Đề thi thử Môn Toán 2017 ở Trường sở nam định

Cập nhật đề thi mới nhất tại />SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
Mã đề thi 485
Câu 1.

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 2 (1 − 2 x ) ≤ 3 .
 7 1
A. S =  − ;  .
 2 2

Câu 2.

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II
NĂM 2016-2017
Môn : Toán - Lớp 12
Thời gian làm bài : 90 phút (50 câu trắc nghiệm)

 7

B.  − ; +∞ 
 2


 5 1
C.  − ; 
 2 2

Xét hai số thực a , b dương khác 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ( ln a b ) = b ln a .
C. ln

Câu 3.

B. ln ( a + b ) = ln a + ln b .

a ln a
=
.
b ln b

D. ln ( ab ) = ln a.ln b .

Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh huyền bằng 2a và
SA = 2 a , SA vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. V =

Câu 4.

 7 1
D.  − ; 
 2 2

2a 3
.
3

B. V = 4a3 .

C. V = 2a3 .

D. V =

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

4a 3
.
3

x − 2 y −1 z + 3
=
=
,
1
−2
−1

 x = −3 − t

d 2 :  y = 6 + t . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
 z = −3


Câu 5.

A. d1 và d2 chéo nhau.

B. d1 và d2 cắt nhau.

C. d1 và d2 trùng nhau.

D. d1 song song với d2 .

Hàm số nào sau đây đạt cực trị tại điểm x = 0 .
B. y = x 4 −1 .

A. y = x .
Câu 6.

Trong không gian với hệ tọa độ

x2 − 2
.
x

C. y =

Oxyz , cho điểm

( P ) : 2 x − y + 2 z − 7 = 0 . Viết phương trình mặt cầu ( S )

và mặt phẳng

có tâm I và tiếp xúc với ( P ) .

2

2

B. ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z + 1) = 9 .

2

2

2

D. ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 .

C. ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z + 1) = 3 .

Câu 8.

I ( −1; 2;1)

2

A. ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 3 .

Câu 7.

D. y = x3 .

2

2

2

2

2

2

Cho các số phức z1 = 1 + 2i , z2 = 3 − i . Tìm số phức liên hợp của số phức w = z1 + z2 .
A. w = 4 − i .

B. w = 4 + i .

C. w = −4 + i .

D. w = −4 − i

Tính diện tích S của hình phẳng giớ i hạn bởi đường parabol y = x2 − 3x + 2 và đường thẳng

y = x −1.
4
A. S = .
3

B. S = 2 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. S =

37
.
14

D. S =

799
.
300

Trang 1/24 - Mã đề thi 485


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 9.

Tìm các hàm số f ( x ) biết f ′ ( x ) =
A. f ( x ) =

sin x

( 2 + sin x )

C. f ( x ) = −

2

cos x

( 2 + sin x )

+C .

1
+C .
2 + sin x

2

.
B. f ( x ) =

1
+C.
2 + cos x

D. f ( x ) =

sin x
+C .
2 + sin x

π

1
Câu 10. Cho hàm số y =   . Mệnh đề nào sau đây là sai?
 x
A. Hàm số không có cực trị.
B. Tập xác định của hàm số là ℝ \ {0} .

C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

D. Đồ thị hàm số đi qua A (1;1) .

Câu 11. Cho tam giác đều ABC cạnh a quay quanh xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón.
Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón đó.

1
B. S xq = π a 2 .
2

A. S xq = π a 2 .

3
C. S xq = π a 2 .
4

Câu 12. Cho số phức z = 3 − 2i . Tìm điểm biểu diễn của số phức w = z + i z .
A. M (1; −5 ) .
B. M ( 5; −5) .
C. M (1;1) .

D. M ( 5;1) .

x
.
x +1
C. ( −∞; −1) và (1; +∞ ) .D. ( −∞; +∞ )

Câu 13. Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số y =
A. ( −1;1) .

D. S xq = 2π a 2 .

B. ( 0; +∞ ) .

2

Câu 14. Tìm số phức z thỏa mãn (1 − 2i ) z = 3 + i .
1 7
B. z = − i .
5 5

A. z = 1 − i .

C. z = 1 + i .

Câu 15. Đồ thị hàm số nào dưới đây cắt trục hoành tại một điểm?
1
A. y = log x .
B. y = log 2 ( x 2 + 2 ) . C. y = x .
2

1 7
D. z = + i .
5 5

D. y = e x .

Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 2 x .
A.

∫

C.

∫ f ( x ) dx = 2 xe

f ( x ) dx = 2e + C .
2x

2 x −1

+C.

Câu 17. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 1 +
A. x = 1 .

B. y = 2 .

B.

∫

D.

∫

e 2 x +1
+C .
2x +1
e2 x
f ( x ) dx =
+C.
2

f ( x ) dx =

2x + 2
.
x −1
C. y = 3 .

D. y = 1 .

x −1 y + 2 z − 2
=
=
và mặt
2
1
3
phẳng ( P ) : 3x + y − 2 z + 5 = 0 . Tìm tọa độ giao điểm M của d và ( P ) .

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

A. M ( 3; −4; 4 ) .

B. M ( −5; −4; −4 ) .

C. M ( −3; −4; −4 ) .

D. M ( 5; 0;8) .

Câu 19. Cho hình lập phương ABCD. A′B ′C ′D ′ có cạnh bằng a . Gọi S là diện tích xung quanh của
hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD và A′B ′C ′D ′ . Tính S .
A. S = π a 2 .

B. S =

π a2 2
2

.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. S = π a 2 2 .

D. S = π a 2 3 .

Trang 2/24 - Mã đề thi 485


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 20. Hình đa diện nào sau đây có tâm đối xứng?
A. Hình tứ diện đều.
B. Hình chóp tứ giác đều.
C. Hình lăng trụ tam giác.
D. Hình hộp.

5

y

4

3

Câu 21. Đồ thị hình bên là đồ thị của một trong 4 đồ
thị của các hàm số ở các phương án A, B, C,
2
D dưới đây. Hãy chọn phương án đúng.
1
1 4
1 4
2
2
A. y = x + x + 5 .
B. y = − x − x + 5 .
4
4
−2 −1 O
1
2 x
1 4
1 4
2
C. y = − x + 5 .
D. y = − x + 2 x + 5 .
4
4
Câu 22. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3x2 trên đoạn [ −2;1] . Tính

giá trị của T = M + m .
A. T = −20 .
B. T = −4 .

C. T = 2 .

D. T = −24 .

Câu 23. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Số phức z = 3 − 2i có phần thực là 3 , phần ảo là −2 .
B. Số 0 không phải là số phức.
C. Môđun của số phức z = 3 − 4i là z = 5 .
D. Điểm M ( −1;3) là điểm biểu diễn của số phức z = − 1 + 3i .
Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 3z + 5 = 0 . Vectơ nào sau
đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) ?
A. n = (1; 2;3 ) .

B. n = (1; −2;3 ) .

C. n = ( −1; 2; −3 ) .

D. n = (1; 2; −3 ) .

2

Câu 25. Biết rằng ∫ ln ( x + 1) dx = a ln 3 + b ln 2 + c với a , b , c là các số nguyên. Tính S = a + b + c .
1

A. S = 1 .

B. S = 0 .

C. S = 2 .

D. S = −2 .

2

Câu 26. Cho hàm số f ( x ) = 2 x + a và f ′ (1) = 2 ln 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a > 1 .
B. −2 < a < 0 .
C. 0 < a < 1 .
D. a < −2 .
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;1;1) và hai đường thẳng
 x = −1 + t
x − 2 y + 3 z −1

d1 :
=
=
, d 2 :  y = 2 + 2t . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi
1
−1
2
z = 1+ t

qua điểm M vuông góc với d1 và cắt d2 .
x −1 y − 1 z −1
x +1 y +1 z +1
A. ∆ :
=
=
.
B. ∆ :
=

=
.
5
5
3
5
5
3
x −1 y − 1 z −1
x +1 y +1 z +1
C. ∆ :
=
=
.
D. ∆ :
=
=
.
1
7
3
5
5
3
9

Câu 28. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) , biết

∫ f ( x ) dx = 9

và

0

F ( 0 ) = 3 . Tính F ( 9 ) .

A. F ( 9 ) = −12 .
Câu 29.

B. F ( 9 ) = 6 .

C. F ( 9 ) = 12 .

D. F ( 9 ) = −6 .

Biết rằng log 42 2 = 1 + m log 42 3 + n log42 7 với m , n là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. m.n = 2 .
B. m.n = −1 .
C. m.n = −2 .
D. m.n = 1 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 3/24 - Mã đề thi 485


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vectơ a = ( 0; 2;1) , b = ( −1;1; −4 ) ; c = ( 2; −1; 0 ) .

Tìm tọa độ của vectơ u = a + b − c .
A. u = (1;1; −3) .

B. u = ( −3; 4; −3 ) .

C. u = ( −3; 4;3 ) .

D. u = ( 3; 4;3 ) .
2

2

Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + z 2 = 11 và hai
x − 5 y +1 z −1
x +1 y z
đường thẳng d1 :
=
=
, d2 :
= = . Viết phương trình tất cả các mặt
1
1
2
1
2 1
phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( S ) đồng thời song song với hai đường thẳng d1 , d 2 .
A. 3x − y − z − 7 = 0 .
B. 3x − y − z + 7 = 0 .
C. 3x − y − z + 7 = 0 và 3x − y − z − 15 = 0 .
D. 3x − y − z − 15 = 0 .
Câu 32. Cho hình phẳng H được giới hạn bởi các
đường y = − x + 2 , y = x + 2 , x = 1 . Tính
thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay

hình phẳng H quanh trục hoành.
27π
9π
A. V =
.
B. V =
.
2
2
55π
C. V = 9π .
D. V =
.
6

y
2

−2
O

1

2

x

a 6
và mặt phẳng ( SBC ) vuông
3

góc với mặt phẳng ( ABC ) . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC .

Câu 33. Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = AB = AC = a , SC =

A. S = 6π a 2 .
Câu 34. Cho

tứ

diện

B. S =
ABCD

48π a 2
.
7

có

C. S =

AD ⊥ ( ABC ) ,

12π a 2
.
7

đáy

ABC

D. S = 24π a 2

thỏa

mãn

điều

kiệ n

cot A + cot B + cot C
BC
CA
AB
=
+
+
. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc
2
AB. AC BC.BA CA.CB
của A lên DB và DC . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khố i chóp A.BCHK .
32π
8π
4π
4π
A. V =
.
B. V =

.
C. V =
.
D. V =
.
3
3
3
3 3

Câu 35. Một ô tô đang chạy với vận tốc 36 km /h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc
t
a ( t ) = 1 + ( m /s 2 ) . Tính quãng đường mà ô tô đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc.
3
A. 90m .
B. 246m .
C. 58m .
D. 102m .
Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 23 x + ( m − 1) 3x + m − 1 > 0

nghiệm đúng với mọ i x ∈ ℝ .
A. m ∈ ℝ .
B. m > 1 .

C. m ≤ 1 .

D. m ≥ 1 .

Câu 37. Cho a , b là hai số thực dương. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = x 4 − ax 2 − b .
A. 3 .

B. 4 .

C. 6 .

D. 5 .

2x
có đồ thị ( C ) . Tìm giá trị nhỏ nhất h của tổng khoảng cách từ điểm M
x−2
thuộc ( C ) tới hai đường thẳng ∆1 : x −1 = 0 và ∆2 : y − 2 = 0 .

Câu 38. Cho hàm số y =
A. h = 4 .

B. h = 3 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. h = 5 .

D. h = 2 .

Trang 4/24 - Mã đề thi 485


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 39. Gọi n , d lần lượt là số tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. n + d = 1 .

B. n + d = 2 .

C. n + d = 3 .

B. m = 0 .

2

2

−2

.

x 3 − 3 mx 2 + m

nghịch biến trên

C. m ∈ ( 0; +∞ ) .

Câu 41. Tìm tích T tất cả các nghiệm của phương trình 4x −1 − 6.2x
A. T = 2 .
B. T = 8 .
C. T = 6 .

2 x2 − 1 − 1

D. n + d = 4 .

1

Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x ) =  
π 
khoảng ( −∞; +∞ ) .
A. m ≠ 0 .

x −1

D. m ∈ ℝ .

+2=0.
D. T = 4 .

Câu 42. Anh Nam vay tiền ngân hàng 1 tỷ đồng theo phương thức trả góp (chịu lãi số tiền chưa trả) với
lãi suất 0,5 0 0 / tháng. Nếu cuối mỗ i tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh Nam trả 30 triệu đồng.
Hỏi sau bao nhiêu tháng anh Nam trả hết nợ?
A. 35 tháng.
B. 36 tháng.
C. 37 tháng.
D. 38 tháng.
Câu 43. Người ta định xây dựng một trạm biến áp 110 KV tại ô đất C cạnh đường quốc lộ MN để cấp
B
điện cho hai khu công nghiệp A và B như hình vẽ.
Hai khu công nghiệp A và B cách quốc lộ lần lượt
là AM = 3km , BN = 6 km . Biết rằng quốc lộ MN A
có độ dài 12 km . Hỏi phải đặt trạm biến áp cách khu

công nghiệp A bao nhiêu km để tổng chiều dài
M
đường dây cấp điện cho hai khu công nghiệp A và
B là ngắn nhất.

C

A. 3 5 km .

D.

B. 5 km .

C. 3 km .

N

34 km .

Câu 44. Tìm môđun của số phức z biết z − 4 = (1 + i ) z − ( 4 + 3z ) i .
A. z = 1 .

B. z = 4 .

C. z = 2 .

D. z =

1
.
2

Câu 45. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A′B ′C ′D ′ cạnh đáy bằng a ; góc giữa A′B và mặt phẳng
( A′ACC ′ ) bằng 30° . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. V = a3 3 .

B. V = a 3 2 .

C. V = a3 .

D. V = 2a3 .

1
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
( x − m ) log 2  x − 2 ( 2m − 1) x + 4m 2 
m để hàm số đã cho xác định với mọ i x ∈ (1; +∞ ) .

Câu 46. Cho hàm số y =

A. m ∈ ( −∞; 2 ) .

2

B. m ∈ ( −1;1] .

C. m ∈ ( −∞;1) .

(

D. m ∈ ( −∞;1] .

)

Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ln x + x2 + 1 − mx có cực trị.

A. m ∈ ( 0;1) .

B. m ∈ ( −∞;1) .

C. m ∈ ( 0;1] .

D. m ∈ ( −∞; 0 ) .

Câu 48. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = 2a , SAB = SCB = 90°
và góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( SBC ) bằng 30° . Tính thể tích V của khố i chóp
đã cho.
A. V =

2 3a3
.
3

B. V =

4 3a3
.
9

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. V =

3a 3
.
3

D. V =

8 3a3
.
3

Trang 5/24 - Mã đề thi 485


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 49. Cho các số phức z1 = 1 + 3i , z2 = −5 − 3i . Tìm điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z3 , biết rằng

trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng x − 2 y + 1 = 0 và mô đun số phức
w = 3z3 − z2 − 2 z1 đạt giá trị nhỏ nhất.
 3 1
A. M  − ; −  .
 5 5

3 1
B. M  ; −  .
5 5

3 1
C. M  ;  .
5 5

 3 1
D. M  − ;  .
 5 5

Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A ( −1; 2;0 ) , B ( 2; −3; 2 ) . Gọi ( S ) là mặt

cầu đường kính AB . Ax , By là hai tiếp tuyến với mặt cầu ( S ) và Ax ⊥ By . Gọi M , N lần
lượt là điểm di động trên Ax , By sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với mặt cầu ( S ) .
Tính giá trị của AM .BN .
A. AM .BN = 19 .
B. AM .BN = 24 .
C. AM .BN = 38 .
D. AM .BN = 48 .
----------HẾT----------

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 6/24 - Mã đề thi 485


Cập nhật đề thi mới nhất tại />ĐÁP ÁN
1
D
26
B

2
A
27
C

3
A
28

C

4
B
29
D

5
B
30
B

6
D
31
B

7
A
32
D

8
A
33
A

9
C
34

A

10
B
35
A

11
B
36
D

12
C
37
D

13
A
38
B

14
D
39
C

15
A
40

B

16
D
41
A

17
C
42
C

18
C
43
B

19
C
44
C

20
D
45
C

21
B
46

D

22
A
47
A

23
B
48
B

24
D
49
D

25
B
50
A

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

[2D2-1] Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 2 (1 − 2 x ) ≤ 3 .
 7 1
A. S =  − ;  .
 2 2

 7

B.  − ; +∞  .
 2


 5 1
C.  − ;  .
 2 2

 7 1
D.  − ;  .
 2 2

Hướng dẫn giải
Chọn D.

1

 x < 2
1 − 2 x > 0
7
1
⇔
⇔
−
≤
x
<
Ta có: log 2 (1 − 2 x) ≤ 3 ⇔ 


3
2
2
1 − 2 x ≤ 2
x ≥ − 7

2
Câu 2.

[2D2-1] Xét hai số thực a , b dương khác 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ( ln a b ) = b ln a .
C. ln

B. ln ( a + b ) = ln a + ln b .

a ln a
=
.
b ln b

D. ln ( ab ) = ln a.ln b .
Hướng dẫn giải

Chọn A.

Áp dụng công thức log m n k = k log m n; ( 0 < m ≠ 1; n > 0 ) ⇒ ln a b = b ln a .
Câu 3.

[2H1-2] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông

A , cạnh huyền bằng 2a và SA = 2 a , SA vuông góc với đáy.
tích V của khố i chóp đã cho.
A. V =

2a 3
.
3

B. V = 4a3 .

cân tại
Tính thể

S

2a

C. V = 2a3 .

D. V =

4a 3
.
3
C

A

2a

Hướng dẫn giải

B

Chọn A

Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = AC =
1
1
V = .SA. . AB. AC =
3
2
Câu 4.

(

2a. a 2
6

)

BC
=a 2
2

2

2a3
=
.

3

[2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

x − 2 y −1 z + 3
=
=
,
1
−2
−1

 x = −3 − t

d 2 :  y = 6 + t . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
 z = −3


A. d1 và d2 chéo nhau.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

B. d1 và d2 cắt nhau.

Trang 7/24 - Mã đề thi 485


Cập nhật đề thi mới nhất tại />C. d1 và d2 trùng nhau.

D. d1 song song với d2 .
Hướng dẫn giải

Chọn B
Đường thẳng d1 đi qua A ( 2;1; −3 ) và có một vectơ chỉ phương là u1 = (1; −2; −1) .
Đường thẳng d2 đi qua B ( −3; 6; −3) và có một vectơ chỉ phương là u 2 = ( −1;1; 0 ) .

Ta có u1 , u2  = (1;1; −1) ≠ 0 , AB = ( −5;5; 0 ) ; u1 , u2  AB = 0 .

Vậy d1 và d2 cắt nhau.
Cách 2 :
x = 2 + a
x − 2 y −1 z + 3

Có d1 :
=
=
⇔  y = 1 − 2a
1
−2
−1
 z = −3 − a





−3 − t = 2 + a
−5 = t + a


t = −5





Xét hệ: 6 + t = 1 − 2a ⇔ t + 2a = −5 ⇔ 


a = 0



a=0

−3 = −3 − a






Vậy hệ có nghiệm duy nhất. Chọn B.
Câu 5.

[2D1-1] Hàm số nào sau đây đạt cực trị tại điểm x = 0 .
B. y = x 4 −1 .

A. y = x .

C. y =

x2 − 2
.
x

D. y = x3 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Hàm số y = x có y ′ =

1
2 x

> 0 với ∀x > 0 nên không có cực trị. Loại A.

x2 − 2
2
2
Hàm số y =
= x − có y′ = 1 + 2 > 0 với ∀x ≠ 0 nên không có cực trị. Loại C.
x
x
x

Hàm số y = x3 có y′ = 3x 2 ≥ 0, ∀x ∈ℝ nên không có cực trị. Loại D.
Hàm số y = x 4 −1 có y′ = 4 x3 ; y′ = 0 ⇔ x = 0 .
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực trị tại điểm x = 0 .

Câu 6.

[2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I ( −1; 2;1) và mặt phẳng

( P ) : 2 x − y + 2 z − 7 = 0 . Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm
2

2

2

A. ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 3 .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

2

I và tiếp xúc với ( P ) .
2

2

B. ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z + 1) = 9 .

Trang 8/24 - Mã đề thi 485


Cập nhật đề thi mới nhất tại />2

2

2

2

C. ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z + 1) = 3 .

2

2

D. ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.

Do mặt cầu ( S ) có tâm I và tiếp xúc với ( P ) nên R = d ( I , ( P ) ) =
2

2

2. ( −1) − 1.2 + 2.1 − 7
2

2

2 + ( −1) + 2

2

= 3.

2

Vậy phương trình mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 .
Câu 7.

[2D4-1] Cho các số phức z1 = 1 + 2i , z2 = 3 − i . Tìm số phức liên hợp của số phức w = z1 + z2 .
A. w = 4 − i .
C. w = −4 + i .

B. w = 4 + i .
D. w = −4 − i .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
w = z1 + z2 = (1 + 2i ) + ( 3 − i ) = 4 + i ⇒ w = 4 − 1 . Chọn A.

Câu 8.

[2D3-2] Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường parabol y = x2 − 3x + 2 và đường
thẳng y = x − 1 .
A. S =

4
.
3

B. S = 2 .

C. S =

37
.
14

D. S =

799
.
300

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 − 3x + 2 = x −1 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ x = 1; x = 3 .
Diện tích hình phẳng cần tìm là
3

3

S = ∫ x − 4 x + 3 dx =
2

∫

1

Câu 9.

1

3

 3

( x − 4 x + 3) dx =  x3 − 2 x 2 + 3 x  = 0 − 34 = 34 .

1
2

[2D3-1] Tìm các hàm số f ( x ) biết f ′ ( x ) =
A. f ( x ) =

sin x

( 2 + sin x )

C. f ( x ) = −

2

cos x

( 2 + sin x )

+C .

1
+C .
2 + sin x

2

.

B. f ( x ) =

1
+C.
2 + cos x

D. f ( x ) =

sin x
+C .
2 + sin x

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Ta có f ( x ) = ∫

cos x

( 2 + sin x )

2

dx = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫

cos x

( 2 + sin x )

2

dx = ∫

d ( 2 + sin x )

( 2 + sin x )

2

=−

1
+C.
2 + sin x

π

1
Câu 10. [2D2-1] Cho hàm số y =   . Mệnh đề nào sau đây là sai?
 x

A. Hàm số không có cực trị.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

B. Tập xác định của hàm số là ℝ \ {0} .

Trang 9/24 - Mã đề thi 485


Cập nhật đề thi mới nhất tại />C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

D. Đồ thị hàm số đi qua A (1;1) .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
π

1
1
Ta có hàm số y =   xác định khi > 0 ⇔ x > 0 .
x
 x
Câu 11. [2H2-1] Cho tam giác đều ABC cạnh a quay quanh xung quanh đường cao AH tạo nên một
hình nón. Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón đó.
1
B. S xq = π a 2 .
2

A. S xq = π a 2 .

3
C. S xq = π a 2 .
4

D. S xq =A 2π a 2 .

Hướng dẫn giải:
a

Chọn B.

Khi quay tam giác ABC quanh đường cao AH , ta được hình nón
a
có bán kính đường tròn đáy là R = BH = , đường sinh là
2
l = AB = a .

B

H

C

a
1
Vậy diện tích xung quanh là S xq = π Rl = π . .a = π a 2 .
2
2

Câu 12. [2D4-1] Cho số phức z = 3 − 2i . Tìm điểm biểu diễn của số phức w = z + i z .
A. M (1; −5 ) .

B. M ( 5; −5) .

C. M (1;1) .

D. M ( 5;1) .

Hướng dẫn giải.
Chọn C.

Ta có w = z + i.z = 3 − 2i + i. ( 3 + 2i ) = 3 − 2i + 3i − 2 = 1 + i .
Vậy điểm biểu diễn của số phức w là M (1;1) .
Câu 13. [2D1-2] Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số y =
A. ( −1;1) .

B. ( 0; +∞ ) .

x
.
x +1
2

C. ( −∞; −1) và (1; +∞ ) .D. ( −∞; +∞ ) .
Hướng dẫn giải

Cho ̣n A.

Ta có: y ′ =

x

1 − x2

(x

2

+ 1)

, y′ = 0 ⇔
2

−∞

y′

1 − x2

(x

2

+ 1)

2

= 0 ⇔ x = ±1
1 +∞

−1

0

−

+

0

−

1
2

0

y

1
0
2
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1) .
−

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 10/24 - Mã đề thi 485


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 14. T[2D4-1] ìm số phức z thỏa mãn (1 − 2i ) z = 3 + i .
1 7
B. z = − i .
5 5

A. z = 1 − i .

1 7
D. z = + i .
5 5

C. z = 1 + i .
Hướng dẫn giải

Cho ̣n D.

Ta có: (1 − 2i ) z = 3 + i ⇔ z =

3+ i
1 7
⇔ z = + i.
1 − 2i
5 5

Câu 15. [2D2-1] Đồ thị hàm số nào dưới đây cắt trục hoành tại một điểm ?
1
.
2x
Hướng dẫn giải:

A. y = log x .

B. y = log 2 ( x 2 + 2 ) .

C. y =

D. y = e x .

Chọn A.
x > 0

x > 0
⇔
⇔ x = 1.
x = 1
 x = 10

Ta có: log x = 0 ⇔ 

0

Câu 16. [2D3-1] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 2 x .
A.

∫ f ( x ) dx = 2e

C.

∫ f ( x ) dx = 2 xe

2x

+C .

2 x −1

+C.

e 2 x +1
B. ∫ f ( x ) dx =
+C .
2x +1
e2 x
D. ∫ f ( x ) dx =
+C .
2
Hướng dẫn giải:

Chọn D.

∫ f ( x ) dx = ∫ e

2x

1
dx = e 2 x + C
2

Câu 17. [2D1-1] Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 1 +
A. x = 1 .

B. y = 2 .

2x + 2
.

x −1

C. y = 3 .

D. y = 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

2 x + 2 3x + 1
y = 1+
=
.
x −1
x −1

1
3+
3x + 1
x =3.
lim y = lim
= lim
x →±∞
x →±∞ x − 1
x →±∞
1
1−
x

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 1 +

2x + 2
là y = 3 .
x −1

x −1 y + 2 z − 2
=
=
2
1
3
và mặt phẳng ( P ) : 3x + y − 2 z + 5 = 0 . Tìm tọa độ giao điểm M của d và ( P ) .

Câu 18. [2H3-1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

A. M ( 3; −4; 4 ) .

B. M ( −5; −4; −4 ) .

C. M ( −3; −4; −4 ) .

D. M ( 5; 0;8) .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 11/24 - Mã đề thi 485

Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Gọi M ( a; b; c ) .
 a − 2b = 5
a = −3
 a −1 b + 2 c − 2
 M ∈ d
=
=



⇔ 2
M = (d ) ∩ ( P) ⇔ 
⇔ b = −4
1
3 ⇔ 3b − c = −8
 M ∈ ( P )
3a + b − 2c + 5 = 0
c = −4
3a + b − 2c + 5 = 0



Vậy M ( −3; −4; −4) .
Cách khác:

x = 1 + 2t


x −1 y + 2 z − 2

=
=
⇔ y = −2 + t
Có d1 :

2
1
3


z = 2 + 3t



Xét phương trình: 3 (1 + 2t ) + (−2 + t ) − 2 (2 + 3t ) + 5 = 0 ⇔ t = −2 ⇒ M (−3; −4; −4) .
Câu 19. [2H2-2] Cho hình lập phương ABCD. A′B ′C ′D ′ có cạnh bằng a . Gọi S là diện tích xung
quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD và A′B ′C ′D ′ . Tính S .
A. S = π a 2 .

B. S =

π a2 2
2

D. S = π a 2 3 .

C. S = π a 2 2 .

.

Hướng dẫn giải

A

Chọn C.

Do hình trụ và hình lập phương có cùng chiều cao nên ta chỉ cần
chú ý đến mặt đáy như hình vẽ bên:
Đường tròn đáy của hình trụ có bán kính bằng một nửa
đường chéo của hình vuông ABCD ; R =

O

a 2
2

Do đó, thể tích hình trụ cần tìm bằng S = 2π Rh = 2π

B

D

C

a 2
a = π a2 2
2

Câu 20. [2H1-1] Hình đa diện nào sau đây có tâm đố i xứng?
A. Hình tứ diện đều.

C. Hình lăng trụ tam giác.

B. Hình chóp tứ giác đều.
D. Hình hộp.
Hướng dẫn giải

Chọn D.

Dựa vào hình vẽ các khố i ta nhận thấy chỉ có hình hộp mới có tâm đối xứng.

5

Câu 21. [2D1-1] Đồ thị hình bên là đồ thị của một trong 4 đồ thị của
các hàm số ở các phương án A, B, C, D dưới đây. Hãy chọn
phương án đúng.
A. y =

1 4
x + x2 + 5 .
4

1
B. y = − x 4 − x 2 + 5 .
4

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

y

4

3
2
1

x
−Trang
2 −112/24
O - Mã
1 đề2thi 485


Cập nhật đề thi mới nhất tại />1
C. y = − x 4 + 5 .
4

1
D. y = − x 4 + 2 x 2 + 5 .
4

Hướng dẫn giải
Chọn B.

+ Ta thấy đồ thị hàm số chỉ có một điểm cực trị nên loại đáp án D
+ Từ trái sang phải, đồ thị hàm số đi từ dưới lên, do đó hệ số của x4 phải âm. Suy ra loại được
đáp án A
+ Với x = ±2 thì y < 0 . Thay x = ±2 vào hai đáp án B , C ta thấy đáp án B thỏa mãn còn đáp
án C không thỏa mãn.
Câu 22. [2D1-2] Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3x2 trên đoạn
[ −2;1] . Tính giá trị của T = M + m .
B. T = −4 .

A. T = −20 .

C. T = 2 .

D. T = −24 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

x = 0
.
+ Có y ' = 3x 2 − 6 x . y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6 x = 0 ⇔ 
x = 2
Ta có bảng biến thiên của hàm số trên [ −2;1]

x
y′

−2
0

0
0
0

+

y

−

1
0

−2

−20

Từ bảng biến thiên suy ra đáp án là A.
Câu 23. [2D4-1] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Số phức z = 3 − 2i có phần thực là 3 , phần ảo là −2 .
B. Số 0 không phải là số phức.
C. Môđun của số phức z = 3 − 4i là z = 5 .
D. Điểm M ( −1;3) là điểm biểu diễn của số phức z = −1 + 3i .
Hướng dẫn giải
Chọn B

Dựa vào các tính chất và định nghĩa khẳng định A, C , D đúng
B sai vì số 0 là một số phức với phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 0 .

Câu 24. [2H3-1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 3z + 5 = 0 . Vectơ

nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) ?
A. n = (1; 2;3 ) .

B. n = (1; −2;3 ) .

C. n = ( −1; 2; −3 ) .

D. n = (1; 2; −3 ) .

Hướng dẫn giải.
Chọn D
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 13/24 - Mã đề thi 485


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Từ phương trình tổng quát của mặt phẳng ( P ) suy ra véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) là
n (1; 2; −3 ) .
2

∫ ln ( x + 1) dx = a ln 3 + b ln 2 + c

Câu 25. [2D3-2] Biết rằng

với a , b , c là các số nguyên. Tính

1

S = a+b+c.

A. S = 1 .

B. S = 0 .

C. S = 2 .

D. S = −2 .

Hướng dẫn giải.
Chọn B.

1

dx
u = ln ( x + 1) du =
Đặt 
⇒
x +1 .
dv = dx
v = x + 1
2

2

2

Khi đó: ∫ ln ( x + 1) dx = ( x + 1) ln ( x + 1) 1 − ∫ dx = 3ln 3 − 2 ln 2 − 1
1

1

Vậy a = 3; b = −2; c = −1 ⇒ S = a + b + c = 0
Câu 26. [2D2-2] Cho hàm số f ( x ) = 2 x
A. a > 1 .

2

+a

và f ′ (1) = 2 ln 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

B. −2 < a < 0 .

C. 0 < a < 1 .

D. a < −2 .

Hướng dẫn giải.
Chọn B.

(

Ta có: f ′ ( x ) = 2 x

2

+a

)′ = 2 x.2

x2 + a

.ln 2

Theo đề bài : f ′ (1) = 2 ln 2 ⇔ 2.21+ a.ln 2 = 2 ln 2 ⇔ 21+ a = 1 ⇔ 1 + a = 0 ⇔ a = −1
Câu 27. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;1;1) và hai đường thẳng

 x = −1 + t
x − 2 y + 3 z −1

d1 :
=
=
, d 2 :  y = 2 + 2t . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi
1
−1
2
z = 1+ t

qua điểm M vuông góc với d1 và cắt d2 .
x −1
=
5
x −1
C. ∆ :
=
1

A. ∆ :

y −1
=
5
y −1
=
7

z −1
.
3
z −1
.
3

x +1
=
5
x +1
D. ∆ :
=
5
Hướng dẫn giả i

B. ∆ :

y +1 z +1
=
.
5
3
y +1 z +1
=
.
5
3

Cho ̣n C.

Đường thẳ ng d1 có vé c tơ chı̉ phương u = (1; −1; 2 )
Goị A ( −1 + t; 2 + 2t;1 + t ) là giao điể m củ a ∆ và d2

Ta có MA = ( t − 2; 2t + 1; t )

∆ ⊥ d1 nên MA.u = 0 ⇔ t − 2 − 1. ( 2t + 1) + 2t = 0 ⇔ t = 3 ⇒ A ( 2;5; 4 )

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 14/24 - Mã đề thi 485


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Phương trıǹ h chıń h tắ c củ a đường thẳ ng ∆ đi qua điể m M (1;1;1) và nhâṇ MA = (1; 7;3 ) là m
môṭ VTCP nên ∆ :

x −1 y −1 z −1
=
=
.
1
7
3

Câu 28. [2D3-2] Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) , biết
9

∫ f ( x ) dx = 9

và F ( 0 ) = 3 . Tính F ( 9 ) .

0

A. F ( 9 ) = −12 .

B. F ( 9 ) = 6 .

C. F ( 9 ) = 12 .

D. F ( 9 ) = −6 .

Hướng dẫn giả i
Cho ̣n C.
9

Ta có

∫
0

Câu 29.

9

9

f ( x )dx = F ( x ) 0 = F ( 9 ) − F ( 0 ) ⇒ F ( 9 ) = ∫ f ( x )dx + F ( 0 ) = 9 + 3 = 12 .
0

[2D2-2] Biết rằng log 42 2 = 1 + m log 42 3 + n log42 7 với m , n là các số nguyên. Mệnh đề nào sau

đây là đúng?
A. m.n = 2 .

B. m.n = −1 .

C. m.n = −2 .
Hướng dẫn giả i

D. m.n = 1 .

Chọn D

Ta có log 42 2 = log 42 42 + log 42 3m + log 42 7 n = log 42 ( 42.3m.7 n )
⇔ 42.3m.7n = 2 ⇔ 3m.7n =

1
= 3−1.7 −1.
21

 m = −1
⇒ mn = 1.
Mà m, n ∈ ℤ ⇒ 
 n = −1
Câu 30. [2H3-1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vectơ a = ( 0; 2;1) , b = ( −1;1; −4 ) ;
c = ( 2; −1; 0 ) . Tìm tọa độ của vectơ u = a + b − c .

A. u = (1;1; −3) .

B. u = ( −3; 4; −3 ) .

C. u = ( −3; 4;3 ) .

D. u = ( 3; 4;3 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn B

Ta có u = a + b − c = ( 0 − 1 − 2; 2 + 1 + 1;1 − 4 − 0 ) = ( −3; 4; −3 ) .
2
2
Câu 31. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + z 2 = 11 và
x − 5 y +1 z −1
x +1 y z
hai đường thẳng d1 :
=
=
, d2 :
= = . Viết phương trình tất cả các mặt
1
1
2
1
2 1
phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( S ) đồng thời song song với hai đường thẳng d1 , d 2 .

A. 3x − y − z − 7 = 0 .
C. 3x − y − z + 7 = 0 và 3x − y − z − 15 = 0 .

B. 3x − y − z + 7 = 0 .
D. 3x − y − z − 15 = 0 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 15/24 - Mã đề thi 485


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
d1 , d 2 lần lượt có VTCP là u1 = (1;1; 2 ) , u2 = (1; 2;1) ⇒ u1 , u2  = ( −3;1;1)
Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; − 1; 0 ) và có bán kính R = 11
Gọi ( P ) là mặt phẳng song song với d1 , d 2 và tiếp xúc với ( S )

⇒ n = − u1 , u2  = ( 3; − 1; − 1) là VTPT của ( P ) nên ( P ) :3 x − y − z + D = 0
Vì ( P ) tiếp xúc với ( S ) ⇔ d ( I , ( P ) ) = R ⇔

D = 7
= 11 ⇔ 
11
 D = −15

4+ D

Do đó mặt phẳng ( P ) 3 x − y − z + 7 = 0 ( nhận)
y

Hoặc 3 x − y − z − 15 = 0 ( loại vì chứa đường thẳng d1 ).
Câu 32.

[2D3-3] Cho hình phẳng H được giới hạn bởi các
đường y = − x + 2 , y = x + 2 , x = 1 . Tính thể tích V
của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng H quanh trục
hoành.
A. V =

27π
.
2

2

V2

V1
−2

−1 O

1

2

x

9π
.
2
55π
D. V =

.
6

B. V =

C. V = 9π .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Lấy đố i xứng đồ thị hàm số y = − x + 2 qua trục Ox ta được đồ thị hàm số y = x + 2
Phương trình hoành độ giao điểm của hai ssồ thị hàm số y = − x + 2 , y = x + 2 là:
x + 2 = x + 2 ⇔ x + 2 = ( x + 2)
 x = −2
 x + 2 ≥ 0
⇔
2 ⇔ 
 x = −1
 x + 2 = ( x + 2 )

Gọi V1 là thể tích khố i tròn xoay sinh bở hình phẳng y = x + 2 , x = −2, x = −1 khi quay quanh
trục Ox .

V2 là thể tích khố i tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x + 2;
x = −1; x = 1 khi quay quanh trục Ox .
−1

V1 = π ∫

−2

(

1

1
26
2
x + 2 dx = π ; V2 = π ∫ ( x + 2 ) dx = π .
2
3
−1

)

2

Vậy V = V1 + V2 =

55π
.
6

a 6
và mặt phẳng ( SBC )
3
vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC .

Câu 33. [2H1-3] Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = AB = AC = a , SC =

A. S = 6π a 2 .

B. S =

48π a 2
.
7

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. S =

12π a 2
.
7

D. S = 24π a 2 .

Trang 16/24 - Mã đề thi 485


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Hướng dẫn giải
Chọn A.

A

a

Do (ABC ) ⊥ (SBC ) nên kẻ AH ⊥ BC ⇒ AH ⊥ (SBC ) .

a
I

Do ABC cân tại A nên H là trung điểm BC .
Do SA = AB = AC nên AH là trục của tam giác SBC

M
a

2

B

 BC 
SB 2 + SC 2 BC 2
 +
SA = AH + SH ⇔ a = a − 
−
2
4
 2 
2

2

2

2

a

a 6
3

S


BC
SB + SC
6a 2  10a 2
 =
⇔
=
⇔ BC 2 = 2 a 2 +

4
2
9 
3
2

2

C

H

2

2

30a
10a 2
a 6
⇒ AH = a 2 −
=
3
12
6
Gọi I là trung điểm AB , kẻ IM ⊥ AB, M ∈ AH .

⇔ BC =

Vậy M là tâm mặt cầu ngoại tiếp S .ABC ; R = AM
1
2

Ta có AM .AH = AI .AB = AB 2 ⇒ AM =

a2
=
2.AH

a2
2.

=

a 6
6

a 6
.
2

Vậy S = 4πR2 = 6πa 2
Câu 34. [2H1-4] Cho tứ diện

ABCD

có

AD ⊥ ( ABC ) , đáy

ABC

thỏa mãn điều kiện

cot A + cot B + cot C
BC
CA
AB
=
+
+
. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc
2
AB. AC BC.BA CA.CB
của A lên DB và DC . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khố i chóp A.BCHK .

A. V =

32π
.
3

B. V =

8π
.
3

C. V =

4π
.
3 3

D. V =

4π
.
3

Hướng dẫn giải.
Chọn A.

D

Trong mặt phẳng ( ABC ) gọi d1 và d2 là trung trực

K

của AB và AC .

I = d1 ∩ d2 . Suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp

H

tam giác ABC .
Dễ chứng minh d1 là trục đường tròn ngoại
tiếp tam giác AHB còn d2 là trục đường tròn ngoại

A
I

d1

C

d2
B

tiếp tam giác AKC .
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCKH .
Gọi R là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCKH thì R cũng là bán kính đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC .
Ta có: cot A + cot B + cot C =

a 2 + b2 + c2

4S

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 17/24 - Mã đề thi 485


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Nên

cot A + cot B + cot C
BC
CA
AB
=
+
+
2
AB. AC BC.BA CA.CB

⇔

a 2 + b 2 + c 2 a sin A b sin B
c sin C
=
+
+
8S
bc sin A ca sin B ab sin C

⇔

a 2 + b2 + c 2
a2
b2
c2
4
32π
=
+
+
⇔ R = 2 ⇒ V = π R3 =
.
8S
4 RS 4 RS 4 RS
3
3

Câu 35. [2D3-3] Một ô tô đang chạy với vận tốc 36 km /h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia
t
tốc a ( t ) = 1 + ( m /s 2 ) . Tính quãng đường mà ô tô đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng
3
tốc.
A. 90m .

B. 246m .

C. 58m .

D. 100m .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đổi 36 km h = 10 m s .

Khi ô tô chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a ( t ) = 1 +

t
m s2 )
(
3

t2
 t
⇒ Vận tốc của ô tô khi đó là v = ∫ a ( t ) dx = ∫  1 +  dx = t + + C ( m s )
6
 3
Khi ô tô bắt đầu tăng tốc thì v ( 0 ) = 10 ⇔ 0 +

⇒ v=t+

02
+ C = 10 ⇔ C = 10 .
6

t2
+ 10 ( m s )
6

Vậy quãng đường ô tô đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc là

6

 t2

s = ∫  t + + 10  dt = 90 m .
6

0
Câu 36. [2D2-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
23 x + ( m − 1) 3x + m − 1 > 0 nghiệm đúng với mọ i x ∈ ℝ .
A. m ∈ ℝ .

B. m > 1 .

m

C. m ≤ 1 .

để bất phương trình
D. m ≥ 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Ta có 23 x + ( m − 1) 3x + m − 1 > 0
23 x
⇔ 2 + ( m − 1) ( 3 + 1) > 0 ⇔ 2 > (1 − m ) ( 3 + 1) ⇔ x
> 1− m
3 +1
3x

Vì

x

3x

x

23 x
> 0 , ∀x ∈ ℝ ⇒ ycbt ⇔ 1 − m ≤ 0 ⇔ m ≥ 1 .
3x + 1

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 18/24 - Mã đề thi 485


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 37. [2D1-4] Cho a , b là hai số thực dương. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = x 4 − ax 2 − b .
B. 4 .

A. 3 .

C. 6 .

D. 5 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Đặt g ( x ) = x 4 − ax 2 − b

Dựa vào đồ thị minh họa ta thấy.
Đồ thị của hàm số g ( x ) = x 4 − ax 2 − b là phần nằm phía

dưới trục hoành và hai nhánh phía trên trục hoành.
Đồ thị của hàm số y = x 4 − ax 2 − b là sự kết hợp của hai

phần đồ thị: một phần đồ thị nằm phía trên trục hoành, một
phần đồ thị phía dưới trục hoành ta lấy đố i xứng của
g ( x ) = x 4 − ax 2 − b qua trục hoành.
Dựa vào đồ thị ⇒ Hàm số y = x 4 − ax 2 − b có 5 cực trị.
2x
có đồ thị ( C ) . Tìm giá trị nhỏ nhất h của tổng khoảng cách từ
x−2
điểm M thuộc ( C ) tới hai đường thẳng ∆1 : x −1 = 0 và ∆2 : y − 2 = 0 .

Câu 38. [2D1-4] Cho hàm số y =

A. h = 4 .

B. h = 3 .

C. h = 5 .

D. h = 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Lấy tùy ý M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ y0 =


4 
2 x0
4
⇒ M  x0 ; 2 +
= 2+
.
x
−
2
x0 − 2
x0 − 2
0



Khi đó
d ( M ; ∆1 ) = x0 − 1

d ( M ; ∆2 ) = 2 +

4
4
4
−2 =
=
x0 − 2
x0 − 2
x0 − 2

Do đó h = d ( M ; ∆1 ) + d ( M ; ∆ 2 ) = x0 − 1 +
= x0 − 2 + 1 +

4
x0 − 2

4
4
≥ x0 − 2 − 1 +
≥ 3 ( Lưu ý ở đây a + b ≥ a − b ) ⇒ Min h = 3 .
x0 − 2
x0 − 2

( x0 − 2 ) .1 < 0

Đẳng thức xảy ra ⇔ 
4 ⇔ x0 = 0 .
 x0 − 2 = x − 2
0

Câu 39. [2D1-3] Gọi n , d lần lượt là số tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x −1
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
y=
2 x2 − 1 − 1
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 19/24 - Mã đề thi 485

Cập nhật đề thi mới nhất tại />A. n + d = 1 .

B. n + d = 2 .
C. n + d = 3 .
Hướng dẫn giải

D. n + d = 4 .

Chọn C.

lim

x →+∞

lim

x →+∞

lim
x →1

x −1
2

2x −1 − 1

x −1
2x2 −1 − 1

x −1
2 x2 − 1 − 1

= lim

x →+∞

x

= lim

x →+∞

x

= lim

x −1
1
2− 2
x
x −1
1
2− 2
x

( x − 1) (

 1
1

x 1 − 
1−
1
 x
x
= lim
= lim
=
x →+∞ 
x
→+∞
1 1
2
1 1
−1
2− 2 −
x 2 − 2 − 
x
x
x
x

 1
1
x 1 − 
1−
1
x



x
= lim
= lim
=
x →+∞ 
1 1
2
1 1  x →+∞
−1
2− 2 −
x 2 − 2 − 
x
x
x
x


2 ( x 2 − 1)

x →1

) = lim

2x2 −1 + 1

x →1

2x2 −1 +1 1
=
2x + 2

2

Vậy hàm số có 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng. Tức là, n = 2 và d = 1 ⇒ n + d = 3 .
1
Câu 40. [2D2-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x ) =  
π 
trên khoảng ( −∞; +∞ ) .
A. m ≠ 0 .

B. m = 0 .

C. m ∈ ( 0; +∞ ) .

x 3 − 3 mx 2 + m

nghịch biến

D. m ∈ ℝ .

Hướng dẫn giải
Chọn B.

1
Ta có f ′ ( x ) = ( 3x 2 − 6mx ) .  
π 

x 3 − 3 mx 2 + m

1
.ln  

π 

Để hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) ⇔ f ′ ( x ) ≤ 0 , ∀x ∈ ( −∞; +∞ ) .
⇔

(3x

2

1
− 6mx ln   ≤ 0 , ∀x ∈ ( −∞; +∞ ) ⇔ 3 x 2 − 6mx ≥ 0 , ∀x ∈ ( −∞; +∞ ) (1)
π 

)

Vì tam thức 3 x 2 − 6 mx có ∆ = m 2 .
Khi đó (1) ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ m 2 ≤ 0 ⇔ m = 0 .
Câu 41. [2D2-2] Tìm tích T tất cả các nghiệm của phương trình 4x
A. T = 2 .

B. T = 8 .

2

−1

− 6.2x

C. T = 6 .
Hướng dẫn giải

2

−2

+2=0.
D. T = 4 .

Chọn A.
2

2

2
2
4x
2x
4 − 6.2 + 2 = 0 ⇔
−6
+ 2 = 0 ⇔ 4 x − 6.2x + 8 = 0
4
4
2
2 x = 2  x2 = 1
 x = ±1
⇔ 2
⇔ 2
⇔
2 x = 4  x = 2  x = ± 2
Vậy T = 2

x2 −1

x2 − 2

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 20/24 - Mã đề thi 485


Cập nhật đề thi mới nhất tại />Câu 42. [2D2-4] Anh Nam vay tiền ngân hàng 1 tỷ đồng theo phương thức trả góp (chịu lãi số tiền chưa
trả) với lãi suất 0,5 0 0 / tháng. Nếu cuối mỗ i tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh Nam trả 30
triệu đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh Nam trả hết nợ?
A. 35 tháng.
B. 36 tháng.
C. 37 tháng.
D. 38 tháng.
Hướng dẫn giải
Chọn C

Gọi a là số tiền vay, r là lãi, m là số tiền hàng tháng trả.
Số tiền nợ sau tháng thứ nhất là: N1 = a (1 + r ) − m .
Số tiền nợ sau tháng thứ hai là:
2
N 2 =  a (1 + r ) − m  +  a (1 − r ) − m  r − m = a (1 + r ) − m (1 + r ) + 1
Số tiền nợ sau tháng thứ ba là:
3
2



N 3 = a (1 + r ) − m (1 + r ) + 1 + a (1 + r ) − m (1 + r ) + 1 r − m

 


3

2

= a (1 + r ) − m (1 + r ) − m (1 + r ) − m

….
n
n −1
n −2
Số tiền nợ sau n tháng là: N n = a (1 + r ) − m (1 + r ) − m (1 + r ) − ... − m
n

n

Hay N n = a (1 + r )

n −1
n −2
n
(1 + r ) − 1


− m (1 + r ) + (1 + r ) + ... + 1 = a (1 + r ) − m



r

Sau n tháng anh Nam trả hết nợ: N n = a (1 + r )
9

n

10 (1 + 0, 005 ) − 30.10

6

(1 + 0, 005)

n

−1

n

(1 + r )
−m

n

−1

r

n

(1 + 0, 005)
− 30

n

−1

=0
0, 0005
6
⇔ 100.1, 005n − 3.200. (1,005n − 1) = 0 ⇔ 500.1, 005n = 600 ⇔ n = log1,005 ≈ 36,55
5
Vậy 37 tháng thì anh Nam trả hết nợ.
Câu 43. [2D1-4] Người ta định xây dựng một trạm biến áp 110 Kv tại ô đất C cạnh đường quốc lộ
MN để cấp điện cho hai khu công nghiệp A và B như hình vẽ.
B
Hai khu công nghiệp A và B cách quốc lộ lần lượt
là AM = 3km , BN = 6km . Biết rằng quốc lộ MN có
độ dài 12km . Hỏi phải đặt trạm biến áp cách khu A
công nghiệp A bao nhiêu km để tổng chiều dài
đường dây cấp điện cho hai khu công nghiệp A và
N
M
B là ngắn nhất.
C
A. 3 5km .
B. 5km .
C. 3km .
D. 34km .

Hướng dẫn giải
0, 005

= 0 ⇔ 1000 (1 + 0, 005)

= 0.

Chọn B.

Gọi AC = x
Ta có: MC = x 2 − 9 ; CN = 12 − x 2 − 9

(12 −

2

) − 36 .
Khi đó: AC + CB == f ( x ) = x + (12 −
Khi đó BC =

x2 − 9

x2 − 9

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

2

) − 36
Trang 21/24 - Mã đề thi 485

Cập nhật đề thi mới nhất tại />x

f ′( x) =

2

x +9

f ′( x) = 0 ⇔

x − 12

+

2

x − 24 x + 180
x
x − 12
=−
2
2
x +9
x − 24 x + 180
2

⇔ x x 2 − 24 x + 180 = (12 − x ) x ⇔ x 2 ( x 2 − 24 x + 180 ) = (12 − x ) ( x 2 + 9 )

⇔ 27 x 2 + 216 x − 1296 = 0 ⇔ x = 12 (loại) và x = 4 (nhận)
Khi đó AC = 5 .
Câu 44. [2D4-3] Tìm môđun của số phức z biết z − 4 = (1 + i ) z − ( 4 + 3z ) i .
A. z = 1 .

B. z = 4 .

C. z = 2 .

D. z =

1
.
2

Hướng dẫn giải:
Chọn C

Ta có z − 4 = (1 + i ) z − ( 4 + 3z ) i ⇔ (1 + 3i ) z = ( z + 4 ) + ( z − 4 ) i
Lấy môđun hai vế, ta được (1 + 3i ) z = ( z + 4 ) + ( z − 4 ) i ⇔ z 10 =
2

2

2

2

2

( z + 4) + ( z − 4)

2

2

⇔ 10 z = ( z + 4 ) + ( z − 4 ) ⇔ 8 z = 32 ⇔ z = 4 ⇒ z = 2 .
Câu 45. [2H1-3] Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A′B ′C ′D ′ cạnh đáy bằng a ; góc giữa A′B và mặt
phẳng ( A′ACC ′ ) bằng 30° . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V = a3 3 .

C. V = a3 .

B. V = a 3 2 .

D. V = 2a3 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
B

Do ABCD. A′B ′C ′D ′ là hình lăng trụ tứ giác đều
nên ABCD, A′B′C ′D′ là hình vuông cạnh bằng a ,

C
I

A

D

và các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
30 0

Có BI ⊥ ( ACC ′A′) tại I . Hình chiếu của A′B lên
A′

mặt phẳng ( A′ACC ′ ) là A′I .

B′

C′
D′

Vậy góc giữa A′B và mặt phẳng ( A′ACC ′ ) bằng BA′I = 30° .
Có BI =

1
a 2
BD =
⇒ A′B = 2 BI = a 2 ⇒ A′A = a 2
2
2

Vậy thể tích của khố i lăng trụ đã cho là V = S ABCD . AA′ = a 3 .
1
. Tìm tất cả các giá trị thực của
( x − m ) log 2  x − 2 ( 2m − 1) x + 4m 2 
tham số m để hàm số đã cho xác định với mọ i x ∈ (1; +∞ ) .

Câu 46. [2D2-3] Cho hàm số y =

2

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 22/24 - Mã đề thi 485


Cập nhật đề thi mới nhất tại />A. m∈ ( −∞; 2 ) .

B. m ∈ ( −1;1] .

C. m ∈ ( −∞;1) .

D. m∈ ( −∞;1] .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Hàm số y =

1
xác định với ∀x ∈ (1; +∞ ) khi
( x − m ) log 2  x − 2 ( 2m − 1) x + 4m 2 
2

x − m ≠ 0
 2
2

 x − 2 ( 2m − 1) x + 4m > 0 ( lđ ) với ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇔ m ∉ (1; +∞ ) ⇔ m ≤ 1
 2
2
 x − 2 ( 2m − 1) x + 4m ≠ 1

(

)

Câu 47. [2D2-4] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ln x + x2 + 1 − mx có cực

trị.
A. m ∈ ( 0;1) .

B. m ∈ ( −∞;1) .

C. m ∈ ( 0;1] .

D. m∈ ( −∞; 0 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

(

)

y = ln x + x2 + 1 − mx
1

TXĐ: D = ( 0; +∞ ) . Ta có: y ′ =

x2 + 1

−m

Hàm số có cực trị thì y ′ = 0 có nghiệm và đổi dấu khi đi qua nghiệm đó ⇔ m =

1
x2 + 1

có

nghiệm và đổi dấu khi đi qua nghiệm đó
m > 0
m > 0


⇔ 2
1 ⇔  2 1 − m2 ⇔ 0 < m < 1 .
x
+
1
=

 x = m2
m

Câu 48. [2H1-3] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = 2a ,

SAB = SCB = 90° và góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( SBC ) bằng 30° . Tính thể tích
V của khối chóp đã cho.
A. V =

2 3a3
.
3

B. V =

4 3a3
.
9

C. V =

3a 3
.
3

D. V =

8 3a3
.
3

Hướng dẫn giải.
Chọn B.

Dựng hình vuông ABCD tâm O .

Do SAB = SCB = 900 nên hình chóp S . ABC nội tiếp mặt cầu tâm I đường kính SB .
S

Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC nên OI ⊥ ( ABC ) .

I

⇒ SD ⊥ ( ABCD ) .

K

Kẻ DK ⊥ SC

A

⇒ ( AB; ( SBC ) ) = ( DC; ( SAB ) ) = SCD = 30 .

B

0

O
D

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C

Trang 23/24 - Mã đề thi 485

Cập nhật đề thi mới nhất tại />SD = DC tan 300 =

2a
.
3

1 2a
4a 3 3
1
1
VSABC = VSABCD = .SD.S ABCD = . .4a 2 =
.
2
6
6 3
9
Câu 49. [2D4-4] Cho các số phức z1 = 1 + 3i , z2 = −5 − 3i . Tìm điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z3 ,

biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng x − 2 y + 1 = 0 và mô đun số
phức w = 3z3 − z2 − 2 z1 đạt giá trị nhỏ nhất.
 3 1
A. M  − ; −  .
 5 5

3 1
B. M  ; −  .
5 5

3 1
C. M  ;  .
5 5

 3 1
D. M  − ;  .
 5 5

Hướng dẫn giải:
Chọn D

Ta có điểm M ( x; y ) ∈ d : x − 2 y + 1 = 0 nên M ( 2 y − 1; y ) ⇒ z3 = 2 y − 1 + yi
Do đó w = 3 z3 − z 2 − 2 z1 = 3 ( 2 y − 1 + yi ) − ( −5 − 3i ) − 2 (1 + 3i ) = 6 y + ( 3 y − 3 ) i
2

2

2

1 4
4 6 5

= 3 5y2 − 2 y +1 = 3 5 y −  + ≥ 3
=
, ∀y ∈ ℝ
5 5
5
5


Suy ra w =

( 6 y ) + ( 3 y − 3)

Vậy min w =

6 5
1
 3 1
, dấu bằng xảy ra khi y = ⇒ M  − ;  .
5
5
 5 5

Câu 50. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A ( −1; 2;0 ) , B ( 2; −3; 2 ) . Gọi ( S )

là mặt cầu đường kính AB . Ax , By là hai tiếp tuyến với mặt cầu ( S ) và Ax ⊥ By . Gọi M ,
N lần lượt là điểm di động trên Ax , By sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với mặt cầu
( S ) . Tính giá trị của AM .BN .
A. AM .BN = 19 .

B. AM .BN = 24 .
C. AM .BN = 38 .
Hướng dẫn giải

D. AM .BN = 48 .

Chọn A.

N

Đặc biệt hóa bài toán như sau:
Dựng hình lập phương nhận A, B là tâm
của hình vuông của hai mặt đối diện.
Chọn tia Ax, By và M , N như hình vẽ.

AM = BN =

y

B

AB 2 AB
=
.
2
2

AB 2 38
Suy ra: AM .BN =
=
= 19 .
2
2

A
M

x

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 24/24 - Mã đề thi 485