CHUYÊN đề KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN ( PHẦN i)

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN ( PHẦN I)
A. Cơ sở lí thuyết và phương pháp giải
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm O và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu của O trên ∆. Khi đó khoảng cách giữa hai
điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ∆. Kí hiệu d (O, ∆)
* Nhận xét
- ∀M ∈ ∆, OM ≥ d (O, ∆ )
- Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ∆ ta có thể
+ Xác định hình chiếu H của O trên ∆ và tính OH
+ Áp dụng công thức
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm O và mặt phẳng (α). Gọi H là hình chiếu của O trên (α). Khi đó khoảng cách giữa
hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α). Kí hiệu d (O,(α ))
* Nhận xét
- ∀M ∈ (α ), OM ≥ d (O,(α ))
- Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1. Tính trực tiếp. Xác định hình chiếu H của O trên (α) và tính OH
* Phương pháp chung.
- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với (α)
- Tìm giao tuyến ∆ của (P) và (α)
- Kẻ OH ⊥ ∆ ( H ∈ ∆ ). Khi đó d (O,(α )) = OH . Đặc biệt:
+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy
+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ từ đỉnh sẽ thuộc
giao tuyến của mặt bên đó với đáy
+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt

bên này
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chân
đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm
đường tròn nội tiếp đáy
Cách 2. Sử dụng công thức thể tích
Thể tích của khối chóp V =

1
3V
S .h ⇔ h =
. Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh
3
S

của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S
Cách 3. Sử dụng phép trượt đỉnh
Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh O trên một đường thẳng đến một vị trí
thuận lợi O ' , ta quy việc tính d (O,(α )) về việc tính d (O ',(α )) . Ta thường sử dụng những kết quả
sau:
Kết quả 1. Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) và M, N ∈ ∆ thì

d ( M ;(α )) = d ( N ;(α ))

Kết quả 2. Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) tại điểm I và M, N ∈ ∆ (M, N không trùng với I) thì

d ( M ;(α )) MI
=
d ( N ;(α )) NI
1

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

1
d ( N ;(α ))
2
nếu I là trung điểm của MN thì d ( M ;(α )) = d ( N ;(α ))

Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì d ( M ;(α )) =

Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuông
Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (
OA ⊥ OB, OB ⊥ OC , OC ⊥ OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó đường
cao OH được tính bằng công thức

1
OH

2

=

1
OA

2

+

1
OB

2

+

1
OC 2

Cách 5. Sử dụng phương pháp tọa độ
Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng các công thức sau:

Ax0 + By0 + Cz0 + D
d ( M ;(α )) =
với M ( x0 ; y0 ; z0 ) , (α ) : Ax + By + Cz + D = 0
A2 + B 2 + C 2
uuur r
MA ∧ u
r
d ( M , ∆) =
r
với ∆ là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương u
u
r ur uuur
u ∧ u '. AA '

ur
d (∆, ∆ ') = r ur với ∆ ' là đường thẳng đi qua A ' và có vtcp u '
u ∧u'
Cách 6. Sử dụng phương pháp vectơ
3. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó
Cho điểm đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α). Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và
mặt phẳng (α) là khoảng cách từ một điểm bất kì của ∆ đến mặt phẳng (α). Kí hiệu d (∆,(α ))
* Nhận xét
- ∀M ∈ ∆, N ∈ (α ), MN ≥ d ( ∆,(α ))
- Việc tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α) được quy về việc tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng
này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu d ((α );( β ))
* Nhận xét
- ∀M ∈ (α ), N ∈ ( β ), MN ≥ d ((α );( β ))
- Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng.
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng ∆ cắt cả a và b đồng thời vuông góc với
cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b. Đường vuông góc chung ∆ cắt a tại H và cắt
b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu
d ( a , b) .
* Nhận xét
2


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246

Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
-

∀M ∈ a, N ∈ b, MN ≥ d (a, b)

Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau:
+ Tìm H và K từ đó suy ra d (a, b) = HK
+ Tìm một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b. Khi đó d (a, b) = d (b,( P ))
+ Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa a và b. Khi đó d (a, b) = d (( P ),(Q ))
+ Sử dụng phương pháp tọa độ
* Đặc biệt
- Nếu a ⊥ b thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo ta tìm giao điểm I
của (P) với b. Trong mp(P), hạ đường cao IH. Khi đó d (a, b) = IH
- Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB và CD là
đoạn vuông góc chung của AB và CD.
B. Các ví dụ minh họa
I) Phương pháp tính trực tiếp
Ví dụ 1.
·
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD
= 600 , có SO vuông góc
mặt phẳng (ABCD) và SO = a.
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
Lời giải.
S
a) Hạ OK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SOK )
Trong (SOK) kẻ OH ⊥ SK ⇒ OH ⊥ ( SBC )

⇒ d ( O, ( SBC ) ) = OH .

Ta có ∆ABD đều ⇒ BD = a ⇒ BO =
Trong tam giác vuông OBC có:

F

a
; AC = a 3
2

1
1
1
13
a 39
=
+
= 2 ⇔ OK =
2
2
2
OK
OB OC
3a
13

E

Trong tam giác vuông SOK có:

B
D

1
1
1
16
a 3
=
+
= 2 ⇔ OH =
2
2
2
OH
OS
OK
3a
4
a 3
Vậy d ( O, ( SBC ) ) = OH =
4
b) Ta có AD / / BC ⇒ AD / / ( SBC )
⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) )

Kẻ EF / / OH ( F ∈ SK ) . Do OH ⊥ ( SBC ) ⇒ EF ⊥ ( SBC )

⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) ) = EF = 2OH =
Ví dụ 2. (Đề thi Đại học khối A năm 2010).

3

H

A

a 3
2

B
D
K

O

C


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
SH = a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Lời giải.
·
Ta có: ∆MAD = ∆NCD ⇒ ·ADM = DCN

⇒ MD ⊥ NC
Do SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ MD ⊥ SH
MD ⊥ ( SHC )
Kẻ HK ⊥ SC ( K ∈ SC )

S

Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và
SC nên d ( DM , SC ) = HK
Ta có:

CD 2 2a
HC =
=
CN
5
SH ×HC
2 3a
HK =
=
×
19
SH 2 + HC 2
2 3a
Vậy d ( DM , SC ) =
19

K
N

A

D
H

M

B

C

II) Phương pháp sử dụng công thức tính thể tích.
Ví dụ 3.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
các cạnh SA, SB, CD. Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN).
Phân tích. Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay AMNP là dễ
dàng. Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) về việc tính
thể tích của các khối chóp nói trên, khoảng cách từ P
S
đến (AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ C đến
(SAB).
Lời giải.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó SO ⊥
(ABCD).
M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên

1
1
a2 7
S AMN = S ANS = S ABS =

2
4
16
PC / /( AMN )
⇒ d ( ( P,( AMN )) ) = d ( (C ,( AMN )) )

M

N

D

P

.

C

A

Vậy:

O
B

4


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội

Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

1
1 1
VP. AMN = S AMN .d ( ( P,( AMN )) ) = . S ABS .d ( (C ,( AMN )) )
3
3 4
1
1
1 1
= VC . ABS = VS . ABC = . S ABC .SO . S ABC = 1 a 2 , SO = SA2 − AO 2 = a 6 .
4
4
4 3
2
2
3
3V
6
1 1 2 a 6 a 6
⇒ d ( ( P,( AMN )) ) = PAMN = a
Vậy VAMNP =
. a .
=
S AMN
7
12 2
2

48
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình
chóp. Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Tính khoảng cách
từ điểm O đến mặt phẳng (AHK).
Phân tích. Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một mặt phẳng nên ta có
thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giác AHK cân nên ta tính được diện tích của nó.
Lời giải.
Cách 1: VOAHK =

1
S AHK .d ( O; ( AHK ) )
3

S

Trong đó:

1
1
1
3
a 6
;
=
+
=
⇒
AH
=
AH 2 AB 2 AS 2 2a 2

3
a 6
∆SAD = ∆SAB ⇒ AK = AH =
3
+

Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông góc với
SC nên HK // BD.
AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G
thuộc HK nên

G

J

I
K
D

H
A
O

C

B

HK SG 2
2
2 2a

. Tam
=
= ⇒ HK = BD =
BD SO 3
3
3
giác

AHK

cân

tai

A,

G

là

trung

điểm

của

HK

nên

AG

2
2 1
1
2a
AI = . SC = .2a =
3
3 2
3
3
1
1 2a 2 2a 2 2a 2
S AHK = AG.HK = . .
=
2
2 3
3
9
1
1
1
+VOAHK = VAOHK = d ( A; ( OHK ) ) .S ∆OHK = d ( A; ( SBD ) ) .S ∆OHK = h.S ∆OHK
3
3
3
AG =

Tứ diện ASBD vuông tại A nên:

1
1
1
1
5
a 10
=
+
+
=
⇒
h
=
h 2 AS 2 AB 2 AD 2 2a 2
5
Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng

1
1 a 10 2 2a
5a 2
1
2a 3
S = OG.HK = .
.
=
⇒ VOAHK = Sh =
2
2 6
3
9

3
27

5

⊥

HK

và


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

⇒ d ( O; ( AHK ) ) =

3VOAHK
S AHK

2a 3
27 = a
=
2
2 2a 2
9
3×

Cách 2: Ta chứng minh VOAHK =

2
VSABD
9

2
1
BD; OG = SO
3
3
1
1 2
2
⇒ SOHK = HK ×OG = × BD ×SO = S SBD
2
2 9
9
2
2 1
1
a3 2
⇒ VAOHK = VSABD = × SA × AB ×AD =
9
9 3
2
27

Ta có: HK =

Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ như sau:
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O ≡ A, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; 0 ; a 2 ).



2a a 2   2a a 2   a a 
;
÷, K  ;0;
÷, O  ; ;0 ÷
3
3
3
3

 
 2 2 
1  uuur uuur  uuur
AH , AK  . AO
Áp dụng công thức V =
6
Tính SH, SK suy ra tọa độ của H  0;

Cách 4: SC ⊥ (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thể xác định được theo
phương SC.
* AH ⊥ SB, AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAB)) ⇒AH ⊥ SC
Tương tự AK ⊥ SC. Vậy SC ⊥ (AHK)
* Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC
⇒ OJ ⊥ (AHK).
SA = AC = a 2 ⇒ ∆SAC cân tại A ⇒ I là trung điểm của SC.

Vậy OJ =

1
1
1
a
IC = SC = .2a =
2
4
4
2

III) Phương pháp trượt
Ví dụ 5. (Đề thi Đại học khối B năm 2011).
Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông
góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD, góc giữa hai mặt phẳng
(ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến
mặt phẳng (A1BD) theo a.
Phân tích. Do B1C // (A1BD) nên ta trượt đỉnh B1 về vị trí thuận lợi C và quy việc tính

d ( B1 ; ( A1 BD ) ) thành tính d ( C ; ( A1 BD ) )

6


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

Bài giải.
* Gọi O là giao điểm của AC và BD

B1

C1

⇒ AO
⊥ ( ABCD )
1

Gọi E là trung điểm AD

⇒ OE ⊥ AD & A1E ⊥ AD
⇒ ·A EO = 600

A1

D1

1

a 3
AO
= OE.tan ·A1 EO =
1
2
2
S ABCD = a 3
3a 3

Vlt = AO
.S ABCD =
1
2

B

C

K
O
H

* Tính d ( B1 ; ( A1 BD ) ) :

A

E

D

Cách 1:
Do B1C // (A1BD)

⇒ d ( B1 ; ( A1BD ) ) = d ( C ; ( A1BD ) )

(

)

Hạ CH ⊥ BD ⇒ CH ⊥ ( A1BD ) ⇒ d C ; ( A1 BD ) = CH =
Cách 2:

d ( B1; ( A1 BD ) ) = d ( C ; ( A1BD ) ) = d ( A; ( A1BD ) ) =

CB.CD
CB 2 + CD 2

=

a 3
2

3VA ABD
1

S A BD
1

1
6

3

a
4
1
1 a 3
a2 3
S∆A BD = AO

.BD = ×
×2a =
1
2
2 2
2
3
a
3×
a 3
⇒ d ( B1 ; ( A1BD ) ) = 2 4 =
2
a 3
2

Trong đó: VA1 ABD = Vlt =

1

Ví dụ 6.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh bằng a, SA = a 3 và vuông góc
với mặt phẳng (ABCD).
a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
b)Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC).

(

)

(

)

Phân tích: Do OA ∩ ( SBC ) = C , nên thay vì việc tính d O, ( SBC ) ta đi tính d A, ( SBC ) ,

(

)

(

tương tự như vậy ta có thể quy việc tính d G , ( SAC ) thông qua việc tính d E , ( SAC )

d ( B, ( SAC ) )

7

)

hay


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
Lời giải.
a) Ta có: OA ∩ ( SBC ) = C nên:

d ( O, ( SBC ) )
d ( A, ( SBC ) )

=

OC 1
=
AC 2

S

1
⇔ d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) )
2

Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có:

 AH ⊥ SB
⇒ AH ⊥ ( SBC )

AH
⊥
BC


G

H

Trong tam giác vuông SAB có:

A

D

F

1
1
1
4
a 3
=
+
=
⇔
AH
=
AH 2 SA2 AB 2 3a 2
2
1
1
a 3
⇒ d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = AH =
2
2
4

E

O
C

B

b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB.

d ( G, ( SAC ) )

Do EG ∩ ( SAB ) = S nên

d ( E , ( SAC ) )

=

GS 2
2
= ⇔ d ( G, ( SAC ) ) = d ( E , ( SAC ) )
ES 3
3

 BO ⊥ AC
⇒ BO ⊥ ( SAC ) ; BE ∩ ( SAC ) = A
BO
⊥
SA


Ta có: 

2 a 2 a 2
1
1
a 2
⇒ d ( G, ( SAC ) ) = ×
=
⇒ d ( E , ( SAC ) ) = d ( B, ( SAC ) ) = BO =
3 4
6
2
2
4
IV) Phương pháp sử dụng tính chất của tứ diện vuông
1. Định nghĩa. Tứ diện vuông là tứ diện có một đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnh đó đều là góc
vuông.
2. Tính chất. Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O ( OA ⊥ OB, OB ⊥ OC , OC ⊥ OA ) và H là
hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức

1
OH 2

=

1
OA2

+

1
OB 2

+

1
OC 2

A

Chứng minh.
Giả sử AH ∩ BC = D , OH ⊥ ( ABC ) ⇒ OH ⊥ BC (1)
OA ⊥ OB, OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ OD . Trong các tam giác vuông
OAD và OBC ta có

1
OH 2

=

1

+

1

,
2

1

=

1

OA2 OD OD 2 OB 2
1
1
1
1
=
+
+
Vì vậy
OH 2 OA2 OB 2 OC 2

+

1

H

O

OC 2

C
D
B

8

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
Mục tiêu của phương pháp này là sử dụng các phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách từ đỉnh của tam diện vuông đến mặt huyền của nó
và vì vậy áp dụng được tính chất trên
Ví dụ 7. Cho lăng trụ đều ABC . A ' B ' C ' có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AA ' và BB ' . Tính khoảng cách giữa B ' M và CN
Phân tích. Để tính khoảng cách giữa B ' M và CN ta tìm
một mặt phẳng chứa CN và song song với B ' M , tiếp theo
dùng các phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách trong tứ
diện vuông.
Lời giải.
Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN thì OACD là
diện vuông tại O. AMB ' N là hình bình hành
⇒ NA / / B ' M . Mặt phẳng (ACN) chứa CN và song song
B ' M nên

A'

C'

ta
B'
M

D

N

tứ

C

A

với

O
B

d ( B ' M , CN ) = d ( B ' M ,( ACN )) = d ( B ',( ACN )) = d ( B,( ACN )) = 2d (O,( ACD )) = 2h Áp
dụng tính chất của tứ diện vuông ta được

1
h2

=

1
OA2

+

1

OC 2

+

1
OD 2

=

64
3a 2

⇔h=

a 3
a 3
. Vậy d ( B ' M , CN ) =
8
4

Ví dụ 8. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của DD ' .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và A ' D .
Lời giải.
Gọi N là trung điểm của BB ' thì
D'
C'
A ' NCM là hình bình hành nên
A ' N / / CM . Mặt phẳng ( A ' ND ) chứa
A ' D và song song với CM nên
A'

B'
d (CM , A ' D ) = d (CM ,( A ' ND ))
M
với
= d ( M ,( A ' ND)) = d ( M ,( A ' DE ))
O
G
Gọi
E = AB ∩ A ' N .
N
D
O = AD '∩ A ' D, G = AD '∩ AM thì G
là trọng tâm của tam giác ADD ' . Do đó
d ( M ,( A ' DE )) GM 1
=
= .
A
B
d ( A,( A ' DE )) GA 2
Tứ diện AA ' DE vuông tại A nên
1
1
1
1
9
2a
=
+
+
=

⇒
d
(
A
,(
A
'
DE
))
=
.
3
d 2 ( A,( A ' DE )) AA '2 AD 2 AE 2 4a 2
1
a
Vậy d (CM , A ' D ) = d ( M ,( A ' DE )) = d ( A,( A ' DE )) =
2
3

V) Sử dụng phương pháp tọa độ.
* Phương pháp:
9

C

E


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội

Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét.
Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ
Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ hình học.
Ví dụ 9.
Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1. Một mặt phẳng ( α ) bất kì đi qua đường chéo
B’D.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’)
b) Xác định vị trí của mặt phẳng ( α ) sao cho diện tích của thiết diện cắt bởi mp ( α ) và hình lập
phương là bé nhất.
A
Phân tích: Với một hình lập phương ta luôn chọn được
một hệ toạ độ thích hợp, khi đó tạo độ các đỉnh đã biết
nên việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và
(A’BC’) trở nên dễ dàng. Với phần b, ta quy việc tính
diện tích thiết diện về việc tính khoảng cách từ M đến
đường thẳng DB’.
Lời giải.
Chọn hệ toạ độ sao cho gốc toạ độ O ≡ D ' ( 0;0;0 )

N

z

B

C

D
H
y
A'

B'

A ' ( 0;1;0 ) , B ' ( 1;1;0 ) , C ' ( 1;0;0 ) , A ( 0;1;1) , C ( 1;0;1)

Gọi M là điểm bất kì trong đoạn thẳng C’D’, tức

M ( x;0;0 ) ; 0 ≤ x ≤ 1

x
D'

M

C'

a) Dễ dàng chứng minh được (ACD’) // (A’BC’)

⇒ d ( ( ACD ') , ( A ' BC ' ) ) = d ( A ', ( ACD ' ) )
Mặt phẳng (ACD’) có phương trình: x + y − z = 0
⇒ d ( ( ACD ') , ( A ' BC ' ) ) = d ( A ', ( ACD ' ) ) =

1
3

( α ) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến DM, do hình lập phương có các mặt đối diện song song

với nhau nên ( α ) cắt (ABB’A’) theo giao tuyến B’N//DM và DN//MB’. Vậy thiết diện là hình bình
b) Giả sử

hành DMB’N.
Gọi H là hình chiếu của M trên DB’. Khi đó:
S DMB ' N = DB '×MH = DB '×d ( M , DB ' ) .
Ta có: DB ' =

3
uuuu
r uuuu
r
 MD; DB '
2x2 − 2x + 2


d ( M , DB ') =
=
uuuu
r
3
DB '
2

1
1 3
3

Dấu đẳng thức xảy ra khi x =
S DMB ' N = 2 x − 2 x + 2 = 2  x − ÷ + ≥

2
2 2
2

1

Nên diện tích S DMB ' N nhỏ nhất khi M  ;0;0 ÷, hay M là trung điểm D’C’
2

2

10


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn







1
2

Hoàn toàn tương tự nếu M ( 0; y;0 ) ⇒ M  0; ;0 ÷

Vậy diện tích S DMB ' N nhỏ nhất khi M là trung điểm D’C’ hoặc M là trung điểm D’A’.
Ví dụ 10.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a . Gọi M là
điểm di động trên cạnh CD. Xác định vị trí của M để khoảng cách từ điểm S đến BM lớn nhất, nhỏ
nhất.
Lời giải.
Chọn hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz sao cho

z
S

C

A

y

M

K
B

D

x

O ≡ A ( 0;0;0 ) , B ( 1;0;0 ) , C ( 1;1;0 ) , D ( 0;1;0 ) ,
S ( 0;0;1) .
0uu≤uu
rt ≤ 1 .

BM = ( t − 1;1;0 )
uur uuuu
r
 SB, BM 
t 2 − 2t + 3


d ( S , BM ) =
= 2
uuuu
r
t − 2t + +2
BM

M là điểm di động trên CD nên M ( t ;1;0 ) với

t 2 − 2t + 3
Xét hàm số f ( t ) = 2
trên [0;1]
t − 2t + +2
−2 ( t − 1)
f '( t ) = 2
2
( t − 2t + 2 )
Ta có bảng biến thiên:
t
f’(t)

−∞

0

+∞

1

-

+

2

f(t)

11


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

3
2
3
, đạt được khi t = 0
[ 0;1]
2
max f ( t ) = 2 , đạt được khi t = 1

Từ bảng biến thiên ta có min f ( t ) =
[ 0;1]

Do đó d ( S , MB ) lớn nhất khi M ≡ C & d ( S , BM ) =

2

d ( S , MB ) nhỏ nhất khi M ≡ D & d ( S , BM ) = 3
2
VI) Sử dụng phương pháp véc tơ véc tơ.
* Phương pháp:
Bước 1: Chon hệ véc tơ gốc, đưa các giả thiết kết luận của bài toán hình học đã cho ra ngôn ngữ “véc
tơ”.
Bước 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành biến đổi các hệ thức véc tơ theo
hệ véc tơ gốc.
Bước 3: Chuyển các kết luận “véc tơ” sang các kết quả hình học tương ứng.
Ví dụ 11. (Đề thi đại học khối D năm 2007).
·
Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang. ·ABC = BAD
= 900 , BA = BC = a , AD = 2a .
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB .
Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) .
S

Lời giải.
uuu
r r uuur r uuu
r r
Đặt AB = a; AD = b; AS = c

r r

r r

r r

Ta có: a ×c = 0; b ×c = 0; a ×b = 0

uur r r uuu
r r 1 r r uuu
r r r
SB = a − c; SC = a + b − c; SD = b − c
2
Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ H lên

N
E

H
K

A

Q

phẳng (SCD)

Khi

đó

uuur uuur uuu
r
uuu
r
uuu
r
2 uur
HN = HS + SN = − SB + xSC + ySD
3
2r  x

r  2
r
=  x − ÷a +  + y ÷b +  − x − y ÷c
3

2
 3


mặt
P

⇒ d ( H ;( SCD)) = HN
SH 2
=
Dễ dàng tính được
SB 3

B

:

M

12

C

D


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

2  r2 1  x

 r2  2
 r2
uuur uuu
r
x
−
a
+

+
y
b
−
−
x
−
y
c = 0 x = 5

÷

÷

÷

 HN ×SC = 0 
3
2 2

3


6
⇒
⇒
Ta có:  uuur uuu
r
r
r

y = −1
 HN ×SD = 0  x + y  b 2 −  2 − x − y  c 2 = 0

÷

÷

 2
3

3

2
uuur 1 r 1 r 1 r
1  r 1 r r
a
⇒ HN = a + b + c ⇒ HN =
a + b + c÷ =
6
12
6
6 
2
3

Cách 2:
Gọi d1 , d 2

lần lượt là khoảng cách từ các điểm H và B đến mp(SCD), ta có:

d1 SH 2
2
2 3V
2V
=
= ⇔ d1 = d 2 = × BSCD = BSCD
d 2 SB 3
3
3 S∆SCD
S ∆SCD
1
1
1
1
a3
Trong đó VBSCD = SA ×S ∆BCD = SA ×S ∆BID = SA × AB ×ID =
3
3
3
2
3 2
CD ⊥ AC
⇒ CD ⊥ SC
Ta có: 
CD
⊥
SA

1
1

⇒ S ∆SCD = SC ×CD =
SA2 + AB 2 + BC 2 × CE 2 + ED 2 = a 2 2
2
2
a
⇒ d1 =
3
Cách 3: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông.
Phân tích. Trong bài toán này, việc tìm chân đường vuông góc hạ từ H xuống mặt phẳng (SCD) là
khó khăn. Vì vậy, ta sẽ tìm giao điểm K của AH và (SCD) và quy việc tính khoảng cách từ H đến
(SCD) về việc tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Gọi M là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AH với SM. Ta có:

BH 1
= . Suy ra H là trọng tâm của tam giác SAM.
BS 3
d ( H , ( SCD ) ) KH 1
=
=
Từ đó ta có:
d ( A, ( SCD ) )
KA 3
Do tứ diện ASDM vuông tại A nên:

d

2

(

1
1
1
1
1
=
+
+
= 2 ⇔ d ( A, ( SCD ) ) = a
2
2
2
A, ( SCD ) ) AS
AD
AM
a

(

)

Vậy d H , ( SCD ) =

a
3

* Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc là rất quan trọng khi giải quyết một bài toán bằng phương
pháp véc tơ. Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn hai yêu cầu:
+ Hệ véc tơ gốc phải là ba véc tơ không đồng phẳng.
13

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
+ Hệ véc tơ gốc nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán thành ngôn ngữ véc
tơ một cách đơn giản nhất.
Ví dụ 12. (Đề thi ĐH khối B năm 2007)
Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . E là điểm đối xứng của
D qua trung điểm của SA . M , N lần lượt là trung điểm của AE và BC . Tính khoảng cách giữa
MN và AC .
S

E

Giải:

→

→ 
→

→ 
→

→

Đặt : OA = a, OB = b, OS = c

→ →

→ →

→ →

Ta có : a . c = 0, b . c = 0, a . b = 0

uuuu
r uuur uuur uuur 1 uuu
r uuur 1 uuu
r
MN = MA + AC + CN = SD + AC + CB
2
2
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u

r
u
u
u
r
1
1
= SO + OD + AC + CO + OB
2
2
3r 1r
=− a− c
2
2

(


→

)

(

M

P
c

A

)

B

b O
N

→

AC = −2 a

Gọi PQ là đoạn vuông góc chung của MN và AC , ta có:

uuur uuuu
r uuur uuur
uuuu
r 1 uuu
r
uuur
PQ = PM + MA + AQ = xMN + SD + y AO
2
r
 3 r 1 r 1 r r
= x  − a − c ÷+ −c − b − ya
2  2
 2
r 1r
3 r 1


= −  y + x ÷a − ( x + 1) c − b
2 
2
2

r2
3  r2 1
3 
uuur uuuu
r
y
+
x
a
+
x
+
1
a
(
) = 0  x = −1
÷
 PQ ×MN = 0  2 
2 
4

⇒
⇒
 uuur uuur
3

r
 PQ ×AC = 0
2  y + 3 x  a 2 = 0
 y = 2
÷
 
2 
uuur
1r
1
a2
a 2
2
2
⇒ PQ = − b ⇒ PQ = OB = ⇔ PQ =
2
4
8
4

(

)

Cách 2:

 MP / / AD

Ta có: 
;

1
MP
=
AD

2
⇒ MN / / ( SAC )

 NC / / AD

nên tứ giác MNCP là hình bình hành

1
NC
=
AD

2
 BO ⊥ SO
⇒ BO ⊥ ( SAC )
BO
⊥
AC


Do hình chóp SABCD đều ⇒ 

14

D

a
C


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

1
1
1
a 2
⇒ d ( MN ; AC ) = d ( N ; ( SAC ) ) = d ( B; ( SAC ) ) = BO = BD =
2
2
4
4
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. (Đề thi Đại học khối D năm 2011).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC)
·
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = SB = 2a 3 và SBC
= 300 . Tính thể tích khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Bài 2.Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc BAD = 600 . Các
cạnh bên SA = SC; SB = SD = a 3 .
a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC).

b) Tính khoảng cách giữa các đường thẳng SB và AD.
Bài 3. Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1 . Gọi M, N
theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, OA. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và CN.
Bài 4. (Đề thi Đại học khối A năm 2011).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB)
và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và
song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o. Tính thể tích
khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài 5. (Đề thi Đại học khối D năm 2009).
Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a.
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’,I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ
diện IABC và khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC)

C. BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA
2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

15


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
Phương pháp : Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
theo một trong các cách dưới đây :

;

, ta có thể tiến hành

Cách 1 : Dựa vào định nghĩa ( Xác định đường vuông góc chung ) .
Cách này thường được tiến hành khi ta biết được hai đường thẳng
đó ta làm như sau :

;

vuông góc với nhau . Khi

Bước 1 : Xác định một mặt phẳng (P) chứa vuông góc với đường thẳng
. Tức là đường
thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) , trong đó có đường
thẳng .
Bước 2 : Tìm giao điểm I của đường thẳng với mặt phẳng (P) . Từ I kẻ IH vuông góc với
ε . Khi đó IH là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ;
.

, với H

Bước 3 : Tính độ dài đoạn thẳng IH .
Ta thường vận dụng hệ thức lượng tam giác và tam giác đồng dạng ; định lý Pitagor để tính độ dài
đoạn IH .
Cách 2 : Dựa vào khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song .
Giả sử ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

16

;

, ta có thể tiến hành như sau :

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

17


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

18


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

19


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS

Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

20


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

21


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

22


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:

Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

23