ỨNG DỤNG đạo hàm PHIẾU ôn tập và GIẢNG dạy bài 2 cực TRỊ PHIẾU 3 vận DỤNG THƯỜNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (149.34 KB, 13 trang )

TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Bài toán 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ HOẶC KHÔNG CÓ CỰC TRỊ.
Phương pháp .
Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2
• Tìm f '( x)
• Tìm

điểm

các
PHIẾU ÔN TẬP VÀ GIẢNG DẠY

BÀI 2. CỰC TRỊ
PHIẾU 3. VẬN
DỤNG THƯỜNG
xi ( i = 1,2,3...) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
• Xét dấu của f '( x) . Nếu f '( x) đổi dấu khi x qua điểm x0 thì hàm số có cực trị tại điểm x0 .

Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3
• Tìm f '( x)
• Tìm các nghiệm xi ( i = 1,2,3...) của phương trình f '( x) = 0 .
• Với mỗi xi tính f ''( xi ) .
− Nếu f ''( xi ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi .

− Nếu f ''( xi ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi .

Các ví dụ
Ví dụ 1 :
2
1. Định m để hàm số y = x + mx + 2 không có cực trị.

x−1

2. Cho hàm số: y = ( m − 2) x3 − mx − 2 . Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực đại
và điểm cực tiểu.
Lời giải.
1. Hàm số đã cho xác định D = ¡ \ {1}= ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ )
Ta có: y' =

x2 − 2x − m − 2
(x − 1)2

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi y' = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép , tức phải có:
∆ ' ≤ 0 ⇒ 1+ m + 2 ≤ 0 ⇒ m ≤ −3

Vậy, với m ≤ −3 thì hàm số không có cực trị.
2. Hàm số đã cho xác định trên ¡
Ta có: y′ = 3( m − 2) x2 − m
Để hàm số không có cực trị thì phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ 0 + 4.3m ( m − 2) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2

Ví dụ 2 :
1. Định m để hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx − 5 có cực đại, cực tiểu.
2. Tìm m ∈ ¡ để hàm số: y = mx4 + ( m − 1) x2 + 1− 2m chỉ có một điểm cực trị.
Lời giải.
1. Hàm số đã cho xác định D = ¡
Ta có: y' = 3(m + 2)x2 + 6x + m
2

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt , tức phải có:
m ≠ −2
m ≠ −2 m ≠ −2
m ≠ −2
⇔
⇔
⇔
⇔
2
∆ ' > 0
9 − 3m(m + 2) > 0 −3m − 6m + 9 > 0 −3 < m < 1
m ≠ −2
thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
 −3 < m < 1

Vậy, với 

2. Hàm số đã cho xác định D = ¡
x = 0

Ta có y' = 4mx3 − 2( m − 1) x và y' = 0 ⇔ 

2
 2mx + m − 1 = 0

( *)

Hàm số chỉ có một cực trị khi phương trình y' = 0 có một nghiệm duy nhất và y' đổi dấu khi x đi qua
nghiệm đó .Khi đó phương trình 2mx2 + m − 1 = 0 ( *) vô nghiệm hay có nghiệm kép x = 0
m = 0

m = 0
m ≤ 0

⇔   m ≠ 0
⇔
⇔
  ∆ ' = −2m ( m − 1) ≤ 0  m < 0 ∨ m ≥ 1  m ≥ 1
 

Ví dụ 3: Tìm m∈ ¡ để hàm số y = −2x + 2 + m x2 − 4x + 5 có cực đại
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D = ¡
Ta có:

y' = −2 + m

x− 2
x2 − 4x + 5

; y" =

m

(x

2

)

− 4x + 5

3

.

+

Nếu m = 0 thì y = −2 < 0 ∀x ∈ ¡ nên hàm số không có cực trị.

+

m ≠ 0 vì dấu của y'' chỉ phụ thuộc vào m nên để hàm có cực đại thì trước hết y" < 0 ⇔ m < 0 . Khi đó

hàm số có cực đại ⇔ Phương trình y' = 0 có nghiệm ( 1) .
Cách 1:
Ta có: y' = 0 ⇔ 2 ( x − 2) 2 + 1 = m ( x − 2)

( 2) .

Đặt t = x − 2 thì ( 2) trở thành :
3

t ≤ 0
t ≤ 0


mt = 2 t + 1 ⇔  2
⇔ 2
1 ⇒ ( 1) có nghiệm ⇔ m2 − 4 > 0 ⇔ m < −2 (Do m < 0 ).

2
m
−
4
t
=
1

t = 2

m −4
2

(

)

Vậy m < −2 thì hàm số có cực đại.
Cách 2: Với m < 0 hàm số đạt cực đại tại x = x0
⇔ y'( x0 ) = 0 ⇔

m ( x0 − 2)
x02 − 4x0 + 5

x02 − 4x0 + 5

= 2⇔

x0 − 2

=

m
( 1)
2

x2 − 4x0 + 5
Với m < 0 thì ( 1) ⇒ x0 < 2 . Xét hàm số : f ( x0 ) = 0
,x0 < 2
x0 − 2

lim f ( x0 ) = lim

x→−∞

x→−∞

Ta có f '( x0 ) =

x02 − 4x0 + 5
x0 − 2

= −1, lim f ( x0 ) = lim
x→2−

−2

( x0 − 2)

2

x02 − 4x0 + 5

x02 − 4x0 + 5
x0 − 2

x→2−

= −∞

< 0,∀x0 ∈ ( −∞;2)

Bảng biến thiên :
x

−∞

2
−

f '( x)
−1
f ( x)

−∞

m
Phương trình ( 1) có nghiệm x0 < 2 ⇔ < −1 ⇔ m < −2
2

2
Ví dụ 4: Tìm m∈ ¡ để hàm số y = x + mx + 2 có điểm cực tiểu nằm trên Parabol ( P ) : y = x2 + x − 4 .

x−1

Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D = ¡ \ { 1}
4

Ta có y' =

x2 − 2x − m − 2

( x − 1)

2

,x ≠ 1. Đặt g ( x) = x2 − 2x − m − 2 .

Hàm số có cực đại , cực tiểu khi phương trình g ( x) = 0 có hai nghiệm
∆ ' = 1− ( −m − 2) > 0


phân biệt khác 1 ⇔ 

g ( 1) = − m − 3 ≠ 0


(

m + 3 > 0
⇔
⇔ m > −3
m ≠ −3

)

A 1+ m + 3;m + 2 + 2 m + 3 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số .

(

A ∈ ( P ) ⇔ m + 2 + 2 m + 3 = 1+ m + 3

)

2

+ 1 + m + 3 − 4 ⇔ m = −2

(

)

3
2
2
3
Ví dụ 5: Cho hàm số y = x − 3mx + 3 m − 1 x − m + m ( 1) , m là tham số. Tìm m để hàm số ( 1) có

cực đại, cực tiểu đồng thời thời khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến gốc tọa độ O bằng 3 lần
khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị đến O .
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D = ¡

(

)

2
2
Ta có: y' = 3x − 6mx + 3 m − 1

(

)

y' = 0 ⇔ 3x2 − 6mx + 3 m2 − 1 = 0 ⇔ x2 − 2mx + m2 − 1 = 0 ⇔ x = m − 1 ∨ x = m + 1

àm số có cực đại, cực tiểu ∀m ∈ ¡ .
Điểm cực đại của đồ thị là A ( m − 1;2 − 2m) ;

Điểm cực tiểu của đồ thị là B( m + 1; −2 − 2m) .
OB = 3OA ⇔

( m + 1) 2 + ( −2 − 2m) 2 = 3 ( m − 1) 2 + ( 2 − 2m) 2

2
2
2

2
⇔ ( m + 1) + ( −2 − 2m) = 9( m − 1) + ( 2 − 2m)  ⇔ 2m2 − 5m + 2 = 0


1
⇔ m = 2 hoặc m =
2

Ví dụ 6: Tìm m∈ ¡ để hàm số y =

x2 − ( m + 1) x − m2 + 4m − 2
x−1

có cực trị đồng thời tích các giá trị cực đại

và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải.
5

Hàm số đã cho xác định D = ¡ \ { 1}
Ta có y' =

x2 − 2x + m2 − 3m + 3

( x − 1)

2

=

g ( x)

( x − 1)

2

,x ≠ 1 , g ( x) = x2 − 2x + m2 − 3m + 3

Hàm số có cực đại , cực tiểu khi phương trình g ( x) = 0,x ≠ 1
∆ ' > 0


có hai nghiệm phân biệt x1,x2 khác 1. ⇔ 

g ( 1) ≠ 0

⇔ 1< m < 2

Gọi A ( x1;y1) ,B( x2;y2 ) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì x1,x2
là nghiệm của phương trình g ( x) = 0,x ≠ 1 .
 x = 1− − m2 + 3m − 2 ⇒ y = 1− m + 2 − m2 + 3m − 2
1
1

Khi đó y' = 0 ⇔ 

2
2
 x2 = 1+ − m + 3m − 2 ⇒ y2 = 1− m − 2 − m + 3m − 2

(

)

y1.y2 = ( 1− m) − 4 − m2 + 3m − 2
2

 7 4
y1.y2 = 5m2 − 14m + 9 = f ( m) và f ( m) có đỉnh S ; − ÷
 5 5
7

4

f ( m) = −
Với 1< m < 2 , xét f ( m) có m = 5 ∈ ( 1;2) ⇒ mmin
∈( 1;2)
5

⇒ min y1.y2 = −

4
7
khi m =
5
5

Câu 25. Đồ thị hàm số y = mx4 + (m2 - 9)x2 +10 có 3 điểm cực trị thì tập giá trị của m là:
A. ¡

{ 0}

B. ( - 3;0) È ( 3;+¥

)

C. ( - ¥ ;- 3) È ( 0;3)

D. ( 3;+¥ ) ”

y' = 4mx3 + 2(m2 - 9)x = 2x(2mx2 + m2 - 9)
ém<- 3
2
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị Û m( 9- m ) > 0 Û ê
ê
ë0< m< 3
2
2
“Tìm m để hàm số y = x3 - 3x2 + mx - 1 có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa x1 + x2 = 3

6

A. m=

3
2

B.m = 1

C.m = – 2

1
D. m= ”
2

y/ = 3x2 - 6x + m, hàm số có cực trị Û y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Û 3x2 - 6x + m= 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m< 3
ìï x1 + x2 = 2
ïï
Khi đó: í
ïï x1x2 = m
ïî
3
2

x12 + x22 = 3 Û ( x1 + x2 ) - 2x1x2 = 3 Û 4-

2m
3
= 3 Û m=
3
2

Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM .
Phương pháp .
Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x0.
Khi đó để giải bài toán này ,ta tiến hành theo hai bước.

Bước 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x0 ) = 0 , từ điều kiện này ta tìm được giá trị của
tham số .
Bước 2. Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị của tham số vừa
tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?
Chú ý:
Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng ( a;b) chứa điểm x0 , f'( x0 ) = 0 và f có đạo
hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 .
Nếu f ''( x0 ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 .
Nếu f ''( x0 ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 .
f '(x0 ) = 0
Trong trường hợp f '( x0 ) = 0 không tồn tại hoặc 
thì định lý 3 không dùng được.
f ''(x0 ) = 0

Các ví dụ
7

(

)

1
Ví dụ 1 : Cho hàm số: y = x3 − mx2 + m2 − m + 1 x + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại
3

điểm x = 1.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên ¡
Ta có: y' = x2 − 2mx + m2 − m + 1 , y'' = 2x − 2m

Điều kiện cần: y'( 1) = 0 ⇔ m2 − 3m + 2 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = 2
Điều kiện đủ:
Với m = 1 thì y''( 1) = 0 ⇒ hàm số không thể có cực trị.
Với m = 2 thì y''( 1) = −2 < 0 ⇒ hàm số có cực đại tại x = 1 .
Vậy, m = 2 là giá trị cần tìm.
Nhận xét:
 y'(1) = 0
• Nếu trình bày lời giải theo sơ đồ sau: Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ⇔ 
( ∗) thì lời giải chưa
 y''(1) < 0

chính xác
Vì dấu hiệu nêu trong định lí 3 chỉ phát biểu khi y''(x0) ≠ 0 . Các bạn sẽ thấy điều đó rõ hơn bằng cách
giải bài toán sau:
1. Tìm m để hàm số y = x4 + 3mx2 + m2 + m đạt cực tiểu tại x = 0
2. Tìm m đề hàm số y = −x3 + 3(m − 2)x2 + (m − 4)x + 2m − 1 đạt cực đại tại x = −1.
• Nếu ta khẳng định được y''(x0) ≠ 0 thì ta sử dụng ( ∗) được.
2
Ví dụ 2 : Tìm các hệ số a,b sao cho hàm số y = ax + bx + ab đạt cực trị tại điểm x = 0 và x = 4 .

ax + b

Lời giải.
b
a

Hàm số đã cho xác định trên ∀x ≠ − ,a ≠ 0
8

Ta có đạo hàm y' =

a2x2 + 2abx + b2 − a2b

( ax + b) 2

• Điều kiện cần :

 b2 − a2b
=0

2
a = −2
 y'( 0) = 0  b
⇔
⇔
Hàm số đạt cực trị tại điểm x = 0 và x = 4 khi và chỉ khi 
2
2
2
 y'( 4) = 0  16a + 8ab + b − a b = 0  b = 4

( 4a + b) 2

a = −2
x2 − 4x
⇒ y' =
• Điều kiện đủ : 
b = 4
( −x + 2) 2

x = 0
y' = 0 ⇔ 
x = 4

Từ bảng biến thiên : hàm số đạt cực trị tại điểm x = 0 và x = 4 .
Vậy a = −2,b = 4 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3 : Cho hàm số: y = 2x2 − 3(m + 1)x2 + 6mx + m3 . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có hai
điểm cực trị A, B sao cho A B = 2 .
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên ¡
Ta có: y′ = 6(x − 1)(x − m)
Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt tức là m ≠ 1 .
Với m ≠ 1 , thì đồ thị của hàm số có các điểm cực trị là A(1;m3 + 3m − 1),B(m;3m2) .
2
2
3
AB = 2 ⇔(m − 1) + (3m − m − 3m + 1) = 2 ⇔m = 0; m = 2 (thoả điều kiện).

Câu 101. Đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + 3mx + 3m+ 4 không có cực trị khi:
A. m£ 0.

B. m³ 1.

C. 0< m<1.

D. 0£ m£ 1.

Câu 102. Đồ thị hàm số y = 2x3 - (m- 2)x2 + (6- 3m)x + m+1 không có cực trị khi:
A. m<- 16.

B. m³ 2.

C. - 16 < m£ 2.

D. : - 2 £ m£ 16.

9

Câu 103. Đồ thị hàm số y = mx3 + 3mx2 - (m- 1)x- 1 không có cực trị khi:
A. 0£ m£

1
×
4

B. 0< m£

1
×
4

C. m< 0.

D. m³

1
×
4

Câu 104. Đồ thị hàm số y = (x + a)3 + (x + b)3 - x3 có cực đại, cực tiểu khi:
A. a.b > 0.

B. a.b < 0.

C. a.b ³ 0.

D. a.b £ 0.

Câu 105. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x4 - 2(m- 3)2 x2 + m2 có 3 điểm cực trị ?
A. m¹ 3

B. m= 0.

C. m< 0.

D. m¹ 0.

Câu 106. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x4 - mx2 + 3 có 3 điểm cực trị ?
A. m> 0.

B. m= 0.

C. m< 0.

D. Không có m.

Câu 107. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y =- x4 + 2mx2 - 2m+1 có 3 điểm cực trị ?
A. m> 0

B. - 1.

C. 0.

D. 1.

Câu 108. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x4 - m2x2 + 3 có 3 điểm cực trị ?
A. m< 0.

B. m¹ 0.

C. m> 0.

D. mÎ ¡ .

Câu 109. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x4 - 2(m+1)x2 - 3 có 3 điểm cực trị ?
A. m ≥ 0.

B. m>- 1.

C. m> 1.

D. m> 0.

Câu 110. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x4 + (m+1)x2 - 2m- 1 có 3 điểm cực trị ?
A. m>- 1.

B. m³ - 1.

C. m<- 1.

D. m£ - 1.

Câu 111. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x4 - 2mx2 - 2m+ m4 có 3 điểm cực trị ?
A. m=- 2.

B. m<- 1.

C. m> 0

D. m> 2.

Câu 112. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x4 - 2(m- 1)x2 + m có 3 điểm cực trị ?
A. Không có m.

B. m³ 1.

C. m<1.

D. m> 1.

Câu 113. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x4 + 2(m- 2)x2 + m2 - 5m+ 5 có 3 điểm cực trị ?
A. m< 2.

B. m> 2.

C. m<1.

D. m> 1.

Câu 114. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x4 - 2(m+1)x2 + m+1 có đúng 1 cực trị ?
A. m<- 1.

B. m=- 1.

C. A, B đều đúng.

D. A, B đều sai.

Câu 115. Đồ thị hàm số y =- x4 + 2(2m- 1)x2 + 3 có đúng một điểm cực trị khi:
10

1
A. m< ×
2

B. m£

1
×
2

1
C. m> ×
2

D. m³

1
×
2

Câu 116. Đồ thị hàm số y = x4 - 2(3- m)x2 + 2 có đúng 1 điểm cực trị khi:
A. m< 3.

B. m> 3.

C. m£ 3.

D. m³ 3.

Câu 117. Đồ thị hàm số (C) : y =- x4 +2(2m- 1)x2 +3 có đúng 1 điểm cực trị khi:

1
A. m= ×
2
Câu 118. Đồ thị hàm số y =

1
B. m> ×
2

C. m³

1
×
2

1
D. m< ×
2

m 4
x + (m- 1)x2 + m+1 có đúng 1 điểm cực trị khi:
4

A. 0< m<1.

B. m> 1.

C. m< 0.

D. mÎ ( - ¥ ;0] È [1;+¥ ) .

Câu 119. Đồ thị hàm số y = x4 + 2(1- m)x2 + 2 có cực tiểu mà không có cực đại khi:
A. m£ 1.

B. m<1.

C. m> 1.

D. m³ 1.

Câu 120. Đồ thị hàm số y =- x4 + 2(5- m)x2 + 2 có cực đại mà không có cực tiểu khi:
A. m< 5.
Câu 121. Đồ thị hàm số y =
A. mÎ [ - 1;0].

B. m³ 5.

C. m> 5.

D. m£ 5.

m+1 4
5
x - mx2 + có cực đại mà không có cực tiểu khi:
2
2
B. mÎ ( - 1;0].

C. mÎ [ - 1;0) .

D. mÎ (- 1;0).

Câu 122. Đồ thị hàm số y =- x4 + (2m- 4)x2 + m có 2 cực đại, 1 cực tiểu khi:
A. m= 2.

B. m> 2.

C. m£ 2.

D. m< 2.

Câu 123. Đồ thị hàm số nào sau đây chỉ có 1 điểm cực trị ?
A. y = 2x4 - 4x2 + 2.

B. y = (m2 + 4)x4 + 9x2 - 1.

C. y =- x4 + 2x2 - 1.

D. y =- x4 + (m2 +1)x2 - 1.

Câu 124. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = (1- m)x4 - mx2 + 2m- 1 có đúng 1 cực trị ?
A. mÎ Æ.

B. m£ 0.

C. 0< m<1.

D. ¡ \ (0;1).
11

2x2 - mx + 2m+1
Câu 125. Hàm số y =
có hai điểm cực trị khi:
2x - 1
B. m£ - 1.

A. m>- 1.

C. m<- 1.

D. m tùy ý.

C. " mÎ ¡ .

D. mÎ Æ.

x2 + mx +1
Câu 126. Hàm số y =
luôn có cực trị khi:
x+ m

A. m= 0.

B. m= 1.

Câu 127. Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm cực trị A(0;0), B(1;1) thì các hệ số
a, b, c, d có giá trị lần lượt là:
A. a =- 2, b = 0, c = 0, d = 3.

B. a = 0, b = 0, c =- 2, d = 3.

C. a =- 2, b = 0, c = 3, d = 0.

D. a =- 2, b = 3, c = 0, d = 0.
ĐÁP ÁN

1B

2B

3A

4A