Bài giảng số phức

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC


LÀ GÌ ?


C
R

Z

Q
N


Cardano
( 1501 – 1576 )

x +1 = 0
2


Phần

Phần ảo

thực
 

R
SỐ THỰC

SỐ THUẦN ẢO

Z = a + bi

Số phức


Biểu diễn hình học

z = a + bi
Trục ảo

M ( a; b )
y
M

b
0

•

x

a
Trục thực


HOW

Lượng giác

•
•

Z = a + bi

Hình học

•

của số phức

cao

Biểu diễn hình học

Chương trình nâng

Đại số

•
•

Bài đọc thêm

Giải phương trình
Chứng minh đẳng
thức

1

DẠNG ĐẠI SỐ

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP PHỨC

z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i

Cho
+)

 

+)

z1 + z2 = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i

+)

z1 − z2 = ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) i

+)

z1.z2 = ( a1 + b1i ) .( a2 + b2i ) = a1a2 + a1b2i + a2b1i + b1b2i 2 = a1a2 − b1b2 + (a1b2 + a2b1 )i

+)

z1 ( a1 + b1i ) ( a1 + b1i ) ( a2 − b2i ) a1a2 − b1b2 + (a2b1 − a1b2 )i

=
=
=
z2 ( a2 + b2i ) ( a2 + b2i ) ( a2 − b2i )
a22 + b22


Mô Đun của số phức
Cho số
phức



Gọi



Gọi

z = a + bi

a 2 là+môđun
b 2 của z. Kí hiệu

là  số phức liên hợp của z. Khi đó

z = a 2 + b2

z = a − bi

Ví dụ 1 :
Thực hiện phép toán

3 + 2i
5−i

Giải.

3 + 2i (3 + 2i )(5 + i )
=
5−i
(5 − i )(5 + i )

Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu
là 5 + i.

15 + 3i + 10i + 2i 2
=
25 + 1
13 + 13i 1 1
=
= + i
26
2 2

Viết ở dạng Đại số


Tìm số phức z biết

z + 2z = ( 2 − i) ( 1− i )

Ví dụ 2.

3

(1)

LỜI GIẢI

z = a + bi ⇒ z = a − bi

Giả sử

⇔ a + bi + 2( a − bi ) = (23 + 3.22 i + 3.2i 2 + i 3 )(1 − i )

⇔ a + bi + 2a − 2bi = (8 + 12i − 6 − i )(1 − i ) = (11i + 2)(1 − i )
⇔ 3a − bi = 11i − 11i 2 + 2 − 2i = 13 + 9i
 


 


 


Ví dụ 3

z1 = 2 + 3i, z2 = 1 + i

Cho

z1 + z2
z2

z1 + 3 z2

Tính

z13 + 3z2

BÀI GIẢI

1)

2)

3)

z1 + 3z2 = 2 + 3i + 3 + 3i = 5 + 6i ⇒
z1 + z2 3 + 4i ( 3 + 4i ) ( 1 − i ) 7 + i
=
=
=
z2
1+ i
1 − i2
2

⇒

z + 3 z2 = 8 + 36i + 54i + 27i − 3 − 3i = −49 + 6i
3
1

2

3

z1 + 3z2 = 52 + 62 = 61
z1 + z2
49 1 5 2
=
+ =
z2
4 4
2

⇒ z13 + 3z2 = 2437


2

DẠNG HÌNH HỌC

Biểu diễn tập hợp điểm

Cực trị số phức

Y

Biểu diễn số phức

A
2

-Điểm A(3;2) biểu diễn số phức: 3+2i.

X
-3

O

2

3

-Điểm B(2;-3) biểu diễn số phức: 2-3i.
- Điểm C(-3;-2) biểu diễn số phức: -3-2i
C

-2

-3

B

Ví dụ 4

Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn :

| z − 2 + 3i |= 5

Giải
 Gọi z = a + bi ( a,b
Ta có :
 = 5
 = 5

 

Vậy tập hợp biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (2,-3) bán kính bằng 5.


Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn:

z + 2 − 3i
= 1(*)
z −4+i

Ví dụ 5

L
ời giải
 Giả sử z = a + bi ( a, b

Ta có :

(*) ⇔ a + 2 + (b − 3)i = x − 4 − (b − 1)i

⇔ (a + 2)2 + (b − 3) 2 = (a − 4)2 + (b − 1)2

⇔ 3a − b − 1 = 0
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng
có phương trình 3x-y-1=0.


z − 3 + 4i = 4

Ví dụ 6. Cho số phức z thỏa mãn:
. Tìm giá trị nhỏ nhất của

z
Lời giải:

 Giả sử z = a + bi ( a,b Ta có

a + bi − 3 + 4i = 4 ⇒ ( a − 3) + ( b + 4 ) = 16
2

2

Đặt

a − 3 = 4sin ϕ
a = 3 + 4sin ϕ

⇒

b
+
4
=
4cos
ϕ

b = 4cos ϕ − 4

Đặt

cos α =

2

⇒ z = a 2 + b 2 = 9 + 16sin 2 ϕ + 24sin ϕ + 16cos 2 ϕ + 16 − 32cos ϕ
= 41 + 24sin ϕ − 32cos ϕ
3
4
= 41 + 40( sin ϕ − cos ϕ )
5
5

3
4
,sin α =
5
5

2

⇒ z = a 2 + b 2 = 41 + 40sin(ϕ − α ) ≥ 1
.
Dấu = xảy ra khi

Do đó :

π
π
ϕ − α = − + k 2π ⇒ ϕ = − + α + k 2π
2
2

Min z = 1


Ví dụ 7

Giải phương trình:

z2 + 4z + 7 = 0
LỜI GIẢI

Ta có :

∆ ' = 22 − 7 = −3 = 3i 2

 

=>

 

Vậy nghiệm của phương trình là:

z = −2 + 3i, z = −2 − 3i

±i 3


Bản Thu Hoạch

HỌC SINH XUẤT SẮC NHẤT : . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
LỚP : . . . . . . . . . . . . . . MÃ HỌC SINH : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NÔI DUNG :
+

Khi nhớ về bài học bạn sẽ nhớ gì ?

+ Cụ thể hóa bằng những ý chính nhất bạn vừa nhớ ?
+ Xây dựng một sơ đồ tổng quan nhất theo ý hiểu của mình
+ Xây dựng sơ đồ con đường để làm bài tập

TỰ ĐÁNH GIÁ CỦA BẢN THÂN VỀ PHẦN HỌC

TÔI NHẤT ĐỊNH SẼ HỌC XUẤT SẮC CHUYÊN ĐỀ NÀY VÀ ĐẠT ĐIỂM THI

Cam kết

TUYỆT ĐỐI