động thứ nhất là x 1 = 5cos(πt + 6 ) (cm) và phương
trình của dao động tổng hợp là x = 3cos(πt +
thứ hai là:
A. x2 = 2cos(πt +
C. x2 = 8cos(πt +

π
) (cm).
6
7π
) (cm).
6

7π
)
6

(cm). Phương trình của dao động

B. x2 = 8cos(πt +
D. x2 = 2cos(πt +

π
) (cm).
6
7π
) (cm).
6

4. Vận dụng phương pháp giản đồ vectơ.
a. Tìm Ai và ϕj (i ≠ j)
VD 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động thành phần: x 1 = A1cos(πt +

π
)

6

(cm) và x2 = 5 cos(πt + ϕ2) (cm). Phương trình của dao động tổng hợp là x =
π
) (cm).
6
π
A. 10 cm; 6 .
π
D. 20 cm; - 6 .

15cos(πt +

Giá trị A1, ϕ2 lần lượt là
B. 20 cm;

π
.
6

C. 10 cm; -

π
.
6

VD 2: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần
π
số có phương trình x1 = A1cos50πt (cm) và x2 = 3 cos(50πt - 2 ) (cm). Phương

Chuyên đề ôn thi THPT QG năm 2017

x = 2cos(50πt + ϕ) (cm). Giá trị A1 và ϕ

trình dao động tổng hợp có dạng là
lần lượt là:
A. 2
D. 2

3

3

π

cm; - 6 .

B. 1 cm; -

π
.
6

cm;

π
.
3

C. 1 cm;

π
.
3

VD 3: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần
số. Biết phương trình của dao động thứ nhất là x 1 = 5cos(πt + ϕ1) (cm); phương
trình dao động thứ hai là x2 = A2cos(πt tổng hợp là x = 3cos(πt A. 2 cm;
D. 2 cm; -

π
.
6
π
.
6

π
)
6

π
)
6

(cm) và phương trình của dao động

(cm). Giá trị A2 và ϕ1 là:
π

.
6

B. 8 cm; -

C. 8 cm;

π
.
6

VD 4: Một vật đồng thời thực hiện hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần
số có phương trình: x1 = 2 2 cos2πt (cm) và x2 = 2 2 sin(2πt + ϕ2) (cm). Dao
động tổng hợp của vật có phương trình là x = Acos(2πt - π/4) (cm). Giá trị A và
ϕ2 là
A. 4 cm; 0.
D. 4 cm;

B. 2

2

cm;

π
.
2

π
.

2

C. 4 cm; -

π
.
2

VD 5: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động trên trục Ox có phương
trình x1 = A1cos10t;
x2 = A2cos(10t + ϕ2). Phương trình dao động tổng hợp x =
A1

3 cos(10t

A.
2
3

1
2

hoặc

hoặc

π
.
6

+ ϕ), trong đó có ϕ2 - ϕ =
3
.
4

B.

1
3

hoặc

Tỉ số

ϕ
ϕ2

2
.
3

bằng

C.

3
4

hoặc

2
.
5

D.

4
.
3

VD 6: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động diều hòa trên cùng một trục
Ox với các phương trình x1 = 2 3 sin(ωt) (cm) và x2 = A2cos(ωt + φ2 ) (cm).
Phương trình dao động tổng hợp là x = 2cos(ωt + φ) (cm). Biết φ2 - φ =
trị nào của A2 và φ2 là đúng.
A. 4 cm và
D. 6 cm và

π
.
6

π
.
3

B. 2

3 cm

và

π
.
4

C. 4

3 cm

π
.
3

và

Cặp giá
π
.
2

VD 7: Một chất điểm tham gia đồng thời 2 dao động trên trục Ox có phương trình
x1 = A1cosωt; x2 = A2cos(ωt + φ2). Phương trình dao động tổng hợp x = Acos(ωt +


Chuyên đề ôn thi THPT QG năm 2017

π
6

φ), trong đó có φ2 - φ =

khoảng:
π
A. ≤ φ2 ≤
4

3π
.
4

B.

2π .
3

và A1

π
3

D.

3

≤ φ2 ≤
π
4

≤ φ2

≤ A ≤ 2A1. Góc φ2 có giá trị nằm trong

π
.
2
≤ π.
2

C.

π
3

≤ φ2 ≤

b. Tìm Ai (max, min).
VD 1: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương.
Phương trình của các dao động thành phần và dao động tổng hợp là x 1 = A1cosωt
(cm); x2 = 6cos(ωt + ϕ) (cm). Dao động tổng hợp có phương trình là x = Acos(ωt +
π/6) (cm). Biên độ dao động A1 có giá trị lớn nhất là
A. 14 cm.
B. 9 cm.
C. 12 cm.
D. 8 cm.
VD 2: Cho hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số có dạng: x 1 = Acos(ωt
+

π
)
3

(cm); x2 = Bcos(ωt -

π
)
2

(cm). Dao động tổng hợp có dạng x = 2cos(ωt + ϕ)

(cm). Điều kiện để dao động thành phần 2 đạt cực đại thì A và ϕ bằng:
A. 4 cm và
cm và

π
.
12

π
.
6

B.

2 3

cm và -

π
.
6

C.

3 cm

và

π
.
3

D. 2

VD 3: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình
π
x1 = 5cos(ωt + ) (cm) và x2 = A 2 cos(ωt + ϕ2 ) (cm). Dao động tổng hợp có phương
3
x = 4cos(ωt + ϕ) (cm). Để biên độ A2 có giá trị cực tiểu thì ϕ2 có giá trị là

A.

−

2π
.
3

B.

π
×

3

C.

π
×
6

D.

trình

π
− ×
3

VD 4: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, dao động 1 có biên độ A 1
= 10 cm, pha ban đầu

π
6

và dao động 2 có biên độ A2, pha ban đầu -

π
.
2

Biên độ A2

thay đổi được. Biên độ dao động tổng hợp A có giá trị nhỏ nhất là
A. 2 3 cm.
B. 5 3 cm.
C. 2,5 3 cm.
D. 3
cm.
VD 5: Một vật khối lượng không đổi thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có
phương trình lần lượt là x1 = 6cos(ωt + ϕ) (cm), x2 = A2cosωt (cm), thì dao động
tổng hợp là x = Acos(ωt + π/6) (cm). Khi biên độ dao động của vật bằng nửa giá
trị cực đại mà nó có thể có thì biên độ dao động A2 có giá trị là:
A. 12 3 cm.
B. 6 cm.
C. 12 cm.
D. 6 3 cm.
VD 6: Cho ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số là x1 = 10cos(2πt +
cm, x2 = A2cos(2πt -

π
)
2

cm, x3 = A3cos(2πt +

7π
)
6

π
)
6

cm (A3 < 10 cm). Khi đó dao


Chuyên đề ôn thi THPT QG năm 2017

động tổng hợp của ba dao động trên có phương trình là x = 8cos(2πt + ϕ) cm. Giá
trị của cực đại của A2 có thể nhận là:
A. 16 cm

B.

8
3

cm.

C.

16
3

cm.

D.

8 3 cm.

5. Vận dụng phương pháp đại số kết hợp máy tính
a. Các dao động ghép

VD 1: Dao động tổng hợp của 2 trong 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần
số: x12 = 2cos(2πt +

π
)
3

(cm), x23 = 2

3 cos(2πt

+

5π
)
6

(cm), x31 = 2cos(2πt + π)

(cm). Biên độ dao động của thành phần thứ 2 là
A. 1 cm.
B. 3 cm.
C. 3 cm.
D. 2 3 cm.
VD 2: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
π
2π
có phương trình là x1, x2, x3. Biết x12 = 6 cos(πt + 6 ) (cm); x 23 = 6 cos(πt + 3 ) (cm);
π
x13 = 6 2 cos(πt + )

4

động x3 là:
A. 3 cm.

(cm). Khi li độ của dao động x 1 đạt giá trị cực đại thì li độ của dao
B.

3 6

cm.

C.

3 2 cm.

D. 0 cm.

- VD 3: Ba dao động điều hòa có phương trình
dao động lần lượt x1 = A1cos(ωt + ϕ1); x2 =
A2cos(ωt + ϕ2) và x3 = A3cos(ωt + ϕ3). Biết 3
dao động cùng phương và A1 = 3A3; ϕ3 – ϕ1 = π .
Gọi x12 = x1 + x2 là dao động tổng hợp của dao
động thứ nhất và dao động thứ hai; x23 = x2 + x3
là dao động tổng hợp của dao động thứ hai và
dao động thứ ba. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian của li độ hai dao
động tổng hợp trên là như hình vẽ. Giá trị của A2 gần giá trị nào nhất sau đây.
A. 4,36 cm
B. 4,87 cm
C. 4,18 cm

D. 6,93 cm.
HD: Do φ3 – φ1 = π và A1=1,5A3 → x1 ngược pha với x3 và x1 = -1,5x3
Từ đồ thị:

T 1
= → ω = π rad/s.
4 2

π

Viết phương trình x23 = 4cos( ωt + φ ). Tại t = 0 thì x23=0 → x23 = 4cos(t+ 2 ) (cm)
x12 = 8cos( πt + φ ).
5

π

π

Tại t = 5/6(s) thì x12= - 8 cm → 6 π + φ = π → φ = 6 → x12 = 8cos(πt + 6)

Do x12 = x1 + x2 → x12 = - 1,5x3 + x2
x23 = x3 + x2
→ x12 + 1,5x23 = 2,5x2 → x2 =

x12 + 1,5x23
2,5


Chuyên đề ôn thi THPT QG năm 2017

Sử dụng máy tính x2 =

π
π
8∠ + 6∠
6
2
2,5

=

4 37
cos (cosπt
5

+0,96) cm

→ A2=

4,87 cm.

VD 4: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số cùng phương dọc theo theo
hai đường thẳng song song với trục Ox, vị trí cân bằng của chúng nằm trên đường
thẳng qua O và vuông góc với Ox. Phương trình dao động của hai chất điểm lần
lượt là x1 = A1cos(ωt + φ1) và x2 = A2cos(ωt + φ2). Trong quá trình dao động, gọi
d1 là giá trị lớn nhất của tổng li độ dao động của 2 chất điểm, gọi d2 là khoảng cách
cực đại giữa hai chất điểm xét theo phương Ox. Biết d 1 = 2d2 và độ lệch pha của
dao động một so với dao động hai luôn nhỏ hơn 90 0. Độ lệch pha cực đại giữa dao
động một và dao động hai gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 36,870

B. 53,130.
C. 44,150.
D. 87,320.
Giải: Vẽ giản đồ véc tơ như hình vẽ;
∆φ = φ2 – φ1
A
A2
Theo bài ra ta có d1 = x1 + x2
và
d2 = x1 – x2|
d2
d1
2
2
2
d1 = A1 + A2 + 2A1A2cos∆φ (*)
d22 = A12 + A22 - 2A1A2cos∆φ (**)
A1
∆φ
x
2
2
Lấy (*) – (**) ; d1 – d2 = 4A1A2cos∆φ
O
⇒ 3d22 = 4A1A2cos∆φ
⇒ cos∆φ =

3d 22
4 A1 A2

(1)

Lấy (*) + (**) ; d12 + d22 = 2(A12 + A22) ⇒ 5d22 = 2(A12 + A22)
Theo bất đẳng thức Côsi (A12 + A22) ≥ 2A1A2 ⇒ 5d22 = 2(A12 + A22) ) ≥ 4A1A2 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ cos∆φ = ≥

3
5

⇒ ∆φ ≤ 53,130 . Đáp án B

b. Quan hệ giữa hai dao động
VD 1: Một vật thực hiện một dao động điều hòa x = Acos(2πt + ϕ) (cm) là kết quả
tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình dao động x 1 =
12cos(2πt + ϕ1) (cm) và x2 = A2cos(2πt + ϕ2) (cm). Khi x1 = - 6 cm thì x = - 5 cm;
khi x2 = 0 thì x = 6 3 cm. Giá trị của A có thể là
A. 15,32 cm
B. 13,11 cm
C. 11,83 cm
D. 14,27 cm
VD 2: Hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình dao động lần lượt là: x 1
π
= 10cos5πt (cm) và x2 = Acos(5πt + 3 ) (cm). Khi x1 = 5 cm thì x = x1 + x2 = 2 cm.
Dao động tổng hợp của hai dao động có biên độ bằng
A. 13 cm.
B. 15 cm.
C. 12 cm.
D. 14 cm.
VD 3: Một vật nhỏ thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng
tần số x1 = 2sin(2πt + π/6) (cm) và x2 = A2cos(2πt + ϕ2) (cm). Biết rằng tại thời điểm

Chuyên đề ôn thi THPT QG năm 2017

1
6

s, vật có li độ bằng

1
2

biên độ và bằng 1 cm, chuyển động theo chiều âm. Giá trị

của A2 và ϕ2 lần lượt là:
A. 2 cm;

π
3

.

π

B. 2 cm; - 3 .

π

C. 1 cm; 3 .

π

D. 1 cm; - 3 .

c. Khoảng cách giữa hai chất điểm trong hai dao động điều hòa cùng tần số
a. Nếu dao động trên hai trục vuông góc, cùng mặt phẳng.
- Ta có: d = x2 + y2
VD 1: Hai chất điểm dao động điều hoà trên hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc
với nhau (O là vị trí cần bằng của cả hai chất điểm). Biết phương trình dao động
của hai chất điểm là: x = 2cos(5πt + π/2) (cm) và y = 4cos(5πt – π/6) (cm). Khi
chất điểm thứ nhất có li độ x = − 3 cm và đang đi theo chiều âm thì khoảng cách
giữa hai chất điểm là
A. 15 cm.
B. 7 cm.
C. 2 3 cm.
D. 3 3 cm.
b. Nếu dao động trên hai trục song song
- TH 1: rất sát nhau (coi như trùng nhau và có cùng gốc tọa độ).
Ta có: ∆x = x2 - x1
VD 2: Hai chất điểm P và Q dao động điều hoà trên cùng một trục Ox (trên hai
π
đường thẳng song song kề sát nhau) với phương trình lần lượt là x 1 = 4cos(4πt + 3
) (cm) và x2 = 4

2 cos(4πt

+

π
)

12

(cm). Coi quá trình dao động hai chất điểm không

va chạm vào nhau. Hãy xác định trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất và
nhỏ nhất giữa hai chất điểm là bao nhiêu?
A. dmin = 0 cm; dmax = 8 cm.
B. dmin = 2 cm; dmax = 8 cm.
C. dmin = 2 cm; dmax = 4 cm.
D. dmin = 0 cm; dmax = 4 cm.
VD 3: Hai chất điểm dao động điều hòa có phương trình là x 1 = 4cos(
(cm), x2 = 4cos(

20π π
t− )
3
6

20π
π
t+ )
3
6

(cm), trong đó thời gian tính bằng giây. Thời điểm lần thứ

2016 hai chất điểm cách nhau 4 cm là
A. 302,725 s
B. 302,325 s
C. 151,125 s

D.
302,400 s
VD 4: Hai chất điểm M và N dao động điều hòa cùng tần số 0,5 Hz dọc theo hai
đường thẳng song song gần nhau và song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của M và
N đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Trong quá trình
dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm. Tại thời
điểm t1 hai vật đi ngang qua nhau. Khoảng thời gian ngắn nhất kể từ thời điểm t 1 để
khoảng cách giữa chúng bằng 5 cm là
A.

1
4

s.

B.

1
3

s.

C.

1
2

s.

D.

1
6

s.


Chuyên đề ôn thi THPT QG năm 2017

VD 5: Hai vật cùng khối lượng 500 gam, dao động điều hòa lần lượt với phương
trình x1 = 4Acos(ωt –

π
)
3

và x2 = 3Acos (ωt +

π
)
6

trên hai trục song song nhau và

cùng gốc tọa độ. Khoảng cách lớn nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là 10
cm. Vận tốc tương đối giữa chúng có độ lớn cực đại là 1 m/s. Tổng cơ năng của
hai dao động nói trên là
A. 0,50 J
B. 0,10 J
C. 0,15 J

D. 0,25 J
VD 6: Hai con lắc lò xo m1 = 2 m2 dao động
điều hòa trên cùng một trục nằm ngang. Vị trí
cân bằng của chúng lần lượt O1 và O2. Chọn O1 làm gốc tọa độ, chiều dương
π

hướng từ O1 đến O2 . Con lắc m1 dao động với phương trình x1 = 4cos(4πt + 3) (cm) ,
con lắc m2 dao động với phương trình x2

π

= 12+ 4cos(4πt −  (cm) .Trong
6


quá trình dao

động, khoảng cách gần nhất giữa chúng là ?
A. 6,34 cm.
B. 10,53 cm.
C. 8,44 cm.
D. 5,25 cm.
VD 7: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số trên hai x(cm)
đường thẳng song song kề nhau cách nhau 5 cm và song song 5
với Ox có đồ thị li độ như hình vẽ. Vị trí cân bằng của hai chất O t
điểm đều ở trên một đường thẳng qua góc tọa độ và vuông góc
với Ox. Biết t2 - t1 = 1,08 s. Kể từ lúc t = 0, hai chất điểm cách
nhau 5 3 cm lần thứ 2016 là
A. 362,73 s.
B. 362,85 s.

C. 362,67 s.
D. 362,70 s.

t

1

t2

- TH 2: cách nhau một khoảng d, có gốc tọa
O
x
độ cùng đi qua một đường thẳng vuông góc với
a
O
x
hai trục.
a
Ta có: ∆x = d2 + (x2 − x1)2
O
x
VD 1: Ba chất điểm M1, M2 và M3 dao động điều
hòa trên ba trục tọa độ song song cách đều nhau với các gốc tọa độ tương ứng O 1,
O2 và O3 như hình vẽ. Khoảng cách giữa hai trục tọa độ liên tiếp là a = 2cm. Biết
rằng phương trình dao động của M1 và M2 là x1 = 3cos2πt (cm) và x2 = 1,5cos(2πt +
1

2

3

π
)
3

(cm). Ngoài ra, trong quá trình dao động, ba chất điểm luôn luôn thẳng hàng với

nhau. Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm M1 và M3 gần giá trị nào nhất sau
đây?
A. 6,56 cm.
B. 5,20 cm.
C. 5,57 cm.
D. 5,00 cm.
VD 2: Hai con lắc lò xo hoàn toàn giống nhau, gồm lò xo nhẹ độ cứng 10 N/m và
vật nhỏ khối lượng 250 g. Treo các con lắc thẳng đứng tại nơi có g = 10 m/s 2, điểm
treo của chúng ở cùng độ cao và cách nhau 5 cm. Kéo vật nhỏ của con lắc thứ nhất
xuống dưới vị trí cân bằng của nó 7 cm, con lắc thứ hai được kéo xuống dưới vị trí


Chuyên đề ôn thi THPT QG năm 2017

cân bằng của nó 5 cm. Khi t = 0 thả nhẹ con lắc thứ nhất, khi t =

1
6

s thả nhẹ con

lắc thứ hai, các con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Lấy π 2 = 10.
Khoảng cách lớn nhất giữa hai vật nhỏ của hai con lắc là

A. 6,0 cm.
B. 8,0 cm.
C. 8,6 cm.
D. 7,8 cm.
VD 3: Hai chất điểm M và N dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song
song nhau và cùng ở sát với trục Ox. Phương trình dao động của chúng lần lượt là
x1 = A1 cos(ωt +

π
)
3

(cm) và x2 = A2 cos(ωt –

π
)
6

x12 x22
+
= 1. Tại thời
36 64
v1 = 60 2 cm/s. Khi

(cm). Biết rằng

điểm t nào đó, chất điểm M có li độ x 1 = – 3 2 cm và vận tốc
đó vận tốc tương đối giữa hai chất điểm có độ lớn bằng
A. 233,4 cm/s.
B. 53,7 cm/s.

C. 20 2 cm/s.
D. 140 2 cm/s.
VD 4: Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và
song song với trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao
động. Vị trí cân bằng của hai vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và
vuông góc với Ox. Biết phương trình dao động của hai vật lần lượt là: x 1 =
π
π
1
4cos(4πt + 3 ) (cm) và x2 = 4 2 cos(4πt + 12 ) (cm). Tính từ thời điểm t1 = 24 s đến
thời điểm t2 =
nhỏ hơn 2
A.

1
6

s.

1
3

3 cm

s thời gian mà khoảng cách giữa hai vật theo phương Ox không
là
B.

1
8

s.

C.

1
3

s.

D.

1
12

s.

* Có thể biểu diễn trên đường tròn lượng giác
VD 1: Có hai chất điểm dao động điều hòa trên mặt phẳng ngang dọc theo hai
đường thẳng song song cạnh nhau và song song với trục Ox cùng biên độ và tần
số. Vị trí cân bằng của hai chất điểm cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc
Ox tại O. Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất hai chất điểm theo
phương Ox là 6 cm và khi đó, động năng của chất điểm 2 bằng
và độ lệch pha giữa hai dao động nhỏ hơn

π
.
2

3

4

cơ năng của nó

Biên độ dao động của hai chất điểm

là
A. 6 cm.
B. 4 cm.
C. 8 cm.
D. 3 cm.
VD 2: Hai vật thực hiện dao động điều hòa với biên độ lần lượt là 42,0 mm và
70,0 mm trên hai đường thẳng song song (sát nhau) có gốc tọa độ cùng nằm trên
đường thẳng đứng vuông góc với hai đường thẳng nói trên. Biết rằng hai vật gặp
nhau tại điểm x0 = 18 mm và chuyển động ngược chiều nhau. Khoảng cách lớn
nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là:
A. 115,2 mm.
B. 105,6 mm.
C. 110,0 mm.
D. 108,6 mm.