Phương trình và bất phương trình mũ logarit
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (195.26 KB, 21 trang )
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
.
PHƯƠNG
TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MŨ – LOGARIT
CHUYÊN ĐỀ 2
1. Kiến thức cần nhớ
1.1. Hàm số mũ:
•
•
•
Tập xác định :
Tập giá trị :
Tính đơn điệu:
*a>1
Dạng :
D= R
T = R+
:
*0
•
y = ax
(
ax > 0
y = ax
y = ax
)
R
nghịch biến trên
y=ax
a>1
∀x ∈ R
đồng biến trên
Đồ thị hàm số mũ :
y
1
≠
(a>0,a 1)
R
y
y=ax
x
1
0
x
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
•
Đạo hàm của hàm số mũ:
( ex ) ' = ex
( a ) ' = a .ln a
( e ) ' = e .u '
(a )'=a .
u
u
x
u
(với u là một hàm số)
x
u
ln a . u '
hàm số)
≠
Dạng
( a > 0 , a 1, x> 0 ))
D = R+
Tập xác định :
T=R
Tập giá trị
Tính đơn điệu:
y = loga x
R+
*a>1
:
đồng biến trên
y = loga x
R+
*0
1.2 Hàm số logarít:
•
•
•
y = loga x
(với u là một
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
•
O
y
x
1
y=logax
0
Đồ thị của hàm số lôgarít:
y
O
y=logax
x
1
a>1
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
•
Đạo hàm của hàm số lôgarit:
1
( ln x ) ' =
x
( ln u ) ' =
và
u'
u
và
( ln x ) ' = 1x
( ln u ) ' = uu'
(với u là một hàm
số)
( log a x ) ' =
( log a u ) ' =
u'
u.ln a
1
x ln a
a
và
( log
a
và
1.1. Công thức lũy thừa
a > 0, b > 0
m, n ∈ ¡
Cho
và
. Khi đó:
( a m ) n = a m .n
a m .a n = a m+ n
am
= a m−n
n
a
1
= a−n
n
a
( log x ) ' = x ln1 a
u )'=
u'
u.ln a
(với u là một hàm số)
(ab) n = a n .b n
m
n
am = a
1
a = −n
a
n
m
n
am
a
÷ = m
b
b
n
−n
a b
÷ = ÷
b a
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
1.2. Công thức lôgarit
Với các điều kiện thích hợp ta có:
log a b = α ⇔ aα = b
log a 1 = 0
log a a = 1
log a aα = α
a loga b = b
log a bα = α log a b
log aα b =
1
log a b
α
log a m b n =
log a (m.n) = log a m + log a n
log a b =
log c b
log c a
log a
n
log a b
m
m
= log a m − log a n
n
log a b =
1
log b a
2. Phương trình và bất phương trình mũ
2.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số:
a
Cho là một số dương khác 1. Ta có:
a f ( x) = a g ( x) ⇔ f ( x ) = g ( x )
a)
b > 0
a f ( x) = b ⇔
f ( x ) = log a b
b)
b<0
* Lưu ý: Với
thì phương trình vô nghiệm.
c)
a f ( x ) > a g ( x ) (*)
- Với
- Với
d)
a
a >1
x
thì
0 < a <1
f ( x)
>b
a f ( ) > a g ( x) ⇔ f ( x ) > g ( x )
a f ( ) > a g ( x) ⇔ f ( x ) < g ( x )
x
thì
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
- Với
f ( x)
b ≤ 0,
bất phương trình nghiệm đúng với mọi
x ∈ D, D
là tập xác định của
.
- Với
b > 0:
f ( x)
> b ⇔ f ( x ) > log a b
a >1 a
+
:
f ( x)
> b ⇔ f ( x ) < log a b
0 < a <1 a
+
:
.
Bài 1 (TN). Giải các phương trình sau:
a)5 x
2
+3x
= 625
b) 2 x
2
−3 x − 6
c) 2 x +1.5 x = 200
= 16
Lời giải
a )5 x
2
+3 x
= 625 ⇔ 5 x
2
+3 x
= 54 ⇔ x 2 + 3 x = 4
x = 1
⇔ x 2 + 3x − 4 = 0 ⇔
x = −4
Vậy phương trình có nghiệm x = 1 và x = -4.
b) 2 x
2
−3 x − 6
= 16 ⇔ 2 x
2
−3 x − 6
= 24 ⇔ x 2 − 3 x − 6 = 4
x = 5
⇔ x 2 − 3x − 10 = 0 ⇔
x = −2
Vậy phương trình có nghiệm x = 5 và x = -2.
c) 2 x +1.5 x = 200 ⇔ 2.2 x.5 x = 200
⇔ 10 x = 100 ⇔ x = 2
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Bài 2. (TN) Giải các bất phương trình sau:
− x2 +7 x+2
a) 7
6 x 2 +3 x −7
3
b) ÷
5
≤ 49
>
9
25
Lời giải
a) 76 x
2
+3 x −7
≤ 49 ⇔ 76 x
2
+ 3 x −7
≤ 72 ⇔ 6 x2 + 3x − 7 ≤ 2 ⇔ 6 x2 + 3x − 9 ≤ 0
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
x = 1
VT = 0 ⇔ 6 x 2 + 3 x − 9 = 0 ⇔
x = −3
Xét dấu VT ta được tập nghiệm của bất phương trình S = [-3; 1].
− x2 + 7 x + 2
3
b) ÷
5
− x2 +7 x+ 2
9
3
>
⇔ ÷
25
5
Tập nghiệm của bất phương trình
2
3
> ÷ ⇔ − x2 + 7 x + 2 < 2 ⇔ − x2 + 7 x < 0
5
S = ( −∞;0 ) ∪ ( 7; +∞ )
23 x
2
− x −10
Bài 3 (ĐH). Giải phương trình:
Lời giải
Phương trình tương đương:
23 x
2
− x −10
⇔ (2 2 x
⇔ 22 x
2
2
+ 22 x
− 2 x −12
− 2 x −12
2
−2 x −8
− 2x
− 1)(2 x
2
2
+ x+ 2
+ x −2
+ 4x
− 16 = 0 ⇔ 23 x
+ 1) = 0 ⇔ 22 x
2
2
2
− x −4
− x −14
− 2 x −12
− 2x
+ 22 x
2
2
+ x +2
− 2 x −12
− 16 = 0
− 2x
2
+ x −2
.
−1 = 0
−1 = 0
x = −2
= 20 ⇔ 2 x 2 − 2 x − 12 = 0 ⇔
x = 3
Vậy phương trình có 2 nghiệm
x = −2, x = 3.
2log3 ( 4x − 3) + log1 ( 2x + 3) ≤ 2
Ví dụ 4: Giải bất phương trình
Bài giải
4x − 3 > 0
2x + 3 > 0 ⇔
♥ Điều kiện:
♥ Khi đó:
x > 3
3
4
⇔x>
4
x > − 3
2
3
(*)
(1)
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
( 1) ⇔ log3 ( 4x − 3) 2 ≤ 2 + log3 ( 2x + 3)
⇔ log3 ( 4x − 3) ≤ log3 [ 9( 2x + 3) ]
2
⇔ ( 4x − 3) ≤ 9( 2x + 3)
2
⇔ 16x2 − 42x − 18 ≤ 0
⇔−
3
≤x≤3
8
♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là
3
r
Bài 5.(TN) Giải các phương trình sau
b) log 5 x + log 25 x = log 0,2
a ) log 2 x + log 4 x + log8 x = 11
1
3
c) log 22 x − log 2 x − 6 = 0
d ) 4log 22 x + log
e) 3log 32 x = 10log 3 x − 3
f ) ln( x 2 − 6 x + 7) = ln( x − 3)
Lời giải
a ) log 2 x + log 4 x + log8 x = 11
(1)
Điều kiện: x > 0.
(1) ⇔ log 2 x + log 22 x + log 23 x = 11
1
1
⇔ log 2 x + log 2 x + log 2 x = 11
2
3
11
⇔ log 2 x = 11
6
⇔ log 2 x = 6 ⇔ x = 26 = 64 (nhan)
Vậy phương trình có nghiệm x = 64.
1
b) log 5 x + log 25 x = log 0,2
3
(2)
Điều kiện: x > 0.
2
x=2
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
(2) ⇔ log 5 x + log 52 x = log 5−1
⇔
( )
3
−1
1
⇔ log 5 x + log 5 x = log 5 3
2
3
2
log 5 x = log 5 3 ⇔ log 5 x = log 5 3
2
3
⇔ log 5 x = log5
( 3)
2
3
⇔ log5 x = log5 3 3
⇔x= 33
Vậy phương trình có nghiệm
c) log 22 x − log 2 x − 6 = 0
(3)
Điều kiện: x > 0.
Đặt
x=33
t = 3
t2 − t − 6 = 0 ⇔
t = 2
t = log 2 x
.
. PT (3) trở thành
t = 3 ⇔ log 2 x = 3 ⇔ x = 23 = 8
t = 2 ⇔ log 2 x = 2 ⇔ x = 2 2 = 4
(thỏa mãn)
(thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm x = 4 và x = 8.
d ) 4log 22 x + log 2 x = 2
(4)
Điều kiện x > 0.
(4) ⇔ 4log 22 x + log 1 x = 2 ⇔ 4log 22 x + 2log 2 x − 2 = 0
22
Đặt
t = log 2 x
. PT (4’) trở thành
(4’)
t = −1
2
4t + 2t − 2 = 0 ⇔ 1
t =
2
t = −1 ⇔ log 2 x = −1 ⇔ x = 2−1 =
1
(t / m)
2
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
1
1
1
2
t = ⇔ log 2 x = ⇔ x = 2 = 2 (t / m)
2
2
x=
Vậy phương trình có nghiệm
e) 3log 32 x = 10log 3 x − 3
(5)
Điều kiện x > 0
t = log 3 x
ta được
và
x= 2
t = 3
3t = 10t − 3 ⇔ 3t − 10t + 3 = 0 ⇔ 1
t =
3
2
Đặt
1
2
2
t = 3 ⇔ log 3 x = 3 ⇔ x = 33 = 27 (nhan)
1
1
1
t = ⇔ log 3 x = ⇔ x = 33 = 3 3 (nhan)
3
3
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 27 và
f ) ln( x 2 − 6 x + 7) = ln( x − 3)
(6)
Điều kiện
x=33
.
x2 − 6x + 7 > 0
x − 3 > 0
x = 2 (loai )
(6) ⇔ x 2 − 6 x + 7 = x − 3 ⇔ x 2 − 7 x + 10 = 0 ⇔
x = 5 ( nhan)
Vậy phương trình có nghiệm x = 5.
Bài 6. (TN) Giải các bất phương trình sau:
b) log 0,5 ( x 2 − 5 x + 6) ≥ −1
a ) log 3 (4 x − 3) < 2
c) log 1 (2 x + 4) ≤ log 1 ( x 2 − x − 6)
3
Lời giải
3
d ) lg(7 x + 1) ≥ lg(10 x 2 − 11x + 1)
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
a ) log 3 (4 x − 3) < 2
4x − 3 > 0 ⇔ x >
3
4
Điều kiện
log 3 (4 x − 3) < 2 ⇔ 4 x − 3 < 32 ⇔ 4 x < 12 ⇔ x < 3
3
S = ;3 ÷
4
Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm
b) log 0,5 ( x 2 − 5 x + 6) ≥ −1
Điều kiện
x < 2
x2 − 5x + 6 > 0 ⇔
x > 3
log 0,5 ( x 2 − 5 x + 6) ≥ −1 ⇔ x 2 − 5 x + 6 ≤ ( 0,5 )
−1
⇔ x2 − 5x + 4 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 4
Kết hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm
c) log 1 (2 x + 4) ≤ log 1 ( x 2 − x − 6)
3
S = [ 1; 2 ) ∪ ( 3;4]
3
x > −2
2 x + 4 > 0
⇔ x < −2 ⇔ x > 3
2
x − x − 6 > 0
x > 3
Điều kiện:
log 1 (2 x + 4) ≤ log 1 ( x 2 − x − 6) ⇔ 2 x + 4 ≥ x 2 − x − 6
3
3
⇔ x − 3x − 10 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 5
2
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm
d ) lg(7 x + 1) ≥ lg(10 x 2 − 11x + 1)
S = ( 3;5]
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
1
x
>
−
7
7 x + 1 > 0
−1 1
⇔
1 ⇔ x ∈ ; ÷∪ ( 1; +∞ )
2
7 10
10 x − 11x + 1 > 0
x < 10
x > 1
Điều kiện:
lg(7 x + 1) ≥ lg(10 x 2 − 11x + 1) ⇔ 7 x + 1 ≥ 10 x 2 − 11x + 1
9
⇔ 10 x 2 − 18 x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤
5
Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm
Bài 7 (ĐH). Giải các phương trình:
log 3 ( x − 1) + log
2
3
1 9
S = 0; ÷∪ 1;
10 5
( 2 x − 1) = 2
a)
log 4 ( x + 1) + 2 = log
2
b)
Lời giải
2
4 − x + log8 ( 4 + x )
3
(2)
1
< x ≠1
2
Điều kiện:
⇔ 2log 3 x − 1 + 2log 3 ( 2 x − 1) = 2 ⇔ log 3 x − 1 + log 3 ( 2 x − 1) = 1
1
2 < x < 1
2
2 x − 3 x + 4 = 0(vn)
x > 1
⇔ log 3 x − 1 ( 2 x − 1) = log 3 3 ⇔ x − 1 ( 2 x − 1) = 3 ⇔ 2 x 2 − 3 x − 2 = 0
⇔x=2
b) Điều kiện:
x +1 ≠ 0
−4 < x < 4
4 − x > 0 ⇔
x ≠ −1
4 + x > 0
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
(2) ⇔ log 2 x + 1 + 2 = log 2 ( 4 − x ) + log 2 ( 4 + x ) ⇔ log 2 x + 1 + 2 = log 2 ( 16 − x 2 )
⇔ log 2 4 x + 1 = log 2 ( 16 − x 2 ) ⇔ 4 x + 1 = 16 − x 2
+ Với
−1 < x < 4
ta có phương trình
x 2 + 4 x − 12 = 0 (3)
;
x = 2
(3) ⇔
x = −6 ( lo¹i )
+ Với
−4 < x < −1
ta có phương trình
x 2 − 4 x − 20 = 0
(4);
x = 2 − 24
4
⇔
( )
x = 2 + 24 ( lo¹i )
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
x=2
(
x = 2 1− 6
hoặc
Bài 8 (ĐH). Giải các bất phương trình:
a)
1
log 3 x 2 − 5 x + 6 + log 1 x − 2 > log 1 ( x + 3)
2
3
3
log 1 log 5
b)
Lời giải
3
(
)
x 2 + 1 + x > log3 log 1
5
(
x2 + 1 − x
x>3
Điều kiện:
Bất phương trình đã cho tương đương:
1
1
1
log 3 ( x 2 − 5 x + 6 ) + log 3−1 ( x − 2 ) > log 3−1 ( x + 3 )
2
2
2
⇔
1
1
1
log 3 ( x 2 − 5 x + 6 ) − log 3 ( x − 2 ) > − log 3 ( x + 3)
2
2
2
⇔ log 3 ( x − 2 ) ( x − 3) > log 3 ( x − 2 ) − log 3 ( x + 3)
)
)
.
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
x−2
x−2
⇔ log3 ( x − 2 ) ( x − 3) > log 3
÷ ⇔ ( x − 2 ) ( x − 3) >
x+3
x+3
x < − 10
⇔ x2 − 9 > 1 ⇔
x > 10
Giao với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là
x>0
b) Đk:
( 1) ⇔ log3 log 1 (
)
x 2 + 1 − x + log 3 log 5
5
⇔ log 3 log 1
5
⇔ log 52
(
0 < log5
log 5
*)
(
)
x 2 + 1 − x .log 5
(
)
.
)
x2 + 1 + x < 0
)
x 2 + 1 + x ÷< 0
x2 + 1 + x < 1
⇔ 0 < log 5
*)
(
(
x > 10
(
(
)
x2 + 1 + x < 1
)
x2 + 1 + x ⇔ x > 0
)
x 2 + 1 + x < 1 ⇔ x 2 + 1 + x < 5 ⇔ x 2 + 1 < 5 − x ⇔ ... ⇔ x <
Vậy BPT có nghiệm
12
5
12
x ∈ 0; ÷
5
2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
t = ax , t > 0
Đặt
.
Thay vào phương trình hoặc bất phương trình để biến đổi phương trình theo t.
Giải phương trình, bất phương trình tìm t, đối chiếu điều kiện.
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
Nếu có nghiệm thỏa thì thay
t = ax
để tìm x và kết luận.
Bài 1. (TN) Giải các phương trình sau:
a ) 9 x − 10.3x + 9 = 0
b) 25 x + 3.5 x − 10 = 0
c ) 2 x − 2 3− x − 2 = 0
d ) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 0
Lời giải
a ) 9 x − 10.3x + 9 = 0 ⇔ 32 x − 10.3x + 9 = 0
Đặt
t = 3x , t > 0
.
Phương trình trở thành:
t = 1 ⇔ 3x = 1 ⇔ x = 0
t = 1 ( nhan)
t 2 − 10t + 9 = 0 ⇔
t = 9 (nhan)
t = 9 ⇔ xx = 9 ⇔ x = 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 2.
b) 25 x + 3.5 x − 10 = 0 ⇔ 52 x + 3.5x − 10 = 0
Đặt
t = 5x , t > 0
t = 2( nhan)
t 2 + 3t − 10 = 0 ⇔
t = −5(loai )
Phương trình trở thành:
t = 2 ⇔ 5 x = 2 ⇔ x = log 5 2
x = log 5 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
.
8
c) 2 x − 23− x − 2 = 0 ⇔ 2 x − x − 2 = 0 ⇔ 2 2 x − 2.2 x − 8 = 0
2
Đặt
t = 2x , t > 0
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
Phương trình trở thành:
t = 4 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2
t = 4 (nhan)
t 2 − 2.t − 8 = 0 ⇔
t = −2 (loai )
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
x
x
2x
x
9
6
3
3
d ) 6.9 − 13.6 + 6.4 = 0 ⇔ 6 ÷ − 13 ÷ + 6 = 0 ⇔ 6 ÷ − 13 ÷ + 6 = 0
4
4
2
2
x
x
x
x
Đặt
3
t = ÷ , t >0
2
. Phương trình trở thành
t =
2
6t − 13t + 6 = 0 ⇔
t =
3
(nhan)
2
2
(nhan)
3
x
t=
3
3
3
⇔ ÷ = ⇔ x =1
2
2
2
x
2
2
3
t = ⇔ ÷ = ⇔ x = −1
3
3
2
Vậy phương trình có nghiệm x = -1 và x = 1.
4 x − 3.2 x + 2 < 0
Bài 2 (TN). Giải các bất phương trình:
Lời giải
4 x − 3.2 x + 2 < 0 ⇔ 2 2 x − 3.2 x + 2 < 0
Bất phương trình
t = 2x , t > 0
Đặt
t 2 − 3t + 2 < 0 ⇔ 1 < t < 2 ⇔ 1 < 2 x < 2 ⇔ 0 < x < 1
Bất phương trình trở thành:
Vậy bất phương trình có nghiệm S = (0; 1).
log 3 x
log 3 x
2x
10 + 1
− 10 − 1
=
3
Bài 3 (ĐH). Giải phương trình:
.
Lời giải
Điều kiện: x > 0
(
)
(
)
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
(
)
10 + 1
log3 x
−
(
)
10 − 1
log3 x
Ta có phương trinhg tương đương với:
log3 x
10 + 1
⇔
÷
3
log3 x
10 − 1
−
÷
3
log3 x
2
=
3
. Đặt
10 + 1
t =
÷
3
1 2
t − = ⇔ 3t 2 − 2t − 3 = 0
t 3
Phương trình trỏ thành:
(t > 0).
1 + 10
t =
3
⇔
1 − 10
t =
3
(loại)
1 + 10
3
Với t =
ta giải được x = 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =3.
Bài 4 (ĐH). Giải các bất phương trình
2
log 2 x
a)
2
+x
(2 + 3) x
2
2log 2 x
− 2 x +1
− 20 ≤ 0
+ (2 − 3) x
2
− 2 x −1
≤
b)
4
2− 3
Lời giải
4log 22 x
2
Điều kiện: x> 0 ; BPT ⇔
t = log 2 x
x = 2t
Đặt
. Khi đó
.
2
+x
2log 2 x
− 20 ≤ 0
y = 22t
2
42t + 22t − 20 ≤ 0
BPT trở thành
. Đặt
BPT trở thành y2 + y - 20 ≤ 0 ⇔ - 5 ≤ y ≤ 4.
2
; y ≥ 1.
2
Đối chiếu điều kiện ta có:
Do đó - 1 ≤
log 2 x
≤1⇔
22t ≤ 4 ⇔ 2t 2 ≤ 2 ⇔ t 2 ≤ 1
1
≤x≤2
2
.
2
= .3log3 x
3
⇔ - 1 ≤ t ≤ 1.
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
(
⇔ 2+ 3
b) Bpt
(
t = 2+ 3
Đặt
)
)
x2 −2 x
x2 −2 x
(
+ 2− 3
)
x2 −2 x
≤4
(t > 0)
1
t + ≤ 4 ⇔ t 2 − 4t + 1 ≤ 0 ⇔ 2 − 3 ≤ t ≤ 2 + 3
t
BPTTT:
(
2− 3 ≤ 2+ 3
)
2
x −2 x
≤ 2+ 3
(tm)
⇔ −1 ≤ x 2 − 2 x ≤ 1
2
⇔ x − 2x −1 ≤ 0 ⇔ 1 − 2 ≤ x ≤ 1 + 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:Giải phương trình và bất phương trình:
1)
4 x−
x 2 −5
− 12.2 x −1−
+8 = 0
(3 + 5) + 16.(3 − 5) = 2
x
3)
x 2 −5
x
2)
x+ 3
4)
( 7 + 4 3)
(5−
)
x
− 3( 2 − 3 ) + 2 = 0
x
(
x
21 + 7. 5 + 21
)
x
≥ 8.2 x
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau
1)
3)
ìï x + log3 y = 3
ï
í
ïï ( 2 y 2 - y +12) .3x = 81 y
î
2)
ïìï log 4 x + log 4 y = 1 + log 4 9
í
ïïî x + y = 20
4)
ìï xy + xy
ïï 4 = 32
í
ïï log x - y = 1- log x + y
)
)
3(
3(
ïî
ïìï log 3 x - log 3 y = 2
í 2
ïïî x y - 2 y + 9 = 0
2.3. Phương pháp lô ga rít hóa:
Bài 1 (TN). Giải các phương trình:
4 x +1
x2
9 .7 = 1
1)
2)
2.4. Phương pháp hàm số:
x
2
÷
5
3 x+2
1
= ÷
7
x
3)
58
x −1
x
= 500
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R)
có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có
f (u ) = f ( v ) ⇔ u = v
.
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương
trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
log 3
x2 + x + 1
= x 2 − 3x + 2
2
2x − 2x + 3
Bài 1 (ĐH). Giải phương trình
Lời giải
u = x 2 + x + 1; v = 2 x 2 − 2 x + 3 ( u > 0, v > 0 )
v – u = x 2 − 3x +2.
Đặt
suy ra
u
log 3 = v − u ⇔ log 3 u − log 3 v = v − u ⇔ log 3 u + u = log 3 v + v
v
PT đã cho trở thành
(1).
f ( t ) = log 3 t + t , t > 0
Xét hàm đặc trưng:
.
1
f ' (t ) =
+ 1 > 0, ∀t > 0
t.ln 3
Ta có
nên hàm số đồng biến khi t > 0.
Từ (1) ta có f(u) = f(v), suy ra u = v hay v-u=0, tức là x2-3x+2=0.
x = 1, x = 2
Phương trình có nghiệm
.
u
log a = v − u
v
Lưu ý: Với phương trình dạng
với u > 0, v > 0 và 1 < a, ta thường biến đổi
⇔
logau - logav = v – u
logau + u = logav. Vì hàm số
f(t) = logat + t đồng biến khi t > 0, suy ra u = v.
Bài 2 (ĐH). Giải bất phương trình
Lời giải
1
log 2 (4 x 2 − 4 x + 1) − 2 x > 2 − ( x + 2) log 1 − x ÷
2
2
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
1
1
1
x
<
1
−x>0
x <
2
⇔
⇔
⇔ x<
2
2
2
4 x 2 − 4 x + 1 > 0
(2 x − 1) 2 > 0
x ≠ 1
2
( *)
ĐK:
Với điều kiện (*) bất phương trình tương đương với:
2log 2 (1 − 2 x) − 2 x > 2 + ( x + 2) [ log 2 (1 − 2 x) − 1] ⇔ x [ log 2 (1 − 2 x) + 1] < 0
x > 0
x > 0
x > 0
1
log 2 (1 − 2 x) + 1 < 0
log 2 2(1 − 2 x) < 0
2(1 − 2 x) < 1 x >
⇔
⇔
⇔
⇔
4
x < 0
x < 0
x < 0
x < 0
log
(1
−
2
x
)
+
1
>
0
log
2(1
−
2
x
)
>
0
2(1
−
2
x
)
>
1
2
2
Kết hợp với điều kiện (*) ta có:
1
1
< x<
4
2
Bài 3 (ĐH). Giải bất phương trình
Lời giải
hoặc x < 0.
x(3log 2 x − 2) > 9log 2 x − 2
⇔ 3( x − 3) log 2 x > 2( x − 1)
x>0
Điều kiện:
Bất phương trình
Nhận thấy x=3 không là nghiệm của bất phương trình.
3
x −1
log 2 x >
x>3
⇔ 2
x −3
TH1 Nếu
BPT
3
f ( x) = log 2 x
( 0;+∞ )
2
Xét hàm số:
đồng biến trên khoảng
biến trên khoảng
Với
x<4
:Ta có
( 3;+∞ )
*Với
x>4
f ( x) < f (4) = 3
g ( x ) > g (4) = 3 ⇒
:Ta có
f ( x) > f (4) = 3
g ( x) < g (4) = 3 ⇒
Bpt vô nghiệm
g ( x) =
x −1
x −3
Bpt có nghiệm
nghịch
x>4
*
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn
TH 2:Nếu
0< x<3
x −1
g ( x) =
x −3
BPT
3
x −1
3
log 2 x <
f ( x) = log 2 x
⇔ 2
x −3
2
nghịch biến trên
( 0;3)
*Với
x >1
:Ta có
đồng biến trên
( 0;+∞ )
f ( x ) > f (1) = 0
g ( x) < g (1) = 0 ⇒
nghiệm
x <1
* Với
:Ta có
f ( x) < f (1) = 0
g ( x) > g (1) = 0 ⇒
Bpt có nghiệm
0 < x <1
Vậy Bpt có ngh
x > 4
0 < x < 1
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giải phương trình và bất phương trình:
1)
32 x + 42 x = 25 x
2
1− x 2
x2
−2
1− 2 x
x2
=
3)
5)
2)
x−2
2x
2 x −5
7)
−e
x −1
6)
=
1
1
−
2x − 5 x −1
21− x − 2 x + 1
<0
2x − 1
4)
2 x −1 < 2 − x
e
3.16 x −2 + ( 3 x − 10 ) .4 x −2 + 3 − x = 0
8)
16 x − 3x ≤ 4 x + 9 x
2 x + 3x = 3 x + 2
x
9)
4
2
÷ = −2 x + 6 x – 9.
3
10)
(
2+ 3
)
x +1
(
− 7+4 3
)
x
= x −1
;
Bpt vô
