Chuyên đề LG

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

Vậy kế hoạch chuyên đề này thì nhƣ thế nào ?
STT
1
2
3

Dạng bài

Số bài tập rèn
luyện

Thời gian rèn
luyện

Tìm giá trị biểu thức
Chứng minh đẳng
thức lượng giác
Giải phương trình
lượng giác

1

Ghi chú Bản thân

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn






Hàm số y = sinx
Có tập xác định là D = R
Có tập giá trị [-1;1]
Là hàm số lẻ tuần hoàn với chu kì 2π
Đồ thị






Hàm số y= cosx
Có tập xác định là D = R
Có tập giá trị [-1;1]
Là hàm số chẵn tuần hoàn với chu kì 2π
Đồ thị

Hàm số y = tanx

Hàm số y = cot x



Có tập xác định là D1=R∖{π2+kπ|k∈Z}

 Có tập xác định là : D2=R∖{kπ|k∈Z}



Có tập giá trị là R

 Có tập giá trị là R



Là hàm số lẻ; tuần hoàn với chu kỳ π

 Là hàm số lẻ; tuần hoàn với chu kỳ π

 Bảng giá trị các góc lượng giác đặc biệt

Góc
HS
LG

Sinx

0









6

4

3

2

45 o

60 o

2

3

0o

30 o
1

0

2

2

Tanx

1

3

||
Cotx

3

1

1

3
2

3

180 o

120o
3

0

2

270 o
-1

360 o
0

2

0

-1

2

2

3

0

90 o

1

2

3



2

2

1

Cosx

2

3
3

1

0

1

2

||

0

0

||

3

3

3
3

2

||

0

0

||


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn



Một số câu vè để nhớ công thức lƣợng giác cơ bản

Bắt đƣợc quả tang
Sin nằm trên cos
Côtang cãi lại
Cos nằm trên sin!

1

tan x =
1+
cot x =

1+

Cách ghi nhớ công thức Cung : Bù , phụ , hơn kém nhau

=

( cosx

=

( sinx

, đối ,…

Cos đối : Hai góc đối nhau thì cos bằng nhau, còn lại ngược dấu nhau
Hai góc bù nhau Sin
nhau

bù ( tổng bằng 180

Hai góc phụ nhau ( tổng bằng 90 )
Hai góc hơn kém nhau

nhau

) thì sin bằng nhau, còn lại ngược dấu

Phụ chéo thì sin bằng cos, tan bằng cot.

thì tan ( cot ) bằng nhau

còn lại hàm sin và cos ngược dấu.
3

Tan ( cot) hơn kém


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

2

Cách thức ghi nhớ công thức Tổng

 Tổng góc : hàm sin ( a

và cos ( a

sin (a + b) = sina.cosb + cosa. sinb

Sin thì sincos cossin
Cos thì coscos sinsin rõ ràng

sin (a - b) = sina.cosb - cosa. sinb

Sin thì giữ dấu hỡi chàng
Cos thì đổi dấu xin nàng nhớ cho

cos (a + b) = cosa.cosb - sina. sinb
cos (a -b) = cosa.cosb + sina. Sinb

Cos cộng cos bằng hai cos cos
Cos trừ cos bằng trừ hai sin sin
Sin cộng sin bằng hai sin cos
Sin trừ sin bằng hai cos sin

cos a + cosb = 2cos

cos

cos a – cosb = -2sin

sin

sina + sinb

= 2sin

cos

sina - sinb

= 2cos

sin



 Tổng hàm : Góc a & b

Cách thức ghi nhớ công thức Tích

 Tích góc : góc nhân 2 và góc nhân 3
Sin 2x = 2 sinx.cosx
Cos 2x =

-

=1-2

=2

4

–1

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
Nhân ba một góc bất kỳ
sin thì ba bốn, cos thì bốn ba

sin3x = 3 sin x – 4

dấu trừ đặt giữa hai ta, lập phương chỗ bốn,

– 3 cosx

cos3x = 4

. .. thế là ok.




Tích hàm : Sina.cosb ; sina.sinb : cosa.cosb
Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ

cosa.cosb = [cos 𝑎

Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng

sina.sinb = [cos 𝑎

𝑏

cos 𝑎

𝑏 ]

Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ

sina.cosb = [sin 𝑎

𝑏

sin 𝑎

𝑏 ]

Công thức góc chia đôi ( tính theo t = tan

sinx =
Sin, cos mẫu giống nhau chả khác
Ai cũng mẫu một cộng bình tê (1+t^2)
Sin thì tử có hai tê (2t),
cos thì tử có 1 trừ bình tê (1-t^2).

cosx =

Các công thức được chia ra làm 3 công thức cơ bản
 CUNG :

 TỔNG :

GÓC

HÀM

 TÍCH:

5

𝟐𝐭
𝟏 𝐭𝟐

𝟏 𝐭𝟐
𝟏 𝐭𝟐

𝑏

cos 𝑎

𝑏 ]


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

KÊU GỌI HÀNH ĐỘNG







Các bạn học sinh hãy bắt tay vào ghi nhớ các công thức luôn đi nhé !
Cos đối ,………………………………………………………..……. ..
Câu thơ tính tổng góc :
………………………….. ……………………………………………..
Câu thơ tính tổng hàm :
…………………………………………….............................................
Câu thơ tính tích hàm:
…………………………………………….............................................
Câu thơ tính tích góc :
…………………………………………….............................................

 Góc

:…………………………………………….........................

DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC

6


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246

Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

I. Tính giá trị hàm lƣợng giác
 Phƣơng pháp: biến đổi công thức lượng giác dựa vào công thức lượng giác cơ bản ban đầu
và xét trong khoảng xác định cần tính

Ví dụ 1:
a) Cho góc  thỏa mãn:
b) Cho góc

(

c) cho góc

(

tan 
3
    và sin   . Tính A 
1  tan 2 
2
5



) mà sin

√

) mà sin

. Tính B = sin(

cos

. Tính sin .
Sơ đồ con đƣờng
Bƣớc 1 : Biến đổi biểu thức cần
tính dạng tích hoặc tổng

Bài giải
a) Ta có :

sin  

3
=> cos
5
nên cos

Do
 cos

=

=> tan

√

 tan

=

Bƣớc 2 : Đối chiếu giả thiết xác
định công thức chưa biết

< 0 (góc phần tư thứ 2)
=

=

thay vào biểu thức

A
ta được : A =

=
II

I

III

IV

7

=

 sin  

3
5

 Tìm cos
Dựa vào công thức biểu thị mối
quan hệ sin và cos :
sin
cos
Bƣớc 3 : So sánh điều kiện
Giá trị thuộc góc phần tư thứ 2


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

b) Ta có :

 sin
√

= sin .cos + cos . sin =

√

sin +

cos

√

cos

=

Bƣớc 1 : Biến đổi biểu thức cần
tính dạng tích hoặc tổng
 sin (a + b) = sina.cosb +
cosa. sinb
Bƣớc 2 : Đối chiếu giả thiết xác
định công thức chưa biết

√

 sin
 Do
 cos

=

 sin
√

< 0 (góc phần tư thứ 2)

nên cos

thay vào biểu thức B ta được :

√

= sin .cos + cos . sin =

√

sin +

√

 Tìm cos
Dựa vào công thức biểu thị mối
quan hệ sin và cos :
sin
cos
Bƣớc 3 : So sánh điều kiện
Giá trị thuộc góc phần tư thứ 2

cos
=

√

.

√

+

√

.

√

=

√
√

II

I

III

IV

c)
Bƣớc 1 : Biến đổi biểu thức cần
tính dạng tích hoặc tổng

 Sin 2x = 2 sinx.cosx
Bƣớc 2 : Đối chiếu giả thiết xác
định công thức chưa biết
 sin

cos

 Tìm sin . cos
Dựa vào công thức biểu thị mối
quan hệ sin và cos, tổng và tích
sin

sin

cos

cos

Bƣớc 3 : So sánh điều kiện
Giá trị thuộc góc phần tư thứ 4

8


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức
2 ab
(a, b  0) . Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 .
ab
2a

b) Cho cos  
. Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 .
1 a2
5
c) Cho sin   cos   . Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 .
4

a) Cho sin  

Sơ đồ con đƣờng

Bài giải

Bƣớc 1 : Biến đổi biểu thức cần
tính dạng tích hoặc tổng

a)
 Tìm sin 2
Ta có : cos

=|

√

=

= 2 sin . cos = 2.
 Tìm cos 2
 Ta có : Cos 2 = 1 - 2
sin 2

√

= 1–2

 Sin 2x = 2 sinx.cosx

|

.|

 Cos 2x = 1 - 2
| ( a,b > 0)

=

( a,b > 0)

 Tìm tan 2

=.

Ta có : tan 2 =
=

√

|

|

√

|

|

.

 tan 2x =
Bƣớc 2 : Đối chiếu giả thiết xác
định công thức chưa biết
2 ab
 sin  
(a, b  0)
ab
 Tìm cos
Dựa vào công thức biểu thị mối
quan hệ sin và cos, tổng và tích
sin
cos

( a,b > 0)
Bƣớc 3 : So sánh điều kiện

Các ý b) & c) học sinh tự làm tƣơng tự
Ví dụ 3: Tính giá trị của các biểu thức
a) A = sin 75 + tan15
b) B = sin
– 2cos

c) C = sin20
Sơ đồ con đƣờng

Bài giải
a) A = sin 75 + tan15 = sin (45 +30

+ tan (45 - 30

= sin 45 .cos30 + cos45 .sin30 +
=

√

√

+

√

√

+

Bƣớc 1 : Biến đổi biểu thức cần
tính dạng tích hoặc tổng
 Đưa về các giá trị góc đặc biệt
Bƣớc 2 : Đối chiếu giả thiết xác
định công thức chưa biết
 sin (a + b) = sina.cosb + cosa.

√

9


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

=

√

√

√

Sinb
 tan (a – b ) =

√

b) B = sin

– 2cos
√

Ta có : sin
√

=> sin

=

=> cos

=

√
√

cos
√

√

√

√

Vậy B =

√

√

- √

Bƣớc 1 : Biến đổi biểu thức cần
tính dạng tích hoặc tổng
 Đưa về các giá trị góc đặc biệt
+ góc chia đôi => tăng đôi góc
 giảm 2 bậc
 Xét hàm với bậc nhân đôi
 Sử dụng công thức hạ bậc
Bƣớc 2 : Đối chiếu giả thiết xác
định công thức chưa biết

√
Bƣớc 1 : Biến đổi biểu thức cần
tính dạng tích hoặc tổng
 Đưa về các giá trị góc đặc biệt
+ Hàm dạng tích đưa về tổng góc
 Sina. Sinb

c)

Bƣớc 2 : Đối chiếu giả thiết xác
định công thức chưa biết

 BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính giá trị biểu thức
a) Cho góc  thỏa mãn:
b) cho góc

(


2

    và. sin = .Tính A=

) mà sin

cos

. Tính sin

Bài 2: Tình giá trị của biểu thức
a) A = cos
b) B = cos

cos

+ cos

+ cos
10

.


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

II. Chứng minh đẳng thức lƣợng giác
 Phƣơng pháp: biến đổi 1 vế của đẳng thức lượng giác bằng vế còn lại hoặc biến đổi tương
đương cả 2 vế bằng các công thức lượng giác cơ bản .


Ví dụ 1 : Chứng minh các biểu thức
a)

-

+

+3

(

=2
=

)

b)
Sơ đồ con đƣờng

Bài giải

a)

-

+

+3

=2

Ta có :

Vế trái =
+
=
–
3(
=
–
+3-3
=2
Vậy vế phải = vế trái ( đpcm )

(

+
+

)
*

=

Bƣớc 2: Biến đổi
 Sử dụng công thức
 sin
cos

=

(

cos (

+

)

Ta có :
Vế trái =

*

+3

(
cos (

Bƣớc 1: Xác định vế cần
biến đổi
 Biến đổi vế trái ( vế cồng
kềnh)

)
)+

)+

=

*

=

*

=

*

Bƣớc 1: Xác định vế cần
biến đổi
 Biến đổi vế trái ( vế cồng
kềnh)

cos (

)

cos (

+
+

=

11

)+

Bƣớc 2: Biến đổi
 Sử dụng công thức
 Hạ bậc 2 đối với hàm cos
 Tổng góc của hàm cos


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

Bƣớc 1: Xác định vế cần
biến đổi
 Biến đổi cả 2 vế
Bƣớc 2: Biến đổi
 Vế phải sử dụng công
thức
hạ bậc 2 đối với hàm cos &
sin
 Vế trái sử dụng công
thức
đối với cos2x

Ví dụ 2:
a) Chứng minh rằng :
(1+
b) Cho x + y + z = . Chứng minh rằng

(1+
+

+

Sơ đồ con đƣờng
Bƣớc 1: Xác định vế cần
biến đổi
 Biến đổi vế trái

Bài giải

a)
Gọi A =

(1+

(1+

5

+1
=
=
3

+
+2

(
=
= 2. ( đpcm)

+

5

+1

+
+

) +1

b)
Ta có :cos( x+ y) = cos(

= sinz

 cosx.cosy – sinx.siny = sinz
 cos cos – sin sin
= sin
 cos cos
sin sin – 2 sinx.siny.cosx.cosy = sin
 (1- sin

sin
+ sin sin – 2 sinx.siny.cosx.cosy =
sin
 1 - sin - sin + sin sin – 2 sinx.siny.cosx.cosy = sin

+
+
= 1- 2sinx.siny.(cosx.cosy- sinx.siny)

+
+
= 1- 2sinx.siny.cos(x+y)

+
+
= 1- 2sinx.siny.sinz

12

5
+1=2
= 1 – 2 sinx.siny.sinz

Bƣớc 2: Biến đổi
 Sử dụng hẳng đẳng thức

Bƣớc 1: Xác định vế cần
biến đổi
 Biến đổi vế trái
Bƣớc 2: Biến đổi

Muốn xuất hiện sinx.siny thì
phải bắt đầu từ cos (x
 Sử dụng giả thiết góc phụ
nhau x+ y & z
 Áp dụng công thức tổng
góc


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
 BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Chứng minh đẳng thức
1  sin 2a  cos 2a


1  sin 2a  cos 2a

 tan  a 
4


Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
a/

1 cos x cos 2x cos 3x
2 cos 2 x cos x 1

b / 4 cos x.cos
c / 4sin x.sin
d / tan x.tan

3
3

3

x .cos
x .sin
x .tan

2 cos x;
x

3
3

3

cos 3x

x

sin 3x.

x

tan 3x

Bài 3 :

1 .Chứng minh ABC vuông nếu:
sin B sin C
a / sin A
; b / sin C cos A cos B; c / sin 2 A sin 2 B sin 2 C 2
cos B cosC
2 .Chứng minh

ABC cân nếu:

C
sin B
a / sin A 2sin B.cosC; b / tan A tan B 2cot ; c / tan A 2 tan B tan A.tan 2 B; d /
2
sin C

13

2cos A


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
 Ngoài ra còn một số dạng lượng giác : Phương trình lượng giác bậc cao ,Biện luận nghiệm phương

trình lượng giác theo tham số, các yếu tố lượng giác trong tam giác,….Nhưng do khuôn khổ của kì
thi THPT Quốc gia nên chúng tôi xin phép không được trình bày trong nội dung này. Các đọc
mong muốn tìm hiểu thêm có thể truy cập website : Trungtamdaotaotuhocwts.com để tìm hiểu
thêm !

I. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN

1. Phƣơng trình sin x  a
TH 1: a  1 : Phƣơng trình vô nghiệm

TH 2 : a  1

 sin x  sin    x    k 2
k  
 x      k 2
0
0
 sin x  sin  0   x    k 360
0
0

k  
0
 x  180    k 360
x  arc sin a  k 2
 sin x  a  
k  
 x    arc sin a  k 2
 f  x   g  x   k 2
Tổng quát:

sin f  x   sin g  x   
k 
 f  x     g  x   k 2
Ví dụ 1: Giải phƣơng trình


 x  12  k 2

sin x  sin

12
 x      k 2


Ví dụ 2:Giải phƣơng trình

12

Ví dụ 3: Giải phƣơng trình
1

sin 3x   sin 3x  sin
2
6


3
x

 k 2


6

3x  5  k 2

6

2

 x  18  k 3

k 
 x  5  k 2

18
3





14


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
2. Phương trình: cos x  a

TH1: a  1 : Phƣơng trình vô nghiệm
TH 2 : a  1
 cosx  cos  x    k 2  k 



 cosx  cos 0  x    0  k 3600  k 
 cosx  a  x   arccosa  k 2  k 




Tổng quát cosf  x   cosg  x   f  x    g  x   k 2  k 
Ví dụ 1: Giải các phƣơng trình sau: a) cos x  cos
a) cos x  cos


4

x


4

 k 2  k 







b) cos x 

4

b) cos x 

3
4

3
3
 x   arccos  k 2 , k 
4
4

Ví dụ 2: Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau:
∈



a.

[



b.

∈

∈

[

3. Phƣơng trình tan x  a

k  
 tan x  t an 0  x = 0  k1800  k  
 tan x  a  x = arctan a  k  k  
Tổng quát: tan f  x   tan g  x   f  x   g  x   k  k  
 tan x  t an  x =   k

Ví dụ: Giải các phƣơng trình sau:
a) tan x  tan



b) tan 4 x  

3

1
3

c) tan  4 x  200   3

Giải





 k ,  k  
3
3
1
1

 1
 1
b) tan 4 x    4 x  arctan     k  x  arctan     k ,  k 
3
4
4
 3
 3
a) tan x  tan

x

15




TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà

NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

c) tan  4 x  200   3  tan  4 x  200   tan 600  4 x  200  600  k1800

 4 x  800  k1800  x  200  k 450 ,  k 



4. Phƣơng trình cotx = a

k  
 cot x  cot  0  x =  0 + k1800  k  
 cot x  a  x = arc cot a + k  k  

 cot x  cot   x =  + k

Tổng quát: cotf  x   cotg  x   f  x   g  x   k  k  
Ví dụ: Giải các phƣơng trình sau:
a) cot 3x  cot

b)cot 4 x  3

 1

c) cot  2 x   
6
3


3
7

Bài giải

3
3


 3x 
 k  x   k ,  k  
7
7
7
3
1

b) cot 4 x  3  4 x  arctan  3  k  x  arctan  3  k ,  k 
4
4
 1


 


c) cot  2 x   
 cot  2 x    cot  2 x    k
6

6
6
6 6
3


a) cot 3x  cot

 2x 


3

 k  x 


6

k


2

, k 





II. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT

1. Phương trình bậc nhất đối với
 Phƣơng pháp giải

và

: asinx + bcosx = c (a,b,c ∈

B1: Xét điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm:
B2:Chia hai vế phương trình cho

B3: Đặt

ta được

(hoặc

B4: Đưa phương trình về dạng:

)
(hoặc

phương trình lượng giác cơ bản.

16

) sau đó giải


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà

NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) sin x  cos x  1

b) 3cos2 x  4sin 2x  1
Bài giải

a.


+

√

√

√



)

 cos(

+



[
Kết luận: Phương trình có họ nghiệm là [
b.

cos

sin
–



(1) 

 cos

Với (

ccos



[

=>

∈

ccos

∈

[

∈

Kết luận: Phương trình có họ nghiệm là [
Ví dụ 2: Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau:
2

x
x
a.  sin  cos   3 cos x  2
2
2


b.

1  2sin x  cos x 
1  2sin x 1  sin x 

Bài giải
2

x
x
1
3
1
a.  sin  cos   3 cos x  2  1  sin x  3 cos x  2  sin x 

cos x 
2
2
2
2
2


17

3

cos


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn


  

x    k 2
x    k 2






3 6
6
 sin  x    sin  

k  Z 

5


3
6


x  

 k 2
x   k 2


3
6
2



 x   6  k 2

1


1  2sin x  cos x
7

sin x  
 k 2
b.
 3 . Điều kiện : 
2  x 
6
1  2sin x 1  sin x 
sin x  1



 x  2  k 2


Khi đó :

1  2sin x  cos x 
1  2sin x 1  sin x 

3  cos x - sin 2 x  1- sin x  2sin x - 2sin 2 x





 cos x - sin x  sin 2 x  cos 2 x  2 cos  2 x -   2 cos  x  
4

4








 x  2  k 2
 2 x  4  x  4  k 2
2


xk
k  Z 
3
 x  k 2
 2 x     x    k 2


3
4
4
Ví dụ 3: Giải phương trình sau: cos2 x  3 sin 2 x  1  sin 2 x
cos2 x  3 sin 2 x  1  sin 2 x   cos2 x  sin 2 x   3 sin 2 x  1

 cos 2 x - 3 sin 2 x  1

1

3
1



 cos2xsin 2 x   cos  2x+   cos
2
2
2
3
3

 2 x  k 2
 x  k



k  Z 
 2 x   2  k 2
 x     k
3
3



 Bài tập vận dụng:
Bài 1: Giải các phƣơng trình sau
a.
b.
c.

√
√
18


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
d. √
e. sin

√ cos

sin

Bài 2: Tìm các giá trị vủa m để các phƣơng trình sau có nghiệm
a.
b. b.
2.

Phương trình đẳng cấp bậc 2 và 3 :
 Dạng phƣơng trình:
Đẳng cấp bậc 2

Đẳng cấp bậc 3

a.sin 2 x  b.sin x cos x  c.cos2 x  d  a, b, c  0 a.sin3 x  b.sin 2 x cos x  c.cos2 x.sin x  d cos3 x  e

 Phƣơng pháp giải

Kiểm tra

có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này.
chia cả hai vế cho

=> đưa về phương trình bậc hai theo

:

 Lƣu ý: đối với phương trình đẳng cấp bậc cao hơn ( bậc 3, bâc4,….) thì ta vẫn làm tương tự với
việc chia hàm cos mũ tương ứng để đưa về phương trình bậc tương ứng với tan.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
1)

2)

Bài giải
1)

+) Xét cos x = 0 => sin x =
( không thỏa mãn )
+) Xét cos x 0 . Chia cả 2 vế cho
ta được

+


n

+ tanx – 2

–4=0

=0
19


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

,

{

(k ∈

c n

Vậy nghiệm của phương trình là {

(k ∈

c n

2)
+) Xét cosx = 0 => sin x =
( không thỏa mãn )
+) Xét cos x 0 . Chia cả 2 vế cho
ta được



n

 [

-

-5 n

+3=0

- 3tanx + 3

√  [
√

=0

c n(

√ )

c n(

√ )

Vậy nghiệm của phương trình là: [

(k ∈

c n(

√ )

c n(

√ )

(k ∈

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: sin 2 x  t anx+1  3sin x  cosx-sinx   3
Bài giải

sin 2 x  tan x  1  3sin x  cos x -sin x   3 

 sin x 
sin 2 x 
 1  3sin x  cos x -sin x   3 .
 cos x 

Với điều kiện : cosx  0 , ta chia 2 vế phương trình cho cos2 x  0 . Khi đó phương trình trở thanh:

sin 2 x

sin x  cos x -sin x 
3

tan x  1  3



2 
cos x
cos x  cos x  cos2 x

 tan 2 x  tan x  1  3tan x 1  tan x   3 1  tan 2 x 



x    k

tan
x

-1

4
  tan x  1 tan 2 x  3  0  

k  Z 
 tan x   3
 x     k

3





20


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn



 x   4  k
Kết luận: Vậy phương trình có họ nghiệm  
k  Z 
 x     k

3
Ví dụ 3: Giải phƣơng trình sau sin3 x  3 cos3 x  sin x cos2 x  3sin 2 x cos x
Bài giải
sin3 x  3 cos3 x  sin x cos2 x  3 sin 2 x cos x

Có 2 cách giải :
Cách 1.
Chia 2 vế phương trình cho cos3 x  0 , ta có phương trình :


sin 3 x
sin x
sin 2 x

3


3
 tan 3 x  3 tan 2 x - tan x - 3  0
cos3 x
cos x
cos 2 x



x    k

 tan x  - 3
3
 tan x  3  tan 2 x  1  0  

k  Z 

 x    k
 tan x  1

4





Cách 2.
 sin3 x  sin x cos2 x  3 sin 2 x cos x  3 cos3 x  0





 sin x  sin 2 x  cos2 x   3 cos x sin 2 x  cos 2 x   0  sin 2 x  cos 2 x  sin x  3 cos x  0


 k


2
x


k

x




sin x  cos x  0
  cos 2 x  0
2

4 2




k  Z 
sin x  3 cos x  0
 x     k
 x     k
 tan x  - 3


3
3
2

2

 k

x  4  2
Kết luận: Vậy phương trình có họ nghiệm:  
k  Z 
 x     k

3
Ví dụ 4: Giải phƣơng trình cos3 x  4sin3 x  3cos x sin 2 x  sinx=0

Bài giải
21

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
cos3 x  4sin3 x  3cos x sin 2 x  sin x  0 .

 TH1: Xét
 TH2: Xét

không là nghiệm phương trình.
.

Ta chia cả 2 vế phương trình cho cos3 x  0 , ta có phương trinh :


cos3 x
sin 3 x
cos x sin 2 x sin x 1

4

3

0
cos3 x
cos3 x
cos x cos2 x cos x cos2 x

 1  4 tan 3 x  3tan 2 x  tan x 1  tan 2 x   0
 3tan 3 x  3tan 2 x  t anx-1=0   tanx+1  3tan 2 x 1  0



 t anx=-1
x


 k

4



 tanx=  1
 x     k

3

6


 x   4  k
Kết luận: Vậy phương trình có họ nghiệm là 
 x     k

6
Ví dụ 5: Giải phƣơng trình sau: sin x sin 2x  sin3x  6cos3 x .

Bài giải
 TH1:
 TH2:

không phải là nghiệm của phương trình
. Ta chia cả hai vế chia
, ta có phương trình:

sin 2 x cos x
sin x
sin 3 x
2
3 3 4 3  6
cos3 x
cos x
cos x

 2 tan 2 x  3tan x 1  tan 2 x   4 tan 3 x  6  0
 2 tan 2 x  3tan x  tan3 x  6  0   tan x - 2 3  tan 2 x   0
 x  arctan 2  k
 tan x  2


 x     k
 tan x   3

3
22

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
 x  arctan 2  k
Kết luận: Vậy phƣơng trình có họ nghiệm 
 x     k

3
 BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
1.
2.

√

3.

4.
5.
(

6.

)
(

7.

)

8.
Bài 2: Cho phương trình lượng giác sau:
a. Giải phương trình với
b. Tìm m để phương trình vô nghiệm
Bài 3: Cho phương trình sau:
a. Giải phương trình với
b. Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc khoảng [0; ]
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
3 . Phương trình đối xứng

 Phương pháp giải :
Đặt: sinx + cosx =t, điều kiện t 

2 sin cos

Sinx – cosx =t điều kiện t  2 sinx.cosx =
Thay vào phƣơng trình ta đƣợc phƣơng trình bậc 2 theo t.
Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác sau: sin
sin
cos
Bài giải
( * )  sin
 sin

sin
sin

cos
cos

sin

23

(*)


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

[
(1) 

sin

cos

sin

(2)  sin

sin
sin cos

 sin

cos

∈



sin cos
(| |



Đặt

√ )

Thay vào (2) ta được:

√

Với


(

)

(

[

√
(

√
√

√

[



o i

)
)

√

[

∈

Vậy nghiệm của phương trình là [

∈

Ví dụ 2: Cho phương trình : cos3 x  sin3 x  m sin x cos x

a. Giải phương trình khi

2

b. Tìm m để phương trình có nghiệm .
Giải
a. Giải phương trình khi

2

 cos3 x  sin 3 x  2 sin x cos x  sin x  cos x 1  sin x cos x   2 sin x cos x

t 2 1
t  2
t

sin
x

cos
x
;
t

2

sin
x
cos
x




2



t   2  1   2(l )
2
2

t 1  t  1   2  t  1   0  t  2 t 2  2 2t  1  0




t   2  1

2
2



 







  


x   k 2
cos  x - 4   1



4

Do đó :  
    1 2

 x     k 2
cos  x -  

4
2
  4

24



1 2
; k  Z 
 cos  
2





TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

t 2 1
t

sin
x

cos
x
;
t

2

sin
x
cos
x


2


b/  
2
2
3
t 1  t  1   m  t  1   0  t  3t  m(*)t    2; 2 







2 
t 2 1
 2 
 

Xét hàm số :

 2

t 3  3t
2t
t 1  t 2 
2

f (t )  2
 t  2
 f '(t )  1  2
 1 

 0t   2; 2 
2
2
2
2
  t  1 
t 1
t 1
t  1







Do vậy để phương trình có nghiệm thì : f  2  m  f

 2  

2  m  2  m   2; 2 

s inx  0

Ví dụ 4. 3  cot x  cosx   5  t anx-sinx   2 . Điều kiện : 
 x  k * .
2
cosx  0




Khi đó :  3 

 s inx-cosx   2  2sin x 
 1
 s inx cosx

 cosx 
cos x

sin x

1


 cosx+sinx 
 1  cosx  
 sinx+cosx-sinxcosx 
 3  cosx-sinx  
 1  2 sinx 
  1  2 

cosx
 sinxcosx

 cosx  



 cosx+s inx-sinxcosx   s inx+cosx-sinxcosx 

 3  cosx-sinx  
  2
0
s inxcosx
cosx

 




 cosx+sinx-sinxcosx   3  cosx-sinx   2   0  cosx+sinx-sinxcosx=0



cosx
sinx


3  cosx-sinx   0

Trường hợp : cosx-sinx=0  tanx=1  x=


4

 k

k  Z 

Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 .
t  s inx+cosx  t  2

Đặt : 
Cho nên phương trình :
t 2 1
s inxcosx=

2

t

t  1  2   2  l 
t 2 1


 0  t 2  2t  1  0  
 2 sin  x    2  1
2
4

t  2  1
25