Đề thi thử Môn Toán 2017 ở Trường KHTN lần 5

Cập nhật đề thi mới nhất tại />
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN

KÌ THI THỬ THPT QUỐC GIA – LẦN 5
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Mã đề thi 102

Họ, tên:...............................................................Số báo danh:...........................

 x 2 y −1 = 5
2
2
Giả sử ( x; y ) là nghiệm của hệ  2
thì giá trị x + y bằng
y +2
= 125
 x
2

Câu 1:

A. 26 .
Câu 2:

Nguyên hàm

x2 + 1

(

2+ 3

12

)

.

B.

224

(

2− 3

12

)

)

1 + x2
+C .
x2

24

bằng
226

C.

.

B. 4 .

(

2− 3

12

)

.

C. 6 .

B. A ( −3; −17; 2 ) .

Cho số phức z = 1 + i , môđun số phức z0 =

3.

B.

D.

226

(

2+ 3

12

)

.

D. 3 .

)

Nghiệm của bất phương trình

C. A ( 3; 17; − 2 ) .

C. 1 + 2 .

(

5+2

)

x −1

≥

D. A ( 3; − 2; 5 ) .

2z + z2
bằng.
z z + 2z

2.

A. −2 ≤ x < −1 hoặc x ≥ 1 .
C. −2 < x < 1 .
Câu 8:

D.

(

A.
Câu 7:

C. x 2 1 + x 2 + C .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho vectơ AO = 3 i + 4 j − 2k + 5 j .Tìm tọa độ của điểm A .
A. A ( 3; 5; − 2 ) .

Câu 6:

D. 25 .

Giá trị của A = log 2 3.log 3 4.log 4 5...log 63 64 bằng
A. 5 .

Câu 5:

B. x 1 + x 2 + C .

(

224

C. 20 .

dx bằng

Giá trị của biểu thức z = 1 + i 7 − 4 3
A.

Câu 4:

∫

2x2 + 1

1 + x2
+C .
x

A.

Câu 3:

B. 30 .

(

5−2

)

x −1
x +1

D. 1.

là.

B. x ≥ 1 .
D. −3 ≤ x < −1 .

Cho hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) lần lượt chứa trong hai mặt phẳng phân biệt ( P ) , ( Q ) . ( C1 ) ,

( C2 ) có hai điểm chung

A , B . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có thể đi qua ( C1 ) và ( C2 ) ?

A. Có đúng 2 mặt cầu phân biệt.
B. Có duy nhất 1 mặt cầu.
C. Có 2 hoặc 3 mặt cầu phân biệt tùy thuộc vào vị trí của ( P ) , ( Q ) .
D. Không có mặt cầu nào.

Câu 9:

Một mặt cầu ( S ) có độ dài bán kính bằng 2a . Tính diện tích Smc của mặt cầu ( S ) .
A. S mc = 4a 2π .

B. S mc =

16π 2
a .
3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. S mc = 8a 2π .

D. S mc = 16a 2π .

Trang 1/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 6 x + 6 64 − x bằng
A.

6

C. 2 .

B. 1 + 6 65 .

3 + 6 61 .

D. 2 6 32 .

Câu 11: Biế t rằ ng môṭ hıǹ h đa diêṇ H có 6 măṭ là 6 tam giá c đề u. Hãy chı̉ ra mênh
̣ đề nà o dưới đây là
đú ng?
A. Không tồ n taị hıǹ h H nà o có măṭ phẳ ng đố i xứng.
B. Có tồ n taị môṭ hıǹ h H có đú ng 4 măṭ đố i xứng.
C. Không tồ n taị hıǹ h H nà o có đú ng 5 đın̉ h.
D. Có tồ n taị môṭ hıǹ h H có hai tâm đố i xứng phân biêt.̣
Câu 12: Nghiệm phức của phương trình
A.

2
+ 3i .
3

B.

1 2 2 + 3i
+ =
là
2
z z
z

2
− 3i .
3

C.

1
− 2i .
3

D.

1
+ 2i .
3

x = 1+ t

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y = 2 − t ( t ∈ ℝ ) và mặt phẳng
 z = 1 + 2t


( P ) : x + 3 y + z + 1 = 0 . Trong các khẳng định sau, tìm khẳng định đúng
A. d ⊥ ( P ) .
B. d ⊂ ( P ) .
C. d // ( P ) .
D. d cắt ( P ) nhưng không vuông góc.
x2 + x − 2
. Điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận
x−2
một tam giác có chu vi nhỏ nhất thì có hoành độ bằng

Câu 14: Cho hàm số y =

A. 2 ± 4 10 .

B. 2 ± 4 6 .

C. 2 ± 4 12 .

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

( P ) : x + 2 y − z + 5 = 0 . Tìm tọa độ giao điểm M
A. M ( −1;0;4 ) .

B. M (1;0; −4 ) .

D. 2 ± 4 8 .
x + 3 y +1 z − 3
=
=
và mặt phẳng
2
1
1

của đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) .

 7 5 17 
C. M  ; ;  .
3 3 3 

D. M ( −5; −2; 2 ) .

Câu 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A (1;2; 4 ) , B (1; 3; 5 ) , C (1; − 2;3) . Trọng tâm

G của tam giác ABC có toạ độ là
A. G ( 4;4;1) .

B. G ( 4;1;1) .

D. G (1;4;1) .

C. G (1;1;4 ) .
2

Câu 17: Với z1 , z2 là hai số phức bất kỳ, giá trị của biểu thức a =
A. a = 2 .

B. a =

1
.
2

z1 + z2
2

2

z1 + z2 + z1 − z2

C. a = 1 .

2

bằng

D. a =

3
.
2

10

Câu 18:

( x − 2)
Nguyên hàm ∫
dx
12
( x + 1)
11

1  x−2
A. − 
 +C .
11  x + 1 

bằng
11

1 x−2
B. 
 +C .
3  x +1 

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

11

1  x−2
C. 
 +C .
11  x + 1 

11

1  x−2
D.

 +C .
33  x + 1 
Trang 2/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Câu 19: Nguyên hàm

sin 4 x

∫ sin x + cos x dx

bằng

A. −

2
3π 
π


cos  3 x +
 − 2 cos  x +  + C .
3

4 

4

B. −

2
3π 
π


sin  3x +
 − 2 sin  x +  + C .
3

4 


4

C. −

2
3π

sin  3 x +
3

4

D. −

2
3π

sin  3 x +
3

4

Câu 20: Nguyên hàm

π


 + 2 sin  x +  + C .



4

π


 + 2 cos  x +  + C .


4

dx

∫ 2 tan x + 1 bằng

x 2
+ ln 2sin x + cos x + C .
5 5
x 1
C. − ln 2sin x + cos x + C .
5 5

2x 1
− ln 2sin x + cos x + C .
5 5
x 1
D. + ln 2sin x + cos x + C .
5 5

A.

B.

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

x −1 y − 2 z − 3
=
=
và
−2
1
1

 x = 1 + kt

d2 :  y = t
. Tìm giá trị của k để d1 cắt d 2 .
 z = −1 + 2t


A. k = 0.

B. k = 1.

C. k = −1.

Câu 22: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x ) = ( x + 1) e x và

các hằng số thực. Khi đó
A. a + b = 0.

B. a + b = 3.

(

1
D. k = − .
2

∫ f ( x ) dx = ( ax + b ) e

x

+ c, với a, b, c là

C. a + b = 2.

D. a + b = 1.

C. ( − 1; 0).

D. [ − 1; 0).

)

Câu 23: Tập xác định của hàm số y = ln 1 − x + 1 là
A. [ − 1; 0].

B. [ − 1; + ∞).

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M ( −1; 1; 2 ) , N (1; 4; 3) , P ( 5; 10; 5 ) .

Khẳng định nào sau đây là sai?
A. M , N , P là ba đỉnh của một tam giác.
B. MN = 14.
C. Trung điểm của NP là I ( 3; 7; 4 ) .
D. Các điểm O, M , N , P cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng và ( P ) : −2 x + y + 5 z + 9 = 0 mặt cầu
2

2

( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 4 )
giữa ( P ) và ( Q ) .
A. 60°.

2

= 10 . Gọi ( Q ) là tiếp diện của ( S ) tại M ( 5; 0; 4 ) . Tính góc

B. 120°.

C. 30°.

D. 45°.

x 2 − m 2 + 2m + 1
. Tìm tập hợp các tham số m để hàm số đồng biến trên các
x−m
khoảng xác định của nó?
1

1
1
A. m < − .
B. m ≤ − .
C. m < −1 .
D. m < − .
3
2
4

Câu 26: Cho hàm số y =

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 3/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
2x

Câu 27: Hàm số y =

2

x +1

trên đoạn 0 ≤ x ≤ 1 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thỏa mãn đẳng

thức
4

4
A. ymax
+ ymin
= 1.

4
4
B. ymax
+ ymin
= 4.

4
4
C. ymax
+ ymin
= 16 .

4
4
D. ymax
+ ymin
=8.

1

1
 1+ 1
2
3log 2 2
2log 4 x

x
Câu 28: Kí hiệu f ( x ) =  x
+8
+ 1 − 1 . Giá trị của f ( f ( 2017 ) ) bằng




A. 2000 .
B. 1500 .
C. 2017 .
D. 1017 .

Câu 29: Với a, b > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + ab = 1 , giá trị nhỏ nhất của P = a 4 + b 4 bằng
A.

(

)

4

B. 2

2 +1 .

(

)

4

2 −1 .

C.

(

)

2 −1

4

D. 2

(

)

4

2 +1 .

x2 + x − 2
. Điểm trên đồ thị mà khoảng cách từ giao của hai tiệm cận đến tiếp
x−2
tuyến tại đó lớn nhất có hoành độ bằng

Câu 30: Cho hàm số y =

A. 1 ± 4 8 .

B. 3 ± 4 8 .

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ

C. 2 ± 4 6 .

Oxyz ,

D. 2 ± 4 8 .

cho điểm

( P ) : 2 x + 2 y + z + 5 = 0. Viết phương trình mặt cầu ( S ) tâm
cầu ( S ) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 8π .

A (1; 2; −2 )

và mặt phẳng

A biết mặt phẳng ( P ) cắt mặt

2

2

2

B. ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 5 .

2

2

2

D. ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 16 .

A. ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 25 .
C. ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 9 .

2

2

2

2

2

2

Câu 32: Ký hiệu a = log 6 5 , b = log10 3 , khi đó giá trị của log 2 15 bằng
A.

2ab − a − b
.
1 − ab

B.

2ab + a + b
.
1 − ab

C.

ab + a + b
.
1 + ab

D.

ab + a − b
.
1 − ab

Câu 33: Cho hình lăng trụ ABC . A′B′C ′ có đáy là tam giác vuông tại A , AB = a , AC = a 2 . Biết rằng
góc giữa hai mặt phẳng ( AB′C ′ ) , ( ABC ) bằng 60° và hình chiếu A lên mặt phẳng ( A′B ′C ′ )

là trung điểm H của đoạn A′B′ . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHB′C ′ .
A. R =

a 86
.
2

B. R =

a 82
.
6

C. R =

a 68
.
2

D. R =

Câu 34: Căn bậc 2 của số phức 3 + 4i có phần thực dương là
A. 3 + 5i .
B. 3 + 2i .
C. 2 + i .

a 62
.
8

D. 2 + 3i .

Câu 35: Cho hàm số y = x 3 + 3 ( x + m )( mx − 1) + m3 + 2 . Khi hàm số có cực trị, giá trị của yC3 Đ + yC3 T bằng
A. 20 5 .

B. 64 .

Câu 36: Cho hàm số y = ( sin x )

cos x

C. 50 .

D. 30 2 .

, ta có:

1

1

 π  − 4 ln 2  1
A. y ′   = e 2 2  4 + 4 ln 2  .
4
 2 4 2

1

ln 2  1
1

4
π 
C. y ′   = e 2 2  4 + 4 ln 2  .
4
 2 4 2


TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

π  −
B. y ′   = e 2
4
π 
D. y ′   = e 2
4

1
2

1
2

ln 2

1
 1

+
ln 2  .

 2 2 2


1
 1

−

ln 2  .

 2 2 2

Trang 4/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Câu 37: Cho một khối lập phương biết rằng khi tăng độ dài cạnh của khố i lập phương thêm 2cm thì thể

tích của nó tăng thêm 152cm3 . Hỏi cạnh của khối lập phương đã cho bằng:
A. 5cm .

B. 6cm .

C. 4cm .

D. 3cm .

Câu 38: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh đáy 4 3 ( m ) . Biết mặt phẳng ( D′BC )

hợp với đáy một góc 60° . Thể tích khố i lăng trụ là:
A. 478m3 .

B. 648m3 .

C. 325 m3 .

D. 576 m3 .

Câu 39: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + mx + m , điểm A (1;3) và hai điểm cực đại, cực tiểu thẳng hàng ứng

với giá trị của tham số m bằng
A. m =

5
.
2

B. m = 2 .

C. m =

1
.
2

D. m = 3 .

Câu 40: Một hình hộp chữ nhật mà không phải hình lập phương thì có số trục đối xứng là:
A. Có đúng 4 trục đối xứng.
B. Có đúng 6 trục đối xứng.
C. Có đúng 3 trục đối xứng.
D. Có đúng 5 trục đối xứng.

x2 − 2 x + 3
Câu 41: Cho hàm số y =
, phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị là
3x + 1
1

x 7
x 7
x 1
A. y = 2 x + .
B. y = − .
C. y = + .
D. y = + .
3
3 9
3 9
3 9
Câu 42: Giả sử z1 , z 2 là 2 nghiệm phức của phương trình z 2 + (1 − 2i ) z − 1 − i = 0 . Khi đó z1 − z2 bằng
A. 3 .

B. 4 .

C. 2 .

D. 1 .

Câu 43: Một hình nón có bán kính đáy bằng 5a , độ dài đường sinh bằng 13a . Tính độ dài đường cao h
của hình nón:
A. h = 7 a 6 .
Câu 44: Nguyên hàm

B. h = 12a .

C. h = 17 a .

2 x3 + 1

∫ x ( x3 − 1) dx bằng

1
+C .
x
1
C. ln x − 2 + C .
x

1
+C .
x
1
D. ln x + 2 + C .
x

A. ln x 2 −

Câu 45:

B. ln x 2 +

(1 + 3i )
Mô đun của số phức z =
1+ i

A. 5 .

2

(1 − 3i )
+i

B. 3 5 .

Câu 46: Nguyên hàm

D. h = 8a .

∫

1− i

2

bằng
C. 1 + 2 2 .

D. 2 6 .

x2 − 1
bằng:
x ( x 2 + 1)

1
+C .
x

A. ln x −

1
+C .
x2

B. ln x −

C. ln x +

1
+C .
x

D. ln x 2 −

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

1
+C .
x
Trang 5/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Câu 47: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có AB = AC = 2a , BC = a , góc giữa BA′ và mp ( BCC ′B′ )

bằng 60°. Gọi M , N là trung điểm BB′ và AA′ . Điểm P nằm trên đoạn BC
1
BP = BC . Hỏi các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
4
A. MN ⊥ CP .

B. CM ⊥ AB .

C. CM ⊥ NP .

sao cho

D. CN ⊥ PM .

Câu 48: Kí hiệu a = log10 11 , b = log 9 10 , c = log11 12 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. b > c > a .
Câu 49: Nguyên hàm

B. a > b > c .

∫

C. a > c > b .

D. b > a > c .

x 2 sin x
dx bằng:
cos3 x

x2
− x tan x + ln cos x + C .
2cos2 x
x2
C.

− x tan x − ln cos x + C .
2cos2 x
A.

x2
+ x tan x − ln cos x + C .
2cos2 x
2
D.
+ x tan x + ln cos x + C .
cos2 x
B.

Câu 50: Cho hàm số y = x 3 + x 2 − 5 x + 1 , phương trình tiếp tuyến tại điểm trên đồ thị có hoành độ
x = 2 là:
A. y = 10 x + 9 .

B. y = 11x − 19 .

C. y = 11x + 10 .

D. y = 10 x + 8 .

----------HẾT----------

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 6/27 – Mã đề 102

Cập nhật đề thi mới nhất tại />
BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
A B A C B D A B D C B A C D A C B D B A A A D A A
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
B A C B D A B D C B A C D A C B D B A D C C D C B
HƯỚNG DẪN GIẢI

 x 2 y −1 = 5
2
2
Giả sử ( x; y ) là nghiệm của hệ  2
thì giá trị x + y bằng
y +2
= 125
 x
2

Câu 1:

A. 26 .

B. 30 .

C. 20 .

D. 25 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

x > 0
ĐK: 
y > 0

Nhận xét: do x 2 y

2

−1

= 5 nên x ≠ 1 .

2 y 2 −1
 x 2 y −1 = 5
 x 2 y −1 = 5
=5
 x
⇔ 2
⇔
 y2 +2

2
2
2
= 125  x y +2 = x 6 y −3
 y + 2 = 6 y − 3(do x ≠ 1)
 x
x = 5
⇔ 2
⇒ x 2 + y 2 = 26

y =1
2

Câu 2:

2

Nguyên hàm

∫

2x2 + 1
x2 + 1

1 + x2
+C .
x

A.

dx bằng
2

B. x 1 + x + C .

C. x

2

2

1+ x + C .

1 + x2
+C .
x2

D.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Kiểm tra ngược bài toán

x2

− 1 + x2
 1 + x2
′
2
−1
Xét A có 
+ C  = 1+ x 2
=
loại A .
2
2
 x

x

x 1+ x


′
Xét B có x 1 + x 2 + C = 1 + x 2 +

(

Câu 3:

)

(

Giá trị của biểu thức z = 1 + i 7 − 4 3
A.

224

(

2+ 3

12

)

.

B.

224

(

2− 3

12

)

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

x2
1 + x2

)
.

24

=

2x2 +1
1 + x2

chọn B .

bằng
C.

226

(

2− 3

12

)

.

D.

226

(

2+ 3

12

)

.

Trang 7/27 – Mã đề 102

Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Hướng dẫn giải
Chọn A.

(

Cách 1: z = 1 + i 7 − 4 3

(

)

24


=  1 + i


(2 − 3 )

(

)

1 + i 2 − 3 có môđun bằng 12 + 2 − 3
là ϕ sao cho cosϕ =
Lấy ϕ =

1
2 2− 3

, sin ϕ =

)

2

24


 = 1 + i 2 − 3


2

( (

))

24

.

= 1 + 4 + 3 − 4 3 = 2 2 − 3 , có một acgument

2− 3

.

2 2− 3


π 
 π 
thì 1 + i 2 − 3 = 2 2 − 3  cos   + i sin   
12
 12 
 12  


π

(

( (

⇒ 1+ i 2 − 3

(

= 2 2− 3

)

24

))

24

)


π
π 

=  2 2 − 3  cos + i sin  
12
12  



24

π 
π 



 cos  24. 12  + i sin  24. 12   = 2 2 − 3






(

)

24

(

= 2 24 2 − 3

12

)

=

224

(2 + 3)

(

Cách 2: Từ các đáp án suy ra z là 1 số thực dương. Suy ra z = z = 1 + i 7 − 4 3
24

(

z = 1+ i 7 − 4 3

Câu 4:

) (

= 2 2− 3

)

)

.

24

224

24

=

12

(

2+ 3

)

24

Giá trị của A = log 2 3.log 3 4.log 4 5...log 63 64 bằng
A. 5 .

B. 4 .

C. 6 .

D. 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Áp dụng công thức đổi cơ số, ta có
A = log 2 3.log 3 4.log 4 5...log 63 64 = log 2 4.log 4 5...log 63 64 = log 2 64 = log 2 26 = 6

Câu 5:

(

)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho vectơ AO = 3 i + 4 j − 2k + 5 j .Tìm tọa độ của điểm
A.
A. A ( 3; 5; − 2 ) .

B. A ( −3; −17; 2 ) .

C. A ( 3; 17; − 2 ) .

D. A ( 3; − 2; 5 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn B.

(

)

AO = 3 i + 4 j − 2k + 5 j ⇔ AO = 3i + 17 j − 2k ⇔ OA = −3i − 17 j + 2k ⇔ A ( −3; −17; 2 ) .
Câu 6:

Cho số phức z = 1 + i , môđun số phức z0 =
A.

3.

B.

2z + z2
bằng.
z z + 2z
C. 1 + 2 .

2.

D. 1.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 8/27 – Mã đề 102

Cập nhật đề thi mới nhất tại />2

2 (1 + i ) + (1 + i )
2 + 4i ( 2 + 4i )( 4 − 2i ) 4 3
Ta có z0 =
=
=
= + i.
(1 + i )(1 − i ) + 2 (1 + i ) 4 + 2i ( 4 + 2i )( 4 − 2i ) 5 5
2

2

 4  3
⇒ z0 =   +   = 1 .
5 5
Câu 7:

Nghiệm của bất phương trình

(

5+2

)

x −1

≥

(

5−2

A. −2 ≤ x < −1 hoặc x ≥ 1 .
C. −2 < x < 1 .

)

x −1
x +1

là.

B. x ≥ 1 .
D. −3 ≤ x < −1 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
ĐK: x ≠ −1

Ta có

(
Câu 8:

5+2

5−2=

)

x −1

≥

(

1
=
5+2
5+2

)

1− x
x +1

(

5+2

)

−1

.

1− x
x2 + x − 2

⇔
≥ 0 ⇔ x ∈ [ −2; −1) ∪ [1; + ∞ ) .
x +1
x +1

⇔ x −1 ≥

Cho hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) lần lượt chứa trong hai mặt phẳng phân biệt ( P ) , ( Q ) . ( C1 ) ,

( C2 ) có hai điểm chung

A , B . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có thể đi qua ( C1 ) và ( C2 ) ?

A. Có đúng 2 mặt cầu phân biệt.
B. Có duy nhất 1 mặt cầu.
C. Có 2 hoặc 3 mặt cầu phân biệt tùy thuộc vào vị trí của ( P ) , ( Q ) .
D. Không có mặt cầu nào.
Hướng dẫn giải
Chọn B.

M

I
N

A

B

Trên đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) lần lượt lấy M , N sao cho hai điểm này không trùng với A , B .

Khi đó 4 điểm A , B , M , N không đồng phẳng nên tạo thành tứ diện ABMN .
Mặt cầu ( S ) đi qua ( C1 ) và ( C2 ) khi đó mặt ( S ) đi qua A , B , M , N .
Do đó có duy nhất 1 mặt cầu.
Câu 9:

Một mặt cầu ( S ) có độ dài bán kính bằng 2a . Tính diện tích Smc của mặt cầu ( S ) .
A. S mc = 4a 2π .

B. S mc =

16π 2
a .
3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. S mc = 8a 2π .

D. S mc = 16a 2π .
Trang 9/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Hướng dẫn giải
Chọn D.
2

Ta có diện tích của mặt cầu là S mc = 4π R 2 = 4π ( 2a ) = 16π a 2 .
Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 6 x + 6 64 − x bằng
A.

6

C. 2 .

B. 1 + 6 65 .

3 + 6 61 .

D. 2 6 32 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Tập xác định của hàm số D = [ 0;64] .

Ta có y ′ =

1
6 6 x5

6

1

−
6

6

( 64 − x )

5

=

5

( 64 − x ) − 6 x5
5
6 6 x5 ( 64 − x )

⇒ y′ = 0 ⇔ x = 32∈ [ 0;64] .

Bảng biến thiên.

 x = 64
Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi 
x = 0
Câu 11: Biế t rằ ng môṭ hıǹ h đa diêṇ H có 6 măṭ là 6 tam giá c đề u. Hay
̣ đề nà o dưới đây là
̃ chı̉ ra mênh
đú ng?
A. Không tồ n taị hıǹ h H nà o có măṭ phẳ ng đố i xứng.
B. Có tồ n taị môṭ hıǹ h H có đú ng 4 măṭ đố i xứng.
C. Không tồ n taị hıǹ h H nà o có đú ng 5 đın̉ h.
D. Có tồ n taị môṭ hıǹ h H có hai tâm đố i xứng phân biêt.̣
Hướng dẫn giải
Cho ̣n B.
A

B

D
C

E
Luôn tồ n taị hıǹ h đa diêṇ H có 4 măṭ phẳ ng đố i xứng và
có đú ng 5 đın̉ h, H không có tâm đố i xứng.

Câu 12: Nghiệm phức của phương trình

1 2 2 + 3i
+ =
là
2
z z
z

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 10/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
A.

2
+ 3i .
3

B.

2
− 3i .
3

C.

1
− 2i .
3

D.

1
+ 2i .
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.
1 2 2 + 3i
+ =
⇔ z + 2 z = 2 + 3i
2
z z
z

Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) .
2


3 x = 2
x =
⇔
Phương trình có dạng x − yi + 2 ( x + yi ) = 2 + 3i ⇔ 3 x + yi = 2 + 3i ⇔ 
3
y = 3
 y = 3
2
Vậy nghiệm của phương trình là z = + 3i .
3
x = 1+ t

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y = 2 − t ( t ∈ ℝ ) và mặt phẳng
 z = 1 + 2t


( P ) : x + 3 y + z + 1 = 0 . Trong các khẳng định sau, tìm khẳng định đúng
A. d ⊥ ( P ) .
B. d ⊂ ( P ) .
C. d // ( P ) .
D. d cắt ( P ) nhưng không vuông góc.
Hướng dẫn giải
Chọn C.

VTCP của đường thẳng d là u = (1; −1; 2 )
VTPT của mặt phẳng ( P ) là n = (1;3;1)
Ta có: n.u = 1 − 3 + 2 = 0
d / / ( P )
Suy ra 
(1) .

 d ⊂ ( P )
Mặt khác :Lấy A (1;2;1)∈ d thay vào ptmp ( P ) thấy không thỏa mãn ( 2 )
Từ (1) và ( 2 ) có d // ( P )
x2 + x − 2
. Điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận
x−2
một tam giác có chu vi nhỏ nhất thì có hoành độ bằng

Câu 14: Cho hàm số y =

A. 2 ± 4 10 .

B. 2 ± 4 6 .

C. 2 ± 4 12 .

D. 2 ± 4 8 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Tập xác định D = ℝ \ {2}
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2 ⇔ x − 2 = 0
Gọi tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có dạng y = ax + b

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 11/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />

Khi đó a = lim

f ( x)
x

x →±∞

 1 2 
 1 2 
x 2 1 + − 2 
1 + − 2 
x x 
x +x−2
x x 

= lim
= lim 
=1
= lim
x
→±∞
x →±∞
x →±∞ x ( x − 2 )
2 
2

2 
x 1 − 2 
1 − 2 
x 

x 


2

 x2 + x − 2

3x − 2
b = lim  f ( x ) − ax  = lim 
− x  = lim
=3
x →±∞
x →±∞
 x−2
 x→±∞ x − 2
Vậy tiệm cận xiên: y = x + 3 .
Gọi M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số.
y=

x2 + x − 2
x2 − 4 x
⇒ y′ =
2
x−2
( x − 2)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M ( x0 ; y0 ) là
y = y ′ ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇔ y =

x02 − 4 x0

( x0 − 2 )

x − x0 ) +
2 (

x02 + x0 − 2
x0 − 2

 5x − 2 
Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng ⇒ A  2; 0

 x0 − 2 

Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận xiên ⇒ B ( 2 x0 − 2; 2 x 0 + 1)
Giao của hai tiệm cận I ( 2;5)
Ta có IA =

8
, IB = 2 2 x0 − 2
x0 − 2

 2 x 2 − 8 x0 
AB = ( 2 x0 − 4 ) +  0

 x0 − 2 

2

2


8 
AB = ( 2 x0 − 4 ) + ( 2 x0 − 4 ) −

x0 − 2 


2

2

2

AB = 2 ( 2 x0 − 4 ) +

64

( x0 − 2)

2

− 32

Chu vi
2

 8 
8
2

P = IA + AB + IB =
+ 2 2 x0 − 2 + 2 ( 2 x0 − 4 ) + 
 − 32 ≥ 8 2 + 2 32 2 − 32
x0 − 2
x
−
2
 0

 8
 x − 2 = 2 2 x0 − 2
 0
Dấu bằng xảy ra khi 
⇔ x = 2± 4 8
64
2
2 ( 2 x0 − 4 ) =
2

( x0 − 2 )

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

( P ) : x + 2 y − z + 5 = 0 . Tìm tọa độ giao điểm
A. M ( −1;0;4 ) .

B. M (1;0; −4 ) .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

x + 3 y +1 z − 3
=
=
và mặt phẳng
2
1
1

M của đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) .

 7 5 17 
C. M  ; ;  .
3 3 3 

D. M ( −5; −2; 2 ) .

Trang 12/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Hướng dẫn giải
Chọn A.
 x + 3 y +1 z − 3
=
=

Xét hệ  2
1
1
 x + 2 y − z + 5 = 0

 x + 3 y +1
 2 = 1
 x = −1
 x − 2 y = −1


x +3 z −3

⇔  y = 0 ⇒ M ( −1;0; 4 )
⇔
=
⇔  x − 2 z = −9
1
z = 4
 2

 x + 2 y − z = −5

x + 2 y − z + 5 = 0


Câu 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A (1;2; 4 ) , B (1; 3; 5 ) , C (1; − 2;3) . Trọng tâm

G của tam giác ABC có toạ độ là
A. G ( 4;4;1) .

B. G ( 4;1;1) .

D. G (1;4;1) .

C. G (1;1;4 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

 1+1+1 2 + 3 − 2 4 + 5 + 3 
Áp dụng công thức tính toạ độ trọng tâm của tam giác được G 
;
;
.
3
3
 3

Vậy G (1;1; 4 )
2

Câu 17: Với z1 , z2 là hai số phức bất kỳ, giá trị của biểu thức a =
A. a = 2 .

B. a =

1
.
2

z1 + z2
2

2

z1 + z2 + z1 − z2

C. a = 1 .

2

bằng

D. a =

3
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i , ( a1 ; a2 ; b1 ; b2 ∈ ℝ )
2

2

* Ta có z1 + z2 = a12 + b12 + a22 + b22 ;
2

2

2

2

2

2

z1 + z2 = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) = a12 + 2a1a2 + a22 + b12 + 2b1b2 + b22
z1 − z 2 = ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) = a12 − 2a1a2 + a22 + b12 − 2b1b2 + b22
2

2

* Suy ra z1 + z2 + z1 − z2 = 2 ( a12 + b12 + a22 + b22 )
Vậy biểu thức a =

1
2
10

Câu 18: Nguyên hàm

( x − 2)
∫ ( x + 1)12 dx
11

1  x−2
A. − 
 +C .
11  x + 1 

bằng

11

1 x−2
B. 
 +C .
3  x +1 

11

1  x−2
C. 
 +C .
11  x + 1 

11

1  x−2
D.

 +C .
33  x + 1 

Hướng dẫn giải
Chọn D.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 13/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />10

10
( x − 2)
dx
 x−2
Biến đổ i ∫
dx = ∫ 
 .
12
 x + 1  ( x + 1) 2
( x + 1)

Đặt t =

x−2
3
dx
dt
⇒ dt =
dx ⇒
=
2
2
x +1
( x + 1)
( x + 1) 3
11

1  x−2
1

1
Do đó I = ∫ t10dt = t11 + C = 
 +C
3
33
33  x + 1 
Câu 19: Nguyên hàm

sin 4 x

∫ sin x + cos x dx

bằng

A. −

2
3π 
π


cos  3 x +
 − 2 cos  x +  + C .
3

4 

4

B. −

2
3π 
π


sin  3x +
 − 2 sin  x +  + C .
3

4 

4

C. −

2
3π 
π


sin  3 x +
 + 2 sin  x +  + C .
3

4 

4

D. −

2
3π 
π


sin  3 x +
 + 2 cos  x +  + C .
3

4 

4

Hướng dẫn giải
Chọn B.
2sin 2 x.cos 2 x
I =∫
dx
( s inx + cos x )

I = ∫ 2sin 2 x ( cos x − sin x ) dx
I = ∫ 4sin x cos x ( cos x − sin x ) dx
I = ∫ 4sin x cos 2 x dx − ∫ 4 cos x sin 2 x dx = −4 ∫ cos 2 x d ( cos x ) − 4∫ sin 2 x d ( sin x )
−4
−4
− cos 3 x − 3cos x sin 3 x − 3sin x
cos 3 x − sin 3 x + C =
+
+C

3
3
3
3
1
I = ( sin 3x − cos3 x ) − ( sinx + cos x ) + C
3
I=

I=
I=

2
π
π


sin  3 x −  − 2 sin  x +  + C
3
4
4


− 2 
3π
sin  3x +
3
4


Câu 20: Nguyên hàm

π


 − 2 sin  x +  + C
4



dx

∫ 2 tan x + 1 bằng

x 2
+ ln 2sin x + cos x + C .
5 5
x 1
C. − ln 2sin x + cos x + C .
5 5

2x 1
− ln 2sin x + cos x + C .
5 5
x 1
D. + ln 2sin x + cos x + C .
5 5

A.

B.

Hướng dẫn giải
Chọn A.

1
2
( 2sin x + cos x ) + ( 2 cos x − s inx )
dx
cos x
5
Biến đổ i I = ∫
=∫
dx = ∫ 5
dx
2 tan x + 1
2 sin x + cos x
2sin x + cos x
1
2 d ( 2sin x + cos x )
I = ∫ dx + ∫
5
5
2sin x + cos x
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 14/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />

2
1
I = ln 2sin x + cos x + x + C
5
5

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

x −1 y − 2 z − 3
=
=
và
1
−2
1

 x = 1 + kt

d2 :  y = t
. Tìm giá trị của k để d1 cắt d 2 .
 z = −1 + 2t


A. k = 0.

B. k = 1.

C. k = −1.

1

D. k = − .
2

Hướng dẫn giải
Chọn A
1 + m = 1 + kt (1)
M ∈ d1 ⇒ M (1 + m; 2 − 2m;3 + m )
(*) 
Giả sử M = d1 ∩ d 2 ⇒ 
→ 2 − 2m = t ( 2 )
M ∈ d 2 ( *)

3 + m = −1 + 2t ( 3)
m = 0 (1)
→ k = 0 .
( 2 ) , ( 3) ⇒ 
t = 2

Câu 22: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x ) = ( x + 1) e x và

các hằng số thực. Khi đó
A. a + b = 0.
B. a + b = 3.

∫ f ( x ) dx = ( ax + b ) e

C. a + b = 2.

x

+ c, với a, b, c là

D. a + b = 1.

Hướng dẫn giải
Chọn A

′
x
( a x + b ) e + C  = f ( x )
′
Theo giả thiết: 
⇒ ( a x + b ) e x + C ′ = ( x + 1) e x
 f ′ ( x ) = ( x + 1) e x


′
x
x
( a x + b ) e + C  = ( a + ax + b ) e
Mặt khác: 
( a x + b ) e x + C ′′ = ( 2a + ax + b ) e x


Do đó : ( 2a + a x + b ) e x = ( x + 1) e x
a = 1
.Vậy
⇔
 2a + b = 1

a = 1
⇒ a+b=0

b = −1

(

)

Câu 23: Tập xác định của hàm số y = ln 1 − x + 1 là
A. [ − 1; 0].

B. [ − 1; + ∞).

C. ( − 1; 0).

D. [ − 1; 0).

Hướng dẫn giải
Chọn D

 x + 1 < 1  x < 0
1 − x + 1 > 0
Điều kiện: 
⇔
⇔
⇒ D = [ −1; 0 ) .
 x + 1 ≥ 0
 x ≥ −1
 x ≥ −1

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm M ( −1; 1; 2 ) , N (1; 4; 3) , P ( 5; 10; 5 ) .

Khẳng định nào sau đây là sai?
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 15/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
A. M , N , P là ba đỉnh của một tam giác.
B. MN = 14.
C. Trung điểm của NP là I ( 3; 7; 4 ) .
D. Các điểm O, M , N , P cùng thuộc một mặt phẳng.
Hướng dẫn giải
Chọn A

Ta có MN = ( 2;3;1) , MP = ( 6;9;3) = 3 ( 2;3;1)
Dễ thấy MN , MP cùng phương. Suy ra M , N , P thẳng hàng nên A sai.
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng và ( P ) : −2 x + y + 5 z + 9 = 0 mặt cầu
2

2

( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 4 )
giữa ( P ) và ( Q ) .
A. 60°.

2

= 10 . Gọi ( Q ) là tiếp diện của ( S ) tại M ( 5; 0; 4 ) . Tính góc

B. 120°.

C. 30°.

D. 45°.

Hướng dẫn giải
Chọn A.

(

Mặt phẳng ( P ) có VTPT là nP = −2;1; 5

)

Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −1; 4 ) , R = 10 . Suy ra ( Q ) nhận IM = ( 3;1;0 ) làm VTPT.
Gọi α góc giữa ( P ) và ( Q ) .Khi đó : cos α =

IM .nP
IM . nP

=

−6 + 1
10. 10

=

1

⇒ α = 60°.
2

x 2 − m 2 + 2m + 1
. Tìm tập hợp các tham số m để hàm số đồng biến trên các
x−m
khoảng xác định của nó?
1
1
1
A. m < − .
B. m ≤ − .
C. m < −1 .
D. m < − .
3
2
4

Câu 26: Cho hàm số y =

Hướng dẫn giải
Chọn B.
TXĐ: D = R \ {m}

Ta có y ′ =

x 2 − 2mx + m2 − 2m − 1

( x − m)

2

.

Để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định thì
y ′ ≥ 0; ∀x ∈ D ⇔ 2 x 2 + 4 x + 2 − m ≥ 0; ∀x ∈ D (Dấu '' = '' chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên D )

⇔ x 2 − 2mx + m 2 − 2m − 1 ≥ 0 , ∀x ≠ m (Dấu '' = '' chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên D )
a = 1 > 0
1
ĐK: 
⇔ m2 − ( m2 − 2m − 1) ≤ 0 ⇔ 2m + 1 ≤ 0 ⇔ m ≤ − .
2
∆′ ≤ 0
Câu 27: Hàm số y =

2x
x2 + 1

thức
4
4
A. ymax
+ ymin
= 1.

trên đoạn 0 ≤ x ≤ 1 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thỏa mãn đẳng

4
4

B. ymax
+ ymin
= 4.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

4
4
C. ymax
+ ymin
= 16 .

4
4
D. ymax
+ ymin
=8.

Trang 16/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Hướng dẫn giải
Chọn A.
y=

2x

, y′ =

2

x +1

2

> 0 ∀x

x + 1 ( x 2 + 1)
2

min y ( x ) = y ( 0 ) = 0 ; max y = y (1) = 1 ⇒ y 4 max + y 4 min = 1 .
x∈[0;1]

x∈[0;1]

1

1
 1+ 1
2
3log 2 2
2log 4 x
x
Câu 28: Kí hiệu f ( x ) =  x
+8
+ 1 − 1 . Giá trị của f ( f ( 2017 ) ) bằng





A. 2000 .
B. 1500 .
C. 2017 .
D. 1017 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Điều kiện: 1 ≠ x > 0
1

1

1
1
2
 1+ 1
2
 log1 x
2
2
3log 2 2
2
2log 4 x
log x 2
log x 2
log 2 x


x

2
f ( x) =  x
+8
+ 1 − 1 =  x.x
+2
+ 1 − 1 =  x.x
+ (2
+ 1 − 1
)











1

= ( x.2 + x 2 + 1) 2 − 1 = ( x + 1)

2.

1
2

−1 = x

Suy ra f ( 2017 ) = 2017 ⇒ f ( f ( 2017 ) ) = 2017 .
Câu 29: Với a, b > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + ab = 1 , giá trị nhỏ nhất của P = a 4 + b 4 bằng
A.

(

)

4

B. 2

2 +1 .

(

)

4

C.

2 −1 .

(

)

2 −1

4

D. 2

(

)

4

2 +1 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
2

2

2
2
2
P = a 4 + b 4 = ( a 2 + b 2 ) − 2 ( a.b ) = ( a + b ) − 2ab  − 2 ( ab )


2

2
2
⇒ P = (1 − ab ) − 2ab  − 2 ( ab ) = (1 − 4 x + x 2 ) − 2 x 2 với ab = x




Ta có : a + b = 1 − ab ≥ 2 ab ⇒ x + 2 x − 1 ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 − 1 ⇒ 0 ≤ x ≤ 3 − 2 2
⇒ P = x 4 + 16 x 2 + 1 + 2 x 2 − 8 x 3 − 8 x − 2 x 2 = x 4 − 8 x3 + 16 x 2 − 8 x + 1; x ∈ 0;3 − 2 2 
P′ = 4 x 3 − 24 x 2 + 32 x − 1
Bảng biến thiên
x
0
3− 2 2
P'

−

P

(

) (

min P = P 3 − 2 2 = 2

)

4

2 −1 .

x2 + x − 2
. Điểm trên đồ thị mà khoảng cách từ giao của hai tiệm cận đến tiếp

x−2
tuyến tại đó lớn nhất có hoành độ bằng

Câu 30: Cho hàm số y =

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 17/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
A. 1 ± 4 8 .

B. 3 ± 4 8 .

C. 2 ± 4 6 .

D. 2 ± 4 8 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
x2 + x − 2
4
y=
= x +3+
x−2
x−2
Hàm số có hai đường tiệm cận đứng và xiên lần lượt có phương trình là
x = 2 và y = x + 3 ⇒ Tọa độ giao điểm của hai tiệm cận là điểm I ( 2;5) .
 a2 + a − 2 

Gọi M  a;
 là tiếp điểm của đồ thị hàm số và tiếp tuyến ( d )
a−2 


Tiếp tuyến ( d ) tại: y = y ′ ( a )( x − a ) +

a2 + a − 2
a−2

2

⇔ ( a 2 − 4a ) x − ( a − 2 ) y + 3a 2 − 4a + 4 = 0 ( ∆ )
8 a−2

d ( A; ∆ ) =

(a

2

2

− 4a ) + ( a − 2 )

4

8 a−2

=

2

 a ( a − 4 )  + ( a − 2 )

4

Đặt a − 2 = t
8t

⇒ d ( A; ∆ ) =

( t + 2 )( t − 2 )  + t 4

=

8t
2t 4 − 8t 2 + 16

=

8
2

t2
t 4 − 8t 2 + 16

t2
max
t 4 − 8t 2 + 16

t = 0
=0⇔ 
4
t = ± 8

Để d ( A; ∆ ) max thì f ( t ) =
f ′(t ) =

−2t 5 + 16t

(t

4

− 8t 2 + 16 )

2

Bảng biến thiên

t

−∞

f ′(t )

0

−4 8
+

0

−

4

0

+

CĐ

+∞

8

0

−

CĐ

f (t )

CT

−∞

−∞

Suy ra f ( t ) max tại t = ± 4 8 ⇒ a − 2 = ± 4 8 ⇔ a = 2 ± 4 8 .
Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz,

cho điểm

( P ) : 2 x + 2 y + z + 5 = 0. Viết phương trình mặt cầu ( S ) tâm
cầu ( S ) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 8π .

A (1; 2; −2 )

và mặt phẳng

A biết mặt phẳng ( P ) cắt mặt

2

2

2

B. ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 5 .

2

2

2

D. ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 16 .

A. ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 25 .
C. ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 9 .

2

2

2

2

2

2

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi I là tâm đường tròn ( C ) , khi đó IA ⊥ ( P ) ⇒ IA = d ( A; ( P ) ) = 3.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 18/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Đường tròn ( C ) có chu vi bằng 8π . Do đó: 2π r = 8π ⇒ r = 4.

Gọi R là bán kính mặt cầu ( S ) ⇒ R = r 2 + IA2 = 42 + 32 = 5 .

2

2

2

Vậy phương trình mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 25.
Câu 32: Ký hiệu a = log 6 5 , b = log10 3 , khi đó giá trị của log 2 15 bằng
A.

2ab − a − b
.
1 − ab

B.

2ab + a + b
.
1 − ab

C.

ab + a + b
.
1 + ab

D.

ab + a − b
.

1 − ab

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: A = log 2 15 = log 2 3 + log 2 5.
log 2 5 = log 2 6.log 6 5 = (1 + log 2 3) a ⇒ a.log 2 3 − log 2 5 = − a (1) .
log 2 3 = log 2 10.log10 3 = (1 + log 2 5 ) b ⇒ log 2 3 − b.log 2 5 = b ( 2 )
ab + a
ab + b
và log 2 3 =
.
1 − ab
1 − ab
2ab + a + b
Do đó: log 2 15 = log 2 3 + log 2 5 =
.
1 − ab

Từ (1) và ( 2 ) , ta có: log 2 5 =

Câu 33: Cho hình lăng trụ ABC . A′B′C ′ có đáy là tam giác vuông tại A , AB = a , AC = a 2 . Biết rằng
góc giữa hai mặt phẳng ( AB′C ′ ) , ( ABC ) bằng 60° và hình chiếu A lên mặt phẳng ( A′B′C ′ )

là trung điểm H của đoạn A′B′ . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHB′C ′ .
A. R =

a 86
.
2

B. R =

a 82
.
6

C. R =

a 68
.
2

D. R =

a 62
.
8

Hướng dẫn giải
Chọn D.
B

C

M

A

K
B'

3a

a

H

2

C'
a 2

A'

Kẻ HK ⊥ B′C ′ ( K ∈ B′C ′).
a
B′H . A′C ′ 2 a 2 a 6
HK
B′H
Vì ∆B′KH ∆B′A′C ′ ⇒
=
⇒ HK =
=
=
A′C ′ B ′C ′
B′C ′
6
a 3
Ta có B′C ′ ⊥ ( AHK ) ⇒ ( AHK ) ⊥ ( AB′C ′ ) mà AH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( AHK ) ⊥ ( ABC )
 AM = ( AHK ) ∩ ( ABC )

Kẻ AM / / HK (M ∈ BC ) ⇒ 
⇒ ( ( ABC ) ; ( AB′C ′ ) ) = MAK = 60°
 AK = ( AHK ) ∩ ( AB′C ′ )
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 19/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
HK
a 2
.
=
tan 30°
2
Gọi D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B′HC ′
⇒ HAK = 30° ⇒ AH =

⇒ HD = B′D = C ′D = R =

B′C ′
B′C ′
B′C ′
a 3
3a 6
=
=
=
=
.

′
′
AC
8
a 2
2sin B′HC ′ 2sin 180° − C ′HA′
2
2.
HC ′
1, 5a

(

)

2

a 62
 AH 
2
Do đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp AB′HC ′ là: IA = IB′ = IH = IC ′ = 
.
 +R =
8
 2 
Câu 34: Căn bậc 2 của số phức 3 + 4i có phần thực dương là
A. 3 + 5i .
B. 3 + 2i .
C. 2 + i .

D. 2 + 3i .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Cách 1: Dùng máy tính thử kết quả.
Cách 2: Tự luận.
Gọi z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) là căn bậc hai của số phức w = 3 + 4i .

 2 4
a − 2 = 3 a 4 − 3a 2 − 4 = 0 a 2 = 4
a − b = 3 
2


a
Khi đó: ( a + bi ) = 3 + 4i ⇔ 
⇔
⇔
⇔
2
2
2ab = 4
b = 2
b = a
b = a



a
Do số phức cần tìm có phần thực dương nên a = 2 ⇒ b = 1

Vậy z = 2 + i.
2

2

 z = 2 + i ( n)
2
Cách 3:Ta có z 2 = 3 + 4i = ( 2 + i ) Suy ra: 
 z = −2 − i ( l )
Câu 35: Cho hàm số y = x 3 + 3 ( x + m )( mx − 1) + m3 + 2 . Khi hàm số có cực trị, giá trị của yC3 Đ + yC3 T bằng
A. 20 5 .

B. 64 .

C. 50 .

D. 30 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Ta có: y = x 3 + 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x + m3 − 3m + 2 ⇒ y′ = 3 x 2 + 6mx + 3m 2 − 3
 x = − m + 1 ⇒ y ( − m + 1) = 0
y ′ = 0 ⇔ 3x 2 + 6mx + 3m 2 − 3 = 0 (∆′ = 9) ⇔ 
 x = − m − 1 ⇒ y ( − m − 1) = 4
3
Do đó: yC3 Đ + yCT
= 64 .

Câu 36: Cho hàm số y = ( sin x )

cos x

, ta có:

1

1

 π  − 4 ln 2  1
A. y ′   = e 2 2  4 + 4 ln 2  .
4
 2 4 2

1

ln 2  1
1

4
π 
C. y ′   = e 2 2  4 + 4 ln 2  .
4
 2 4 2


π  −
B. y ′   = e 2
4
π 

D. y ′   = e 2
4

1
2

1
2

ln 2

1
 1

+
ln 2  .

 2 2 2


1
 1

−
ln 2  .

 2 2 2


Hướng dẫn giải

Chọn A.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 20/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Cách 1:

Logarit Nepe hai vế của hàm số y = ( sin x )

(

ln y = ln ( sin x )

cos x

)=

cos x

, ta có:

cos x .ln ( sin x )

Tiếp tục đạo hàm hai vế, ta được:

( ln y )′ = (

y ′ − sin x

cos x
′
cos x .ln ( sin x ) ⇔ =
.ln ( sin x ) + cos x .
y 2 cos x
sin x

)

Suy ra y ′ = ( sin x )

cos x

 cos x cos x sin x.ln ( sin x ) 
−


sin x
2 cos x 



π 
π 
π    π  
cos   . cos   sin   .ln  sin    

 π    π  4 
4
4

 4    4  
Vậy y ′   = sin   
(Đáp án A)
.
−


π 
 4    4 
π


sin  

2 cos  

4
4


Chú ý: Nếu giải bài toán theo cách trên thì rất phức tạp và mất thời gian với hình thức thi trắc
nghiệm. Ta có một cách giải nhanh hơn, hiệu quả hơn nhờ tính năng “Tính đạo hàm tại một
điểm” của máy tính cầm tay CASIO.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay CASIO:
– Trước hết, ta thấy do bài toán liên quan đến hàm lượng giác, nên ta cần đổi đơn vị góc sang
cos

π

Radian (Rad) bằng cách ấn SHIFT + MODE + 4 (hình bên dưới).

– Ấn SHIFT +

∫

. Máy tính hiện ra

– Ta nhập vào máy tính:

d
dx

( )

(như hình dưới)
x=

d
( sin X )
dx

(

cos X

)

X=

π

(Đáp án A)

4

– Từ các đáp án A, B, C, D. Nhập vào máy tính để chọn giá trị đúng nhất.
Ta thấy chỉ có A thỏa mãn.
Câu 37: Cho một khối lập phương biết rằng khi tăng độ dài cạnh của khố i lập phương thêm 2cm thì thể

tích của nó tăng thêm 152cm3 . Hỏi cạnh của khối lập phương đã cho bằng:
A. 5cm .

B. 6cm .

C. 4cm .

D. 3cm .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 21/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Gọi a ( cm ) là độ dài cạnh của khố i lập phương, với a > 0 .
Khi đó thể tích của nó là V = a 3 ( cm3 ) .
3

Sau khi tăng độ dài cạnh thêm 2cm , thì thể tích mới là: V ′ = ( a + 2 ) ( cm3 ) .
3

Từ giả thiết, ta có V ′ − V = 152 ⇔ ( a + 2 ) − a 3 = 152
 a = −6 ( L )
⇔ 6a 2 + 12a − 144 = 0 ⇔ 
.
 a = 4 ( tm )
Câu 38: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh đáy 4 3 ( m ) . Biết mặt phẳng ( D′BC )

hợp với đáy một góc 60° . Thể tích khố i lăng trụ là:
A. 478m3 .

B. 648m3 .

C. 325 m3 .

D. 576 m3 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Phân tích: ABCD. A′B′C ′D′ là một hình lăng trụ tứ giác đều, cũng có nghĩa rằng nó là một

hình hộp đứng có đáy là hình vuông cạnh 4 3 ( m ) .
Ta có BC ⊥ CD, BC ⊥ DD′ ⇒ BC ⊥ ( CDD′C ′ ) ⇒ BC ⊥ CD′
Suy ra

(( D′BC ) , ( ABCD )) = (CD′, CD ) = D′CD = 60° .

Lời giải:

A'

D'
C'

B'

A
D
B

∆D′CD vuông tại D nên: tan D′CD =

(

C

DD′
⇒ DD′ = 4 3.tan 60° = 12 ( m ) .
CD

Vậy VABCD. A′B′C ′D′ = DD′.S ABCD = 12. 4 3

)

2

= 576 ( m 2 ) .

Câu 39: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + mx + m , điểm A (1;3) và hai điểm cực đại, cực tiểu thẳng hàng ứng

với giá trị của tham số m bằng
A. m =

5
.
2

B. m = 2 .

C. m =

1
.
2

D. m = 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có y ′ = 3x 2 − 6 x + m . Hàm số có hai cực trị ⇔ ∆′ = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3 .

Lại có y =

1
2m
4m 1
2m
4m
( x − 1) ( 3x 2 − 6 x + m ) +  − 2  x + = ( x − 1) y′ +  − 2  x +

3
3 3
3
 3

 3


TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 22/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
4m
 2m

d: y =
− 2 x +
.
3
 3

4m
5
 2m

Để A (1;3) ∈ d thì 3 = 
− 2  .1 +

⇔ m = (thỏa mãn điều kiện).
3
2
 3

Câu 40: Một hình hộp chữ nhật mà không phải hình lập phương thì có số trục đối xứng là:
A. Có đúng 4 trục đối xứng.
B. Có đúng 6 trục đối xứng.
C. Có đúng 3 trục đối xứng.
D. Có đúng 5 trục đối xứng.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Hình hộp chữ nhật (không phải là hình lập phương) thì có đúng 3 trục đối xứng lần lượt đi qua
tâm của hai mặt phẳng đối diện (hình vẽ bên).

d2
d1

d3

x2 − 2 x + 3
, phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị là
3x + 1
1
x 7
x 7
x 1
A. y = 2 x + .
B. y = − .
C. y = + .

D. y = + .
3
3 9
3 9
3 9

Câu 41: Cho hàm số y =

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Ta có: y =

x2 − 2 x + 3 1
7
34
= x− +
3x + 1
3
9 9(3x + 1)
1
x

 1
7 
−34
34
Xét lim  y −  x −   = lim
=−
lim

=0
→+∞
x →+∞
x
9 
9 ( 3x + 1)
9 x →+∞ 3 + 1
 3
x
1
 1
−34
7 
34
lim y −  x −   = lim
=−
lim x = 0
x →−∞ 
x →−∞ 9 ( 3 x + 1)
x →−∞
1
3
9
9

 
3+
x
x 7
Vậy tiệm cân xiên của đồ thì hàm số là y = − .

3 9
Câu 42: Giả sử z1 , z 2 là 2 nghiệm phức của phương trình z 2 + (1 − 2i ) z − 1 − i = 0 . Khi đó z1 − z2 bằng
A. 3 .

B. 4 .

C. 2 .

D. 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
2

Ta có ∆ = (1 − 2i ) + 4(1 + i ) = 1

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 23/27 – Mã đề 102


Cập nhật đề thi mới nhất tại />

− (1 − 2i ) − 1
= −1 + i
z =
2
Do đó 2 nghiệm của phương trình là 
− (1 − 2i ) + 1


=i
z =

2

Khi đó z1 − z 2 = ( −1 + i ) − i = 1 .
Câu 43: Một hình nón có bán kính đáy bằng 5a , độ dài đường sinh bằng 13a . Tính độ dài đường cao h
của hình nón:
A. h = 7 a 6 .

B. h = 12a .

C. h = 17 a .

D. h = 8a .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
S

l = 13 a

r = 5a

A

B

O

Xét hình nón như hình vẽ
Ta có tam giác SOB vuông nên: h = SO = SB 2 − OB 2 = 169a 2 − 25a 2 = 12a .
Câu 44: Nguyên hàm

A. ln x 2 −

2 x3 + 1
∫ x ( x3 − 1) dx bằng

1
+C .
x

B. ln x 2 +

1
+C .
x

C. ln x −

1
+C .
x2

D. ln x +

1
+C .
x2

Hướng dẫn giải
Chọn A.

A ( x 3 − 1) + Bx 3
A + B ) x3 − A
 A Bx 2 
(
2 x3 + 1
Ta có: ∫
dx = ∫  + 3  dx = ∫
dx = ∫
dx
x ( x 3 − 1)
x ( x 3 − 1)
x ( x 3 − 1)
 x x −1 
Đồng nhất thức

A+ B = 2  B = 3
⇔

 −A =1
 A = −1

Từ đó ta có
d ( x3 − 1)
 1 3x 2 
2 x3 + 1
1

3x2
1
d
x
=
−
+
d
x
=
−
d
x
+
d
x
=
−
d
x
+
∫ x ( x3 − 1) ∫  x x3 − 1 
∫ x ∫ x3 − 1
∫ x ∫ x3 − 1
= − ln x + ln x 3 − 1 + C = ln

Câu 45:

x3 − 1
1

+ C = ln x 2 − + C .
x
x

(1 + 3i )
Mô đun của số phức z =
1+ i

A. 5 .

2

(1 − 3i )
+i

B. 3 5 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

1− i

2

bằng
C. 1 + 2 2 .

D. 2 6 .
Trang 24/27 – Mã đề 102

Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Hướng dẫn giải
Chọn D.

(1 + 3i )
Ta có z =
1+ i

(

2

(1 − 3i )
+i

2

1− i

) (

=  −1 + 3 + 1 + 3 i  + i  −1 + 3 − 1 + 3 i 

 


(

) (

)

(

)

)

(

= −1 + 3 + 1 + 3 i + i −1 + 3 − 1 + 3 i 2 = −1 + 3 + 1 + 3 + i 1 + 3 − 1 + 3

)

= 2 3 + 2 3i
Từ đó ta có z =
Câu 46: Nguyên hàm
A. ln x −

∫

2

(2 3) + (2 3)

2

= 24 = 2 6 .

x2 − 1

bằng:
x ( x 2 + 1)

1
+C .
x2

B. ln x −

1
+C .
x

C. ln x +

1
+C .
x

D. ln x 2 −

1
+C .
x

Hướng dẫn giải
Chọn C.
x2 − 1
x2 + 1 − 2
2x 

2x 
1 2
 1
d
x
=
∫ x ( x 2 + 1) ∫ x ( x 2 + 1) dx = ∫  x − x + x 2 + 1  dx = ∫  − x + x2 + 1  dx
1
= − ln x + ln ( x 2 + 1) + C = ln x + + C.
x
Câu 47: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có AB = AC = 2a , BC = a , góc giữa BA′ và mp ( BCC ′B′ )

bằng 60°. Gọi M , N là trung điểm BB′ và AA′ . Điểm P nằm trên đoạn BC
1
BP = BC . Hỏi các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
4
A. MN ⊥ CP .

B. CM ⊥ AB .

C. CM ⊥ NP .

sao cho

D. CN ⊥ PM .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

+ Gọi H là trung điểm của B′C ′

A′H ⊥ ( BCC ′B′ ) ⇒  A′B; ( BCC ′B′ )  = A′BH = 60°.
BB′ = x , AC = w , CB = u , BB ′ = v .

a2
BH
4 =1⇒x=a .
cos 60° =
=
2
A′B
4a + x 2 2
x2 +

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 25/27 – Mã đề 102